資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第四章 三角形及四邊形
第二節 三角形及其全等三角形
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 三角形的相關概念 ☆ 三角形及其全等三角形是中考必考內容，三角形的相關概念（如：內角和、三邊關系、三線等）常結合三角形全等在選填題中考查，全等三角形的性質與判定常用四邊形在解答題中考查。三角形及其全等三角形主要重在掌握基本知識的基礎上靈活運用，也是考查重點，年年都會考查，分值為10~15 分。
考點2 三角形中的重要線段 ☆☆
考點3 全等三角形的判定與性質 ☆☆☆
考點4 全等三角形的實際應用 ☆☆
考點5 角平分線的性質與判定 ☆☆☆
■考點1 三角形的相關概念
1）三角形的概念:由三條線段首尾順次相接組成的圖形，叫做三角形。
2）三角形的三邊關系
（1）三角形三邊關系定理：三角形的兩邊之和 第三邊． 推論：三角形的兩邊之差 第三邊。
（2）三角形三邊關系定理及推論的作用：①判斷三條已知線段能否組成三角形；②當已知兩邊時，可確定第三邊的范圍；③證明線段不等關系。
3）三角形的內角和定理及推論
三角形的內角和定理：三角形三個內角和 ．
推論：①直角三角形的兩個銳角 ；②三角形的一個外角等于和它 的兩個內角的 ；③三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。
■考點二　三角形中的重要線段
1）三角形中的重要線段
（1）三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做 。
（2）在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做 。
（3）從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做 。
■考點三　全等三角形的判定與性質
1）三角形全等的判定定理：
（1）邊邊邊定理：有 的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）；
（2）邊角邊定理：有 的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）；
（3）角邊角定理：有 的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）；
（4）角角邊定理：有 的兩個三角形全等（可簡寫成“角角邊”或“AAS”）；
（5）對于特殊的直角三角形，判定它們全等時，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有 的兩個 全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）。
2）全等三角形的性質：
（1）全等三角形的 相等， 相等；
（2）全等三角形的 相等， 相等；
（3）全等三角形對應的 線、 線、 線都相等。
■考點四　全等三角形的實際應用
1）通過平移、翻折、旋轉后得到的圖形與原圖形是全等圖形。
2）若題中沒有全等的三角形，則可根據題中條件合理地添加輔助線，如運用作高法、倍長中線法、截長補短法、分解圖形法等來解決運動、拼接、旋轉等探究性題目。
3）利用全等三角形解決實際問題的方法：把實際問題先轉化為數學問題，再轉化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉化為三角形中的邊角關系是關鍵．
■考點五　角平分線的性質與判定
1）角平分線的性質定理：角的平分線上的點到這個角的兩邊的 ．
如圖，已知平分，，，則．
2）角平分線的判定定理：角的內部，與角的兩邊的距離相等的點在這個角的 上．
■易錯提示
1.從判定兩個三角形全等的方法可知，要判定兩個三角形全等，需要知道這兩個三角形分別有三個元素（其中至少有一個元素是邊）對應相等，這樣就可以利用題目中的已知邊（角）準確地確定要補充的邊（角），有目的地完善三角形全等的條件，從而得到判定兩個三角形全等的思路。
2.角平分線的性質定理中的“距離”是指“點到角兩邊所在直線的距離”，因此在應用時必須含有“垂直”這個條件，否則不能得到線段相等。
■考點一　三角形的相關概念
◇典例1：（2023·江蘇宿遷·統考中考真題）以下列每組數為長度（單位：）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（ ）
A．2，2，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，4，8
◆變式訓練
1.（2023·福建·統考中考真題）若某三角形的三邊長分別為3，4，m，則m的值可以是（　　）
A．1 B．5 C．7 D．9
2.（2023·河北保定·統考模擬預測）平面內，將長分別為2，4，3的三根木棒按如圖方式連接成折線，其中可以繞點任意旋轉，保持，將，兩點用繃直的皮筋連接，設皮筋長度為，則不可能是（　　）

A．3 B．5 C．7 D．8
◇典例2：（2023·四川遂寧·統考中考真題）若三角形三個內角的比為1：2：3，則這個三角形按角分類是 三角形．
◆變式訓練
1．（2023·吉林·統考中考真題）如圖，鋼架橋的設計中采用了三角形的結構，其數學道理是 ．
2.（2022·黑龍江大慶·中考真題）下列說法不正確的是( )
A．有兩個角是銳角的三角形是直角或鈍角三角形 B．有兩條邊上的高相等的三角形是等腰三角形
C．有兩個角互余的三角形是直角三角形 D．底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形
◇典例3：（2023·河北·模擬預測）在中，數據如圖所示，若比小，則比（ ）

A．大 B．小 C．大 D．小
◆變式訓練
1.（2023·河北秦皇島·統考三模）定理：三角形的內角和是180°．
已知：、、是的三個內角． 求證：．
有如下四個說法：①*表示內錯角相等，兩直線平行；②@表示；③上述證明得到的結論，只有在銳角三角形中才適用；④上述證明得到的結論，適用于任何三角形．其中正確的是（ ）

A．①② B．②③ C．②④ D．①③
2．（2023·山西太原·統考二模）如圖，在凹四邊形中，，，，求的度數．

下面是學習小組的同學們交流時得到的解決問題的三種方法：
方法一：作射線AC；方法二：延長BC交AD于點E；方法三：連接BD．
請選擇上述一種方法，求的度數．
■考點二　三角形中的重要線段
◇典例4：（2023·河北石家莊·校聯考模擬預測）嘉淇剪一個銳角做折紙游戲，折疊方法如圖所示，折痕與交于點，連接，則線段分別是的（ ）

A．高，中線，角平分線 B．高，角平分線，中線
C．中線，高，角平分線 D．高，角平分線，垂直平分線
◆變式訓練
1．（2023·河北石家莊·校聯考二模）小熊和小貓把一個三角形紙片折一次后，折痕把原三角形分成兩個三角形．如圖，當時，折痕是三角形的（ ）

A．中線 B．中位線 C．高線 D．角平分線
2.（2022·河北·中考真題）如圖，將△ABC折疊，使AC邊落在AB邊上，展開后得到折痕l，則l是△ABC的（ ）
A．中線 B．中位線 C．高線 D．角平分線
◇典例5：（2023·河北滄州·統考三模）題目：如圖，的三邊均不相等，在此三角形內找一點O，使得，，的面積均相等．甲、乙兩人的做法如下，判斷正確的是（ ）

A．甲、乙皆正確 B．甲、乙皆錯誤 C．甲錯誤，乙正確 D．甲正確，乙錯誤
◆變式訓練
1. （2023·江蘇蘇州·校考二模）等腰中，，，則重心G到底邊的距離是 ．
2.（2023·江蘇南京·校考模擬預測）如圖中，點是邊的中點，是邊上一點，且，連接、交于點，若的面積是，則的面積為 ．

◇典例6：（2023·河北衡水·二模）如圖，在中，點在邊上，沿將折疊，使點與邊上的點重合，展開后得到折痕．

（1）折痕是的 ；（填“角平分線”“中線”或“高”）
（2）若，則比的度數大 ．
◆變式訓練
1.（2023上·浙江·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，點，點C在x軸負半軸，，點M為的重心，若將繞著點O逆時針旋轉90°，則旋轉后三角形的重心的坐標為 ．

■考點三　全等三角形的判定與性質
◇典例7：（2023·四川涼山·統考中考真題）如圖，點E、點F在上，，，添加一個條件，不能證明的是（ ）

A． B． C． D．
◆變式訓練
1.（2023·浙江衢州·統考中考真題）如圖，在中，以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點D，E．分別以點D，E為圓心，大于長為半徑畫弧，交于內一點F.連結并延長，交于點G．連結，.添加下列條件，不能使成立的是（ ）

A． B． C． D．
2.（2023·浙江衢州·統考中考真題）已知：如圖，在和中，在同一條直線上．下面四個條件：①；②；③；④．

(1)請選擇其中的三個條件，使得（寫出一種情況即可）；
(2)在（1）的條件下，求證：．
◇典例8：（2023·臺灣·統考模擬預測）已知與全等，A、B、C的對應點分別為D、E、F，且E點在AE上，B、F、C、D四點共線，如圖所示若，，則下列敘述何者正確？（ ）
A．， B．， C．， D．，
◆變式訓練
1. （2023·浙江臺州·統考一模）如圖，，點D在邊上，延長交邊于點F，若，則 ．
◇典例9：（2023·浙江臺州·統考中考真題）如圖，銳角三角形中，，點D，E分別在邊，上，連接，．下列命題中，假命題是（ ）．

A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
◆變式訓練
1.（2023·山東·統考中考真題）如圖，在正方形方格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，點均在小正方形方格的頂點上，線段交于點，若，則等于（ ）

A． B． C． D．
◇典例10：（2023·江蘇南通·統考中考真題）如圖，點，分別在，上，，，相交于點，． 求證：．
小虎同學的證明過程如下：
證明：∵，∴．
∵，∴．第一步
又，，∴第二步
∴第三步
(1)小虎同學的證明過程中，第___________步出現錯誤；(2)請寫出正確的證明過程．

◆變式訓練
1．（2023·陜西·統考中考真題）如圖，在中，，．過點作，垂足為，延長至點．使．在邊上截取，連接．求證：．

2．（2023·湖南·統考中考真題）如圖，，，，垂足分別為，．
(1)求證：；(2)若，，求的長．

3．（2023·吉林·統考中考真題）如圖，點C在線段上，在和中，．求證：．

◇典例11：（2023·重慶·統考中考真題）如圖，在中，，，點D為上一點，連接．過點B作于點E，過點C作交的延長線于點F．若，，則的長度為 ．

◆變式訓練
1. （2023·山東臨沂·統考中考真題）如圖，．
(1)寫出與的數量關系(2)延長到，使，延長到，使，連接．求證：．(3)在（2）的條件下，作的平分線，交于點，求證：．

