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第二章 方程（組）與不等式（組）
第五節(jié) 一元二次方程
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 一元二次方程的概念 ☆ 一元二次方程在廣東中考屬于方程中較熱門(mén)的考查方向，單從知識(shí)角度看，幾乎年年不落，考題以選擇題及綜合性解答題為主，很少有進(jìn)行填空題形式的考查，實(shí)際應(yīng)用也較少進(jìn)行考查，此部分知識(shí)在考查上整體難度不大，但要熟練掌握一元二次方程的解法，這是作為應(yīng)對(duì)一些函數(shù)及幾何大題計(jì)算的一個(gè)必備技能；畢竟此部分知識(shí)主要還是跟其他知識(shí)綜合考查為主。
考點(diǎn)2 一元二次方程的解法 ☆☆☆
考點(diǎn)3 根的判別式數(shù) ☆☆
考點(diǎn)4 根與系數(shù)的關(guān)系 ☆☆
考點(diǎn)5 一元二次方程的應(yīng)用 ☆
考點(diǎn)1 一元二次方程的概念
1.一元二次方程定義：含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式，等式右邊是零，其中叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)。
考點(diǎn)2 一元二次方程的解法
1.直接開(kāi)平方法
利用平方根的定義直接開(kāi)平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開(kāi)平方法。直接開(kāi)平方法適用于解形如的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，是b的平方根，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)b<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。
2.配方法
配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅在解一元二次方程上有所應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。配方法的理論根據(jù)是完全平方公式，把公式中的a看做未知數(shù)x，并用x代替，則有。
3.公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程的求根公式：
4.因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)單易行，是解一元二次方程最常用的方法。 如，則。
考點(diǎn)3 根的判別式
1.根的判別式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來(lái)表示，即。
當(dāng)方程有2個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)方程無(wú)實(shí)數(shù)根；
考點(diǎn)4 一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系
1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么，。也就是說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商。
2.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的運(yùn)用：
（1）知道一元二次方程的一根，求另一根；
（2）不解方程，求關(guān)于一元二次方程的代數(shù)式的值，如：
①；
②；
③
考點(diǎn)5 一元二次方程的應(yīng)用
1.列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟：
（1）審題；（2）設(shè)未知數(shù)；（3）列方程；（4）解方程；（5）檢驗(yàn)；（6）作答.
2.常見(jiàn)的題型
（1）增長(zhǎng)率問(wèn)題：設(shè)a為原來(lái)的量，x為平均增長(zhǎng)率，n為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)后的量，則a（1+x）n=b；當(dāng)x為下降率時(shí)，則有a（1-x）n=b；
（2）面積問(wèn)題常見(jiàn)圖形：
（3）利潤(rùn)問(wèn)題；
（4）握手問(wèn)題.
考點(diǎn)1 一元二次方程的概念
◇例題
1．下列方程屬于一元二次方程的是（　　）
A．2x+1=0 B． C． D．
【答案】B
2．將方程化成一般形式后，二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是（　?。?br/>A．-3，3 B．-1，-3 C．1，3 D．1，-3
【答案】D
3．若方程是一元二次方程，當(dāng)m滿足條件　 　．
【答案】
【解析】∵方程是一元二次方程，
∴m-1≠0，
∴m≠1.
故答案為：m≠1。
【分析】根據(jù)一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，即可得出答案。
◆變式訓(xùn)練
4．一元二次方程 化成一般形式后，a，b，c 的值分別是 （　?。?br/>A．1，2，5 B．1，-2，-5 C．1，-2，5 D．1，2，-5
【答案】D
【解析】解：將一元二次方程x2+2x=5化成一般形式有：x2+2x-5=0，
故a=1，b=2，c=-5．
故答案為：D.
【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)，且a≠0），得出答案.
5．已知關(guān)于x的方程是一元二次方程，則（　?。?br/>A．a(chǎn)≠±1 B．a(chǎn)=1 C．a(chǎn)=-1 D．a(chǎn)=±1
【答案】C
6．把一元二次方程（x+1）（1-x）=2x化成二次項(xiàng)系數(shù)大于零的一般形式是　 　，其中二次項(xiàng)系數(shù)是　 　，一次項(xiàng)系數(shù)是　 　，常數(shù)項(xiàng)是　 　.
【答案】x2+2x-1=0；1；2；-1
【解析】解： （x+1）（1-x）=2x
去括號(hào)得：x-x2+1-x=2x，
移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得：x2+2x+-1=0，
二次項(xiàng)系數(shù)為：1，一次項(xiàng)系數(shù)為：2，常數(shù)項(xiàng)為：-1，
故答案為： x2+2x-1=0，1,2,-1 .
【分析】根據(jù)去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)即可求解，利用一元二次方程的定義即可求解.
考點(diǎn)2 一元二次方程的解法
◇例題
1．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可變形為（　?。?br/>A．（x+2）2=9 B．（x﹣2）2=9 C．（x+2）2=1 D．（x﹣2）2=1
【答案】A
【解析】【解答】解：x2+4x﹣5=0，
x2+4x=5，
x2+4x+22=5+22，
（x+2）2=9，
故選：A．
【分析】移項(xiàng)后配方，再根據(jù)完全平方公式求出即可．
2．關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一個(gè)根是﹣3，則它的另一個(gè)根是　 ?。?br/>【答案】1
【解析】解：∵ 一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一個(gè)根是﹣3 ，
∴將-3代入一元二次方程x2+mx﹣3＝0，可得：9-3m-3=0，
解出m=2，
∴故一元二次方程為：x2+2x﹣3＝0，
利用公式法求解：，
解得x1=-3，x2=1，
∴該方程的另一個(gè)根為1.
故答案為：1.
【分析】根據(jù)方程根的概念，由x=-3是一元二次方程 x2+mx﹣3＝0的解，可得x=-3滿足等式成立，可以將x=-3代入到一元二次方程中，這時(shí)可得只含有m的一元一次方程，通過(guò)求解含m的一元一次方程，可以得出m=2，得到一元二次方程為x2+2x﹣3＝0，再利用求根公式，求解一元二次方程的根，可得答案.
3．解方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）解：，
移項(xiàng)得，
開(kāi)方得，
∴，；
（2）解：，
移項(xiàng)得，
配方得，即，
開(kāi)方得，
∴，；
（3）解：，
移項(xiàng)得，
因式分解得，
∴或，
∴，；
（4）解：，
開(kāi)方得，
∴或，
∴，．
【解析】（1）根據(jù)直接開(kāi)平方法解一元二次方程。先移項(xiàng)，利用直接開(kāi)方法求解；
（2）利用配方法求解。配方法的一般步驟：移項(xiàng)，化二次項(xiàng)系數(shù)為1，配方，寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式，用直接開(kāi)平方法解方程；
（3）利用因式分解法求解可得。把方程右邊的項(xiàng)全部移到方程的左邊，再提公因式(x-1），分解因式后求解：
（4）利用直接開(kāi)方法求解可得．兩個(gè)數(shù)的平方相等，這兩個(gè)數(shù)相等或互為相反數(shù)。
◆變式訓(xùn)練
4．用配方法解方程時(shí)，原方程應(yīng)變形為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：
∴，
∴，即．
故答案為：D
【分析】利用配方法求解一元二次方程的計(jì)算方法求解即可。
5．若一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則這個(gè)直角三角形斜邊的長(zhǎng)是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
由公式法解一元二次方程可得，
根據(jù)勾股定理可得直角三角形斜邊的長(zhǎng)是，
故答案為：．
【分析】利用公式法求出方程的解，即得三角形的兩直角邊長(zhǎng)，再利用勾股定理求出斜邊長(zhǎng)即可.
