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第四章 三角形及四邊形
第一節 幾何圖形初步、相交線與平行線
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 認識幾何圖形 ☆ 本專題內容是初中幾何的基礎，在中考數學中屬于基礎考點，年年都會考查，分值為8分左右，大部分地區在選擇、填空題中考察可能性較大，主要考查平行線的性質和判定、方位角、角度的大小等知識，這些知識點考查較容易，另外平行線的性質可能在綜合題中出現，考查學生綜合能力，比如：作平行的輔助線，構造特殊四邊形，此類題目有一定難度，需要學生靈活掌握。對本專題的復習也直接影響后續對其他幾何圖形的學習，需要考生細心對待。
考點2直線、射線、線段的相關概念 ☆
考點3 角的相關概念 ☆☆
考點4 相交線 ☆☆
考點5 平行線的性質與判定 ☆☆☆
■考點一　認識幾何圖形
1.幾何圖形的概念: 我們把實物中抽象出來的各種圖形叫幾何圖形，幾何圖形分為平面圖形和立體圖形。
2.立體圖形的概念：有些幾何圖形的各個部分不都在同一平面內，這個圖形叫做立體圖形。
3.平面圖形的概念：有些幾何圖形的各個部分在同一平面內的圖形，這個圖形叫做平面圖形。
4．正方體的展開圖（共計11種）：
5.幾何圖形的組成：1）點：線和線相交的地方是點，它是幾何圖形最基本的圖形；2）線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線；3）面：包圍著體的是面，分為平面和曲面；4）體：幾何體簡稱體。
6.組成幾何圖形元素的關系：點動成線，線動成面，面動成體。
7.拓展：歐拉公式：V+F-E=2，（其中：頂點數（V）、面數（F）、棱數（E））。
■考點二　直線、射線、線段的相關概念
1.直線的性質：（1）兩條直線相交，只有一個交點；（2）基本事實：經過兩點有且只有一條直線。
2.線段的性質：兩點確定一條直線，兩點之間，線段最短，兩點間線段的長度叫兩點間的距離。
3.線段的中點性質：若C是線段AB中點，則AC=BC=AB；AB=2AC=2BC。
■考點三　角的相關概念
1.角：有公共端點的兩條射線組成的圖形。
2.角平分線定義：在角的內部，以角的頂點為端點把這個角分成兩個相等的角的射線。
性質：若OC是∠AOB的平分線，則∠AOC=∠BOC =∠AOB ，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC。
3.度、分、秒的運算方法：1°=60′，1′=60″，1°=3600″． 1周角=2平角=4直角=360°。
4.余角和補角及其性質
1） 余角：∠1＋∠2＝90° ∠1與∠2互為余角；2）補角：∠1＋∠2＝180° ∠1與∠2互為補角。
3）性質：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補角相等。
■考點四　相交線
1.兩條直線的位置關系：在同一平面內，兩條直線只有兩種位置關系：平行和相交。
2.垂直定義：兩條直線相交所形成的四個角中有一個是直角時叫兩條直線互相垂直。
3.垂直的性質：①經過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；②直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。
4.點到直線的距離：從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這點到這條直線的距離。
5.三線八角：直線a，b被直線l所截，構成八個角（如圖）．其中∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是內錯角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁內角。
6．對頂角：1）定義：兩個角有一個公共的頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為對頂角。2）性質：對頂角相等。
■考點五　平行線的性質與判定
1.平行線的定義：在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。
2.平行公理（唯一性）：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。
平行公理的推論（傳遞性）：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。
3.平行線的判定
（1）同位角相等，兩直線平行．（2）內錯角相等，兩直線平行．（3）同旁內角互補，兩直線平行．
（4）平行于同一直線的兩直線互相平行．（5）垂直于同一直線的兩直線互相平行（同一平面內）。
4.平行線的性質
（1）兩直線平行，同位角相等．（2）兩直線平行，內錯角相等．（3）兩直線平行，同旁內角互補。
5.平行線間的距離
1）定義：同時垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線的線段的長度，叫做這兩條平行線的距離。
2）性質：兩平行線間的距離處處相等，夾在兩平行線間的平行線段相等。
6.除了基本模型外，我們還經常會遇到稍難一些的平行線加折線模型，主要是下面兩類：
做這類題型時，一般在折點處作平行線，進而把線的關系轉換成角的關系，如上圖：
■易錯提示
1. 一條射線要成為一個角的平分線必須同時滿足兩個條件：1）射線必須在角的內部；2）它把這個角分成兩個相等的角；
2. 互為余角、補角是兩個角之間的關系,只與角的度數有關，與角的位置無關；
3. 如果∠α與∠β是對頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對頂角；
4. 平行線必在同一平面內，分別在兩個平面內的兩條直線，即使不相交，也可以不平行，因此“在同一平面內”是平行線存在的前提條件；
5. 在兩直線平行的前提下才存在同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補的結論. 這是平行線特有的性質不要一提同位角或內錯角就認為它們相等，一提同旁內角就認為互補，若沒有兩直線平行的條件，這些是不成立的。
■考點一　認識幾何圖形
◇典例1：（2023·四川樂山·統考中考真題）下面幾何體中，是圓柱的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據圓柱的特征，即可解答．
【詳解】解：A.是正方體，故不符合題意；B.是圓柱，故符合題意；
C.是圓錐，故不符合題意；D.是球體，故不符合題意，故選：B．
【點睛】本題考查了認識立體圖形，熟練掌握每個幾何體的特征是解題的關鍵．
◆變式訓練
1.（2023·江蘇鎮江·校聯考一模）不透明的箱子中裝有一個幾何體模型，小樂和小欣摸該模型并描述它的特征．小樂：它有4個面是三角形；小欣：它有6條棱．則該幾何體模型的形狀可能是（ ）
A．三棱錐 B．三棱柱 C．四棱錐 D．四棱柱
【答案】A
【分析】根據幾何體有4個面是三角形，有6條棱，進行判斷即可．
【詳解】解：∵幾何體有4個面是三角形，
∴幾何體不能是棱柱（棱柱側面均為四邊形，只有三棱柱上下底面是三角形）；
又∵幾何體有6條棱，∴選項中只有A選項符合題意；故選A．
【點睛】本題考查幾何體的判斷．熟練掌握常見幾何體的特征，是解題的關鍵．
◇典例2：（2023·湖南益陽·統考中考真題）下列正方體的展開圖中，是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據軸對稱圖形的定義分別判斷可得出結果．
【詳解】解：由軸對稱圖形定義可知：A，B，C不能找到這樣的一條直線使圖形沿著這條直線對折后兩部分完全重合，所以不是軸對稱圖形；
D選項中的圖形能找到這樣的一條直線使圖形沿著這條直線對折后兩部分完全重合，是軸對稱圖形，
故選：D．
【點睛】此題主要是考查了軸對稱圖形的定義，如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，那么這樣的圖形就叫做軸對稱圖形．
◆變式訓練
1.（2023·山東·統考中考真題）如圖是一正方體的表面展開圖．將其折疊成正方體后，與頂點K距離最遠的頂點是（　　）