2．（2023·青海海西·校考一模）請完成如下探究系列的有關問題：
探究1：如圖1，是等腰直角三角形，，點為上一動點，連接，以為邊在的右側作正方形，連接，則線段，之間的位置關系為　　，數量關系為　　．
探究2：如圖2，當點運動到線段的延長線上，其余條件不變，探究1中的兩條結論是否仍然成立？為什么？（請寫出證明過程）
探究3：如圖3，如果，，仍然保留為，點在線段上運動，請你判斷線段，之間的位置關系，并說明理由．
■考點四　全等三角形的實際應用
◇典例12：（2023·甘肅蘭州·統考中考真題）綜合與實踐
問題探究：（1）如圖1是古希臘數學家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9：“平分一個已知角．”即：作一個已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在和上分別取點C和D，使得，連接，以為邊作等邊三角形，則就是的平分線．

請寫出平分的依據：____________；
類比遷移：（2）小明根據以上信息研究發現：不一定必須是等邊三角形，只需即可．他查閱資料：我國古代已經用角尺平分任意角．做法如下：如圖3，在的邊，上分別取，移動角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點M，N重合，則過角尺頂點C的射線是的平分線，請說明此做法的理由；
拓展實踐：（3）小明將研究應用于實踐．如圖4，校園的兩條小路和，匯聚形成了一個岔路口A，現在學校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等．試問路燈應該安裝在哪個位置？請用不帶刻度的直尺和圓規在對應的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）
◆變式訓練
1．（2022·江蘇揚州·中考真題）如圖，小明家仿古家具的一塊三角形形狀的玻璃壞了，需要重新配一塊．小明通過電話給玻璃店老板提供相關數據，為了方便表述，將該三角形記為，提供了下列各組元素的數據，配出來的玻璃不一定符合要求的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江蘇鹽城·校考一模）（1）如圖，A、B兩點分別位于一個池塘的兩端，小聰想要測量A、B間的距離，一位同學幫他想了一個辦法：先在地上取一個可以直接到達A、B的點O，分別延長、至點M、N，使得，再連接，則的長度即為池塘A、B間的距離．請說明理由．（2）在下面的網格圖中有三個點A、B、D，其中點A和點D在網格線的交點處，點B在網格線上，請找出點C，使得四邊形是平行四邊形．（僅用無刻度的直尺作圖，保留作圖痕跡，不需說明理由）

■考點五　角平分線的性質與判定
◇典例13：（2023·福建·統考中考真題）閱讀以下作圖步驟：
①在和上分別截取，使；
②分別以為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點；
③作射線，連接，如圖所示．根據以上作圖，一定可以推得的結論是（ ）

A．且 B．且C．且 D．且
◆變式訓練
1.（2023·吉林長春·統考中考真題）如圖，用直尺和圓規作的角平分線，根據作圖痕跡，下列結論不一定正確的是（ ）

A． B． C． D．
2.（2023·河北滄州·模擬預測）畫的平分線的方法有多種，嘉嘉和淇淇的方法如圖所示，下列判斷正確的是（ ）
嘉嘉 ①利用直尺和三角板畫； ②在上截取，使； ③作射線，即為所求． 淇淇 ①利用圓規截取，； ②連接，，相交于點； ③作射線，即為所求．
A．只有嘉嘉對 B．只有淇淇對 C．兩人都對 D．兩人都不對
◇典例14：（2023·湖南·統考中考真題）如圖，在中，，按以下步驟作圖：①以點為圓心，以小于長為半徑作弧，分別交于點，；②分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，在內兩弧交于點；③作射線，交于點．若點到的距離為，則的長為 ．
◆變式訓練
1.（2023·北京·模擬預測）如圖，中，，平分，，則的面積是 ．
2.（2023·江蘇揚州·統考中考真題）如圖，中，，以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交于點M、N，再分別以點M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點E，作射線交于點D，則線段的長為 ．

1．（2023·河北·統考中考真題）四邊形的邊長如圖所示，對角線的長度隨四邊形形狀的改變而變化．當為等腰三角形時，對角線的長為（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023·新疆·統考中考真題）如圖，在中，以點為圓心，適當長為半徑作弧，交于點，交于點，分別以點，為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧在的內部交于點，作射線交于點．若，，則的長為( )

A． B．1 C． D．2
3．（2022·四川資陽·中考真題）如圖所示，在中，按下列步驟作圖：
第一步：在上分別截取，使；
第二步：分別以點D和點E為圓心、適當長（大于的一半）為半徑作圓弧，兩弧交于點F；
第三步：作射線交于點M；第四步：過點M作于點N．下列結論一定成立的是( )
A． B． C． D．
4．（2022·四川成都·統考中考真題）如圖，在和中，點，，，在同一直線上，，，只添加一個條件，能判定的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·四川南充·統考中考真題）如圖，在中，，以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交于點M，N，再分別以M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內部相交于點P，畫射線與交于點D，，垂足為E．則下列結論錯誤的是（ ）

A． B． C． D．
6．（2023·遼寧·統考中考真題）如圖，在三角形紙片中，，點是邊上的動點，將三角形紙片沿對折，使點落在點處，當時，的度數為 ．

7．（2023·湖北隨州·統考中考真題）如圖，在中，，D為AC上一點，若是的角平分線，則 ．

8．（2023·江蘇鹽城·統考中考真題）如圖，，，．(1)求證：；(2)用直尺和圓規作圖：過點作，垂足為．（不寫作法，保留作圖痕跡）
9．（2023·山東聊城·統考中考真題）如圖，在四邊形中，點E是邊上一點，且，．(1)求證：；(2)若，時，求的面積．

10．（2023·江蘇·統考中考真題）如圖，、、、是直線上的四點，．
(1)求證：；(2)點、分別是、的內心．
①用直尺和圓規作出點（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；
②連接，則與的關系是________．

11．（2021·浙江紹興市·中考真題）如圖，在中，，點D，E分別在邊AB，AC上，，連結CD，BE．（1）若，求，的度數．（2）寫出與之間的關系，并說明理由．
12．（2022·湖南湘潭·中考真題）在中，，，直線經過點，過點、分別作的垂線，垂足分別為點、．
(1)特例體驗：如圖①，若直線，，分別求出線段、和的長；
(2)規律探究：①如圖②，若直線從圖①狀態開始繞點旋轉，請探究線段、和的數量關系并說明理由；②如圖③，若直線從圖①狀態開始繞點A順時針旋轉，與線段相交于點，請再探線段、和的數量關系并說明理由；
(3)嘗試應用：在圖③中，延長線段交線段于點，若，，求．
1．（2023·山西朔州·校聯考模擬預測）如圖是位于汾河之上的通達橋，是山西省首座獨塔懸索橋，是連接二青會的水上運動、沙灘排球等項目及場館的主要通道，被譽為“時代之門”．橋身通過吊索與主纜拉拽著整個橋面，形成懸索體系使其更加穩固．其中運用的數學原理是（　　）
A．三角形具有穩定性 B．兩點確定一條直線
C．兩點之間，線段最短 D．三角形的兩邊之和大于第三邊
2．（2023·廣東·中考模擬）八一中學校九年級2班學生楊沖家和李銳家到學校的直線距離分別是和．那么楊沖，李銳兩家的直線距離不可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·河北衡水·校考模擬預測）在數學拓展課上，有兩個全等的含角的直角三角板，重疊在一起．李老師將三角板繞點順時針旋轉（保持，延長線段，與線段的延長線交于點（如圖所示），隨著的增大，的值（ ）

A．一直變小 B．保持不變 C．先變小，后變大 D．一直變大
4．（2023·湖南婁底·統考一模）如圖，中，，以點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交、于點、，再分別以點、為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交于點．若，則點到的距離為（ ）
A．1 B． C． D．2
5．（2023·江蘇鹽城·校考一模）如圖，在中，D是的中點，點G是的重心．，則 ．

6．（2023·廣東梅州·統考一模）如圖，在邊長為6的正方形內作，交于點E，交于點F，連接，將繞點A順時針旋轉得到．若，則的長為 ．
6．（2023·重慶渝中·統考二模）如圖，已知點D．為的邊上一點，請在邊上確定一點E，（要求：尺規作圖、保留作圖痕跡、不寫作法）；

下面是小東設計的尺規作圖過程．
作法：①以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，交于點G、F；
②以點D為圓心，長為半徑畫弧，交于點M；
③以點M為圓心，長為半徑畫弧，交弧于點P；
④作射線交于點E，則；
⑤連接，則·
根據小東設計的尺規作圖過程，(1)使用直尺和圓規，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；
(2)完成下面的證明．
證明：分別過點D和點E作，垂足分別為K、H，
∵， ∴ ；
∵，∴ °；
∴ ，∴四邊形是矩形，∴ ；
∵ ， ；∴·
7．（2023·北京平谷·統考二模）下面是證明三角形內角和定理推論1的方法，選擇其中一種，完成證明．
三角形內角和定理推論1：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和． 已知：如圖，，點是延長線上一點． 求證：．
方法一：利用三角形的內角和定理的方法 證明： 二：構造平行線進行證明行證明 證明：
8．（2023·福建泉州·校考模擬預測）如圖，在與中，，與相交于點E，．(1)求證：；(2)連接，設線段的中點分別為M，線段的中點分別為N，直線與相交于點F．求證：F，N，E，M四點共線．

