資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第一章 數與式
第三節 二次根式
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 二次根式的相關概念 ☆ 在以往的廣東省統考中，二次根式的相關知識屬于必考內容，包含的考點多數與計算有關，屬于較易拿分題；對二次根式其中相關的概念，性質以及運算法則需掌握牢固，記憶清晰，在中考中難度不大，應避免在此處失分。
考點2 二次根式的性質 ☆☆
考點3 二次根式的運算 ☆☆☆
考點4 二次根式的化簡求值 ☆☆☆
考點1 二次根式的有關概念
1.二次根式
一般地，形如式子的式子叫做二次根式，二次根式必須滿足：含有二次根號“”；被開方數a必須是___________。
2.最簡二次根式
若二次根式滿足：被開方數的因數是整數，因式是整式；被開方數中不含___________，這樣的二次根式叫做最簡二次根式。
化二次根式為最簡二次根式的方法和步驟：
（1）如果被開方數是分數（包括小數）或分式，先利用商的算術平方根的性質把它寫成分式的形式，然后利用分母有理化進行化簡。
（2）如果被開方數是整數或整式，先將他們分解因數或因式，然后把能開得盡方的因數或因式開出來。
3.同類二次根式
幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果___________相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式。
考點2 二次根式性質
1.二次根式的性質
（1）雙重非負性：
（2）
（3）積的算術平方根：
（4）商的算術平方根：
2.二次根式的非負性
常見非負數及其性質
①實數的絕對值：；②實數的平方：；③二次根式：；
非負性
如果幾個非負數的和為0，那么每個非負數均___________。如
考點3 二次根式的運算及化簡求值
1.二次根式的加減法：先將各根式化為最簡根式，然后合并被開方數相同的二次根式。
2.二次根式的乘法：
3.二次根式的除法：
4.二次根式混合運算：二次根式的混合運算與實數中的運算順序一樣，先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里的（或先去括號）。
5.與二次根式有關的化簡求值：二次根式的化簡求值，一定要先___________再代入___________．
二次根式運算的最后，注意結果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區分，避免互相干擾．
考點1：二次根式的有關概念
◇例題
1．下列式子中，是二次根式的是（　　）
A．π B． C． D．
2．下列二次根式中與是同類二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列各式：①，②，③，④，⑤中，最簡二次根式有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
◆變式訓練
4．若是二次根式，則x的取值范圍是 　 ．
5．將二次根式化為最簡二次根式　　．
6．最簡二次根式與是同類二次根式，則x+3y＝　　．
考點2：二次根式的性質
◇例題
1．若＝a﹣5，則a的取值范圍是（　　）
A．a＝5 B．a＞5 C．a≥5 D．a≤5
2．化簡：的結果為（　　）
A． B． C． D．
3．實數a，b在數軸上對應的點的位置如圖所示，化簡|a|+的結果是（　　）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
4．像，…這樣的根式叫做復合二次根式．有一些復合二次根式可以借助構造完全平方式進行化簡，如：＝＝＝＝﹣1．
再如：＝．
請用上述方法探索并解決下列問題：
（1）化簡：；
（2）化簡：；
（3）若，且a，m，n為正整數，求a的值．
◆變式訓練
5．化簡：＝　　．
6．化簡：＝　　．
7．實數a、b在數軸上的位置如圖所示，化簡：＝　　．
8．先閱讀下列的解答過程，然后作答：
形如的化簡，只要我們找到兩個數a、b使a+b＝m，ab＝n，這樣（）2+（）2＝m， ＝，那么便有＝＝±（a＞b）例如：化簡
解：首先把化為，這里m＝7，n＝12；
由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7， ＝，
