資源簡介

第四章 因式分解
4.2 提公因式法
第2課時 提公因式為多項式的因式分解
學習目標：
1.準確地找出各項的多項式公因式進行因式分解；
2.能運用整體思想進行因式分解.
一、情境導入
提公因式法因式分解的一般步驟：
1. 多項式的第一項系數為負數時，先提取“-”號，注意多項式的各項變號；
2. 公因式的系數是多項式各項 ； 3. 字母取多項式各項中都含有的 ；
4. 相同字母的指數取各項中最小的一個，即 .
思考1：提公因式時，公因式可以是多項式嗎？找找下面各式的公因式.
(1) a(x - y) - b( x - y)
(2) a(b + c) - 3(b + c)
(3) a(x - 3) + 2b( x - 3)
(4) y(x + 1) + y2( x + 1)2
思考2：公因式是多項式形式，怎樣運用提公因式法分解因式？
一、要點探究
知識點一：全等三角形的判定和性質
例1 把下列各式分解因式：
(1) a(x - 3) + 2b(x - 3)； (2) y( x + 1) + y2( x + 1)2 .
歸納總結：
練一練
x(a + b) + y(a + b)
3a(x - y) - (x - y)
3. 6(p + q)2 - 12(q + p)
例2 把下列各式因式分解：
(1) a(x－y)＋b(y－x)； (2) 6(m－n)3－12(n－m)2.
歸納總結：
練一練
(1) (a - b) =___(b - a)； (2) (a - b)2 =___(b - a)2；
(3) (a - b)3 =___(b - a)3； (4) (a - b)4 =___(b - a)4；
(5) (a + b) =___(b + a)； (6) (a + b)2 =___(b + a)2；
(7) (a + b)3 = ( - b - a)3； (8) (a + b)4 = ( - a - b)4.
二、課堂小結
1. 請在下列各式等號右邊填入“+”或“-”號，使等式成立.
(1) 2 - a = (a - 2) (2) y - x = (x - y)
(3) b + a = (a + b) (4) (b - a)2 = (a - b)2
(5) -s2 + t2 = (s2 - t2) (6) -m - n = (m + n)
(7) (b - a)3 = (a - b)3
2. 因式分解：p(a2 + b2 ) - q(a2 + b2 ).
3. 因式分解：(x - y)2 + y(y - x).
參考答案
創設情境，導入新知
提公因式法因式分解的一般步驟：
1. 多項式的第一項系數為負數時，先提取“-”號，注意多項式的各項變號；
2. 公因式的系數是多項式各項___系數的最大公約數___； 3. 字母取多項式各項中都含有的____相同的字母__； 4. 相同字母的指數取各項中最小的一個，即___最低次冪__.
小組合作，探究概念和性質
知識點一：提公因式為多項式的因式分解
例1 把下列各式分解因式：
(1) a(x - 3) + 2b(x - 3)； (2) y( x + 1) + y2( x + 1)2 .
解：(1) a(x - 3) + 2b(x - 3)= (x - 3)(a + 2b).
(2) y(x + 1) + y2(x + 1)2 = y(x + 1)(1 + xy + y).
歸納總結：
1. 公因式既可以是一個單項式的形式，也可以是一個多項式的形式.
2.整體思想是數學中一種重要而且常用的思想方法.
練一練
1. x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y)
2. 3a(x - y) - (x - y) = (x - y)(3a - 1)
3. 6(p + q)2 - 12(q + p) = 6(p + q)(p + q - 2)
例2 把下列各式因式分解：
(1) a(x－y)＋b(y－x)； (2) 6(m－n)3－12(n－m)2.
解：(1) a(x－y)＋b(y－x)＝a(x－y)－b(x－y)
＝(x－y)(a－b)
6(m－n)3－12(n－m)2＝6(m－n)3－12(n－m)2
＝6(m－n)2[(m－n)－2]＝6(m－n)2(m－n－2)
歸納總結：
兩個只有符號不同的多項式是否有關系，有如下判斷方法
(1) 當相同字母前的符號相同時，兩個多項式相等.
如：a - b 和 -b + a，則 a - b = -b + a.
(2) 當相同字母前的符號均相反時，兩個多項式互為相反數.
如：a - b 和 b - a，則 a - b = -(b - a).
由此可知規律：
(1) a - b 與 -a + b 互為相反數.
(a - b)n = (b - a)n (n是偶數)
(a - b)n = -(b - a)n (n是奇數)
a + b 與 -a - b 互為相反數.
(-a - b)n = (a + b)n (n是偶數)
(-a - b)n = -(a + b)n (n是奇數)
(2) a + b 與 b + a 相等，a - b 與 -b + a 相等.
(a±b)n = (±b + a)n (n是整數)
在下列各式等號右邊的括號前填入“+”或“-”號，使等式成立：
(1) (a - b) =__－_(b - a)； (2) (a - b)2 =__＋_(b - a)2；
(3) (a - b)3 =__－_(b - a)3； (4) (a - b)4 =__＋_(b - a)4；
(5) (a + b) =__＋_(b + a)； (6) (a + b)2 =_＋__(b + a)2；
(7) (a + b)3 =_－_( - b - a)3； (8) (a + b)4 = _＋_( - a - b)4.
課堂小結：
當堂檢測
1. 請在下列各式等號右邊填入“+”或“-”號，使等式成立.
(1) 2 - a = － (a - 2) (2) y - x = － (x - y)
(3) b + a = ＋ (a + b) (4) (b - a)2 = ＋ (a - b)2
(5) -s2 + t2 = － (s2 - t2) (6) -m - n = － (m + n)
(7) (b - a)3 = － (a - b)3
2. 因式分解：p(a2 + b2 ) - q(a2 + b2 ).
解：p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 ) = (a2 + b2)(p - q).
3. 因式分解：(x - y)2 + y(y - x).
解法1：(x - y)2 + y(y - x)= (x - y)2 - y(x - y)
= (x - y)(x - y - y) = (x - y)(x - 2y).
解法2：(x - y)2 + y(y - x) = (y - x)2 + y(y - x)
= (y - x)(y - x + y) = (y - x)(2y - x).

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