9．（2023·廣東廣州·校考模擬預測）如圖，線段相交于點E，連接，已知，，延長到F，連接，使得．
(1)求證：；(2)在中，作邊上的中線，延長到N，連接，使，過N作，交的延長線于點G，若，求證：．

10．（2023·江西撫州·校考模擬預測）如圖，在等邊三角形中，點為內一點，連接，，，將線段繞點A順時針旋轉得到，連接，．
(1)用等式表示與的數量關系，并證明； (2)當時，直接寫出的度數為______；若為的中點，連接，用等式表示與的數量關系，并證明．
1．（2023·廣東廣州·校考一模）如圖，在C中，的面積為，，平分，E、F分別為、上的動點，則的最小值是（　　）
A． B． C．2 D．
2．（2023·江蘇揚州·統考一模）如圖，直角中，，，，點是邊上一點，將繞點順時針旋轉到點，則長的最小值是 ．
3．（2023·北京西城·校考模擬預測）已知等腰直角三角形中，，，點D在射線上移動（不與B、C重合），連接，線段繞點D順時針旋轉得到線段，連接．

(1)如圖1，當點E落在線段上時，①直接寫出的度數______（可用表示）；
②直接用等式表示的數量關系：______；
(2)當點E落在線段的延長線上時，請在圖2中畫出符合條件的圖形，用等式表示的數量關系，并證明你的結論．
4．（2023·山西大同·校聯考模擬預測）綜合與實踐
問題情境：在數學活動課上，老師出示了這樣一個問題：如圖，現有一個等腰直角三角形紙板，，，為斜邊上的中線，沿把紙板剪開，再將繞點逆時針旋轉得到，其中點的對應點為，點的對應點為，連接和．試判斷與之間的數量關系和位置關系，并說明理由，
猜想與證明：(1)請解答老師提出的問題；(2)如圖2，邊，的中點分別為，，連接．試判斷和之間的數量關系，并加以證明；
探索發現：(3)如圖3，創意小組的同學在前面同學的啟發下，連接，發現與之間的數量關系是固定不變的，請直接寫出與之間的數量關系．

5．（2023·重慶·校考二模）（1）如圖1，在四邊形中，，，點E、F分別在邊上，且，探究圖中、、之間的數量關系．
小明探究的方法是：延長FD到點G，使，連接AG，先證明，再證明，可得出結論，他的結論是______．
（2）如圖2，在四邊形中，，，點E、F分別在邊上，且，探究上述結論是否仍然成立，并說明理由．
（3）如圖3，在四邊形中，，，若點E在的延長線上，點F在的延長線上，仍然滿足，請直接寫出與的數量關系為______．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
第四章 三角形及四邊形
第二節 三角形及其全等三角形
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 三角形的相關概念 ☆ 三角形及其全等三角形是中考必考內容，三角形的相關概念（如：內角和、三邊關系、三線等）常結合三角形全等在選填題中考查，全等三角形的性質與判定常用四邊形在解答題中考查。三角形及其全等三角形主要重在掌握基本知識的基礎上靈活運用，也是考查重點，年年都會考查，分值為10~15 分。
考點2 三角形中的重要線段 ☆☆
考點3 全等三角形的判定與性質 ☆☆☆
考點4 全等三角形的實際應用 ☆☆
考點5 角平分線的性質與判定 ☆☆☆
■考點1 三角形的相關概念
1）三角形的概念:由三條線段首尾順次相接組成的圖形，叫做三角形。
2）三角形的三邊關系
（1）三角形三邊關系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊． 推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。
（2）三角形三邊關系定理及推論的作用：①判斷三條已知線段能否組成三角形；②當已知兩邊時，可確定第三邊的范圍；③證明線段不等關系。
3）三角形的內角和定理及推論
三角形的內角和定理：三角形三個內角和等于180°．
推論：①直角三角形的兩個銳角互余；②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；③三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。
■考點二　三角形中的重要線段
1）三角形中的重要線段
（1）三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線。
（2）在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。
（3）從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線。
■考點三　全等三角形的判定與性質
1）三角形全等的判定定理：
（1）邊邊邊定理：有三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）；
（2）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）；
（3）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）；
（4）角角邊定理：有兩角和它們所對的任意一邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角角邊”或“AAS”）；
（5）對于特殊的直角三角形，判定它們全等時，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）。
2）全等三角形的性質：
（1）全等三角形的對應邊相等，對應角相等；
（2）全等三角形的周長相等，面積相等；
（3）全等三角形對應的中線、高線、角平分線都相等。
■考點四　全等三角形的實際應用
1）通過平移、翻折、旋轉后得到的圖形與原圖形是全等圖形。
2）若題中沒有全等的三角形，則可根據題中條件合理地添加輔助線，如運用作高法、倍長中線法、截長補短法、分解圖形法等來解決運動、拼接、旋轉等探究性題目。
3）利用全等三角形解決實際問題的方法：把實際問題先轉化為數學問題，再轉化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉化為三角形中的邊角關系是關鍵．
■考點五　角平分線的性質與判定
1）角平分線的性質定理：角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等．
如圖，已知平分，，，則．
2）角平分線的判定定理：角的內部，與角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上．
■易錯提示
1.從判定兩個三角形全等的方法可知，要判定兩個三角形全等，需要知道這兩個三角形分別有三個元素（其中至少有一個元素是邊）對應相等，這樣就可以利用題目中的已知邊（角）準確地確定要補充的邊（角），有目的地完善三角形全等的條件，從而得到判定兩個三角形全等的思路。
2.角平分線的性質定理中的“距離”是指“點到角兩邊所在直線的距離”，因此在應用時必須含有“垂直”這個條件，否則不能得到線段相等。
■考點一　三角形的相關概念
◇典例1：（2023·江蘇宿遷·統考中考真題）以下列每組數為長度（單位：）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（ ）
A．2，2，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，4，8
【答案】C
【分析】根據三角形的三邊關系逐項判斷即可得．
【詳解】解：A、，不滿足三角形的三邊關系，不能搭成三角形，則此項不符合題意；
B、，不滿足三角形的三邊關系，不能搭成三角形，則此項不符合題意；
C、，滿足三角形的三邊關系，能搭成三角形，則此項符合題意；
D、，不滿足三角形的三邊關系，不能搭成三角形，則此項不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查了三角形的三邊關系，解題的關鍵是熟練掌握三角形的三邊關系：任意兩邊之和大于第三邊、任意兩邊之差小于第三邊．
◆變式訓練
1.（2023·福建·統考中考真題）若某三角形的三邊長分別為3，4，m，則m的值可以是（　　）
A．1 B．5 C．7 D．9
【答案】B
【分析】根據三角形的三邊關系求解即可．
【詳解】解：由題意，得，即，故的值可選5，故選：B．
【點睛】本題考查了三角形的三邊關系，熟練掌握三角形的三邊關系是解答的關鍵．
2.（2023·河北保定·統考模擬預測）平面內，將長分別為2，4，3的三根木棒按如圖方式連接成折線，其中可以繞點任意旋轉，保持，將，兩點用繃直的皮筋連接，設皮筋長度為，則不可能是（　　）

A．3 B．5 C．7 D．8
【答案】D
【分析】連接，根據勾股定理可得的長，再分兩種情況討論即可；
【詳解】連接，則．如圖1，當點在線段上時，；

如圖2，當點在的延長線上時，，∴的取值范圍為，故選：D．
【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用、三角形的三邊關系，解題的關鍵是構造直角三角形，利用勾股定理求出．
◇典例2：（2023·四川遂寧·統考中考真題）若三角形三個內角的比為1：2：3，則這個三角形按角分類是 三角形．
【答案】直角
【分析】設一份為，則三個內角的度數分別為，，，然后根據三角形內角和進行求解即可．
【詳解】解：設一份為，則三個內角的度數分別為，，．
則，解得．所以，，即，．
故這個三角形是直角三角形．故答案是：直角．
【點睛】本題主要考查三角形內角和，熟練掌握三角形內角和是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·吉林·統考中考真題）如圖，鋼架橋的設計中采用了三角形的結構，其數學道理是 ．
【答案】三角形具有穩定性
【分析】根據三角形結構具有穩定性作答即可．
【詳解】解：其數學道理是三角形結構具有穩定性．故答案為：三角形具有穩定性．
【點睛】本題考查了三角形具有穩定性，解題的關鍵是熟練的掌握三角形形狀對結構的影響．
2.（2022·黑龍江大慶·中考真題）下列說法不正確的是( )
A．有兩個角是銳角的三角形是直角或鈍角三角形 B．有兩條邊上的高相等的三角形是等腰三角形
C．有兩個角互余的三角形是直角三角形 D．底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形
【答案】A
【分析】利用等腰三角形的性質與判定、等邊三角形的性質與判定、直角三角形的判定，對各選項逐項分析可得出正確答案．
【詳解】解：A、設∠1、∠2為銳角，因為：∠1+∠2+∠3=180°，
所以：∠3可以為銳角、直角、鈍角，所以該三角形可以是銳角三角形，也可以是直角或鈍角三角形，故A選項不正確，符合題意；B、如圖，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，且BE=CD．
∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠CDB=∠BEC=90°，
在Rt△BCD與Rt△CBE中，，∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．，故B選項正確，不符合題意；
C、根據直角三角形的判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形，故C選項正確，不符合題意；
D、底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形，故D選項正確，不符合題意；故選：A．
【點睛】本題綜合考查了等腰三角形的性質與判定、等邊三角形的性質與判定、直角三角形的判定，要求學生在學習過程中掌握三角形的各種性質及推論，不斷提升數學學習的能力．
◇典例3：（2023·河北·模擬預測）在中，數據如圖所示，若比小，則比（ ）