∴＝＝＝2+
由上述例題的方法化簡：
（1）；
（2）；
（3）．
考點3：二次根式的運算及化簡求值
◇例題
1．計算的結果為（　　）
A． B． C． D．
2．下列運算，結果正確的是（　　）
A． B． C． D．
3．計算：＝　　．
4．計算：2．
5．計算：
（1）； （2）．
6．若x＝．
（1）化簡x、y； （2）求x2+xy+y2．
◆變式訓練
7．計算：＝（　　）
A． B． C． D．
8．下列運算正確的是（　　）
A． B． C． D．
9．計算：﹣+（）0＝　　．
10．計算：2﹣﹣．
11．計算下列各題：
（1）； （2）．
12．請閱讀下列材料：
問題：已知x＝﹣3，求代數式x2+6x﹣9的值．
小敏的做法是：根據x＝﹣3得（x+3）2＝5，
∴x2+6x+9＝5，得：x2+6x＝﹣4．
把x2+6x作為整體代入：得x2+6x﹣9＝﹣13，
即：把已知條件適當變形，再整體代入解決問題．
請你用上述方法解決下面問題：
（1）已知x＝+3，求代數式x2﹣6x+12的值；
（2）已知x＝，求代數式x3+2x2+x+1的值．
1．（2022 廣州）代數式有意義時，x應滿足的條件為（　　）
A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1
2．（2023 湛江市霞山區名校一模）下列二次根式中，為最簡二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023 佛山二模）下列計算正確的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2021 廣州）代數式在實數范圍內有意義時，x應滿足的條件是 　　．
5．（2023 廣州市增城區名校一模）計算：2﹣＝　　．
6．（2023 廣東）計算：＝　　．
7．（2023 揭陽市榕城區二模）已知實數a在數軸上的位置如圖所示，則化簡的結果是 　　．
8．（2020 佛山市名校模擬）計算：×﹣÷．
9．（2021 潮州市饒平縣名校模擬）計算：
（1）÷﹣×+．
（2）（2+）2﹣（+）（﹣）．
10．（2020 廣州市越秀區名校一模）計算：．
11．（2021 中山市名校模擬）已知a+b＝﹣6，ab＝5，求．
1．（2023 寧陽縣二模）式子有意義，則實數a的取值范圍是（　　）
A．a≥3 B．a≠1 C．a≥﹣3且a≠1 D．a＞﹣3且a≠1
2．（2023 黃驊市一模）下列計算結果正確的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023 永興縣校級模擬）化簡的結果是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023 衡陽縣校級一模）若最簡二次根式和能合并，則x的值為（　　）
A．0.5 B．1 C．2 D．2.5
5．（2023 港北區三模）將二次根式化為最簡二次根式　 ．
6．（2023 南崗區校級二模）計算：﹣3＝　 　．
7．（2023 臨汾模擬）計算：＝　 　．
8．（2023 錦江區校級模擬）已知實數m＝﹣1，則代數式m2+2m+1的值為 　 　．
9．（2023 雁塔區校級模擬）計算：．
10．（2023 雨山區校級二模）計算：（﹣）×+|﹣2|﹣（）﹣1．
11．（2023 臨渭區二模）計算：．
12．（2023 晉城模擬）閱讀與思考
請仔細閱讀下列材料，并完成相應的任務．
＝，＝＝＝3+
像上述解題過程中，與、﹣與+相乘，積不含有二次根式，我們可將這兩個式子稱為互為有理化因式，上述解題過程被稱為分母有理化．
任務：（1）的有理化因式 　 　；﹣2的有理化因式是 　．
（2）寫出下列式子分母有理化的結果：
①＝　　；②＝　　 ．
（3）計算：+……+．
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第一章 數與式
第三節 二次根式
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 二次根式的相關概念 ☆ 在以往的廣東省統考中，二次根式的相關知識屬于必考內容，包含的考點多數與計算有關，屬于較易拿分題；對二次根式其中相關的概念，性質以及運算法則需掌握牢固，記憶清晰，在中考中難度不大，應避免在此處失分。
考點2 二次根式的性質 ☆☆
考點3 二次根式的運算 ☆☆☆
考點4 二次根式的化簡求值 ☆☆☆