A．A點 B．B點 C．C點 D．D點
【答案】D
【分析】根據題意畫出立體圖形，即可求解．
【詳解】解：折疊之后如圖所示，則K與點D的距離最遠，故選D．

【點睛】本題考查了正方體的展開與折疊，學生需要有一定的空間想象能力．
2.（2023·湖北宜昌·統考中考真題）“爭創全國文明典范城市，讓文明成為宜昌人民的內在氣質和城市的亮麗名片”．如圖，是一個正方體的平面展開圖，把展開圖折疊成正方體后，“城”字對面的字是（ ）．

A．文 B．明 C．典 D．范
【答案】B
【分析】根據正方體的平面展開圖的特點，相對的兩個面中間一定隔著一個小正方形，且沒有公共邊和公共頂點，即“對面無鄰點”，以此來找相對面．
【詳解】解：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，
“城”字對面的字是“明”，故選：B.
【點睛】本題考查了正方體相對面上的字，熟練掌握正方體的平面展開圖特點是解題的關鍵．
◇典例3：（2022·廣西柳州·統考中考真題）如圖，將矩形繞著它的一邊所在的直線l旋轉一周，可以得到的立體圖形是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據面動成體：一個長方形繞著它的一條邊所在的直線旋轉一周后所得到的立體圖形是圓柱，據此判斷即可．
【詳解】解：由題意可知：
一個長方形繞著它的一條邊所在的直線旋轉一周后所得到的立體圖形是圓柱．故選：B
【點睛】本題考查了圓柱的概念和面動成體，屬于應知應會題型，熟練掌握基礎知識是解題關鍵．
◆變式訓練
1.（2023·江蘇無錫·校考三模）一塊直角邊分別為6和8的三角形木板，繞長度為8的邊旋轉一周，則斜邊掃過的面積是（　　）
A．45 B． C．60 D．
【答案】D
【分析】先根據題意畫出圖形，求出圓錐的側面積即可．
【詳解】如圖，一塊直角邊分別為6和8的三角形木板，繞長度為8的邊旋轉一周，得到一個底面半徑為6，高為8的圓錐，斜邊即圓錐的母線掃過的面積即為圓錐的側面積，
∵，，∴．∴．故選D．
【點睛】本題主要考查了圓錐的側面積，熟記圓錐的側面積公式是解題的關鍵．
2.（2023·河南信陽·二模）妹妹把一密閉且透明的圓柱形水杯中裝一半的水，隨意轉動水杯，水面的形狀不可能是（ ）
A．三角形 B．長方形 C．圓形 D．橢圓
【答案】A
【分析】根據圓柱體的截面形狀，判斷即可．
【詳解】解：因為圓柱的截面形狀可能是圓形，橢圓形或長方形，所以，一個密閉且透明的圓柱形水杯中裝一半的水，隨意轉動水杯，則水面的形狀不可能是三角形．故選：A．
【點睛】本題考查了截一個幾何體，熟練掌握圓柱體的截面形狀是解題的關鍵．
◇典例5：（2023·湖南·統考中考真題）七巧板是我國民間廣為流傳的一種益智玩具，某同學用邊長為的正方形紙板制作了一副七巧板（如圖），由5個等腰直角三角形，1個正方形和1個平行四邊形組成．則圖中陰影部分的面積為 ．