A．大 B．小 C．大 D．小
【答案】A
【分析】根據三角形內角和定理，得，得到，結合已知判斷即可．
【詳解】根據三角形內角和定理，得，
∴，∴，∵比小，∴，故選A．
【點睛】本題考查了三角形內角和定理的應用，熟練掌握定理是解題的關鍵．
◆變式訓練
1.（2023·河北秦皇島·統考三模）定理：三角形的內角和是180°．
已知：、、是的三個內角． 求證：．
有如下四個說法：①*表示內錯角相等，兩直線平行；②@表示；③上述證明得到的結論，只有在銳角三角形中才適用；④上述證明得到的結論，適用于任何三角形．其中正確的是（ ）

A．①② B．②③ C．②④ D．①③
【答案】C
【分析】根據平行線的性質得出，，即可推出結論．
【詳解】解：證明：如圖，作點E作直線，使得，
∴（兩直線平行，內錯角相等），∴，∴．
①*表示兩直線平行，內錯角相等；故①不正確，不符合題意；
②@表示，故②正確，符合題意；
③④上述證明得到的結論，在任何三角形均適用；故③不正確，不符合題意；④正確，符合題意；
綜上：正確的有②④，故選：C．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質以及三角形內角和定理的證明，解題的關鍵是掌握兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補．
2．（2023·山西太原·統考二模）如圖，在凹四邊形中，，，，求的度數．

下面是學習小組的同學們交流時得到的解決問題的三種方法：
方法一：作射線AC；方法二：延長BC交AD于點E；方法三：連接BD．
請選擇上述一種方法，求的度數．
【答案】，方法見解析
【分析】選擇方法一：作射線AC并在線段AC的延長線上任取一點E，根據外角的性質求出即可解得；
選擇方法二：延長BC交AD于點E， 根據外角的性質求出即可解得；
選擇方法三：連接BD，根據三角形內角和求出，在中，，再根據角之間的和差即可求出．
【詳解】解：選擇方法一：如答圖1，作射線AC并在線段AC的延長線上任取一點E．
∵是的外角，∴． 同理可得．
∴． ∴．
∵，，，∴

選擇方法二：如答圖2，延長BC交AD于點E．
∵是的外角，∴．
同理可得． ∴．
∵，，，∴
選擇方法三：如答圖3，連接BD．在中，．
∴∴．
在中，． ∴．
∵，，， ∴
【點睛】此題考查了三角形的外角性質、三角形內角和，解題的關鍵是構造輔助線，會用三角形的外角性質、三角形內角和解題．
■考點二　三角形中的重要線段
◇典例4：（2023·河北石家莊·校聯考模擬預測）嘉淇剪一個銳角做折紙游戲，折疊方法如圖所示，折痕與交于點，連接，則線段分別是的（ ）

A．高，中線，角平分線 B．高，角平分線，中線
C．中線，高，角平分線 D．高，角平分線，垂直平分線
【答案】B
【分析】根據三角形的高線、角平分線及中線的定義依次判斷即可．
【詳解】解：由圖可得，圖①中，線段是的高線，
圖②中，線段是的角平分線，圖③中，線段是的中線，故選：B．
【點睛】題目主要考查三角形的高線、角平分線及中線的定義，理解題意是解題關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·河北石家莊·校聯考二模）小熊和小貓把一個三角形紙片折一次后，折痕把原三角形分成兩個三角形．如圖，當時，折痕是三角形的（ ）

A．中線 B．中位線 C．高線 D．角平分線
【答案】C
【分析】根據折疊的性質和平角定義得到，再根據三角形的高線定義求解即可．
【詳解】解：∵，，∴，
又∵折痕經過三角形的頂點，∴折痕是三角形的高線，故選：C．
【點睛】本題考查折疊性質、平角定義、三角形的高線，理解三角形的高線定義是解答的關鍵．
2.（2022·河北·中考真題）如圖，將△ABC折疊，使AC邊落在AB邊上，展開后得到折痕l，則l是△ABC的（ ）
A．中線 B．中位線 C．高線 D．角平分線
【答案】D
【分析】根據折疊的性質可得，作出選擇即可．
【詳解】解：如圖，
∵由折疊的性質可知，∴AD是的角平分線，故選：D．
【點睛】本題考查折疊的性質和角平分線的定義，理解角平分線的定義是解答本題的關鍵．
◇典例5：（2023·河北滄州·統考三模）題目：如圖，的三邊均不相等，在此三角形內找一點O，使得，，的面積均相等．甲、乙兩人的做法如下，判斷正確的是（ ）

A．甲、乙皆正確 B．甲、乙皆錯誤 C．甲錯誤，乙正確 D．甲正確，乙錯誤
【答案】C
【分析】根據角平分線的性質可判斷甲的做法不正確，根據三角形中線的性質和三角形的重心的性質可判斷乙的做法正確，可得答案．
【詳解】解：對于甲：由做法可知：點O是三角形的三條角平分線的交點，
∴點O到三邊的距離相等，記這個距離是h，
由于的三邊均不相等，則，，的面積均不相等，∴甲的做法錯誤；
對于乙：由做法可得：點O是三角形三邊中線的交點，連接，如圖，
∴，∴，同理可得：，，
∴，，的面積均相等，∴乙的做法正確；故選：C．

【點睛】本題考查了三角形的角平分線的性質、三角形的中線和三角形重心的性質，正確理解題意、掌握相關圖形的性質是解題的關鍵．
◆變式訓練
1. （2023·江蘇蘇州·校考二模）等腰中，，，則重心G到底邊的距離是 ．
【答案】/
【分析】根據題意作出高線，首先根據等腰三角形的性質及勾股定理可求得的長，再根據重心的性質即可求得結果．
【詳解】解：如圖所示，過點A作于點D，

∵，，∴，∴，
∵為等腰三角形底邊上的中線，
∴重心一定在上，且重心G到底邊的距離為的長，
根據重心的性質可知，．故答案為：．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，勾股定理，重心的性質，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵．
2.（2023·江蘇南京·校考模擬預測）如圖中，點是邊的中點，是邊上一點，且，連接、交于點，若的面積是，則的面積為 ．

【答案】30
【分析】連接，由點是邊的中點，得，由的面積是，得，令，由及三角形的面積公式得，，從而得，從而即可計算得解。
【詳解】解：連接，∵點是邊的中點，∴，∴，

∵的面積是，∴，令，
∵，∴，∴，
，
∴，∴，∴，∴，
∴．故答案為：．
【點睛】本題主要考查三角形的面積，三角形中線等知識點，掌握等積變換是解答此題的關鍵．
◇典例6：（2023·河北衡水·二模）如圖，在中，點在邊上，沿將折疊，使點與邊上的點重合，展開后得到折痕．

（1）折痕是的 ；（填“角平分線”“中線”或“高”）
（2）若，則比的度數大 ．
【答案】 高
【分析】（1）由折疊的性質結合三角形角平分線，中線，高的定義即可判斷；
（2）由折疊的性質結合三角形外角的性質即可求解．
【詳解】（1）由折疊的性質可知，，，
∴折痕是的高．故答案為：高；
（2）∵由折疊的性質可知，，
∴．故答案為：15．
【點睛】本題考查折疊的性質，三角形角平分線，中線，高的定義，三角形外角的性質．熟練掌握上述知識點是解題關鍵．
◆變式訓練
1.（2023上·浙江·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，點，點C在x軸負半軸，，點M為的重心，若將繞著點O逆時針旋轉90°，則旋轉后三角形的重心的坐標為 ．

【答案】
【分析】由重心的性質可得點的坐標，根據旋轉的性質證全等即可求得旋轉后三角形的重心的坐標．
【詳解】解：∵，點M為的重心∴,
∵點∴點

∵將繞著點O逆時針旋轉90°過點作軸，連接
∵∴
∵∴
∴∴點故答案為：
【點睛】本題考查了重心的性質、旋轉的性質、全等三角形的判定與性質等．熟記相關數學結論是解題關鍵．
■考點三　全等三角形的判定與性質
◇典例7：（2023·四川涼山·統考中考真題）如圖，點E、點F在上，，，添加一個條件，不能證明的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據求出，再根據全等三角形的判定定理進行分析即可．
【詳解】解：∵，∴，即，
∵，∴當時，利用可得，故A不符合題意；
當時，利用ASA可得，故B不符合題意；
當時，利用SAS可得，故C不符合題意；
當時，無法證明，故D符合題意；故選：D．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解題的關鍵．
◆變式訓練
1.（2023·浙江衢州·統考中考真題）如圖，在中，以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點D，E．分別以點D，E為圓心，大于長為半徑畫弧，交于內一點F.連結并延長，交于點G．連結，.添加下列條件，不能使成立的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】據題意可知是三角形的角平分線，再結合選項所給的條件逐次判斷能否得出即可．
【詳解】根據題中所給的作圖步驟可知，是的角平分線，即．
當時，又，且，
所以，所以，故A選項不符合題意．
當時，，又，且，
所以，所以，故B選項不符合題意．
當時，因為，，，
所以，所以，
又，所以，即．
又，所以，
則方法同（2）可得出，故C選項不符合題意．故選：D．
【點睛】本題考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解題的關鍵．
2.（2023·浙江衢州·統考中考真題）已知：如圖，在和中，在同一條直線上．下面四個條件：①；②；③；④．