考點1 二次根式的有關概念
1.二次根式
一般地，形如式子的式子叫做二次根式，二次根式必須滿足：含有二次根號“”；被開方數a必須是非負數。
2.最簡二次根式
若二次根式滿足：被開方數的因數是整數，因式是整式；被開方數中不含能開得盡方的因數或因式，這樣的二次根式叫做最簡二次根式。
化二次根式為最簡二次根式的方法和步驟：
（1）如果被開方數是分數（包括小數）或分式，先利用商的算術平方根的性質把它寫成分式的形式，然后利用分母有理化進行化簡。
（2）如果被開方數是整數或整式，先將他們分解因數或因式，然后把能開得盡方的因數或因式開出來。
3.同類二次根式
幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式。
考點2 二次根式性質
1.二次根式的性質
（1）雙重非負性：
（2）
（3）積的算術平方根：
（4）商的算術平方根：
2.二次根式的非負性
常見非負數及其性質
①實數的絕對值：；②實數的平方：；③二次根式：；
非負性
如果幾個非負數的和為0，那么每個非負數均為0。如
考點3 二次根式的運算及化簡求值
1.二次根式的加減法：先將各根式化為最簡根式，然后合并被開方數相同的二次根式。
2.二次根式的乘法：
3.二次根式的除法：
4.二次根式混合運算：二次根式的混合運算與實數中的運算順序一樣，先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里的（或先去括號）。
5.與二次根式有關的化簡求值：二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．
二次根式運算的最后，注意結果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區分，避免互相干擾．
考點1：二次根式的有關概念
◇例題
1．下列式子中，是二次根式的是（　　）
A．π B． C． D．
【分析】根據二次根式的定義解答即可．
【解答】解：π，不符合二次根式的形式，不是二次根式；
中被開方數小于0，不是二次根式；
是二次根式．
故選：D．
2．下列二次根式中與是同類二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根據同類二次根式的概念，需要把各個選項化成最簡二次根式，被開方數是3的即和是同類二次根式．
【解答】解：A、原式＝2；
B、原式＝；
C、原式＝；
D、原式＝3．
故選：A．
3．下列各式：①，②，③，④，⑤中，最簡二次根式有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】根據最簡二次根式的定義解答即可．
【解答】解：，是最簡二次根式，共2個．
故選：B．
◆變式訓練
4．若是二次根式，則x的取值范圍是 　 ．
【分析】根據被開方數是非負數，建立不等式求解即可．
【解答】解：∵是二次根式，
∴x+3≥0，解得：x≥﹣3，
故答案為：x≥﹣3．
5．將二次根式化為最簡二次根式　　．
【分析】根據最簡二次根式的概念即可求出答案．
【解答】解：原式＝5，
故答案為：5
6．最簡二次根式與是同類二次根式，則x+3y＝　　．
【分析】根據同類二次根式的定義解答即可．
【解答】解：∵最簡二次根式與是同類二次根式，
∴3+x＝5﹣3y，
解得x+3y＝2．
故答案為：2．
考點2：二次根式的性質
◇例題
1．若＝a﹣5，則a的取值范圍是（　　）
A．a＝5 B．a＞5 C．a≥5 D．a≤5
【分析】根據二次根式的性質解答即可．
【解答】解：∵＝a﹣5，
∴a﹣5≥0，
∴a≥5．
故選：C．
2．化簡：的結果為（　　）
A． B． C． D．
【分析】根據二次根式有意義的條件求出x＜0，變形得出原式＝﹣x，再根據二次根式的性質進行計算，最后求出答案即可．
【解答】解：∵要式分式用意義，必須﹣≥0，
即x＜0，
∴﹣x
＝﹣x
＝﹣x
＝﹣．
故選：D．
3．實數a，b在數軸上對應的點的位置如圖所示，化簡|a|+的結果是（　　）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
【分析】根據數軸表示a＜0，|a|＝﹣a．＝|a﹣b|．
【解答】解：根據數軸可知：a＜0＜b，且|a|＞|b|．
∴|a|+＝﹣a﹣（a﹣b）＝﹣2a+b．
故選：A．
4．像，…這樣的根式叫做復合二次根式．有一些復合二次根式可以借助構造完全平方式進行化簡，如：＝＝＝＝﹣1．