6．解方程：
（1）； （2）； （3）.
【答案】（1）解：
∴，
解得：，；
（2）解：，
∵，，，
∴，
∴，
∴，；
（3）解：，
，
，
∴或，
∴，.
【分析】(1)先兩邊同除以2，使x2項(xiàng)系數(shù)化為1，利用開(kāi)平方法解一元二次方程即可；
(2)先將方程化為一般式，再利用求根公式法解一元二次方程即可；
(3)先移項(xiàng)，使右式等于0，然后利用因式分解法解一元二次方程即可.
考點(diǎn)3 根的判別式
◇例題
1．一元二次方程 的根的情況是（　　）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根
【答案】A
【解析】【解答】解： ， ， ，
，
一元二次方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
故答案為：A.
【分析】利用一元二次方程根的判別式，得出當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)△＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故確定a，b，c的值，代入判別式公式判斷出△的符號(hào)即可得出結(jié)論.
2．關(guān)于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（　　）
A．k≤﹣ B．k≤﹣ 且k≠0
C．k≥﹣ D．k≥﹣ 且k≠0
【答案】D
【解析】【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有實(shí)數(shù)根，
∴△=b2﹣4ac≥0，
即：9+4k≥0，
解得：k≥﹣ ，
∵關(guān)于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0中k≠0，
則k的取值范圍是k≥﹣ 且k≠0．
故選D．
【分析】根據(jù)方程根的情況可以判定其根的判別式的取值范圍，進(jìn)而可以得到關(guān)于k的不等式，解得即可，同時(shí)還應(yīng)注意二次項(xiàng)系數(shù)不能為0．
3．已知關(guān)于x的方程(k-1)x2-2x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）當(dāng)k取最大整數(shù)時(shí)，求此時(shí)方程的根．
【答案】（1）解：關(guān)于x的方程(k-1)x2-2x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
k-1≠0且b2-4ac=(-2)2-4(h-1)x1≥0，解得k≤2且k≠1．
（2）解：當(dāng)k=2時(shí)，方程為x2-2x+1=0，即(x-1)2=0，解得x1=x2=1．
◆變式訓(xùn)練
4．關(guān)于的一元二次方程的根的情況為（　?。?br/>A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．無(wú)實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定根的情況
【答案】A
【解析】【解答】解：在關(guān)于x的一元二次方程x2+(m-2)x-3=0中，a=1，b=m-2，c=-3，
∴△=b2-4ac=（m-2）2-4×1×（-3）=（m-2）2+12，
∵（m-2）2≥0，
∴（m-2）2+12＞0，
∴關(guān)于x的一元二次方程x2+(m-2)x-3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
故答案為：A.
【分析】對(duì)于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)，且a≠0）”中，當(dāng)b2-4ac＞0時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)b2-4ac=0時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)b2-4ac＜0時(shí)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；故算出方程根的判別式的值，進(jìn)而結(jié)合偶數(shù)次冪的非負(fù)性即可判斷得出答案.
5．已知一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為　 ?。?br/>【答案】9
【解析】【解答】解：根據(jù)題意得△，
解得．
故答案為：9．
【分析】利用一元二次方程根的判別式計(jì)算求解即可。
6．已知關(guān)于x的一元二次方程
（1）求證：不論k為何值時(shí)，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)方程的一個(gè)根為 時(shí)，求方程的另一個(gè)根x2及k的值．
【答案】（1）證明：，
，
不論k為何值時(shí)，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）解：將代入，得，
解得，
原方程為，
解得，．
考點(diǎn)4 一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系
◇例題
1．若，是方程的兩個(gè)根，則的值是（　　）
A． B．15 C． D．5
【答案】C
【解析】【解答】解：
故答案為：C.
【分析】根據(jù)一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系寫(xiě)出結(jié)果即可，
2．一元二次方程x2﹣2x=0的兩根分別為x1和x2，則x1x2為（　?。?br/>A．﹣2 B．1 C．2 D．0
【答案】D
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x=0的兩根分別為x1和x2，∴x1x2=0．
故答案為：D．
【分析】一元二次方程x2﹣2x=0種二次項(xiàng)系數(shù)a=1，b=-2，c=0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系x1x2=即可直接得出答案。
3．已知 是一元二次方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， 則 等于 （　?。?br/>A．0 B．4 C．8 D．10
【答案】A
4．若實(shí)數(shù)a，b分別滿足+3=0，且a≠b，則的值為　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：∵實(shí)數(shù)a、b分別滿足a2-4a+3=0，b2-4b+3=0，且a≠b，
∴a，b為關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+3=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
∴a+b=4，ab=3，
∴；
故答案為：.
【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出a+b=4，ab=3，將其代入中即可求解.
5．已知關(guān)于 的方程 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 .
（1） 求 的取值范圍.
（2） 若 ， 求 的值.
【答案】（1）m≤5
（2）4
◆變式訓(xùn)練
6．不解方程，求下列各方程的兩個(gè)根之和與兩個(gè)根之積：
（1）　 　， 　 　
（2）　 　 ， 　 　
【答案】（1）；
（2）；
7．設(shè) 是方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， 則
【答案】10
8．已知，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是（　?。?br/>A．4 B．1 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：x1，x2是一元二次方程x2+3x 1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2=-3，x22+3x2-1=0，即x22=-3x2+1，
∴x22+2x2 x1==-（-3）+1=4．
故答案為：A.
三、解答題
9．已知關(guān)于x的一元二次方程 =0有實(shí)數(shù)根.
（1）求實(shí)數(shù) k 的取值范圍.
（2）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為 x1，x2，若（x1+1）（x2+1）求k的值
【答案】（1）解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有實(shí)數(shù)根，
∴Δ=32-4×1×（k-2）≥0，
解得：；
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是：.
（2）解：∵方程x2+3x+k-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，
∴x1+x2=-3，x1x2=k-2，
∵（x1+1）（x2+1）=-1，
∴x1x2+（x1+x2）+1=-1，
∴k-2+（-3）+1=-1，
解得：k=3，
即k的值是3.
【分析】（1）利用根的判別式：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根進(jìn)行求解即可；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系：，求出x1+x2，x1x2的值，再結(jié)合條件進(jìn)行求解即可.