【答案】
【分析】根據正方形的性質，以及七巧板的特點，求得的長，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，依題意，，

∴圖中陰影部分的面積為 故答案為：．
【點睛】本題考查了正方形的性質，勾股定理，七巧板，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·廣東深圳·校考三模）七巧板是我國古代勞動人民的發明之一，被譽為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的，如圖，是一個用七巧板拼成的裝飾圖，放入長方形內，裝飾圖中的三角形頂點E，F分別在邊上，三角形①的邊在邊上，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設七巧板正方形的邊長為x，根據正方形的性質、矩形的性質分別表示出，的長，即可求解．
【詳解】解：設七巧板正方形的邊長為，，，，，
．故選：D．
【點睛】本題考查了矩形的性質，七巧板，勾股定理，正方形的性質，表示出，的長是解題的關鍵．
◇典例6：（2020·山東棗莊·中考真題）歐拉（Euler，1707年~1783年）為世界著名的數學家、自然科學家，他在數學、物理、建筑、航海等領域都做出了杰出的貢獻．他對多面體做過研究，發現多面體的頂點數（Vertex）、棱數E（Edge）、面數F（Flat surface）之間存在一定的數量關系，給出了著名的歐拉公式．
（1）觀察下列多面體，并把下表補充完整：
名稱 三棱錐 三棱柱 正方體 正八面體
圖形
頂點數V 4 6 8
棱數E 6 12
面數F 4 5 8
（2）分析表中的數據，你能發現V、E、F之間有什么關系嗎？請寫出關系式：___________________．
【答案】（1）表格詳見解析；（2）
【分析】（1）通過認真觀察圖象，即可一一判斷；（2）從特殊到一般探究規律即可．
【詳解】解：（1）填表如下：
名稱 三棱錐 三棱柱 正方體 正八面體
圖形
頂點數V 4 6 8 6
棱數E 6 9 12 12
面數F 4 5 6 8
（2）據上表中的數據規律發現，多面體的頂點數V、棱數E、面數F之間存在關系式：．
【點睛】本題考查規律型問題，歐拉公式等知識，解題的關鍵是學會從特殊到一般探究規律的方法，屬于中考常考題型．
◆變式訓練
1．（2023·貴州銅仁·統考三模）18世紀瑞士數學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的一個有趣的關系式，被稱為歐拉公式．請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題．
(1)根據上面的多面體模型，直接寫出表格中的m，n的值，則______，______．
多面體 頂點數（V） 面數（F） 棱數（E）
四面體 4 4 6
長方體 m 6 12
正八面體 n 8 12
正十二面體 20 12 30
(2)你發現頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的關系式是_______．
(3)一個多面體的面數等于頂點數，且這個多面體有30條棱，求這個多面體的面數．
【答案】(1)8；6(2)V+F-E=2(3)這個多面體的面數為16
【分析】（1）觀察圖形即可得出結論； （2）觀察可得：頂點數+面數-棱數=2；
（3）將所給數據代入（2）中的式子即可得到面數．
【詳解】（1）解：觀察圖形，長方體的頂點數為8；正八面體的頂點數為6；
多面體 頂點數（V） 面數（F） 棱數（E）
四面體 4 4 6
長方體 8 6 12
正八面體 6 8 12
正十二面體 20 12 30
故答案為：8；6；
（2）解：觀察表格可以看出：頂點數+面數-棱數=2，關系式為：V+F-E=2；
（3）解：由題意得：F+F-30=2，解得F=16，∴這個多面體的面數為16．
【點睛】本題主要考查多面體的頂點數，面數，棱數之間的關系及靈活運用，正確理解題意是解題的關鍵．
■考點二　直線、射線、線段的相關概念
◇典例7：（2023·河北石家莊·校考模擬預測）如圖，若射線與線段有一個公共點，則射線可能經過的點是（　　）