再如：＝．
請用上述方法探索并解決下列問題：
（1）化簡：；
（2）化簡：；
（3）若，且a，m，n為正整數，求a的值．
【分析】（1）把12拆成7+5，即（）2+（）2，寫成完全平方公式的形式即可求解；
（2）先提出，把8拆成5+3，寫成完全平方公式的形式即可求解；
（3）按照完全平方公式展開，使有理數和無理數分別相等，再根據a、m、n為正整數，得m＝1，n＝3，或者m＝3，n＝1，分別計算出a的值即可．
【解答】解：（1）；
（2）＝；
（3）∵a+6＝（m+n）2＝m2+5n2+2mn，
∴a＝m2+5n2，6＝2mn，
又∵a、m、n為正整數，
∴m＝1，n＝3，或者m＝3，n＝1，
∴當m＝1，n＝3時，a＝46；
當m＝3，n＝1，a＝14，
綜上所述，a的值為46或14．
◆變式訓練
5．化簡：＝　　．
【分析】根據二次根式的性質解答即可．
【解答】解：原式＝＝．
故答案為：．
6．化簡：＝　　．
【分析】此題考查二次根式的化簡．
【解答】解：∵＜3，即﹣3＜0，
∴＝3﹣．
7．實數a、b在數軸上的位置如圖所示，化簡：＝　　．
【分析】根據數軸圖可知b＞0，b﹣a＞0，再根據＝|a|化簡式子即可．
【解答】解：根據數軸圖可知b＞0，b﹣a＞0，
∴＝b﹣（b﹣a）＝a．
故答案為：a．
8．先閱讀下列的解答過程，然后作答：
形如的化簡，只要我們找到兩個數a、b使a+b＝m，ab＝n，這樣（）2+（）2＝m， ＝，那么便有＝＝±（a＞b）例如：化簡
解：首先把化為，這里m＝7，n＝12；
由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7， ＝，
∴＝＝＝2+
由上述例題的方法化簡：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】先把各題中的無理式變成 的形式，再根據范例分別求出各題中的a、b，即可求解．
【解答】解：（1）＝＝﹣；
（2）＝＝＝﹣；
（3）＝＝．
考點3：二次根式的運算及化簡求值
◇例題
1．計算的結果為（　　）
A． B． C． D．
【分析】根據二次根式的乘法法則進行計算即可．
【解答】解：
＝
＝．
故選：D．
2．下列運算，結果正確的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根據二次根式的加法，減法，乘法，除法法則進行計算，逐一判斷即可解答．
【解答】解：A、4與不能合并，故A不符合題意；
B、與﹣不能合并，故B不符合題意；
C、÷＝，故C不符合題意；
D、×＝3，故D符合題意；
故選：D．
3．計算：＝　　．
【分析】先根據負整數指數冪和絕對值的意義計算，然后把化簡后進行乘法運算，最后合并即可．
【解答】解：原式＝×2+1﹣
＝+1﹣
＝1．
故答案為：1．
4．計算：2．
【分析】先把各二次根式化為最簡二次根式，再合并同類二次根式即可．
【解答】解：原式＝4+﹣3
＝．
5．計算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先利用二次根式的性質化簡二次根式，再根據絕對值和負整數指數冪的意義計算，然后合并即可；
（2）先根據二次根式的乘法法則運算，然后化簡二次根式后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝3﹣（1﹣）﹣×2
＝3﹣1+﹣
＝2；
（2）原式＝2﹣
＝2﹣3
＝﹣．
6．若x＝．
（1）化簡x、y； （2）求x2+xy+y2．
【分析】根據分母有理化分別把x、y化簡，把原式利用完全平方公式變形，代入計算即可．
【解答】解：x＝＝＝2+，y＝＝＝2﹣，
則x+y＝（2+）+（2﹣）＝4，xy＝（2+）（2﹣）＝1，
∴原式＝（x+y）2﹣xy＝42﹣1＝15．
◆變式訓練
7．計算：＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次根式的乘法運算法則計算得出答案．
【解答】解：＝﹣．
故選：B．
8．下列運算正確的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根據二次根式的加減法法則逐個判斷即可．
【解答】解：A．﹣＝3﹣2＝1，故本選項不符合題意；
B．3﹣2＝，故本選項不符合題意；
C．5和﹣2不能合并，故本選項不符合題意；
D．+＝+2＝3，故本選項符合題意．
故選：D．