(1)請選擇其中的三個條件，使得（寫出一種情況即可）；
(2)在（1）的條件下，求證：．
【答案】(1)①②③或①③④（寫出一種情況即可）(2)見解析
【分析】（1）根據兩三角形全等的判定條件，選擇合適的條件即可；
（2）根據（1）中所選的條件，進行證明即可．
【詳解】（1）解：根據題意，可以選擇的條件為：①②③；或者選擇的條件為：①③④；
（2）證明：當選擇的條件為①②③時，
，，即，
在和中，，；
當選擇的條件為①③④時，，，即，
在和中，，．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定條件是解題的關鍵．
◇典例8：（2023·臺灣·統考模擬預測）已知與全等，A、B、C的對應點分別為D、E、F，且E點在AE上，B、F、C、D四點共線，如圖所示若，，則下列敘述何者正確？（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】由與全等，A、B、C的對應點分別為D、E、F，可得，，，可得；，可得，由大角對大邊可得；利用，可得，即，由上可得正確選項．
【詳解】解：≌，，，，
，．，，．．
，，即．．，．故選：B．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質．利用全等三角形對應角相等，對應邊相等是解題的關鍵．
◆變式訓練
1. （2023·浙江臺州·統考一模）如圖，，點D在邊上，延長交邊于點F，若，則 ．
【答案】/145度
【分析】根據可得，再由三角形內角和得到，利用鄰補角定義求出即可．
【詳解】解：∵，∴，
∵，∴，∴．故答案為：
【點睛】本題考查了全等三角形的性質、三角形內角和以及鄰補角定義，解答關鍵是在全等三角形性質基礎上靈活運用數形結合思想
◇典例9：（2023·浙江臺州·統考中考真題）如圖，銳角三角形中，，點D，E分別在邊，上，連接，．下列命題中，假命題是（ ）．

A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】A
【分析】由，可得，再由，由無法證明與全等，從而無法得到；證明可得；證明，可得，即可證明；證明，即可得出結論．
【詳解】解：∵，∴，
∵若，又，∴與滿足“”的關系，無法證明全等，
因此無法得出，故A是假命題，∵若，∴，
在和中，，∴，∴，故B是真命題；
若，則，在和中，，∴，∴，∵，∴，故C是真命題；
若，則在和中，
，∴，∴，故D是真命題；故選：A．
【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫假命題，判斷命題的真假關鍵是掌握相關性質定理．
◆變式訓練
1.（2023·山東·統考中考真題）如圖，在正方形方格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，點均在小正方形方格的頂點上，線段交于點，若，則等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據三角形外角的性質及平行線的性質可進行求解．
【詳解】解：如圖，由圖可知：，，

∴，∴，∵，∴，
∵，∴，
∴；故選C．
【點睛】本題主要考查全等三角形的性質與判定，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．
◇典例10：（2023·江蘇南通·統考中考真題）如圖，點，分別在，上，，，相交于點，． 求證：．
小虎同學的證明過程如下：
證明：∵，∴．
∵，∴．第一步
又，，∴第二步
∴第三步

(1)小虎同學的證明過程中，第___________步出現錯誤；(2)請寫出正確的證明過程．
【答案】(1)二(2)見解析
【分析】（1）根據證明過程即可求解．（2）利用全等三角形的判定及性質即可求證結論．
【詳解】（1）解：則小虎同學的證明過程中，第二步出現錯誤，故答案為：二．
（2）證明：∵，，
在和中，，，，
在和中，，，．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質，熟練掌握其判定及性質是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·陜西·統考中考真題）如圖，在中，，．過點作，垂足為，延長至點．使．在邊上截取，連接．求證：．

【答案】見解析
【分析】利用三角形內角和定理得的度數，再根據全等三角形的判定與性質可得結論．
【詳解】證明：在 中，，，．
．．，．
在和中，，∴．．
【點睛】此題考查的是全等三角形的判定與性質，掌握其性質定理是解決此題的關鍵．
2．（2023·湖南·統考中考真題）如圖，，，，垂足分別為，．

(1)求證：；(2)若，，求的長．
【答案】(1)見解析(2)
【分析】（1）利用“”可證明；（2）先利用全等三角形的性質得到，再利用勾股定理計算出，從而得到的長，然后計算即可．
【詳解】（1）證明：，，，
在和中，，；
（2）解：，，
在中，，
，．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質：全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．
3．（2023·吉林·統考中考真題）如圖，點C在線段上，在和中，．求證：．

【答案】證明見解析
【分析】直接利用證明，再根據全等三角形的性質即可證明．
【詳解】解：在和中，∴ ∴．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．
◇典例11：（2023·重慶·統考中考真題）如圖，在中，，，點D為上一點，連接．過點B作于點E，過點C作交的延長線于點F．若，，則的長度為 ．

【答案】3
【分析】證明，得到，即可得解．
【詳解】解： ∵，∴，
∵，，∴，∴，∴，
在和中：，∴，
∴，∴，故答案為：3．
【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質．利用同角的余角相等和等腰三角形的兩腰相等證明三角形全等是解題的關鍵．
◆變式訓練
1. （2023·山東臨沂·統考中考真題）如圖，．

(1)寫出與的數量關系(2)延長到，使，延長到，使，連接．求證：．(3)在（2）的條件下，作的平分線，交于點，求證：．
【答案】(1)，(2)見解析(3)見解析
【分析】（1）勾股定理求得，結合已知條件即可求解；
（2）根據題意畫出圖形，證明，得出，則，即可得證；
（3）延長交于點，延長交于點，根據角平分線以及平行線的性質證明，進而證明，即可得證．
【詳解】（1）解：∵∴，
∵∴即；
（2）證明：如圖所示，
∴∴，∵，∴
∵，,∴
∴∴ ∴
（3）證明：如圖所示，延長交于點，延長交于點，

∵，，∴，∴
∵是的角平分線，∴，∴∴
∵，∴，，∴，
又∵，∴，
即，∴，又，則，
在中，，∴，∴
【點睛】本題考查了全等三角形的與判定，等腰三角形的性質與判定，勾股定理，平行線的性質與判定，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．
2．（2023·青海海西·校考一模）請完成如下探究系列的有關問題：
探究1：如圖1，是等腰直角三角形，，點為上一動點，連接，以為邊在的右側作正方形，連接，則線段，之間的位置關系為　　，數量關系為　　．
探究2：如圖2，當點運動到線段的延長線上，其余條件不變，探究1中的兩條結論是否仍然成立？為什么？（請寫出證明過程）
探究3：如圖3，如果，，仍然保留為，點在線段上運動，請你判斷線段，之間的位置關系，并說明理由．

【答案】探究1：；探究2，仍然成立，理由見詳解；探究3：，理由見詳解
【分析】探究1：根據題意證明，推出，推出，推出即可；探究2：結論不變，證明方法與探究1類似；
探究3，過點作，交的延長線于點，時，利用正方形性質可推出即可得到，得出結論．
【詳解】探索1：，，
四邊形為正方形，，，，
在和中，，，
，，，，
故答案為： ，；
探索2：探索1中的兩條結論是否仍然成立，
理由如下：，，
四邊形為正方形，，，
在和中，，，
，，，；
探索3：線段，之間的位置關系是，
理由如下：如圖，過點作，交的延長線于點，

，，，四邊形為正方形，，
，，，
，，，
線段，之間的位置關系是．
【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，余角的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．
■考點四　全等三角形的實際應用
◇典例12：（2023·甘肅蘭州·統考中考真題）綜合與實踐
問題探究：（1）如圖1是古希臘數學家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9：“平分一個已知角．”即：作一個已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在和上分別取點C和D，使得，連接，以為邊作等邊三角形，則就是的平分線．

請寫出平分的依據：____________；
類比遷移：（2）小明根據以上信息研究發現：不一定必須是等邊三角形，只需即可．他查閱資料：我國古代已經用角尺平分任意角．做法如下：如圖3，在的邊，上分別取，移動角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點M，N重合，則過角尺頂點C的射線是的平分線，請說明此做法的理由；
拓展實踐：（3）小明將研究應用于實踐．如圖4，校園的兩條小路和，匯聚形成了一個岔路口A，現在學校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等．試問路燈應該安裝在哪個位置？請用不帶刻度的直尺和圓規在對應的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）作圖見解析；
【分析】（1）先證明，可得，從而可得答案；
（2）先證明，可得，可得是的角平分線；
（3）先作的角平分線，再在角平分線上截取即可．
【詳解】解：（1）∵，，，
∴，∴，∴是的角平分線；故答案為：
（2）∵，，，∴，
∴，∴是的角平分線；
（3）如圖，點即為所求作的點；
．
【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，角平分線的定義與角平分線的性質，作已知角的角平分線，理解題意，熟練的作角的平分線是解本題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2022·江蘇揚州·中考真題）如圖，小明家仿古家具的一塊三角形形狀的玻璃壞了，需要重新配一塊．小明通過電話給玻璃店老板提供相關數據，為了方便表述，將該三角形記為，提供了下列各組元素的數據，配出來的玻璃不一定符合要求的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據SSS，SAS，ASA逐一判定，其中SSA不一定符合要求．
【詳解】A. ．根據SSS一定符合要求；B. ．根據SAS一定符合要求；
C. ．不一定符合要求；D. ．根據ASA一定符合要求．故選：C．
【點睛】本題考查了三角形全等的判定，解決問題的關鍵是熟練掌握判定三角形全等的SSS，SAS，ASA三個判定定理．
2．（2023·江蘇鹽城·校考一模）（1）如圖，A、B兩點分別位于一個池塘的兩端，小聰想要測量A、B間的距離，一位同學幫他想了一個辦法：先在地上取一個可以直接到達A、B的點O，分別延長、至點M、N，使得，再連接，則的長度即為池塘A、B間的距離．請說明理由．（2）在下面的網格圖中有三個點A、B、D，其中點A和點D在網格線的交點處，點B在網格線上，請找出點C，使得四邊形是平行四邊形．（僅用無刻度的直尺作圖，保留作圖痕跡，不需說明理由）