考點(diǎn)5 一元二次方程的應(yīng)用
◇例題
1．某服裝原價(jià)為200元，連續(xù)兩次漲價(jià)后，售價(jià)為338元，則平均每次的上漲率為（　　）
A．15% B．20% C．25% D．30%
【分析】設(shè)平均每次的上漲率為x，利用經(jīng)過(guò)兩次漲價(jià)后的價(jià)格＝原價(jià)×（1+平均每次的上漲率）2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)平均每次的上漲率為x，
根據(jù)題意得：200（1+x）2＝338，
解得：x1＝0.3，x2＝﹣2.3（不符合題意，舍去），
∴平均每次的上漲率為30%．
故選：D．
2．《田畝比類乘除捷法》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝的著作，其中有一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：“直田積八百六十四步，只云長(zhǎng)闊共六十步，問(wèn)長(zhǎng)多闊幾何”，意思是：一塊矩形田地的面積為864平方步，只知道它的長(zhǎng)與寬共60步，問(wèn)它的長(zhǎng)比寬多（　　）步？
A．15 B．12 C．20 D．6
【分析】設(shè)它的長(zhǎng)為x步，則寬為（60﹣x）步，根據(jù)“矩形田地的面積為864平方步”，列出一元二次方程，解之取其長(zhǎng)大于寬的值再相減即可．
【解答】解：設(shè)它的長(zhǎng)為x步，則寬為（60﹣x）步，
由題意得：x（60﹣x）＝864，
整理得：x2﹣60x+864＝0，
解得：x1＝36，x2＝24，
當(dāng)x＝36時(shí)，60﹣x＝60﹣36＝24；
當(dāng)x＝24時(shí)，60﹣x＝60﹣24＝36（不合題意，舍去）；
∴它的長(zhǎng)比寬多：36﹣24＝12（步），
故選：B．
3．實(shí)驗(yàn)學(xué)校舉行了2023年冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)籃球比賽，九年級(jí)共有m個(gè)班進(jìn)行了單循環(huán)比賽（每?jī)申?duì)之間只進(jìn)行一場(chǎng)比賽），單循環(huán)比賽共進(jìn)行了21場(chǎng)，則m的值為（　?。?br/>A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】利用比賽的總場(chǎng)數(shù)＝參賽隊(duì)伍數(shù)×（參賽隊(duì)伍數(shù)﹣1）÷2，可列出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．
【解答】解：根據(jù)題意得：m（m﹣1）＝21，
整理得：m2﹣m﹣42＝0，
解得：m1＝7，m2＝﹣6（不符合題意，舍去），
∴m的值為7．
故選：B．
4．新冠肺炎是一種傳染性極強(qiáng)的疾病，如果有一人患病，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后有64人患病，設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，下列列式正確的是（　?。?br/>A．x+x（1+x）＝64 B．1+x+x2＝64
C．（1+x）2＝64 D．x（1+x）＝64
【分析】由每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，可得出第一輪傳染中共x人被傳染，第二輪傳染中x（1+x）人被傳染，根據(jù)經(jīng)過(guò)兩輪傳染后有64人患病，即可得出關(guān)于x的一元二次方程．
【解答】解：∵每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，
∴第一輪傳染中有x人被傳染，第二輪傳染中有x（1+x）人被傳染．
依題意得：1+x+x（1+x）＝64，即（1+x）2＝64，
故選：C．
5．3個(gè)朋友在一起，每?jī)扇宋找淮问郑麄円还参樟?次手；4個(gè)朋友在一起，每?jī)扇宋找淮问?，他們一共握?次手；10個(gè)朋友在一起，每?jī)扇宋找淮问郑麄円还参樟耍ā　。┐问郑?br/>A．43 B．44 C．45 D．46
【分析】利用握手的次數(shù)＝人數(shù)×（人數(shù)﹣1）÷2，即可求出結(jié)論．
【解答】解：根據(jù)題意得：×10×（10﹣1）
＝×10×9
＝45（次），
∴他們一共握了45次手．
故選：C．
6．第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日在中國(guó)杭州舉行，某商場(chǎng)在銷(xiāo)售亞運(yùn)會(huì)吉祥物徽章時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每套徽章盈利40元時(shí)，則每天可售出20套．為了喜迎亞運(yùn)會(huì)，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施回饋大眾．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果銷(xiāo)售單價(jià)每降價(jià)1元，該商店平均每天將多銷(xiāo)售2套．商場(chǎng)為了盡快減少庫(kù)存，每套吉祥物徽章降價(jià)多少元時(shí)，該商場(chǎng)銷(xiāo)售吉祥物徽章的日盈利可達(dá)到1200元？
【分析】設(shè)每套吉祥物徽章降價(jià)x元時(shí)，商場(chǎng)銷(xiāo)售吉祥物徽章日盈利可達(dá)到1200元，根據(jù)盈利＝每件盈利×銷(xiāo)售量，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．
【解答】解：設(shè)每套吉祥物徽章降價(jià)x元時(shí)，商場(chǎng)銷(xiāo)售吉祥物徽章日盈利可達(dá)到1200元，
根據(jù)題意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
解得：x1＝20，x2＝10（不符合題意，舍去），
答：每套吉祥物徽章降價(jià)20元時(shí)，商場(chǎng)銷(xiāo)售吉祥物徽章日盈利可達(dá)到1200元．
7．鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略是在黨的十九大報(bào)告中提出的戰(zhàn)略，小慶家為發(fā)展鄉(xiāng)土特產(chǎn)“杏花雞”，計(jì)劃在農(nóng)場(chǎng)中用籬笆圍一個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)．如圖，利用一面長(zhǎng)為20m的墻，用籬笆圍一個(gè)面積為250m2的矩形養(yǎng)雞場(chǎng)ABCD，設(shè)AB的長(zhǎng)為x m，BC的長(zhǎng)為y m．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（包括自變量x的取值范圍）；
（2）如果籬笆的總長(zhǎng)為60m，求出BC的長(zhǎng)．
【分析】（1）由題意知，xy＝250，則，由x＞0，y≤20，可求x≥12.5，然后作答即可；
（2）當(dāng)籬笆的總長(zhǎng)為60m時(shí)，則2x+y＝60，依題意得，xy＝x（60﹣2x）＝250，解得，x1＝5，x2＝25，然后計(jì)算求出滿足要求的y值即可．
【解答】解：（1）由題意知，xy＝250，
∴．
∵x＞0，y≤20，
∴，
解得x≥12.5，
∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為．
（2）當(dāng)籬笆的總長(zhǎng)為60m時(shí)，
∴2x+y＝60，
依題意得，xy＝x（60﹣2x）＝250，整理得（x﹣5）（x﹣25）＝0，
解得x1＝5，x2＝25．
當(dāng)x1＝5時(shí)，（不符合題意，舍去）；
當(dāng)x2＝25時(shí)，（符合題意）．
∴BC的長(zhǎng)為10m．
◆變式訓(xùn)練
8．如圖是一張長(zhǎng)8cm、寬5cm的矩形紙板，將紙板四個(gè)角各剪去一個(gè)同樣的正方形，可制成底面積是18cm2的一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒，設(shè)剪去的正方形邊長(zhǎng)為xcm，那么x滿足的方程是（　　）
A．40﹣4x2＝18 B．（8﹣2x）（5﹣2x）＝18
C．40﹣2（8x+5x）＝18 D．（8﹣2x）（5﹣2x）＝9
【分析】由于剪去的正方形邊長(zhǎng)為xcm，那么長(zhǎng)方體紙盒的底面的長(zhǎng)為（8﹣2x），寬為（5﹣2x），然后根據(jù)底面積是18cm2即可列出方程．
【解答】解：設(shè)剪去的正方形邊長(zhǎng)為xcm，
依題意得（8﹣2x） （5﹣2x）＝18，
故選：B．
9．習(xí)近平總書(shū)記說(shuō)：“讀書(shū)可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣．”某校為響應(yīng)我市全民閱讀活動(dòng)，利用節(jié)假日面向社會(huì)開(kāi)放學(xué)校圖書(shū)館．據(jù)統(tǒng)計(jì)，第一個(gè)月進(jìn)館125人次，進(jìn)館人次逐月增加，第三個(gè)月進(jìn)館405人次，若進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率相同．進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率是 　　．
【分析】設(shè)進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率是x，根據(jù)第一個(gè)月及第三個(gè)月的進(jìn)館人次數(shù)，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率為x，由題意得：
125（1+x）2＝405，
解得：x＝0.8＝80%或x＝﹣2.8（不合題意，舍去），
∴進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率為80%．
故答案為：80%．
10．為建設(shè)宜居宜業(yè)美麗鄉(xiāng)村，某縣2021年投入資金1000萬(wàn)元，2023年投入資金1440萬(wàn)元，現(xiàn)假定2021年到2023年每年投入資金的增長(zhǎng)率相同．