9．計算：﹣+（）0＝　　．
【分析】根據二次根式混合運算的法則計算即可．
【解答】解：﹣+（）0
＝﹣2+1
＝﹣．
故答案為：﹣．
10．計算：2﹣﹣．
【分析】根據＝ （a≥0，b≥0）進行化簡后，再合并同類二次根式．
【解答】解：原式＝2×﹣﹣
＝2×3﹣4﹣
＝6﹣4﹣
＝．
11．計算下列各題：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把各二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可；
（2）先把各二次根式化為最簡二次根式，再把括號內合并，然后進行二次根式的乘法運算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣2+6
＝5；
（2）原式＝（3﹣）×2
＝×2
＝10．
12．請閱讀下列材料：
問題：已知x＝﹣3，求代數式x2+6x﹣9的值．
小敏的做法是：根據x＝﹣3得（x+3）2＝5，
∴x2+6x+9＝5，得：x2+6x＝﹣4．
把x2+6x作為整體代入：得x2+6x﹣9＝﹣13，
即：把已知條件適當變形，再整體代入解決問題．
請你用上述方法解決下面問題：
（1）已知x＝+3，求代數式x2﹣6x+12的值；
（2）已知x＝，求代數式x3+2x2+x+1的值．
【分析】（1）根據完全平方公式求出x2﹣6x＝﹣4，整體代入計算，得到答案；
（2）根據完全平方公式求出x2＝，進而求出x3，代入計算，得到答案．
【解答】解：（1）∵x＝+3，
∴x﹣3＝，
∴（x﹣3）2＝5，即x2﹣6x+9＝5，
∴x2﹣6x＝﹣4，
∴x2﹣6x+12＝﹣4+12＝8；
（2）∵x＝，
∴x2＝（）2＝，
∴x3＝x2 x＝×＝﹣2，
∴x3+2x2+x+1＝﹣2+2×++1＝．
1．（2022 廣州）代數式有意義時，x應滿足的條件為（　　）
A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1
【分析】直接利用二次根式有意義的條件、分式有意義的條件分析得出答案．
【解答】解：代數式有意義時，x+1＞0，
解得：x＞﹣1．
故選：B．
2．（2023 湛江市霞山區名校一模）下列二次根式中，為最簡二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根據最簡二次根式的定義判斷即可．
【解答】解：A.＝，故A不符合題意；
B.＝＝，故B不符合題意；
C.是最簡二次根式，故C符合題意；
D.＝5，故D不符合題意；
故選：C．
3．（2023 佛山二模）下列計算正確的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根據二次根式的加減法，二次根式的除法和化簡二次根式的方法求解判斷即可．
【解答】解：A、3和不是同類二次根式，不能合并，計算錯誤，不符合題意；
B、和不是同類二次根式，不能合并，計算錯誤，不符合題意；
C、，計算錯誤，不符合題意；
D、，計算正確，符合題意．
故選：D．
4．（2021 廣州）代數式在實數范圍內有意義時，x應滿足的條件是 　　．
【分析】二次根式中被開方數的取值范圍為被開方數是非負數．
【解答】解：代數式在實數范圍內有意義時，x﹣6≥0，
解得x≥6，
∴x應滿足的條件是x≥6．
故答案為：x≥6．
5．（2023 廣州市增城區名校一模）計算：2﹣＝　　．
【分析】根據二次根式的減法法則進行解答．
【解答】解：原式＝（2﹣1）＝．
故答案為：．
6．（2023 廣東）計算：＝　　．
【分析】本題考查二次根式的乘法計算，根據×＝和＝a（a＞0）進行計算，
【解答】解：方法一：
×
＝×2
＝2×3
＝6．
方法二：
×
＝
＝
＝6．
故答案為：6．
7．（2023 揭陽市榕城區二模）已知實數a在數軸上的位置如圖所示，則化簡的結果是 　　．
【分析】先根據題意得到0＜a＜1，據此化簡二次根式和化簡絕對值即可．
【解答】解：由題意得，0＜a＜1，
∴a﹣1＜0，
∴，
故答案為：1．
8．（2020 佛山市名校模擬）計算：×﹣÷．
【分析】根據二次根式的混合運算法則，先算乘除再算加減即可．
【解答】解：原式＝﹣＝2﹣3＝﹣1．
9．（2021 潮州市饒平縣名校模擬）計算：
（1）÷﹣×+．
（2）（2+）2﹣（+）（﹣）．
【分析】（1）根據二次根式的乘除法則運算；
（2）利用完全平方公式和平方差公式．