【答案】（1）理由見解析（2）圖見解析
【分析】（1）證明，即可得出結論；（2）連接，交網格線于點，連接并延長，交網格線于點，連接，四邊形即為所求．
【詳解】（1）證明：在和中，∴，∴；
（2）連接，交網格線于點，連接并延長，交網格線于點，連接，四邊形即為所求，如圖：

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，無刻度尺作圖．解題的關鍵是掌握全等三角形的判定定理，以及對角線互相平分的四邊形為平行四邊形．
■考點五　角平分線的性質與判定
◇典例13：（2023·福建·統考中考真題）閱讀以下作圖步驟：
①在和上分別截取，使；
②分別以為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點；
③作射線，連接，如圖所示．根據以上作圖，一定可以推得的結論是（ ）

A．且 B．且C．且 D．且
【答案】A
【分析】由作圖過程可得：，再結合可得，由全等三角形的性質可得即可解答．
【詳解】解：由作圖過程可得：，
∵，∴．∴．∴A選項符合題意；
不能確定,則不一定成立，故B選項不符合題意；
不能確定,故C選項不符合題意，
不一定成立，則不一定成立，故D選項不符合題意．故選A．
【點睛】本題主要考查了角平分線的尺規作圖、全等三角形的判定與性質等知識點，理解尺規作圖過程是解答本題的關鍵．
◆變式訓練
1.（2023·吉林長春·統考中考真題）如圖，用直尺和圓規作的角平分線，根據作圖痕跡，下列結論不一定正確的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據作圖可得，進而逐項分析判斷即可求解．
【詳解】解：根據作圖可得，故A，C正確；
∴在的垂直平分線上，∴，故D選項正確，
而不一定成立，故B選項錯誤，故選：B．
【點睛】本題考查了作角平分線，垂直平分線的判定，熟練掌握基本作圖是解題的關鍵．
2.（2023·河北滄州·模擬預測）畫的平分線的方法有多種，嘉嘉和淇淇的方法如圖所示，下列判斷正確的是（ ）
嘉嘉 ①利用直尺和三角板畫； ②在上截取，使； ③作射線，即為所求． 淇淇 ①利用圓規截取，； ②連接，，相交于點； ③作射線，即為所求．
A．只有嘉嘉對 B．只有淇淇對 C．兩人都對 D．兩人都不對
【答案】C
【分析】用平行線的性質，等腰三角形的性質可判斷嘉嘉的作法；用三角形全等可判定淇淇的作法．
【詳解】∵，∴；

∵，∴，∴，故射線平分，故嘉嘉的作法正確；
∵，∴，∴，
∵，；∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
故射線平分，故淇淇的作法正確；故選C．
【點睛】本題考查了角的平分線的基本作圖，平行線的性質，等腰三角形的性質，三角形全等的判定和性質，熟練掌握平行線的性質，等腰三角形的性質，三角形全等的判定和性質是解題的關鍵．
◇典例14：（2023·湖南·統考中考真題）如圖，在中，，按以下步驟作圖：①以點為圓心，以小于長為半徑作弧，分別交于點，；②分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，在內兩弧交于點；③作射線，交于點．若點到的距離為，則的長為 ．
【答案】
【分析】根據作圖可得為的角平分線，根據角平分線的性質即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點作于點，依題意，
根據作圖可知為的角平分線，∵∴，故答案為：．
【點睛】本題考查了作角平分線，角平分線的性質，熟練掌握基本作圖以及角平分線的性質是解題的關鍵．
◆變式訓練
1.（2023·北京·模擬預測）如圖，中，，平分，，則的面積是 ．
【答案】5
【分析】本題主要考查了角平分線的性質，三角形面積求解，過點D作于E，根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等得到，再根據三角形面積計算公式求解即可．
【詳解】解：如圖所示，過點D作于E，
∵平分，，，∴，
∵，∴，故答案為：5．
2.（2023·江蘇揚州·統考中考真題）如圖，中，，以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交于點M、N，再分別以點M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點E，作射線交于點D，則線段的長為 ．

【答案】
【分析】利用角平分線的性質構造輔助線，將的面積分解成的面積和面積和，轉化成以為未知數的方程求出．
【詳解】如圖：過點作于點，

，由題意得：平分，
，，，
，，
，；故答案為：．
【點睛】本題考查了勾股定理、角平分線的性質、直角三角形面積，重點掌握勾股定理的運用，直角三角形的面積轉換是解題的關鍵．
1．（2023·河北·統考中考真題）四邊形的邊長如圖所示，對角線的長度隨四邊形形狀的改變而變化．當為等腰三角形時，對角線的長為（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】利用三角形三邊關系求得，再利用等腰三角形的定義即可求解．
【詳解】解：在中，，∴，即，
當時，為等腰三角形，但不合題意，舍去；
若時，為等腰三角形，故選：B．
【點睛】本題考查三角形三邊關系以及等腰三角形的定義，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．
2．（2023·新疆·統考中考真題）如圖，在中，以點為圓心，適當長為半徑作弧，交于點，交于點，分別以點，為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧在的內部交于點，作射線交于點．若，，則的長為( )

A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】過點作于點，勾股定理求得，根據作圖可得是的角平分線，進而設，則，根據，代入數據即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點作于點，

在中，，，∴，
根據作圖可得是的角平分線，∴
設，∵∴解得：故選：C．
【點睛】本題考查了作角平分線，角平分線的性質，正弦的定義，勾股定理解直角三角形，熟練掌握基本作圖以及角平分線的性質是解題的關鍵．
3．（2022·四川資陽·中考真題）如圖所示，在中，按下列步驟作圖：
第一步：在上分別截取，使；
第二步：分別以點D和點E為圓心、適當長（大于的一半）為半徑作圓弧，兩弧交于點F；
第三步：作射線交于點M；第四步：過點M作于點N．下列結論一定成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意可知，平分，即可得出正確答案．
【詳解】解：由題意可知，平分，
∵不一定等于90°，∴，因此A選項不正確；
∵不一定等于90°，∴不一定等于，因此B選項不正確；
∵平分，∴，因此C選項不正確；
∵不一定等于90°，∴不一定等于，因此D選項不正確；故選C．
【點睛】本題考查了尺規作圖——角平分線，角平分線的性質，全等三角形的判定，掌握角平分線的作圖方法是本題的關鍵．
4．（2022·四川成都·統考中考真題）如圖，在和中，點，，，在同一直線上，，，只添加一個條件，能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據三角形全等的判定做出選擇即可．
【詳解】A、，不能判斷，選項不符合題意；
B、，利用SAS定理可以判斷，選項符合題意；
C、，不能判斷，選項不符合題意；
D、，不能判斷，選項不符合題意；故選：B．
【點睛】本題考查三角形全等的判定，根據SSS、SAS、ASA、AAS判斷三角形全等，找出三角形全等的條件是解答本題的關鍵．
5．（2023·四川南充·統考中考真題）如圖，在中，，以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交于點M，N，再分別以M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內部相交于點P，畫射線與交于點D，，垂足為E．則下列結論錯誤的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由作圖方法可知，是的角平分線，則由角平分線的定義和性質即可判定A、B；利用勾股定理求出，利用等面積法求出，由此求出即可判斷C、D．
【詳解】解：由作圖方法可知，是的角平分線，
∴，故A結論正確，不符合題意；
∵，∴，故B結論正確，不符合題意；
在中，由勾股定理得，
∵，∴，
∴，∴，
∴，故C結論錯誤，符合題意；
∴，故D結論正確，不符合題意；故選C．
【點睛】本題主要考查了勾股定理，角平分線的性質和定義，角平分線的尺規作圖，靈活運用所學知識是解題的關鍵．
6．（2023·遼寧·統考中考真題）如圖，在三角形紙片中，，點是邊上的動點，將三角形紙片沿對折，使點落在點處，當時，的度數為 ．

【答案】或
【分析】分兩種情況考慮，利用對稱的性質及三角形內角和等知識即可完成求解．
【詳解】解：由折疊的性質得：；∵，∴；
①當在下方時，如圖，∵，
∴，∴；

②當在上方時，如圖，∵，∴，
∴；
綜上，的度數為或；故答案為：或．
【點睛】本題考查了折疊的性質，三角形內角和，注意分類討論．
7．（2023·湖北隨州·統考中考真題）如圖，在中，，D為AC上一點，若是的角平分線，則 ．

【答案】5
【分析】首先證明，，設，在中，利用勾股定理構建方程即可解決問題．
【詳解】解：如圖，過點D作的垂線，垂足為P，

在中，∵，∴，
∵是的角平分線，∴，
∵，∴，∴，，
設，在中，∵，，
∴，∴，∴．故答案為：5．
【點睛】本題考查了角平分線的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
8．（2023·江蘇鹽城·統考中考真題）如圖，，，．(1)求證：；(2)用直尺和圓規作圖：過點作，垂足為．（不寫作法，保留作圖痕跡）
【答案】(1)見解析(2)見解析
【分析】（1）根據邊角邊證明即可證明結論成立；
（2）根據過直線外一點向直線最垂線的作法得出即可．
【詳解】（1）證明：∵，，，∴，∴；
（2）解：所作圖形如圖，
．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，過直線外一點向直線最垂線的作法，熟練記憶正確作法是解題關鍵．
9．（2023·山東聊城·統考中考真題）如圖，在四邊形中，點E是邊上一點，且，．