A．點D B．點E C．點Q D．點M
【答案】A
【分析】把P與各點的連線畫出來，進而可得答案．
【詳解】解：如圖，連接，，，，，由圖可知與線段相交，

∴射線可能經過的點是D，故選：A．
【點睛】本題考查了射線與線段．解題的關鍵在于熟練掌握射線、線段的特征．
◆變式訓練
1. （2023·河北保定·保定市第十七中學校考三模）如圖，直線，和線段將平面分成五個區域（不包含邊界），若線段與線段有公共點，則點落在的區域是（ ）

A．① B．② C．③ D．④或⑤
【答案】B
【分析】根據線段的特點進行判斷即可．
【詳解】解：∵線段與線段有公共點，∴點Q在②區域內，故B正確．故選：B．
【點睛】本題主要考查了線段、直線和射線的定義，相交的定義，解題的關鍵是熟練掌握相交的定義．
◇典例8：（2022·廣西柳州·統考中考真題）如圖，從學校A到書店B有①、②、③、④四條路線，其中最短的路線是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】根據兩點之間線段最短進行解答即可．
【詳解】解：∵兩點之間線段最短，
∴從學校A到書店B有①、②、③、④四條路線中，最短的路線是②，故B正確．故選：B．
【點睛】本題主要考查了兩點之間線段最短，解題的關鍵是熟練掌握兩點之間所有連線中，線段最短．
◆變式訓練
1. （2023·陜西西安·模擬預測）如圖，鋸木板前，在木板兩端固定兩個點，用墨盒彈一根墨線然后再鋸，這樣做的數學道理是（ ）
A．兩點之間線段最短 B．兩點確定一條直線
C．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
D．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行
【答案】B
【分析】根據兩點確定一條直線進行求解即可．
【詳解】解：鋸木板前，在木板兩端固定兩個點，用墨盒彈一根墨線然后再鋸，這樣做的數學道理是兩點確定一條直線，故選B．
【點睛】本題考查了兩點確定一條直線，正確理解題意是解題的關鍵．
2.（2023·浙江杭州·模擬預測）下面說法正確的是（ ）
A．兩點間的連線的長度，叫做兩點間的距離 B．連結兩點的線段，叫做兩點間的距離
C．兩點間的距離就是兩點間的路程 D．兩點間的距離是連結兩點的線段的長度
【答案】D
【分析】根據兩點間的距離的定義：連接兩點間的線段的長度叫做兩點間的距離，即可求解．
【詳解】連接兩點間的線段的長度叫做兩點間的距離，故A、B、C錯誤，D正確．故選：D．
【點睛】本題考查了兩點間的距離的定義，解題的關鍵是要明確：連接兩點間的線段的長度叫做兩點間的距離，不能漏掉“長度”．
◇典例9：（2023·黑龍江大慶·統考一模）哈齊高鐵于2015年開通，是我國目前最北端的高速鐵路，開通8年時間，方便了千千萬萬大慶市民出行，也推動了龍江經濟發展．從大慶西站到哈爾濱站中間有4個車站，共有 種票價．（注：擬設每兩個城市之間的票價相同）
【答案】15
【分析】把中途4站看作線段上的4個點，數出線段的數量即可求解．
【詳解】把中途4站看作線段上的4個點．
線段共有：（條），所以有15種不同的票價．故答案為：15．
【點睛】本題考查了線段數量問題，將問題轉化是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·湖北武漢·校考模擬預測）2條直線最多有個交點，3條直線最多有個交點，按照規律依此類推，2023條直線最多有個交點，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出，，，由此發現規律，可得，從而得到，即可求解．
【詳解】解：根據題意得：，，，……，
由此發現，，∴，
∴
．故選：B
【點睛】本題主要考查了直線的交點個數，數字類規律題，明確題意，準確得到規律是解題的關鍵．
2．（2023·安徽蚌埠·校考二模）將一塊等邊三角形蛋糕切三次，最多能分成的塊數為（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【分析】根據題意畫出圖形即可求解．
【詳解】如圖所示，將一塊等邊三角形蛋糕切三次，最多能分成的塊數為塊，故選：C．
【點睛】本題考查了直線分平面問題，理解題意是解題的關鍵．
◇典例10：（2023·河北滄州·校考模擬預測）有兩道作圖題：①“延長線段到，使”；②“反向延長線段，使點是線段的一個三等分點”．小明正確的作出了圖形．他的兩個同學嘉嘉、淇淇展開了討論：嘉嘉說：“點是線段中點”；淇淇說：“如果線段，那么線段”，下列說法正確的是( )
A．嘉嘉對，淇淇不對 B．嘉嘉不對，淇淇對
C．嘉嘉、淇淇都不對 D．嘉嘉、淇淇都對
【答案】A
【分析】根據作圖的方法以及線段的中點，三等分點的定義，即可求解．
【詳解】解：①“延長線段到，使”，則點是線段中點，故嘉嘉說法正確；
②“反向延長線段，使點是線段的一個三等分點”，如圖，如果線段，那么線段或，故淇淇說法錯誤．故選：A．