（1）求該縣投入資金的年平均增長(zhǎng)率；
（2）按照這個(gè)增長(zhǎng)率，預(yù)計(jì)該縣2024年投入資金為多少萬(wàn)元？
【分析】（1）設(shè)該縣投入資金的年平均增長(zhǎng)率為x，利用2023年投入資金＝2021年投入資金×（1+年平均增長(zhǎng)率）2，即可得出x的關(guān)于一元二次方程，解之取正值即可；
（2）根據(jù)（1）中求出的年平均增長(zhǎng)率，根據(jù)2024年投入資金＝2023年投入資金×（1+年平均增長(zhǎng)率）即可求解．
【解答】解：（1）設(shè)該縣投入資金的年平均增長(zhǎng)率為x，
依題得：1000（1+x）2＝1440，
解得x1＝20%，x2＝﹣220%（不合題意，舍去），
故該縣投入資金的年平均增長(zhǎng)率為20%．
（2）由（1）得：該縣投入資金的年平均增長(zhǎng)率為20%，
∵2023年投入資金1440萬(wàn)元，增長(zhǎng)率保持不變，
∴預(yù)計(jì)該縣2024年投入資金為1440×（1+20%）＝1728（萬(wàn)元）．
答：該縣2024年投入資金為1728萬(wàn)元．
11．甲商品的進(jìn)價(jià)為每件20元，商場(chǎng)確定其售價(jià)為每件40元．乙商品的進(jìn)價(jià)為15元，商場(chǎng)確定其售價(jià)為每件30元．
（1）若現(xiàn)在需進(jìn)行降價(jià)促銷(xiāo)活動(dòng)，預(yù)備從原來(lái)的每件40元進(jìn)行兩次調(diào)價(jià)，已知該商品現(xiàn)價(jià)為每件32.4元．若該商品兩次調(diào)價(jià)的降價(jià)率相同，求這個(gè)降價(jià)率；
（2）若現(xiàn)在有學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲乙兩種商品共30件，預(yù)算為1110元，且甲商品數(shù)量不少于乙商品的兩倍，有幾種購(gòu)買(mǎi)方案？
【分析】（1）設(shè)這個(gè)降價(jià)率為x，利用經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后的價(jià)格＝原價(jià)×（1﹣該商品兩次調(diào)價(jià)的降價(jià)率）2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲商品y件，則購(gòu)進(jìn)乙商品（30﹣y）件，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合“學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲乙兩種商品的預(yù)算為1110元，且購(gòu)進(jìn)甲商品數(shù)量不少于乙商品的兩倍”，可列出關(guān)于y的一元一次不等式組，解之可得出y的取值范圍，再結(jié)合y為正整數(shù)，即可得出各購(gòu)買(mǎi)方案．
【解答】解：（1）設(shè)這個(gè)降價(jià)率為x，
根據(jù)題意得：40（1﹣x）2＝32.4，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合題意，舍去）．
答：這個(gè)降價(jià)率為10%；
（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲商品y件，則購(gòu)進(jìn)乙商品（30﹣y）件，
根據(jù)題意得：，
解得：20≤y≤21，
又∵y為正整數(shù)，
∴y可以為20，21，
∴該學(xué)校共有2種購(gòu)買(mǎi)方案，
方案1：購(gòu)進(jìn)甲商品20件，乙商品10件；
方案2：購(gòu)進(jìn)甲商品21件，乙商品9件．
1．（2020 廣州）直線y＝x+a不經(jīng)過(guò)第二象限，則關(guān)于x的方程ax2+2x+1＝0實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是（　　）
A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)或2個(gè)
【分析】利用一次函數(shù)的性質(zhì)得到a≤0，再判斷Δ＝22﹣4a＞0，從而得到方程根的情況．
【解答】解：∵直線y＝x+a不經(jīng)過(guò)第二象限，
∴a≤0，
當(dāng)a＝0時(shí)，關(guān)于x的方程ax2+2x+1＝0是一元一次方程，解為x＝﹣，
當(dāng)a＜0時(shí)，關(guān)于x的方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程，
∵Δ＝22﹣4a＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：D．
2．（2023 廣州）已知關(guān)于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的化簡(jiǎn)結(jié)果是（　?。?br/>A．﹣1 B．1 C．﹣1﹣2k D．2k﹣3
【分析】首先根據(jù)關(guān)于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，得判別式Δ＝[﹣（2k﹣2）]2﹣4×1×（k2﹣1）≥0，由此可得k≤1，據(jù)此可對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)．
【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴判別式Δ＝[﹣（2k﹣2）]2﹣4×1×（k2﹣1）≥0，
整理得：﹣8k+8≥0，
∴k≤1，
∴k﹣1≤0，2﹣k＞0，
∴
＝﹣（k﹣1）﹣（2﹣k）
＝﹣1．
故選：A．
3．（2019 廣東）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　）
A．x1≠x2 B．﹣2x1＝0
C．x1+x2＝2 D．x1 x2＝2
【分析】由根的判別式Δ＝4＞0，可得出x1≠x2，選項(xiàng)A不符合題意；將x1代入一元二次方程x2﹣2x＝0中可得出﹣2x1＝0，選項(xiàng)B不符合題意；利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得出x1+x2＝2，x1 x2＝0，進(jìn)而可得出選項(xiàng)C不符合題意，選項(xiàng)D符合題意．
【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，
∴x1≠x2，選項(xiàng)A不符合題意；
∵x1是一元二次方程x2﹣2x＝0的實(shí)數(shù)根，
∴﹣2x1＝0，選項(xiàng)B不符合題意；
∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2＝2，x1 x2＝0，選項(xiàng)C不符合題意，選項(xiàng)D符合題意．
故選：D．
4．（2019 廣州）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，則k的值（　?。?br/>A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2
【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2，結(jié)合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3可求出k的值，再將k值分別代入原方程，取使得原方程有實(shí)數(shù)根的k值即可．
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，
∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2．
∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，即（x1+x2）2﹣2x1x2﹣4＝﹣3，
∴（k﹣1）2+2k﹣4﹣4＝﹣3，
解得：k＝±2．
當(dāng)k＝2時(shí)，原方程為x2﹣x＝0，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×0＝1＞0，
∴該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，k＝2符合題意；
當(dāng)k＝﹣2時(shí)，原方程為x2+3x+4＝0，
∴Δ＝32﹣4×1×4＝﹣7＜0，
∴該方程無(wú)解，k＝﹣2不合題意，舍去．
∴k＝2．
故選：D．
5．（2021 廣州）方程x2﹣4x＝0的實(shí)數(shù)解是 　 ?。?br/>【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程x2﹣4x＝0，
分解因式得：x（x﹣4）＝0，
可得x＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝0，x2＝4．
故答案為：x1＝0，x2＝4．
6．（2022 廣東）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，則a＝　 ?。?br/>【分析】把x＝1代入方程x2﹣2x+a＝0中，計(jì)算即可得出答案．
【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣2x+a＝0中，
得1﹣2+a＝0，
解得a＝1．
故答案為：1．
7．（2021 深圳）已知方程x2+mx﹣3＝0的一個(gè)根是1，則m的值為 　 　．
【分析】根據(jù)一元二次方程的解把x＝1代入一元二次方程得到關(guān)于m的一次方程，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x＝1代入x2+mx﹣3＝0得12+m﹣3＝0，
解得m＝2．
故答案為：2．
8．（2022 深圳）已知一元二次方程x2+6x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為 　9?。?br/>【分析】根據(jù)根的判別式的意義得到Δ＝62﹣4m＝0，然后解關(guān)于m的方程即可．
【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝62﹣4m＝0，
解得m＝9．
故答案為：9．
9．（2021 廣東）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c為常數(shù)）的兩根x1，x2滿足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，則符合條件的一個(gè)方程為 　 　．