(1)求證：；(2)若，時，求的面積．
【答案】(1)見解析(2)
【分析】（1）由求出，然后利用證明，可得，再由等邊對等角得出結論；（2）過點E作于F，根據等腰三角形的性質和含直角三角形的性質求出和，然后利用勾股定理求出，再根據三角形面積公式計算即可．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，即，∴，
在和中，，∴，∴，∴；
（2）解：過點E作于F，由（1）知，
∵，∴，∵，∴，
∴，，∴．

【點睛】本題考查了三角形內角和定理，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，含直角三角形的性質以及勾股定理等知識，正確尋找證明三角形全等的條件是解題的關鍵．
10．（2023·江蘇·統考中考真題）如圖，、、、是直線上的四點，．

(1)求證：；(2)點、分別是、的內心．
①用直尺和圓規作出點（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；
②連接，則與的關系是________．
【答案】(1)見解析(2)①見解析 ②
【分析】（1）可證得，結合，即可證明結論．
（2）①三角形的內心為三角形的三個角的角平分線的交點，因此只需作出任意兩個角的角平分線，其交點即為所求．②因為，所以可看作由平移得到，點，點為對應點，點，點為對應點，據此即可求得答案．
【詳解】（1）∵，，，∴．
在和中∴．
（2）①三角形的內心為三角形的三個角的平分線的交點，作，的角平分線，其交點即為點．

②因為，所以可看作由平移得到，點，點為對應點，點，點為對應點，根據平移的性質可知．故答案為：．
【點睛】本題主要考查全等三角形的判定、圖形的平移，牢記全等三角形的判定方法和圖形平移的性質（連接各組對應點的線段平行或在同一條直線上）是解題的關鍵．
11．（2021·浙江紹興市·中考真題）如圖，在中，，點D，E分別在邊AB，AC上，，連結CD，BE．（1）若，求，的度數．（2）寫出與之間的關系，并說明理由．
【答案】（1）；；（2），見解析
【分析】（1）利用三角形的內角和定理求出的大小，再利用等腰三角形的性質分別求出，．（2）利用三角形的內角和定理、三角形外角的性質和等腰三角形的性質，求出用含分別表示，，即可得到兩角的關系．
【詳解】（1），，．
在中，，，，
，．．
（2），的關系：．
理由如下：設，．在中，，
，．，
在中，，．
．．．
【點睛】本題主要通過求解角和兩角之間的關系，考查三角形的內角和定理、三角形外角的性質和等腰三角形的性質．三角形的內角和等于 ．三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內角之和．等腰三角形等邊對等角．
12．（2022·湖南湘潭·中考真題）在中，，，直線經過點，過點、分別作的垂線，垂足分別為點、．
(1)特例體驗：如圖①，若直線，，分別求出線段、和的長；
(2)規律探究：①如圖②，若直線從圖①狀態開始繞點旋轉，請探究線段、和的數量關系并說明理由；②如圖③，若直線從圖①狀態開始繞點A順時針旋轉，與線段相交于點，請再探線段、和的數量關系并說明理由；
(3)嘗試應用：在圖③中，延長線段交線段于點，若，，求．
【答案】(1)BD=1；CE=1；DE=2
(2)DE=CE+BD；理由見解析；②BD=CE+DE；理由見解析 (3)
【分析】（1）先根據得出，根據，得出，，再根據，求出，，
即可得出，最后根據三角函數得出，，
即可求出；
（2）①DE=CE+BD；根據題意，利用“AAS”證明，得出AD=CE，BD=AE，即可得出結論；
②BD=CE+DE；根據題意，利用“AAS”證明，得出AD=CE，BD=AE，即可得出結論；
（3）在Rt△AEC中，根據勾股定理求出，根據，得出，代入數據求出AF，根據AC=5，算出CF，即可求出三角形的面積．
(1)解：∵，，∴，
∵，∴，，
∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴，
∴，，
∴，
∴，
，∴．
(2)DE=CE+BD；理由如下：∵BD⊥AE，CE⊥DE，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∵AB=AC，∴，∴AD=CE，BD=AE，
∴DE=AD+AE=CE+BD，即DE=CE+BD；
②BD=CE+DE，理由如下：∵BD⊥AE，CE⊥DE，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∵AB=AC，∴，∴AD=CE，BD=AE，
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，即BD=CE+DE．
(3)根據解析（2）可知，AD=CE=3，∴，
在Rt△AEC中，根據勾股定理可得：，
∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴，∴，即，
解得：，∴，
∵AB=AC=5，∴．
【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理，平行線的性質，解直角三角形，根據題意證明，是解題的關鍵．
1．（2023·山西朔州·校聯考模擬預測）如圖是位于汾河之上的通達橋，是山西省首座獨塔懸索橋，是連接二青會的水上運動、沙灘排球等項目及場館的主要通道，被譽為“時代之門”．橋身通過吊索與主纜拉拽著整個橋面，形成懸索體系使其更加穩固．其中運用的數學原理是（　　）
A．三角形具有穩定性 B．兩點確定一條直線
C．兩點之間，線段最短 D．三角形的兩邊之和大于第三邊
【答案】A
【分析】根據三角形具有穩定性進行求解即可．
【詳解】解：∵三角形具有穩定性，
∴橋身通過吊索與主纜拉拽著整個橋面，形成懸索體系使其更加穩固，故選A．
【點睛】本題主要考查了三角形具有穩定性，熟知三角形具有穩定性是解題的關鍵．
2．（2023·廣東·中考模擬）八一中學校九年級2班學生楊沖家和李銳家到學校的直線距離分別是和．那么楊沖，李銳兩家的直線距離不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用構成三角形的條件即可進行解答．
【詳解】以楊沖家、李銳家以及學校這三點來構造三角形，設楊沖家與李銳家的直線距離為a，
則根據題意有：，即，
當楊沖家、李銳家以及學校這三點共線時，或者，
綜上a的取值范圍為：，據此可知楊沖家、李銳家的距離不可能是1km，故選：A．
【點睛】本題考查了構成三角形的條件的知識，構成三角的條件：三角形中任意的兩邊之和大于第三邊，任意的兩邊之差小于第三邊．
3．（2022·河北衡水·校考模擬預測）在數學拓展課上，有兩個全等的含角的直角三角板，重疊在一起．李老師將三角板繞點順時針旋轉（保持，延長線段，與線段的延長線交于點（如圖所示），隨著的增大，的值（ ）

A．一直變小 B．保持不變 C．先變小，后變大 D．一直變大
【答案】B
【分析】利用證明，得，從而，則可得出結論．
【詳解】解：如圖，在上截取，連接，，
由題意得：，，，
在和中，，（），
，，
的值保持不變．故選：B．
【點睛】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，熟記旋轉的性質是解題的關鍵．
4．（2023·湖南婁底·統考一模）如圖，中，，以點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交、于點、，再分別以點、為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交于點．若，則點到的距離為（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】本題考查的是角平分線的性質，理解題意作出合適的輔助線是解本題的關鍵．作，根據角平分線的性質得到，即可得答案．
【詳解】解：過點作于，如圖所示，
∵，平分，∴，即是點到的距離為，故選A．
5．（2023·江蘇鹽城·校考一模）如圖，在中，D是的中點，點G是的重心．，則 ．

【答案】4
【分析】根據重心的性質，進行求解即可．
【詳解】解：∵D是的中點，點G是的重心，
∴，∴；故答案為：4．
【點睛】本題考查重心的性質，熟練掌握重心到頂點的距離是中心到對邊中點距離的2倍，是解題的關鍵．
6．（2023·廣東梅州·統考一模）如圖，在邊長為6的正方形內作，交于點E，交于點F，連接，將繞點A順時針旋轉得到．若，則的長為 ．
【答案】2
【分析】本題考查了旋轉的性質、正方形的性質、全等三角形的判定和性質以及勾股定理等知識，熟練掌握上述基本知識、靈活應用方程思想是解題的關鍵．
根據旋轉的性質可得，，，然后根據正方形的性質和等量代換可得，進而可根據證明，可得，設，則與可用含x的代數式表示，然后在中，由勾股定理可得關于x的方程，解方程即得答案．
【詳解】∵將繞點順時針旋轉得到，
，，
在正方形中，，
，點G、B、E在同一直線上,
又，
在和中，，∴，∴，
又四邊形是正方形，， 設，
，，
在中，由勾股定理，得：，
即解得： 的長為2故答案為：2．
6．（2023·重慶渝中·統考二模）如圖，已知點D．為的邊上一點，請在邊上確定一點E，（要求：尺規作圖、保留作圖痕跡、不寫作法）；

下面是小東設計的尺規作圖過程．
作法：①以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，交于點G、F；
②以點D為圓心，長為半徑畫弧，交于點M；
③以點M為圓心，長為半徑畫弧，交弧于點P；
④作射線交于點E，則；
⑤連接，則·
根據小東設計的尺規作圖過程，(1)使用直尺和圓規，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；
(2)完成下面的證明．
證明：分別過點D和點E作，垂足分別為K、H，
∵， ∴ ；
∵，∴ °；
∴ ，∴四邊形是矩形，∴ ；
∵ ， ；∴·
【答案】(1)見解析(2)；；；；
【分析】（1）根據題中步驟作圖；（2）根據同底等高證明即可.
【詳解】（1）解：如圖，