【點睛】本題考查了線段的中點，線段的三等分點，畫線段，分類討論是解題的關鍵
◆變式訓練
1．（2023·河北石家莊·校聯考模擬預測）如圖，某同學用直尺畫數軸．數軸上點A、分別在直尺的，處，若點A對應，直尺的0刻度位置對應，則線段中點對應的數為（ ）

A．4 B．5 C．8 D．12
【答案】A
【分析】根據題意得出代表數軸上兩個單位長度，求出線段中點對應直尺處，再求線段中點對應的數即可．
【詳解】解：∵點A、分別在直尺的，處，點A對應，直尺的0刻度位置對應，
∴代表數軸上兩個單位長度，∴線段中點對應直尺處，
∴線段中點對應的數為：故選：A．
【點睛】題目主要考查數軸上兩點之間的距離，理解題意是解題關鍵．
2.（2023·浙江·模擬預測）如圖，A，B兩地相距1200m，小車從A地出發，以8m/s的速度向B地行駛，中途在C地停靠3分鐘．大貨車從B地出發，以5m/s的速度向A地行駛，途經D地（在A地與C地之間）時沿原路返回B點取貨兩次，且往返兩次速度都保持不變（取貨時間不計），取完兩批貨后再出發至A點．已知：，則直至兩車都各自到達終點時，兩車相遇的次數為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】由題意可求出，，，．再根據題意結合速度=路程÷時間討論即可．
【詳解】解：由題意可知．∵，∴，，
∴，．
當大貨車第一次到達D地時，用時，∴此時小車行駛路程為．
∵，∴此過程兩車不相遇；
當大貨車第一次由D地返回B地，且到達C地的過程中，
∵，∴大貨車到達C地用時．
假設此過程中兩車相遇，且又經過t秒相遇，則，
解得：，即說明大貨車到達C地之前沒相遇；
當大貨車繼續由C地返回B地時，∵，∴大貨車到達B地用時．
此時大貨車共行駛．∵小車到達C地用時，
∴當大貨車到達B地時，小車已經到達C地停靠．
∵小車中途在C地停靠3分鐘，即，
∴當大貨車到達B地時，小車在C地還需停靠．
當大貨車又從B地出發前往D地時，用時，
∴當大貨車到達D地時小車還在停靠，即此時第一次相遇，
∴此時小車剩余停靠時間，
∴當小車出發時，大貨車第二次從D地前往B地行駛了．
假設大貨車到達B地前小車能追上大貨車，且用時為，則，
解得：，即說明大貨車到達B地前小車沒追上大貨車，∴此過程兩車沒相遇．
當大貨車最后由B地前往A地時，小車正在向B地行駛，∴兩車此過程必相遇．
綜上可知，兩車相遇的次數為2次．故選A．
【點睛】本題考查線段的n等分點，線段的和與差，一元一次方程的實際應用．讀懂題意，列出算式或方程是解題關鍵．
■考點三　角的相關概念
◇典例11：（2023·山東臨沂·統考中考真題）下圖中用量角器測得的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由圖形可直接得出．
【詳解】解：由題意，可得，故選：C．
【點睛】本題考查角的度量，量角器的使用方法，正確使用量角器是解題的關鍵．
◆變式訓練
1.（2023·湖北恩施·校考模擬預測）用一個10倍的放大鏡看一個的角，看到的角的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把角按一定比例放大或縮小，角的度數不變．
【詳解】解：放大鏡看一個的角，角的兩邊的張開程度沒變，即角的度數不變，故選：D．
【點睛】本題考查角的概念，關鍵是掌握圖形的放大或縮小的性質．
2. （2023·河北·統考中考真題）淇淇一家要到革命圣地西柏坡參觀．如圖，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，則淇淇家位于西柏坡的（ ）

A．南偏西方向 B．南偏東方向 C．北偏西方向 D．北偏東方向
【答案】D
【分析】根據方向角的定義可得答案．
【詳解】解：如圖：∵西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，
∴淇淇家位于西柏坡的北偏東方向．故選D．

