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第四章 因式分解
4.1 因式分解
學習目標：
1.了解掌握因式分解的意義，會判斷一個變形是否為因式分解.
2. 理解因式分解與整式乘法之間的聯系與區別.
一、情境導入
問題：993 - 99 能被 100 整除嗎？
想一想：993 - 99 還能被哪些整數整除
要點探究
知識點一：全等三角形的判定和性質
議一議
你能嘗試把 a3 - a 化成幾個整式的乘積的形式嗎 與同伴交流.
做一做
觀察下面拼圖過程，寫出相應的關系式.
問題1：觀察同一行中，左右兩邊的等式有什么區別和聯系？
問題2：右邊一欄表示的正是多項式的“因式分解”，你能根據我們的分析說出什么是因式分解嗎？
歸納總結：
辯一辯
判斷下列各式從左到右的變形中，是否為因式分解：
A. x(a﹣b) = ax﹣bx （ ）
B. x2﹣1 + y2 = (x﹣1)(x + 1) + y2 （ ）
C. y2﹣1 = (y + 1)(y﹣1) （ ）
D. ax + by + c = x(a + b) + c （ ）
E. 2a3b = a2 2ab （ ）
F. (x + 3)(x﹣3) = x2﹣9 （ ）
總結：
做一做
計算下列各式： 根據左邊的算式進行因式分解：
(1) 3x(x - 1) = (1) 3x2 - 3x = ( )( )
(2) m(a+b - 1) = (2) ma+mb - m = ( )( )
(3) (m+4)(m - 4) = ___ (3) m2 - 16 = ( )( )
(4) (y - 3)2 = _____ (4) y2 - 6y+9 = ( )( )
知識點二：因式分解與整式乘法的關系
想一想：
由 a(a + 1)(a - 1) 得到 a3 - a 的變形是什么運算
由 a3 - a 得到 a(a + 1)(a - 1) 的變形與它有什么不同
想一想：因式分解與整式乘法有什么關系
典例精析：
例 若多項式 x2 + ax + b 分解因式的結果為a(x﹣2)(x + 3)，求 a，b 的值.
練一練：
下列多項式中，分解因式的結果為 - (x + y)(x - y)的是（　　）
A．x2 - y2 B． - x2 + y2
C．x2 + y2 D． - x2﹣y2
二、課堂小結
1. 下列各式中從左到右的變形屬于分解因式的是 ( )
A. a(a + b - 1) = a2 + ab -a B. a2 - a - 2 = a(a - 1) - 2
C. - 4a2 + 9b2 = ( - 2a + 3b)(2a + 3b) D. 2x +1 = x(2 + )
2. 把多項式 x2 + 4mx + 5 因式分解得 (x + 5)(x + n)，則 m + n 的值為 　 ．
3. 20242 + 2024 能被 2025 整除嗎
4. 若多項式 x4 + mx3 + nx - 16 含有因式 (x - 2) 和 (x - 1)， 求 mn 的值.
5. 甲、乙兩個同學分解因式 x2 + ax + b 時，甲看錯了 b，分解結果為 (x + 2)(x + 4)；乙看錯了 a，分解結果為 (x + 1)(x + 9)，求 a + b 的值.
參考答案
創設情境，導入新知
問題：993 - 99 能被 100 整除嗎？
想一想：993 - 99 還能被哪些整數整除
還能被98，99, 49等正整數整除.答案不唯一，只要合理就應給予肯定.
小組合作，探究概念和性質
知識點一：全等三角形的判定和性質
議一議
你能嘗試把 a3 - a 化成幾個整式的乘積的形式嗎 與同伴交流.
提示：類比993 - 99 的因數分解
a3 - a = a(a2 - 1) = a(a + 1)(a - 1)
做一做
觀察下面拼圖過程，寫出相應的關系式.
問題1：觀察同一行中，左右兩邊的等式有什么區別和聯系？
聯系：等號左右兩邊是同一多項式的不同表現形式.
區別：左邊一欄是多項式的乘法，右邊一欄是把多項式化成了幾個整式的積，他們的運算是相反的.
問題2：右邊一欄表示的正是多項式的“因式分解”，你能根據我們的分析說出什么是因式分解嗎？
歸納總結：
把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做因式分解，也可稱為分解因式.