（2）證明：分別過點D和點E作，垂足分別為K、H，
∵，∴；
∵，∴；
∴，∴四邊形是矩形，∴；
∵，；∴·
故答案為：；；；；．
【點睛】本題考查了復雜作圖，掌握三角形的面積公式是解題的關鍵.
7．（2023·北京平谷·統考二模）下面是證明三角形內角和定理推論1的方法，選擇其中一種，完成證明．
三角形內角和定理推論1：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和． 已知：如圖，，點是延長線上一點． 求證：．
方法一：利用三角形的內角和定理的方法 證明： 二：構造平行線進行證明行證明 證明：
【答案】見解析
【分析】方法一：，，即可得出結論；
方法二：過點C作，由平行線的性質得，，再由，即可得出結論．
【詳解】證明：方法一：中，，
∵，∴；
方法二：過點C作，如圖，

∵∴，，
∴．
【點睛】本題考查三角形的內角和定理或平行線的性質，熟練掌握三角形的內角和定理或平行線的性質是解題的關鍵．
8．（2023·福建泉州·校考模擬預測）如圖，在與中，，與相交于點E，．(1)求證：；(2)連接，設線段的中點分別為M，線段的中點分別為N，直線與相交于點F．求證：F，N，E，M四點共線．

【答案】(1)見解析(2)見解析
【分析】（1）證明，由全等三角形的性質得出，得出，則可證出結論；（2）連接，，，由全等三角形的性質得出，，證出，可得，由等腰三角形的性質可得為的垂直平分線，平分，平分，由，為的垂直平分線，進而可得出結論．
【詳解】（1）證明：∵，
在和中，，∴，
∴，∴，∵，∴；
（2）證明：連接，，，

∵，∴，，∴，
又∵為的中點，則∴為的垂直平分線，平分，
∵，∴為的垂直平分線，∴E，M，F三點共線，
∵，，∴，∵N為的中點，∴平分，
∵平分，∴N在上，∴F，N，E，M四點共線．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，線段中垂線的性質，等腰三角形的性質，證明是解題的關鍵．
9．（2023·廣東廣州·校考模擬預測）如圖，線段相交于點E，連接，已知，，延長到F，連接，使得．
(1)求證：；(2)在中，作邊上的中線，延長到N，連接，使，過N作，交的延長線于點G，若，求證：．

【答案】(1)見解析(2)見解析
【分析】（1）利用證明即可；
（2）證明是等邊三角形，再想辦法證明，即可．
【詳解】（1）證明：∵，∴，
∵，∴，
∵，∴；
（2）解：∵，∴，，
∴是等邊三角形，∴，
∴，∴，∴，
∵，∵，
∴，∴，∴．
【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，直角三角形30度角的性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．
10．（2023·江西撫州·校考模擬預測）如圖，在等邊三角形中，點為內一點，連接，，，將線段繞點A順時針旋轉得到，連接，．
(1)用等式表示與的數量關系，并證明； (2)當時，直接寫出的度數為______；若為的中點，連接，用等式表示與的數量關系，并證明．
【答案】(1)，詳見解析(2)①；②
【分析】（1）利用證明，即可得出答案；（2）①由三角形內角和定理知，再利用角度之間的轉化對進行轉化，，從而解決問題；②延長到，使，連接，，得出四邊形為平行四邊形，則且，再利用證明，得．
【詳解】（1）解：，理由如下：
是等邊三角形，，，，
將線段繞點順時針旋轉得到，，，
，，，；

（2）解：①如圖，當時，則，，，
；
②，理由如下：延長到，使，連接，，
為的中點，，四邊形為平行四邊形，
且，，，
又，，，
又，，，，
又為正三角形，，．
【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質等知識，利用倍長中線構造平行四邊形是解題的關鍵．
1．（2023·廣東廣州·校考一模）如圖，在C中，的面積為，，平分，E、F分別為、上的動點，則的最小值是（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】本題考查的是角平分線的性質，垂線段最短，解答此類問題時要從已知條件結合圖形認真思考，通過角平分線性質，垂線段最短，確定線段和的最小值．過點C作，垂足為H，交于F點，過F點作，垂足為，則為所求的最小值，根據的面積為，，結合三角形的面積公式求出，即可解答．
【詳解】解：如圖，過點C作，垂足為H，交于F點，過F點作，垂足為，則為所求的最小值，
∵是的平分線，∴，∴是點C到直線的最短距離（垂線段最短），
∵的面積為，，∴，
∵的最小值是．故選：D．
2．（2023·江蘇揚州·統考一模）如圖，直角中，，，，點是邊上一點，將繞點順時針旋轉到點，則長的最小值是 ．
【答案】2
【分析】本題考查了直角三角形性質，旋轉變換的性質，全等三角形的判定和性質，點到直線的距離垂線段最短等，添加輔助線構造全等三角形是解題關鍵．取的中點，連接，過點作于點，可證得，得出，當且僅當，即點與點重合時，為的最小值，即可得出的最小值為2．
【詳解】解：取的中點，連接，過點作于點，
則，，
，，，，
由旋轉得：，，，
，，
，，，，
當且僅當，即點與點重合時，為的最小值，
的最小值為2．故答案為：2．
3．（2023·北京西城·校考模擬預測）已知等腰直角三角形中，，，點D在射線上移動（不與B、C重合），連接，線段繞點D順時針旋轉得到線段，連接．

(1)如圖1，當點E落在線段上時，①直接寫出的度數______（可用表示）；
②直接用等式表示的數量關系：______；
(2)當點E落在線段的延長線上時，請在圖2中畫出符合條件的圖形，用等式表示的數量關系，并證明你的結論．
【答案】(1)①；②(2)，見解析
【分析】（1）①由旋轉的性質得出，，由等腰三角形的性質得出，由三角形內角和定理得出，則可得出答案；②過點作，證明，由全等三角形的性質得出，由等腰三角形的性質可得出結論；
（2）過點作，交延長線于點，證明，由全等三角形的性質得出，則可得出結論．
【詳解】（1）解：①∵線段繞點D順時針旋轉得到線段
∴，∴∴
∵，∴ ∴∴
②過點作，如下圖：

∵，∴∵∴∴
由勾股定理可得：∴
∵線段繞點D順時針旋轉得到線段∴
∵，∴
∴又∵∴∴
∵，∴
∴故答案為：
（2）解：，理由如下：過點作，交延長線于點，

∵線段繞點D順時針旋轉得到線段∴∴
設，則 ∵，
∴∴∴
∵∴∴
∵∴∴
由勾股定理可得：，∴
∴
【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，旋轉的性質，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．
4．（2023·山西大同·校聯考模擬預測）綜合與實踐
問題情境：在數學活動課上，老師出示了這樣一個問題：如圖，現有一個等腰直角三角形紙板，，，為斜邊上的中線，沿把紙板剪開，再將繞點逆時針旋轉得到，其中點的對應點為，點的對應點為，連接和．試判斷與之間的數量關系和位置關系，并說明理由，
猜想與證明：(1)請解答老師提出的問題；(2)如圖2，邊，的中點分別為，，連接．試判斷和之間的數量關系，并加以證明；
探索發現：(3)如圖3，創意小組的同學在前面同學的啟發下，連接，發現與之間的數量關系是固定不變的，請直接寫出與之間的數量關系．

【答案】(1)，證明見解析(2)，證明見解析(3)，證明見解析
【分析】（1）由，，為斜邊上的中線，可得，，即得，根據將繞點逆時針旋轉得到，有，故，從而；
（2）連接，，取中點，連接，，設交于，交于，由，知，可證，又為中點，為中點，為中點，故，，，，從而，，是等腰直角三角形，可得，即得；（3）連接，由，得，，可證，有，又，，故．
【詳解】（1）解： ，理由如下：，，為斜邊上的中線，
，，，
將繞點逆時針旋轉（＜＜）得到，
，（），；
（2），證明如下，
連接，，取中點，連接，，設交于，交于，如圖：

由（）知，，，
，，
，，，
為中點，為中點，為中點，
，，，，
，，是等腰直角三角形，
，；
（3）；證明如下：連接，如圖：
由（）知，，，，
，
，即，，
，，．
【點睛】本題考查幾何變換綜合應用，全等三角形判定與性質，三角形中位線定理及應用，等腰直角三角形性質與判定，勾股定理及應用等知識，解題的關鍵是掌握旋轉的性質和作輔助線構造直角三角形解決問題．
5．（2023·重慶·校考二模）（1）如圖1，在四邊形中，，，點E、F分別在邊上，且，探究圖中、、之間的數量關系．
小明探究的方法是：延長FD到點G，使，連接AG，先證明，再證明，可得出結論，他的結論是______．
（2）如圖2，在四邊形中，，，點E、F分別在邊上，且，探究上述結論是否仍然成立，并說明理由．
（3）如圖3，在四邊形中，，，若點E在的延長線上，點F在的延長線上，仍然滿足，請直接寫出與的數量關系為______．
【答案】（1）；（2）仍成立，理由見解析；（3）．
【分析】（1）延長到點G，使，連接，證明和即可得出結論．（2）延長到點G，使，連接，證明和即可得出結論．（3）在DC延長線上取一點G，使得，連接AG，證明和，在通過角的和差即可得到結論．
【詳解】解：（1）．理由：如圖1，延長到點G，使，連接，證明和即可得出結論．
在和中， ，
∴，∴，，
∵，，∴，
∵，∴，∴．
故答案為：；
（2）仍成立，理由：如圖2，延長到點G，使，連接，
∵，，∴，
又∵，∴，∴，，
∵，，∴，
∴
（3）．
證明：如圖3，在DC延長線上取一點G，使得，連接AG，
∵，，∴，
又∵，∴，∴，，
∵，，∴，∴，
∵，∴，
∴，即，
∴．故答案為：．
【點睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，根據全等三角形的對應角相等進行推導變形．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