【點睛】本題主要考查方向角，理解方向角的定義是正確解答的關鍵．
3.（2023·浙江寧波·校考一模）下列選項中，可以用來說明命題“兩個銳角的和是鈍角”是假命題的例子是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】說明是假命題只要舉出兩個銳角的和不是鈍角即可．
【詳解】解：A．，，則，能說明；
B．，，則，不能說明；
C． ，，不是銳角，不可以說明；
D．，，不是銳角，不能說明；故選：A．
【點睛】本題考查說明一個命題是假命題．比較簡單，只需要條件符合，結論不符即可．
◇典例12：（2023·廣東河源·三模）任意一個銳角的補角與這個銳角的余角的差等于 ．
【答案】90
【分析】本題主要考查了補角和余角．設這個銳角為x，可得一個銳角的補角與這個銳角的余角的差等于，即可求解．
【詳解】解：設這個銳角為x，依題意得：．故答案為：90．
◆變式訓練
1.（2023·廣東佛山·統考三模）已知，與互為余角，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據互為余角的定義即可求解．
【詳解】解：∵與互為余角，∴，
又∵，∴，故選：B．
【點睛】本題考查互為余角的定義，熟練掌握如果兩個角的和等于，則這兩個角互為余角是解題的關鍵．
2．（2023·陜西咸陽·校考三模）若，則補角的大小是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】兩個角的和為 則這兩個角互為補角，根據補角的含義可得答案．
【詳解】解：∵，∴的補角為 故選D．
【點睛】本題考查的是互補的兩個角之間的關系，掌握“兩角互補的含義”是解本題的關鍵．
3.（2023·北京大興·統考一模）已知，，，四點的位置如圖所示，下列結論正確的是（ ）
A． B． C．比大 D．與互補
【答案】D
【分析】分別求出、、、的大小，即可進行判斷．
【詳解】解：由題意可得，，，，，
∴選項A、B、C都不正確，，∴選項D正確，故選：D
【點睛】此題考查了角的大小和計算，正確求解角的度數是解題的關鍵．
4.（2023·吉林·統考中考真題）如圖，在中，，分別以點B和點C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩孤交于點D，作直線交于點E．若，則的大小為 度．

【答案】55
【分析】首先根據題意得到是的角平分線，進而得到．
【詳解】∵由作圖可得，是的角平分線
∴．故答案為：55．
【點睛】此題考查了作角平分線，角平分線的定義，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．
■考點四　相交線
◇典例13：（2023·河南·統考中考真題）如圖，直線，相交于點O，若，，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據對頂角相等可得，再根據角的和差關系可得答案．
【詳解】解：∵，∴，
∵，∴，故選：B
【點睛】本題主要考查了對頂角的性質，解題的關鍵是掌握對頂角相等．
◆變式訓練
1.（2023·青海·統考中考真題）如圖，直線，相交于點O，，則的度數是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據鄰補角可進行求解．
【詳解】解：∵，∴，故選：A．
【點睛】本題主要考查鄰補角，熟練掌握鄰補角是解題的關鍵．
2.（2023·河南周口·校考模擬預測）如圖，直線相交于點，若，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據對頂角相等，垂直的定義，結合已知條件得出，解方程，即可求解．
【詳解】解：∵，∴
∵，
∴解得：，故選：C．
【點睛】本題考查對頂角相等，垂直的定義，一元一次方程的應用，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
◇典例14：（2023·河北秦皇島·模擬預測）如圖，在三角形中，，，垂足為D，則下列說法不正確的是（ ）

A．線段的長是點A到的距離 B．線段的長是點C到的距離
C．線段的長是點B到的距離 D．線段的長是點B到的距離
【答案】B
【分析】根據點到直線的距離：直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離判斷即可得到答案．
【詳解】解：A、線段的長是點A到的距離，正確，不合題意；
B、線段的長是點A到的距離，錯誤，符合題意；
C、線段的長是點B到的距離，正確，不合題意；
D、線段的長是點B到的距離，正確，不合題意；故選：B．
【點睛】此題考查的是點到直線的距離，掌握其概念是解決此題的關鍵．
◆變式訓練
1.（2023·吉林長春·模擬預測）長春市解放大路和新民大街分別是東西走向與南北走向，如交通圖所示，小致同學想從新民廣場盡快走到解放大路，他選擇沿新民大街走，小致這樣走的數學依據 ．

【答案】垂線段最短
【分析】由垂線段的性質，垂線段最短，即可解得．
【詳解】解：由題意可得：小致這樣走的數學依據 垂線段最短，故答案為：垂線段最短．
【點睛】本題考查垂線段最短，正確理解垂線段最短的含義是關鍵．
2.（2023·浙江杭州·校聯考三模）如圖，點P是直線l外一點，A，O，B，C在直線l上，且，其中，則點P到直線l的距離可能是（　　）