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解決問(wèn)題即可，注意答案不唯一．
【解答】解：∵若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c為常數(shù)）的兩根x1，x2滿足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，
∴滿足條件的方程可以為：x2﹣2＝0（答案不唯一），
故答案為：x2﹣2＝0（答案不唯一）．
10．（2023 廣州）解方程：x2﹣6x+5＝0．
【分析】先分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：分解因式得：（x﹣1）（x﹣5）＝0，
x﹣1＝0，x﹣5＝0，
x1＝1，x2＝5．
11．（2022 廣州）已知T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2．
（1）化簡(jiǎn)T；
（2）若關(guān)于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求T的值．
【分析】（1）根據(jù)完全平方公式和平方差公式化簡(jiǎn)T；
（2）根據(jù)根的判別式可求a2+ab，再代入計(jì)算可求T的值．
【解答】解：（1）T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2
＝a2+6ab+9b2+4a2﹣9b2+a2
＝6a2+6ab；
（2）∵關(guān)于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝（2a）2﹣4（﹣ab+1）＝0，
∴a2+ab＝1，
∴T＝6×1＝6．
12．（2020 廣東）已知關(guān)于x，y的方程組與的解相同．
（1）求a，b的值；
（2）若一個(gè)三角形的一條邊的長(zhǎng)為2，另外兩條邊的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2+ax+b＝0的解．試判斷該三角形的形狀，并說(shuō)明理由．
【分析】（1）關(guān)于x，y的方程組與的解相同．實(shí)際就是方程組的解，可求出方程組的解，進(jìn)而確定a、b的值；
（2）將a、b的值代入關(guān)于x的方程x2+ax+b＝0，求出方程的解，再根據(jù)方程的兩個(gè)解與2為邊長(zhǎng)，判斷三角形的形狀．
【解答】解：（1）由題意得，關(guān)于x，y的方程組的相同解，就是方程組的解，
解得，，代入原方程組得，a＝﹣4，b＝12；
（2）該三角形是等腰直角三角形，理由如下：
當(dāng)a＝﹣4，b＝12時(shí)，關(guān)于x的方程x2+ax+b＝0就變?yōu)閤2﹣4x+12＝0，
解得，x1＝x2＝2，
又∵（2）2+（2）2＝（2）2，
∴以2、2、2為邊的三角形是等腰直角三角形．
13．（2019 廣州）隨著粵港澳大灣區(qū)建設(shè)的加速推進(jìn)，廣東省正加速布局以5G等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，目前廣東5G基站的數(shù)量約1.5萬(wàn)座，計(jì)劃到2020年底，全省5G基站數(shù)是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站數(shù)量將達(dá)到17.34萬(wàn)座．
（1）計(jì)劃到2020年底，全省5G基站的數(shù)量是多少萬(wàn)座？
（2）按照計(jì)劃，求2020年底到2022年底，全省5G基站數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率．
【分析】（1）2020年全省5G基站的數(shù)量＝目前廣東5G基站的數(shù)量×4，即可求出結(jié)論；
（2）設(shè)2020年底到2022年底，全省5G基站數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)2020年底及2022年底全省5G基站數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）1.5×4＝6（萬(wàn)座）．
答：計(jì)劃到2020年底，全省5G基站的數(shù)量是6萬(wàn)座．
（2）設(shè)2020年底到2022年底，全省5G基站數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率為x，
依題意，得：6（1+x）2＝17.34，
解得：x1＝0.7＝70%，x2＝﹣2.7（舍去）．
答：2020年底到2022年底，全省5G基站數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率為70%．
1．（2024 深圳模擬）用配方法解方程x2+2x＝3時(shí)，配方后正確的是（　?。?br/>A．（x+2）2＝7 B．（x+2）2＝5 C．（x+1）2＝4 D．（x+1）2＝2
【分析】方程左右兩邊都加上1，左邊化為完全平方式，右邊合并即可得到結(jié)果．
【解答】解：x2+2x＝3，
兩邊同時(shí)加1，得：x2+2x+1＝3+1，即（x+1）2＝4．
故選：C．
2．（2024 深圳模擬）已知x＝1是關(guān)于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一個(gè)根，則k的值為（　　）
A．﹣5 B．﹣7 C．5 D．7
【分析】先根據(jù)一元二次方程解的定義，把x＝1代入關(guān)于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0得關(guān)于k的方程，解方程即可．
【解答】解：把x＝1代入關(guān)于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0得：
1+k﹣6＝0，
k＝5，
故選：C．
3．（2023 天河區(qū)模擬）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0的根的情況是（　　）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根
D．不能確定
【分析】先計(jì)算根的判別式，再確定根的判別式與0的關(guān)系，最后得結(jié)論．
【解答】解：Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）
＝m2+4
∵m2≥0，
∴Δ＝m2+4＞0．
∴關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：A．
4．（2024 深圳模擬）據(jù)報(bào)道，2020年至2022年深圳市居民年人均可支配收入由6.49萬(wàn)元增長(zhǎng)至7.27萬(wàn)元，設(shè)這兩年人均可支配收入的年平均增長(zhǎng)率為x，可列方程為（　?。?br/>A．6.49（1+x）2＝7.27 B．6.49（1+2x）＝7.27
C．6.49（1+x2）＝7.27 D．7.27（1﹣x）2＝6.49
【分析】根據(jù)2020年的人均可支配收入×（1+年平均增長(zhǎng)率）＝2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．
【解答】解：設(shè)這兩年人均可支配收入的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得，
6.49（1+x）2＝7.27，
故選：A．
5．（2023 惠城區(qū)模擬）已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣2022＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式m2+4m+2n的值等于（　?。?br/>A．2024 B．2022 C．2020 D．2018
【分析】根據(jù)題意可得m2+2m﹣2022＝0，m+n＝﹣2，變形后代入代數(shù)式即可．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+2x﹣2022＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴m2+2m﹣2022＝0，m+n＝﹣2，
∴m2＝2022﹣2m，
∴m2+4m+2n＝2022﹣2m+4m+2n
＝2022+2m+2n
＝2022+2（m+n）
＝2022﹣4
＝2018，
故選：D．
6．（2023 海珠區(qū)一模）若關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣ax+a2＝0的一個(gè)根為1．則a＝　﹣1?。?br/>【分析】根據(jù)題意把x＝1代入方程（a﹣1）x2﹣ax+a2＝1中，可得a＝±1，然后根據(jù)一元二次方程的定義可得a≠1，即可解答．
【解答】解：把x＝1代入（a﹣1）x2﹣ax+a2＝0中，得
a2＝1，
∴a＝±1，
由題意得：
a﹣1≠0，
∴a≠1，
∴a＝﹣1，
故答案為：﹣1．
7．（2023 中山市模擬）關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是　 ?。?br/>【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和△的意義得到k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×1＞0，然后解不等式即可得到k的取值范圍．
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×1＞0，
解得k＜1且k≠0．
∴k的取值范圍為k＜1且k≠0．
故答案為：k＜1且k≠0．
8．（2022 海珠區(qū)二模）有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有169人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了 　　人．
【分析】設(shè)平均一人傳染了x人，根據(jù)有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有169人患了流感，列方程求解．
【解答】解：設(shè)平均一人傳染了x人，
x+1+（x+1）x＝169
x＝12或x＝﹣14（舍去）．
平均一人傳染12人．
故答案為：12．
