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第十三章 相交線平行線專項提高
【知識要點】
一、相交線
1、鄰補角及鄰補角的性質:
（1）概念：兩個角有 ，它們的另一邊互為 ，具有這種關系的兩個角叫做互為鄰補角．
（2）性質：互為鄰補角的兩個角 ，但互補的兩個角不一定互為鄰補角．
2、對頂角及其性質：
（1）概念：兩個角有公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角兩邊的 ，具有這種關系的兩個角叫做互為對頂角．
（2）性質： ．
3、兩條直線的夾角： .
4、垂線
（1）概念：如果兩條直線的夾角為 ，那么就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線.
（2）垂直公理： ，過直線上或直線外的一點作已知直線的垂線可以作一條，并且只能作一條
（3）中垂線：過線段 且 這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，簡稱中垂線．
5、垂線段：聯結直線外一點與直線上各點的所有線段中， 最短．
6、點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的 ，叫做這個點到直線的距離．如果一個點在直線上，那么就說這個點到直線的距離為零．
二、平行線
1、平行公理：經過直線外一點， 一條直線與已知直線平行；
2、平行線間距離處處相等：兩條平行線中，任意一條直線上的所有點到另一條直線的距離是一個定值，這個定值叫做這兩條平行線間的距離，平行線間的距離處處相等．
3、平行線的判定
（1） ，兩直線平行
（2） ，兩直線平行
（3） ，兩直線平行
（4）平行線的傳遞性： 的兩直線平行
4、平行線的性質
（1）兩直線平行， ．
（2）兩直線平行， ．
（3）兩直線平行， ．
專題大綱
1、鄰補角與對頂角
2、垂線與斜線
3、等積變形
4、平行線的性質和判定
5、平行線基本模型
6、平行線與翻折
專題精講
專題一 鄰補角與對頂角
【例1】如圖所示，O是直線AB上任意一點，以O為端點任意做一條射線OC，且OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，則∠DOE的度數為 ．
(
A
B
C
D
E
O
)
【練習1】下列說法：
①有一條公共邊且和為180°的兩個角是鄰補角；
②互補的兩角一定是鄰補角；
③對頂角相等；
④相等的角是對頂角；
⑤如果兩個角不相等，那么這兩個角一定不是對頂角；
⑥如果兩個角不是對頂角，那么這兩個角不相等．
其中正確的說法是
【練習2】如圖，直線、相交于點O，平分；平分．若，則 °
【練習3】已知∠AOB與∠BOC互為鄰補角，且∠BOC＞∠AOB，OD平分∠AOB，射線OE使，當∠DOE＝72°時，∠EOC的度數為 .
專題二 垂線與斜線
【例2】如圖，直線，相交于點，若，則直線與的夾角度數為　　．
【練習1】如圖，，，，．點到直線的距離 ，到直線的距離是 ．
練習1圖 練習2圖
【練習2】如圖，點O是直線上一點，，，是的平分線，則的度數是 °．

【練習3】如果兩個角的兩邊分別垂直且其中一個角比另一個角的4倍少30°，則這兩個角的度數分別為 .
【練習4】已知點O在直線AB上，以點O為端點的兩條射線OC、OD互相垂直，若∠AOC=30°，則∠BOD的度數是 .
【練習5】如圖，O是直線AB上任意一點，以O為端點任意做一條射線OC，若平分，，試說明平分
專題三 等積變形
【例3】如圖，,、交于點,若,,則 .
【練習1】如圖，直線，點、位于直線上，點、位于直線上，且，如圖的面積為6，那么的面積為 .
【練習2】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，E為AB上一點，CF⊥BE，垂足為點F．如果四邊形ABCD面積為48，BE=7，那么CF=　 　．
練習1圖 練習2圖
【練習3】已知，AB∥CD，且CD=2AB，△ABE和△CDE的面積分別為2和8，則△ACE的面積是
【練習4】如圖，正方形ABCD和正方形BEFG兩正方形的面積分別是10和3，那么陰影部分面積是　 　．
練習3圖 練習4圖
專題四 平行線的性質和判定
【例4-1】如圖，CE平分∠ACD，∠1=∠B，說明AB∥CE．
(
A
B
C
D
E
)
【練習1】已知AE是∠BAP的平分線，PE是∠APD的角平分線，∠1+∠4=90°，請說明AB∥CD的理由．
【練習2】已知：如圖，∠ABC=∠ADC，BF、DE分別平分∠ABC與∠ADC，且∠1=∠3．說明AB∥DC的理由．
【練習3】如圖，AB⊥BG，CD⊥BG，∠A +∠AEF180°．說明CD∥EF的理由．
【例4-2】如圖，AB//DE，CM平分∠BCE，，，求∠DCN的度數
【練習1】如圖，已知，平分，=150°，則 °
【練習2】已知的兩條邊分別與的兩條邊平行，且的度數比的的2倍小，則；
【練習3】如圖，已知AD平分，，試說明的理由．
(
A
B
C
D
E
F
)
【練習4】已知：如圖，E、F分別是AB和CD上的點，DE、AF分別交BC于G、H，A=D，1=2，試說明：B=C．
(
A
B
C
D
E
F
G
H
)
專題五 平行線基本模型
【例5】如圖，已知AB∥ED，試說明：∠B+∠D＝∠C．
【練習1】如圖，已知AB//CD，那么、、之間的關系為
【練習2】如圖，AB//CD, ，，則的度數是 .
【練習3】如圖，已知,,和的平分線交于點,= °
練習1圖 練習2圖 練習3圖
【練習4】如圖，AB∥CD，求證：∠B＋∠F＋∠D＝∠E＋∠G
專題六 平行線與翻折
【例6】如圖①是長方形紙帶，將紙帶沿EF折疊成圖②,再沿BF折疊成圖③.