【解答】解：（1）原式＝﹣+2
＝4﹣+2
＝4+；
（2）原式＝
＝20+．
10．（2020 廣州市越秀區名校一模）計算：．
【分析】根據負整數指數冪、零指數冪、絕對值的意義計算，然后分母有理化后合并即可．
【解答】解：原式＝2×1+﹣
＝2．
11．（2021 中山市名校模擬）已知a+b＝﹣6，ab＝5，求．
【分析】根據題意確定a，b的取值范圍，然后利用二次根式的性質進行化簡．
【解答】解：∵a+b＝﹣6，ab＝5，
∴a＜0，b＜0，
∴原式＝
＝﹣
＝
＝﹣
＝﹣
＝﹣
＝﹣．
1．（2023 寧陽縣二模）式子有意義，則實數a的取值范圍是（　　）
A．a≥3 B．a≠1 C．a≥﹣3且a≠1 D．a＞﹣3且a≠1
【分析】根據二次根式有意義的條件和分式有意義的條件進行求解即可．
【解答】解：∵式子有意義，
∴，
∴a≥﹣3且a≠1，
故選：C．
2．（2023 黃驊市一模）下列計算結果正確的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】計算出各個選項中式子的正確結果，即可判斷哪個選項符合題意．
【解答】解：＝2，故選項A錯誤，不符合題意；
不能合并，故選項B錯誤，不符合題意；
＝＝2，故選項C錯誤，不符合題意；
2＝，故選項D正確，符合題意；
故選：D．
3．（2023 永興縣校級模擬）化簡的結果是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用二次根式的形式進行化簡即可．
【解答】解：由題意可得：m﹣1＜0，
則原式＝﹣＝﹣，
故選：B．
4．（2023 衡陽縣校級一模）若最簡二次根式和能合并，則x的值為（　　）
A．0.5 B．1 C．2 D．2.5
【分析】依據同類二次根式的被開方數相同求解即可．
【解答】解：∵最簡二次根式和能合并，
∴2x+1＝4x﹣3．
解得x＝2．
故選：C．
5．（2023 港北區三模）將二次根式化為最簡二次根式　 ．
【分析】根據最簡二次根式的概念即可求出答案．
【解答】解：原式＝5，
故答案為：5
6．（2023 南崗區校級二模）計算：﹣3＝　 　．
【分析】直接化簡二次根式，進而合并求出答案．
【解答】解：原式＝3﹣3×＝2．
故答案為：2．
7．（2023 臨汾模擬）計算：＝　 　．
【分析】先提取公因式，再根據二次根式的除法法則進行計算，最后求出答案即可．
【解答】解：
＝
＝﹣1
＝3﹣1
＝2，
故答案為：2．
8．（2023 錦江區校級模擬）已知實數m＝﹣1，則代數式m2+2m+1的值為 　 　．
【分析】先利用完全平方公式得到m2+2m+1＝（m+1）2，然后把m的值代入計算即可．
【解答】解：∵m＝﹣1，
∴m2+2m+1＝（m+1）2＝（﹣1+1）2＝2．
故答案為：2．
9．（2023 雁塔區校級模擬）計算：．
【分析】先計算二次根式的乘除法，再算加減，即可解答．
【解答】解：
＝3﹣+3
＝3﹣2+3
＝4．
10．（2023 雨山區校級二模）計算：（﹣）×+|﹣2|﹣（）﹣1．
【分析】先算二次根式的乘法，去絕對值，算負整數指數冪，再合并即可．
【解答】解：原式＝﹣2+2﹣﹣2
＝﹣3．
11．（2023 臨渭區二模）計算：．
【分析】先計算二次根式的乘法，再算加減，即可解答．
【解答】解：
＝4﹣2+3+（﹣1）
＝3+．
12．（2023 晉城模擬）閱讀與思考
請仔細閱讀下列材料，并完成相應的任務．
＝，＝＝＝3+
像上述解題過程中，與、﹣與+相乘，積不含有二次根式，我們可將這兩個式子稱為互為有理化因式，上述解題過程被稱為分母有理化．
任務：（1）的有理化因式 　 　；﹣2的有理化因式是 　．
（2）寫出下列式子分母有理化的結果：
①＝　　；②＝　　 ．
（3）計算：+……+．
【分析】（1）根據有理化因式的定義找出有理化因式即可；
（2）先分母有理化，再求出答案即可；
（3）先分母有理化，再根據二次根式的加減法法則進行計算，最后求出答案即可．
【解答】解：（1）的有理化因式是，﹣2的有理化因式是+2，
故答案為：（答案不唯一），+2（答案不唯一）；
（2）①＝＝，
②＝＝﹣1，
故答案為：，﹣1；
（3）原式＝﹣1+﹣+﹣+……+﹣
＝﹣1
＝10﹣1
＝9．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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