A．3.2 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】A
【分析】根據垂線段最短解決此題．
【詳解】解：根據垂線段最短，，∵，∴A符合要求．故選：A．
【點睛】本題主要考查了點到直線的距離，熟知“垂線段最短”是解答此題的關鍵．
◇典例15：（2023·山東淄博·統考一模）有以下命題：①對頂角相等；②經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行；③同位角相等．其中假命題的是（ ）
A．①② B．② C．③ D．②③
【答案】C
【分析】根據對頂角相等、平行公理、平行線的性質，對選項一一進行分析，即可得出答案．
【詳解】解：①對頂角相等，故該命題是真命題；
②經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行，故該命題是真命題；
③兩直線平行，同位角相等，故該命題是假命題．故選：C．
【點睛】本題主要考查真假命題的判斷、對頂角相等、平行線的性質、平行公理，熟練掌握相關的性質定理是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2022·河北石家莊·考模擬預測）如圖，在同一平面內．經過直線l外一點O有四條直線①②③④，借助直尺和三角板判斷，與直線l平行的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】由過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，即可得到答案．
【詳解】解：經過刻度尺平移測量，③符合題意，故選：C．
【點睛】本題考查了平行線，利用了平行線的性質：過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．
2.（2023·四川宜賓·模擬預測）有下列說法：對頂角相等；同位角相等；過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；點到直線的距離即為垂線段；同旁內角互補，兩直線平行其中正確的有 ．
【答案】
【分析】分別利用平行線的性質、對頂角的性質及平行公理對四個選項逐一判斷后即可確定正確選項．
【詳解】解：對頂角相等，故正確；只有在兩直線平行的條件下，同位角一定相等，故錯誤；
在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故錯誤；
點到直線的距離即為垂線段的長度，故錯誤；
同旁內角互補，兩直線平行，正確；故答案為：．
【點睛】本題考查平行線的性質、對頂角的性質及平行公理的知識，屬于基礎定理及定義，難度不大．
◇典例16：（2023·浙江杭州·模擬預測）如圖，直線l1，l2被直線l3所截，則（　　）
A．∠1和∠2是同位角 B．∠1和∠2是內錯角 C．∠1和∠3是同位角 D．∠1和∠3是內錯角
【答案】C
【分析】兩條直線a、b被第三條直線c所截，在截線c的同旁，被截兩直線a、b的同一側的角（都在左側或者都在右側），把這樣的兩個角稱為同位角；根據定義分別判斷即可．
【詳解】解：∠1和∠2既不是同位角，也不是內錯角，故選項A、B錯誤；
∠1和∠3是同位角，故選項C正確，選項D錯誤；故答案為：C．
【點睛】本題考查了同位角、內錯角、同旁內角，掌握同位角的邊構成“F”形，內錯角的邊構成“Z”形，同旁內角的邊構成“U”形是解題的關鍵．
◆變式訓練
1.（2023·河北滄州·校考模擬預測）如圖，與的位置關系是（　　）
A．同位角 B．內錯角 C．同旁內角 D．鄰補角
【答案】A
【分析】根據的位置，結合同位角的定義可得答案．
【詳解】如圖所示，和兩個角都在兩條直線的同側，并且在第三條直線（截線）的同旁，所以和是同位角．故選：A．
【點睛】本題考查的是同位角的識別，掌握同位角的含義是解題的關鍵．
■考點五　平行線的性質與判定
◇典例17：（2023·遼寧鞍山·統考中考真題）如圖，直線，將含有角的直角三角尺按如圖所示的位置放置，若，那么的大小為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據含有角的直角三角尺，得到的值，再利用平行線的性質得到的值，即可解答．
【詳解】解：圖中是含有角的直角三角尺，，
，，，故選：B．

【點睛】本題考查了平行線的性質，熟知兩直線平行，內錯角相等是解題的關鍵．
◆變式訓練
1.（2023·遼寧營口·統考中考真題）如圖，是的平分線，，，則的度數是（ ）

A．50° B．40° C．35° D．45°
【答案】B
【分析】根據鄰補角求出，利用角平分線求出，再根據平行線的性質求出的度數．
【詳解】解：∵，∴
∵是的平分線，∴，
∵，∴，故選：B．
【點睛】此題考查了平行線的性質，角平分線的定義，鄰補角，正確掌握平行線的性質是解題的關鍵．
2.（2023·湖南·統考中考真題）如圖，直線直線n，點A在直線n上，點B在直線m上，連接，過點A作，交直線m于點C．若，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據兩直線平行，同旁內角互補得出，結合已知條件即可求出∠2的度數．
【詳解】解：如圖所示，
∵直線直線n，∴，∴∵，∴，
∵，∴，∴，故選：C．
【點睛】本題考查了平行線的性質和垂線的定義，熟知：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補．
◇典例18：（2023·遼寧·模擬預測）如圖，平行于主光軸的光線和經過凹透鏡的折射后，折射光線，的反向延長線交于主光軸上一點P．若，則的度數是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求出和，再根據平行線的性質求出和即可．
【詳解】解：∵
∴，，
∵，∴，
∴，故選：C．
【點睛】本題考查了平行線的性質，熟知兩直線平行，內錯角相等是解題的關鍵．
◆變式訓練
1.（2023·江蘇鎮江·統考中考真題）如圖，一條公路經兩次轉彎后，方向未變．第一次的拐角是，第二次的拐角是 °．