9．（2023 陽(yáng)山縣二模）已知方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個(gè)根分別為x1x2，則x1+x2﹣x1 x2的值為 　?。?br/>【分析】先利用根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，然后利用整體代入的方法計(jì)算．
【解答】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，
所以x1+x2﹣x1 x2＝2﹣（﹣3）＝5．
故答案為：5．
10．（2023 汕頭二模）解方程：x2﹣6x﹣7＝0．
【分析】觀察原方程，可運(yùn)用二次三項(xiàng)式的因式分解法進(jìn)行求解．
【解答】解：原方程可化為：（x﹣7）（x+1）＝0，
x﹣7＝0或x+1＝0；
解得：x1＝7，x2＝﹣1．
11．（2023 深圳模擬）解方程：x2﹣4x﹣12＝0．
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：（x﹣6）（x+2）＝0，
x﹣6＝0或x+2＝0，
所以x1＝6，x2＝﹣2．
12．（2023 開(kāi)平市二模）已知關(guān)于x的方程x2+（3k﹣2）x﹣6k＝0，
（1）求證：無(wú)論k取何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）若等腰三角形ABC的一邊a＝6，另兩邊長(zhǎng)b，c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長(zhǎng)．
【分析】（1）計(jì)算方程的根的判別式，若Δ＝b2﹣4ac≥0，則證明方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）已知a＝6，則a可能是底，也可能是腰，分兩種情況求得b，c的值后，再求出△ABC的周長(zhǎng)．注意兩種情況都要用三角形三邊關(guān)系定理進(jìn)行檢驗(yàn)．
【解答】（1）證明：∵Δ＝b2﹣4ac＝（3k﹣2）2﹣4 （﹣6k）＝9k2﹣12k+4+24k＝9k2+12k+4＝（3k+2）2≥0
∴無(wú)論k取何值，方程總有實(shí)數(shù)根．
（2）解：①若a＝6為底邊，則b，c為腰長(zhǎng)，則b＝c，則Δ＝0．
∴（3k+2）2＝0，解得：k＝﹣．
此時(shí)原方程化為x2﹣4x+4＝0
∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2．
此時(shí)△ABC三邊為6，2，2不能構(gòu)成三角形，故舍去；
②若a＝6為腰，則b，c中一邊為腰，不妨設(shè)b＝a＝6
代入方程：62+6（3k﹣2）﹣6k＝0
∴k＝﹣2
則原方程化為x2﹣8x+12＝0
（x﹣2）（x﹣6）＝0
∴x1＝2，x2＝6
即b＝6，c＝2
此時(shí)△ABC三邊為6，6，2能構(gòu)成三角形，
綜上所述：△ABC三邊為6，6，2．
∴周長(zhǎng)為6+6+2＝14．
13．（2023 蓬江區(qū)一模）為幫助人民應(yīng)對(duì)疫情，某藥廠下調(diào)藥品的價(jià)格某種藥品經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后，由每盒200元下調(diào)至128元，已知每次下降的百分率相同．求這種藥品每次降價(jià)的百分率是多少？
【分析】設(shè)這種藥品平均每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)該藥品的原價(jià)及經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后的價(jià)格，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：設(shè)這種藥品平均每次降價(jià)的百分率為x，
依題意，得：200（1﹣x）2＝128．
解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合題意，舍去）．
答：這種藥品每次降價(jià)的百分率是20%．
14．（2024 深圳模擬）某品牌畫(huà)冊(cè)每本成本為40元，當(dāng)售價(jià)為60元時(shí)，平均每天的銷(xiāo)售量為100本．為了吸引消費(fèi)者，商家決定采取降價(jià)措施．經(jīng)試銷(xiāo)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，如果畫(huà)冊(cè)售價(jià)每降低1元時(shí)，那么平均每天就能多售出10本．設(shè)這種畫(huà)冊(cè)每本降價(jià)x元．
（1）平均每天的銷(xiāo)售量為 　 本（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）商家想要使這種畫(huà)冊(cè)的銷(xiāo)售利潤(rùn)平均每天達(dá)到2240元，且要求每本售價(jià)不低于55元，求每本畫(huà)冊(cè)應(yīng)降價(jià)多少元？
【分析】（1）由題意即可求出結(jié)論；
（2）根據(jù)公式“每件的銷(xiāo)售利潤(rùn)×每天的銷(xiāo)售數(shù)量＝銷(xiāo)售利潤(rùn)”，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）由題意可知，每天的銷(xiāo)售量為（100+10x）本．
故答案為：（100+10x）．
（2）由題意可得，
（60﹣40﹣x）（100+10x）＝2240，
整理得x2﹣10x+24＝0，
解得x1＝4，x2＝6，
∵要求每本售價(jià)不低于55元，
∴x＝4符合題意．
故每本畫(huà)冊(cè)應(yīng)降價(jià)4元．
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第二章 方程（組）與不等式（組）
第五節(jié) 一元二次方程
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 一元二次方程的概念 ☆ 一元二次方程在廣東中考屬于方程中較熱門(mén)的考查方向，單從知識(shí)角度看，幾乎年年不落，考題以選擇題及綜合性解答題為主，很少有進(jìn)行填空題形式的考查，實(shí)際應(yīng)用也較少進(jìn)行考查，此部分知識(shí)在考查上整體難度不大，但要熟練掌握一元二次方程的解法，這是作為應(yīng)對(duì)一些函數(shù)及幾何大題計(jì)算的一個(gè)必備技能；畢竟此部分知識(shí)主要還是跟其他知識(shí)綜合考查為主。
考點(diǎn)2 一元二次方程的解法 ☆☆☆
考點(diǎn)3 根的判別式數(shù) ☆☆
考點(diǎn)4 根與系數(shù)的關(guān)系 ☆☆
考點(diǎn)5 一元二次方程的應(yīng)用 ☆
考點(diǎn)1 一元二次方程的概念
1.一元二次方程定義：含有_____未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是_____的整式方程叫做一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式，等式右邊是零，其中叫做_____項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)_____；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做_____。
考點(diǎn)2 一元二次方程的解法
1.直接開(kāi)平方法
利用_____的定義直接開(kāi)平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開(kāi)平方法。直接開(kāi)平方法適用于解形如的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，是b的平方根，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)b<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。
2.配方法
配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅在解一元二次方程上有所應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。配方法的理論根據(jù)是完全平方公式，把公式中的a看做未知數(shù)x，并用x代替，則有。
3.公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程的求根公式：
4.因式分解法
因式分解法就是利用_____的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)單易行，是解一元二次方程最常用的方法。 如，則。
考點(diǎn)3 根的判別式
1.根的判別式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來(lái)表示，即。
當(dāng)方程有_____的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)方程有_____的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)方程_____實(shí)數(shù)根；
考點(diǎn)4 一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系
1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么，。也就是說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之_____等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之_____等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商。
2.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的運(yùn)用：
（1）知道一元二次方程的一根，求另一根；
（2）不解方程，求關(guān)于一元二次方程的代數(shù)式的值，如：
①；②；③
考點(diǎn)5 一元二次方程的應(yīng)用
1.列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟：
（1）題；（2）未知數(shù)；（3）方程；（4）方程；（5）檢；（6）作.