其中，每個整式都叫做這個多項式的因式.
判斷下列各式從左到右的變形中，是否為因式分解：
（ × ） A. x(a﹣b) = ax﹣bx
（ ×） B. x2﹣1 + y2 = (x﹣1)(x + 1) + y2
（√ ） C. y2﹣1 = (y + 1)(y﹣1)
（ ×） D. ax + by + c = x(a + b) + c
（ ×） E. 2a3b = a2 2ab
（ ×） F. (x + 3)(x﹣3) = x2﹣9
計算下列各式：
(1) 3x(x - 1) = 3x2 - 3x
(2) m(a+b - 1) = ma+mb - m
(3) (m+4)(m - 4) = ____m2 - 16
(4) (y - 3)2 = _____ y2 - 6y+9
根據左邊的算式進行因式分解：
(1) 3x2 - 3x = ( 3x )( x - 1 )
(2) ma+mb-m = ( m )( a+b - 1 )
(3) m2 - 16 = ( m+4 )( m - 4 )
(4) y2 - 6y+9 = ( y - 3 )( y - 3 ) 或 (y - 3)2
想一想：
由 a(a + 1)(a - 1) 得到 a3 - a 的變形是什么運算
由 a3 - a 得到 a(a + 1)(a - 1) 的變形與它有什么不同
答：由 a(a + 1)(a - 1) 得到 a3- a 的變形是整式乘法，
由 a3 - a 得到 a(a + 1)(a - 1) 的變形與上面的變形互為逆過程.
想一想：因式分解與整式乘法有什么關系
是互為相反的變形，即
x2 - 1 = (x + 1)(x - 1)
因式分解等式的特征：
左邊是多項式，右邊是幾個整式的乘積.
典例精析：
例 若多項式 x2 + ax + b 分解因式的結果為a(x﹣2)(x + 3)，求 a，b 的值.
解：∵ x2 + ax + b = a(x - 2)(x + 3)= ax2 + ax - 6a，
∴ a = 1，b = -6a =﹣6.
方法歸納：對于此類問題，掌握因式分解與整式乘法為互逆運算是解題關鍵，應先把分解因式后的結果展開，再與原多項式各項對應的系數比較，使其分別相等即可.
練一練
下列多項式中，分解因式的結果為 - (x + y)(x - y)的是（　B　）
A．x2 - y2 B． - x2 + y2
C．x2 + y2 D． - x2﹣y2
課堂小結：
當堂檢測
1. 下列各式中從左到右的變形屬于分解因式的是 ( C )
A. a(a + b - 1) = a2 + ab - a B. a2 - a - 2 = a(a - 1) - 2
C. - 4a2 + 9b2 = ( - 2a + 3b)(2a + 3b) D. 2x +1 = x(2 + )
2. 把多項式 x2 + 4mx + 5 因式分解得 (x + 5)(x + n)，則 m + n 的值為 　 ．
3. 20242 + 2024 能被 2025 整除嗎
解：∵ 20242 + 2024 = 2024(2024 + 1) = 2024×2025，
∴ 20242 + 2024 能被 2025 整除.
4. 若多項式 x4 + mx3 + nx - 16 含有因式 (x - 2) 和 (x - 1)， 求 mn 的值.
解：∵ x4 + mx3 + nx - 16 的最高次數是 4，
∴可設 x4 + mx3 + nx - 16 = (x - 1)(x - 2)(x2 + ax + b)，
則 x4+mx3+nx - 16 = x4 +(a - 3)x3+(b - 3a+2)x2+(2a - 3b)x+2b
比較系數得 2b= - 16，b - 3a+2 = 0，a - 3=m，2a - 3b=n，
解得 a = - 2，b = - 8，m = - 5，n = 20.
∴mn = - 5×20 = - 100．
5. 甲、乙兩個同學分解因式 x2 + ax + b 時，甲看錯了 b，分解結果為 (x + 2)(x + 4)；乙看錯了 a，分解結果為 (x + 1)(x + 9)，求 a + b 的值.
解：甲分解因式看錯了 b，但 a 是正確的，
其分解結果為 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8，
∴ a = 6.
同理，乙看錯了 a，但 b 是正確的，
分解結果為 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9，
∴b = 9.
∴a + b = 15．

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