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第四章 因式分解
4.3 公式法
第2課時 完全平方公式
學習目標：
1.理解完成平方公式，弄清完成平方公式的形式和特點；
2.掌握運用完成平方公式分解因式的方法，能正確運用完成平方公式把多項式分解因式.
一、情境導入
1.什么是因式分解？
2. 我們已經學過哪些因式分解的方法？
要點探究
知識點一：用完全平方公式分解因式
拼出圖形為：
這個大正方形的面積可以怎么求？
將上面的等式逆過來寫，能得到：
我們把 和 這樣的式子叫做完全平方式.
觀察這兩個式子：
每個多項式有幾項？
每個多項式的第一項和第三項有什么特征？
（3）中間項和第一項，第三項有什么關系？
定義總結
方法總結：
完全平方式的特點：
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2 - 4a + 4； （2）1 + 4a ；
（3）4b2 + 4b - 1； （4）a2 + ab + b2；
（5）x2 + x + 0.25.
典例精析
例1 把下列完全平方式因式分解：
(1) x2 + 14x + 492；
(2) (m + n)2 - 6(m + n) + 9.
例2 把下列各式因式分解：
(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2； (2) －x2－4y2 + 4xy.
練一練
1. 因式分解：
(1) －3a2x2＋24a2x－48a2；
(2) (a2＋4)2－16a2.
2.(陽山縣期中)用簡便方法計算：
(1) 1252－50×125 + 25 ；
(2) 652×11－352×11.
二、課堂小結
1. 下列四個多項式中，能因式分解的是 ( )
A．a2＋1 B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2. 若關于 x 的多項式 x2－8x＋m2 是完全平方式，則 m 的值為______．
3. 把下列多項式因式分解.
(1) x2－12x + 36； (2) 4(2a + b)2－4(2a + b) + 1；
(3) y2 + 2y + 1－x2.
4. 計算：(1) 38.92－2×38.9×48.9＋48.92；
(2) 20242－2024×4046＋20232；
5. (1) 已知 a－b＝3，求 a(a－2b)＋b2 的值；
(2) 已知 ab＝2，a＋b＝5，求 a3b＋2a2b2＋ab3 的值.
參考答案
小組合作，探究概念和性質
知識點一：用完全平方公式分解因式
拼出圖形為：
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
將上面的等式逆過來寫，能得到：
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
我們把 a + 2ab + b 和 a - 2ab + b 這樣的式子叫做完全平方式.
觀察這兩個式子：
每個多項式有幾項？
三項
每個多項式的第一項和第三項有什么特征？
這兩項都是數或式的平方，并且符號相同
（3）中間項和第一項，第三項有什么關系？
是第一項和第三項底數的積的 ±2 倍
定義總結
完全平方式：a2 ± 2ab + b2
運用平方差公式因式分解：
運算法則：a2±2ab + b2 = (a±b)2
文字說明：兩個數的平方和加上（或減去）這兩個數的積的 2 倍，等于這兩個數的和（或差）的平方.
方法總結：
完全平方式的特點：
1. 必須是三項式 (或可以看成三項的)；
2. 有兩個數或式的平方和；
3. 有這兩數或式之積的 ±2 倍.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法.
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2 - 4a + 4； （2）1 + 4a ；
（3）4b2 + 4b - 1； （4）a2 + ab + b2；
（5）x2 + x + 0.25.
答案；（1）是；（2）不是；（3）不是；（4）不是；（5）是.
典例精析
例1 把下列完全平方式因式分解：
(1) x2 + 14x + 492；
(2) (m + n)2 - 6(m + n) + 9.
解：(1) 原式＝( x + 7 )2.
(2) 原式＝[( m + n )－3]2＝( m + n－3 )2
例2 把下列各式因式分解：
(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2； (2) －x2－4y2 + 4xy.
解：(1) 原式＝3a( x2 + 2xy + y2 )＝3a( x + y)2.
(2) 原式＝－(x2 + 4y2－4xy)＝－(x2－4xy + 4y2)
＝－[x2－2 · x · 2y + (2y)2]＝－(x－2y)2
練一練
1. 因式分解：
(1) －3a2x2＋24a2x－48a2；
(2) (a2＋4)2－16a2.
解：(1) 原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2.
(2) 原式＝(a2＋4)2－(4a)2
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)
＝(a＋2)2(a－2)2.
2.(陽山縣期中)用簡便方法計算：
(1) 1252－50×125 + 25 ；
(2) 652×11－352×11.
解：(1) 原式 = (125－25) = 10000.
原式 = (65 + 35)(65－35)×11= 33000.
課堂小結
當堂檢測
1. 下列四個多項式中，能因式分解的是 ( B )
A．a2＋1 B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2. 若關于 x 的多項式 x2－8x＋m2 是完全平方式，則 m 的值為__±4_．
3. 把下列多項式因式分解.
(1) x2－12x + 36； (2) 4(2a + b)2－4(2a + b) + 1；
(3) y2 + 2y + 1－x2.
解：(1) 原式 = x2 - 2·x·6 + (6)2 = (x - 6)2.
(2) 原式 = [ 2(2a + b) ] - 2·2(2a + b)·1 + ( 1 )
= (4a + 2b - 1)2.
(3) 原式 = ( y + 1) - x
= (y + 1 + x)( y + 1 - x).
4. 計算：(1) 38.92－2×38.9×48.9＋48.92；
(2) 20242－2024×4046＋20232；
解：(1) 原式＝(38.9－48.9)2＝100.
(2) 原式＝(2024)2－2×2024×2023＋(2023)2
＝(2024－2023)2
＝1
5. (1) 已知 a－b＝3，求 a(a－2b)＋b2 的值；
(2) 已知 ab＝2，a＋b＝5，求 a3b＋2a2b2＋ab3 的值.
解：(1) 原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
當 a－b＝3 時，原式＝32＝9.
(2) 原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
當 ab＝2，a＋b＝5 時，
原式＝2×52 ＝ 50.

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