（1）若∠DEF=20°,則圖③中∠CFE度數是 .
（2）若∠DEF=,把圖③中∠CFE用表示.
【練習1】有一條直的等寬紙帶，按如圖折疊時，紙帶重疊部分中的∠= 度。
【練習2】一個四邊形紙片，，把紙片按如圖所示折疊，使點落在邊上的點，是折痕，若，那么
．
【練習3】如圖a，已知長方形紙帶ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠BFE=70°，將紙帶沿EF折疊后，點C、D分別落在H、G的位置，再沿BC折疊成圖b．
（1）圖a中，∠AEG=　 　°；
（2）圖a中，∠BMG=　 　°；
（3）圖b中，∠EFN=　 　°．
【單元過關卷】
一、選擇題
1、下列說法正確的個數有（　　）
（1）過一點有且只有一條直線與已知直線平行
（2）一條直線有且只有一條垂線
（3）不相交的兩條直線叫做平行線
（4）直線外一點到這條直線的垂線段叫做這點到這條直線的距離
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
2、如圖，∠1=n°，∠2與∠4互余，則∠3的度數是（　　）
A．n° B．90°﹣n° C．180°﹣n° D．
第2題圖 第3題圖
3、如圖，已知，那么使成立的另一個條件是　　
A． B． C． D．
4、兩條平行直線被第三條直線所截，則下列說法錯誤的是（ ）
一組同位角的角平分線互相平行
一組內錯角的角平分線互相平行
一組同旁內角的角平分線互相平行
一組同旁內角的角平分線互相垂直
5、如圖，若，則、、的關系是　　
A． B．
C． D．
二、填空題
6、如圖，平分，，則　　．
7、如圖，AC⊥AB，AC⊥CD，垂足分別是點A、C，如果∠CDB=130°，那么直線AB與BD的夾角是　 　度．
第6題圖 第7題圖 第8題圖
8、如圖：AB∥CD，AE平分∠CAB，∠DEA=125°，則∠CAE =_______°
9、如圖，AD//BC，E是線段AD上任意一點，BE與AC相交于點O，若△ABC的面積是5，△EOC的面積是1，則△BOC的面積是 .
第9題圖 第11題圖
10、已知α的兩邊與β的兩邊分別平行，如果α=50°，則β=　 　
11、如圖，直線，點、位于直線，點、位于直線上，且，若的面積為6，則的面積為 .
12、如圖，一張長方形紙條經折疊后的形狀，如果，那么∠2＝_____.
第12題圖 第13題圖
13、如圖，已知，，，則　　．
14、將沿著翻折，使點落到點處，、分別與交于、兩點，且．已知，則　　．
15、如圖，對面積為1的逐次進行以下操作：第一次操作，分別延長、、至點、、，使得、、，順次連接、、，得到△，記其面積為；第二次操作，分別延長、、至點、、，使得、、，順次連接、、，得到△，記其面積為；；按此規律繼續下去，可得到△，則其面積　　．
三、解答題
16、如圖，已知AD//BE,∠CDE=∠C,試說明∠A=∠E的理由.
17、中，，，是上一點，且，試說明∥的理由．
18、已知：如圖，AD∥BC，AE是∠BAD的角平分線，AE交CD于點F，交BC的延長線于點E，且∠E=∠CFE，請說明∠ABF=∠BFC的理由．
19、如圖，已知∠ADE=∠B,∠EDC+∠CHG=180°,那么∠ECD=∠F嗎 為什么
20、如圖，已知，AB//CD，∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，求∠E和∠F的關系
(
A
B
C
D
E
F
)
21、已知，如圖1，四邊形ABCD，∠D=∠C=90°，點E在BC邊上，P為邊AD上一動點，過點P作PQ⊥PE，交直線DC于點Q．
（1）當∠PEC=70°時，求∠DPQ；
（2）當∠PEC=4∠DPQ時，求∠APE；
（3）如圖3，將△PDQ沿PQ翻折使點D的對應點D′落在BC邊上，當∠QD′C=40°時，請直接寫出∠PEC的度數，答：　　．
22、已知：AB∥DE．
（1）如圖1，點C是夾在AB和DE之間的一點，當AC⊥CD時，垂足為點C，你知道∠A+∠D是多少嗎？這一題的解決方法有很多，
例如 ①過點C作AB的平行線；
②過點C作DE的平行線；
③聯結AD；
④延長AC、DE相交于一點．
請你選擇一種方法（可以不選上述四種），并說明理由．
（2）如圖2，點C1、C2是夾在AB和DE之間的兩點，請想一想：∠A+∠C1+∠C2++∠D=　 　度，并說明理由．
（3）如圖3，隨著AB與CD之間點增加，那么∠A+∠C1+∠C2++……+∠Cn+1+∠D=　 　度．（不必說明理由）
23、將一副三角板中的兩塊直角三角形的直角頂點0按圖1方式疊放在一起（其中∠C＝30°，∠CDO＝60°；∠OAB＝∠OBA＝45°）.△COD繞著點O順時針旋轉一周，旋轉的速度為每秒10°，若旋轉時間為t秒，請回答下列問題：（請直接寫出答案）
（1）當時（如圖2），∠BOC與∠AOD有何數量關系
（2）當t為何值時，邊OA∥CD？
24、如圖①所示，已知，，，試回答下列問題：
（1）試說明：；
（2）如圖②，若點、在上，且，平分．試求的度數；
（3）在（2）的條件下，若左右平行移動，如圖③，那么的比值是否隨之發生變化？若變化，試說明理由；若不變，求出這個比值；
（4）在（3）的條件下，當時，試求的度數。

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