2.常見(jiàn)的題型
（1）_____問(wèn)題：設(shè)a為原來(lái)的量，x為平均增長(zhǎng)率，n為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)后的量，則a（1+x）n=b；當(dāng)x為下降率時(shí)，則有a（1-x）n=b；
（2）_____問(wèn)題常見(jiàn)圖形：
（3）_____問(wèn)題；
（4）_____問(wèn)題.
考點(diǎn)1 一元二次方程的概念
◇例題
1．下列方程屬于一元二次方程的是（　?。?br/>A．2x+1=0 B． C． D．
2．將方程化成一般形式后，二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是（　　）
A．-3，3 B．-1，-3 C．1，3 D．1，-3
3．若方程是一元二次方程，當(dāng)m滿足條件　 ?。?br/>◆變式訓(xùn)練
4．一元二次方程 化成一般形式后，a，b，c 的值分別是 （　?。?br/>A．1，2，5 B．1，-2，-5 C．1，-2，5 D．1，2，-5
5．已知關(guān)于x的方程是一元二次方程，則（　?。?br/>A．a(chǎn)≠±1 B．a(chǎn)=1 C．a(chǎn)=-1 D．a(chǎn)=±1
6．把一元二次方程（x+1）（1-x）=2x化成二次項(xiàng)系數(shù)大于零的一般形式是　 　，其中二次項(xiàng)系數(shù)是　 　，一次項(xiàng)系數(shù)是　 　，常數(shù)項(xiàng)是　 　.
考點(diǎn)2 一元二次方程的解法
◇例題
1．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可變形為（　?。?br/>A．（x+2）2=9 B．（x﹣2）2=9 C．（x+2）2=1 D．（x﹣2）2=1
2．關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一個(gè)根是﹣3，則它的另一個(gè)根是　 ?。?br/>3．解方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
◆變式訓(xùn)練
4．用配方法解方程時(shí)，原方程應(yīng)變形為（　?。?br/>A． B． C． D．
5．若一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則這個(gè)直角三角形斜邊的長(zhǎng)是　 　．
6．解方程：（1）； （2）； （3）.
考點(diǎn)3 根的判別式
◇例題
1．一元二次方程 的根的情況是（　?。?br/>A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根
2．關(guān)于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（　　）
A．k≤﹣ B．k≤﹣ 且k≠0
C．k≥﹣ D．k≥﹣ 且k≠0
3．已知關(guān)于x的方程(k-1)x2-2x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）當(dāng)k取最大整數(shù)時(shí)，求此時(shí)方程的根．
◆變式訓(xùn)練
4．關(guān)于的一元二次方程的根的情況為（　?。?br/>A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．無(wú)實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定根的情況
5．已知一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為　 ?。?br/>6．已知關(guān)于x的一元二次方程
（1）求證：不論k為何值時(shí)，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)方程的一個(gè)根為 時(shí)，求方程的另一個(gè)根x2及k的值．
考點(diǎn)4 一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系
◇例題
1．若，是方程的兩個(gè)根，則的值是（　?。?br/>A． B．15 C． D．5
2．一元二次方程x2﹣2x=0的兩根分別為x1和x2，則x1x2為（　?。?br/>A．﹣2 B．1 C．2 D．0
3．已知 是一元二次方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， 則 等于 （　?。?br/>A．0 B．4 C．8 D．10
4．若實(shí)數(shù)a，b分別滿足+3=0，且a≠b，則的值為　 　.
5．已知關(guān)于 的方程 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 .
（1） 求 的取值范圍.
（2） 若 ， 求 的值.
◆變式訓(xùn)練
6．不解方程，求下列各方程的兩個(gè)根之和與兩個(gè)根之積：
（1）　 　， 　 　
（2）　 　 ， 　 　
7．設(shè) 是方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， 則
8．已知，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是（　?。?br/>A．4 B．1 C． D．
三、解答題
9．已知關(guān)于x的一元二次方程 =0有實(shí)數(shù)根.
（1）求實(shí)數(shù) k 的取值范圍.
（2）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為 x1，x2，若（x1+1）（x2+1）求k的值
考點(diǎn)5 一元二次方程的應(yīng)用
◇例題
1．某服裝原價(jià)為200元，連續(xù)兩次漲價(jià)后，售價(jià)為338元，則平均每次的上漲率為（　　）
A．15% B．20% C．25% D．30%
2．《田畝比類乘除捷法》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝的著作，其中有一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：“直田積八百六十四步，只云長(zhǎng)闊共六十步，問(wèn)長(zhǎng)多闊幾何”，意思是：一塊矩形田地的面積為864平方步，只知道它的長(zhǎng)與寬共60步，問(wèn)它的長(zhǎng)比寬多（　?。┎剑?br/>A．15 B．12 C．20 D．6
3．實(shí)驗(yàn)學(xué)校舉行了2023年冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)籃球比賽，九年級(jí)共有m個(gè)班進(jìn)行了單循環(huán)比賽（每?jī)申?duì)之間只進(jìn)行一場(chǎng)比賽），單循環(huán)比賽共進(jìn)行了21場(chǎng)，則m的值為（　?。?br/>A．6 B．7 C．8 D．9
4．新冠肺炎是一種傳染性極強(qiáng)的疾病，如果有一人患病，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后有64人患病，設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，下列列式正確的是（　?。?br/>A．x+x（1+x）＝64 B．1+x+x2＝64
C．（1+x）2＝64 D．x（1+x）＝64
5．3個(gè)朋友在一起，每?jī)扇宋找淮问?，他們一共握?次手；4個(gè)朋友在一起，每?jī)扇宋找淮问?，他們一共握?次手；10個(gè)朋友在一起，每?jī)扇宋找淮问?，他們一共握了（　　）次手?br/>A．43 B．44 C．45 D．46
6．第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日在中國(guó)杭州舉行，某商場(chǎng)在銷(xiāo)售亞運(yùn)會(huì)吉祥物徽章時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每套徽章盈利40元時(shí)，則每天可售出20套．為了喜迎亞運(yùn)會(huì)，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施回饋大眾．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果銷(xiāo)售單價(jià)每降價(jià)1元，該商店平均每天將多銷(xiāo)售2套．商場(chǎng)為了盡快減少庫(kù)存，每套吉祥物徽章降價(jià)多少元時(shí)，該商場(chǎng)銷(xiāo)售吉祥物徽章的日盈利可達(dá)到1200元？
7．鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略是在黨的十九大報(bào)告中提出的戰(zhàn)略，小慶家為發(fā)展鄉(xiāng)土特產(chǎn)“杏花雞”，計(jì)劃在農(nóng)場(chǎng)中用籬笆圍一個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)．如圖，利用一面長(zhǎng)為20m的墻，用籬笆圍一個(gè)面積為250m2的矩形養(yǎng)雞場(chǎng)ABCD，設(shè)AB的長(zhǎng)為x m，BC的長(zhǎng)為y m．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（包括自變量x的取值范圍）；
（2）如果籬笆的總長(zhǎng)為60m，求出BC的長(zhǎng)．
◆變式訓(xùn)練
8．如圖是一張長(zhǎng)8cm、寬5cm的矩形紙板，將紙板四個(gè)角各剪去一個(gè)同樣的正方形，可制成底面積是18cm2的一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒，設(shè)剪去的正方形邊長(zhǎng)為xcm，那么x滿足的方程是（　　）
A．40﹣4x2＝18 B．（8﹣2x）（5﹣2x）＝18
C．40﹣2（8x+5x）＝18 D．（8﹣2x）（5﹣2x）＝9
9．習(xí)近平總書(shū)記說(shuō)：“讀書(shū)可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣．”某校為響應(yīng)我市全民閱讀活動(dòng)，利用節(jié)假日面向社會(huì)開(kāi)放學(xué)校圖書(shū)館．據(jù)統(tǒng)計(jì)，第一個(gè)月進(jìn)館125人次，進(jìn)館人次逐月增加，第三個(gè)月進(jìn)館405人次，若進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率相同．進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率是 　　．
10．為建設(shè)宜居宜業(yè)美麗鄉(xiāng)村，某縣2021年投入資金1000萬(wàn)元，2023年投入資金1440萬(wàn)元，現(xiàn)假定2021年到2023年每年投入資金的增長(zhǎng)率相同．
（1）求該縣投入資金的年平均增長(zhǎng)率；
（2）按照這個(gè)增長(zhǎng)率，預(yù)計(jì)該縣2024年投入資金為多少萬(wàn)元？
11．甲商品的進(jìn)價(jià)為每件20元，商場(chǎng)確定其售價(jià)為每件40元．乙商品的進(jìn)價(jià)為15元，商場(chǎng)確定其售價(jià)為每件30元．
（1）若現(xiàn)在需進(jìn)行降價(jià)促銷(xiāo)活動(dòng)，預(yù)備從原來(lái)的每件40元進(jìn)行兩次調(diào)價(jià)，已知該商品現(xiàn)價(jià)為每件32.4元．若該商品兩次調(diào)價(jià)的降價(jià)率相同，求這個(gè)降價(jià)率；
（2）若現(xiàn)在有學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲乙兩種商品共30件，預(yù)算為1110元，且甲商品數(shù)量不少于乙商品的兩倍，有幾種購(gòu)買(mǎi)方案？
1．（2020 廣州）直線y＝x+a不經(jīng)過(guò)第二象限，則關(guān)于x的方程ax2+2x+1＝0實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是（　?。?br/>A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)或2個(gè)
2．（2023 廣州）已知關(guān)于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的化簡(jiǎn)結(jié)果是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣1﹣2k D．2k﹣3
3．（2019 廣東）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　?。?br/>A．x1≠x2 B．﹣2x1＝0
C．x1+x2＝2 D．x1 x2＝2
4．（2019 廣州）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，則k的值（　?。?br/>A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2
5．（2021 廣州）方程x2﹣4x＝0的實(shí)數(shù)解是 　 ?。?br/>6．（2022 廣東）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，則a＝　 ?。?br/>7．（2021 深圳）已知方程x2+mx﹣3＝0的一個(gè)根是1，則m的值為 　 　．
8．（2022 深圳）已知一元二次方程x2+6x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為 　?。?br/>9．（2021 廣東）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c為常數(shù)）的兩根x1，x2滿足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，則符合條件的一個(gè)方程為 　 ?。?br/>10．（2023 廣州）解方程：x2﹣6x+5＝0．
11．（2022 廣州）已知T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2．
（1）化簡(jiǎn)T；
（2）若關(guān)于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求T的值．
12．（2020 廣東）已知關(guān)于x，y的方程組與的解相同．
（1）求a，b的值；
（2）若一個(gè)三角形的一條邊的長(zhǎng)為2，另外兩條邊的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2+ax+b＝0的解．試判斷該三角形的形狀，并說(shuō)明理由．
13．（2019 廣州）隨著粵港澳大灣區(qū)建設(shè)的加速推進(jìn)，廣東省正加速布局以5G等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，目前廣東5G基站的數(shù)量約1.5萬(wàn)座，計(jì)劃到2020年底，全省5G基站數(shù)是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站數(shù)量將達(dá)到17.34萬(wàn)座．
（1）計(jì)劃到2020年底，全省5G基站的數(shù)量是多少萬(wàn)座？
（2）按照計(jì)劃，求2020年底到2022年底，全省5G基站數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率．
1．（2024 深圳模擬）用配方法解方程x2+2x＝3時(shí)，配方后正確的是（　　）
A．（x+2）2＝7 B．（x+2）2＝5 C．（x+1）2＝4 D．（x+1）2＝2
2．（2024 深圳模擬）已知x＝1是關(guān)于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一個(gè)根，則k的值為（　　）
A．﹣5 B．﹣7 C．5 D．7
3．（2023 天河區(qū)模擬）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0的根的情況是（　　）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．不能確定
4．（2024 深圳模擬）據(jù)報(bào)道，2020年至2022年深圳市居民年人均可支配收入由6.49萬(wàn)元增長(zhǎng)至7.27萬(wàn)元，設(shè)這兩年人均可支配收入的年平均增長(zhǎng)率為x，可列方程為（　?。?br/>A．6.49（1+x）2＝7.27 B．6.49（1+2x）＝7.27
C．6.49（1+x2）＝7.27 D．7.27（1﹣x）2＝6.49
5．（2023 惠城區(qū)模擬）已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣2022＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式m2+4m+2n的值等于（　　）
A．2024 B．2022 C．2020 D．2018
6．（2023 海珠區(qū)一模）若關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣ax+a2＝0的一個(gè)根為1．則a＝　﹣1?。?br/>7．（2023 中山市模擬）關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是　 ?。?br/>8．（2022 海珠區(qū)二模）有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有169人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了 　　人．
9．（2023 陽(yáng)山縣二模）已知方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個(gè)根分別為x1x2，則x1+x2﹣x1 x2的值為 　　．
10．（2023 汕頭二模）解方程：x2﹣6x﹣7＝0．
11．（2023 深圳模擬）解方程：x2﹣4x﹣12＝0．
12．（2023 開(kāi)平市二模）已知關(guān)于x的方程x2+（3k﹣2）x﹣6k＝0，
（1）求證：無(wú)論k取何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）若等腰三角形ABC的一邊a＝6，另兩邊長(zhǎng)b，c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長(zhǎng)．
13．（2023 蓬江區(qū)一模）為幫助人民應(yīng)對(duì)疫情，某藥廠下調(diào)藥品的價(jià)格某種藥品經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后，由每盒200元下調(diào)至128元，已知每次下降的百分率相同．求這種藥品每次降價(jià)的百分率是多少？
14．（2024 深圳模擬）某品牌畫(huà)冊(cè)每本成本為40元，當(dāng)售價(jià)為60元時(shí)，平均每天的銷(xiāo)售量為100本．為了吸引消費(fèi)者，商家決定采取降價(jià)措施．經(jīng)試銷(xiāo)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，如果畫(huà)冊(cè)售價(jià)每降低1元時(shí)，那么平均每天就能多售出10本．設(shè)這種畫(huà)冊(cè)每本降價(jià)x元．
（1）平均每天的銷(xiāo)售量為 　 本（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）商家想要使這種畫(huà)冊(cè)的銷(xiāo)售利潤(rùn)平均每天達(dá)到2240元，且要求每本售價(jià)不低于55元，求每本畫(huà)冊(cè)應(yīng)降價(jià)多少元？
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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