【答案】
【分析】根據兩次轉彎后方向不變得到，即可得到．
【詳解】解：∵一條公路經兩次轉彎后，方向未變，
∴轉彎前后兩條道路平行，即，∴．故答案為：．
【點睛】此題考查了平行線的性質，由題意得到是解題的關鍵．
2.（2023·山西太原·統考二模）利用課后服務時間，同學們在操場上進行實地測量．如圖，在處測得建筑物在南偏西的方向上，在處測得建筑物在南偏西的方向上．在建筑物處測得A，B兩處的視角的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將實際問題轉化為方向角的問題即可解答．
【詳解】解：如圖，

，，，故選：B．
【點睛】本題考查方位角，解答此類題的關鍵是認清方位角，再結合三角形的內角與外角的關系求解．
◇典例19：（2023·湖北武漢·校考模擬預測）已知：如圖，于點，于點，．

(1)求證：；(2)若，，求的度數．
【答案】(1)證明見解析(2)
【分析】（1）根據于點，于點可知，故，再由可得出，據此可得出結論．（2）根據等腰三角形的性質求出的度數，再根據平行線的性質即可求解．
【詳解】（1）于點，于點，，，
，，．
（2），，，，
，．
【點睛】本題考查平行線的判定和性質、等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是準確找出同位角，內錯角，由此進行角度之間的代換．
◆變式訓練
1．（2023·江蘇揚州·校考二模）完成下面的證明：已知：如圖，，，．求證：．
證明：（已知），
∴（　 　 ），
∴在中，（　 　 ），
∵（已知），
∴，
∵，
∴ = （ ），
∴（　 　 ）．
【答案】垂直定義；直角三角形的兩個銳角互余(或三角形的內角和為；；； 等量代換；內錯角相等，兩直線平行
【分析】根據垂線的定義，直角三角形的兩個銳角互余，平行線的判定，完成證明過程即可求解．
【詳解】證明：（已知），∴（垂直定義），
∴在中，（直角三角形的兩個銳角互余），
∵（已知），∴，
∵，∴（等量代換），
∴（內錯角相等，兩直線平行）．
故答案為：垂直定義；直角三角形的兩個銳角互余(或三角形的內角和為；；； 等量代換；內錯角相等，兩直線平行．
【點睛】本題考查了垂線的定義，直角三角形的兩個銳角互余，平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關鍵．
2．（2023·陜西西安·統考一模）如圖，相交于點O，，延長到F，延長到E，，連接．求證．

【答案】見解析
【分析】根據等式的性質得出，再利用證明，再利用全等三角形的性質和平行線的判定解答即可．
【詳解】證明：，，即，
，， ．．
【點睛】此題考查全等三角形的判定和性質，關鍵是利用邊角邊證明兩個三角形全等．
◇典例20：（2023·安徽蚌埠·統考三模）如圖，已知：，，求證：．在證明該結論時，需添加軸助線，則以下關于秿助線的作法不正確的是（ ）

A．延長交的延長線于點 B．連接 C．分別作，的平分線，
D．過點作（點在點左側），過點作（點在點左側）
【答案】C
【分析】根據各選項的輔助線作法依次判斷即可．
【詳解】解：A．如圖，∵，∴，
∵，∴，∴，故此選項不符合題意；

B．如圖，∵，∴，
∵，∴，∴，故此選項不符合題意；
C．如圖，由平分，平分，
沒有條件說明與相等，也沒有條件說明與平行，
∴此輔助線的作法不能說明與平行，故此選項符合題意；

D．如圖，延長交于點，∵，，，
∴，∴，，
∵，∴，∴，故此選項不符合題意．故選：C．
【點睛】本題考查平行線的判定和性質，角平分線的定義，平行公理的推論．掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2022·貴州安順·統考中考真題）如圖，，將一個等腰直角三角板放置到如圖所示位置．若，則的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如圖，過等腰直角三角板的一個頂點作直線，根據平行線的性質，可得，根據三角板可知，進而等量代換結合已知條件即可求解．
【詳解】解：如圖，過等腰直角三角板的一個頂點作直線
∵a∥b，，，
，，，．故選：C．
【點睛】本題考查了平行線的性質與判定，掌握平行線的性質是解題的關鍵．
2．（2023·江蘇·統考一模）如圖，已知ABDF，DE和AC分別平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA＝46°，∠ACD＝56°，則∠CDF的度數為（　　）
A．42° B．43° C．44° D．45°
【答案】C
【分析】過點C作CNAB，過點E作EMAB，根據平行線的性質及角平分線的特點得到角度的數量關系56°＝∠BAC+2∠FDE，46°＝∠FDE+2∠BAC，從而求出∠FDE＝22°，可得到∠CDF的度數．
【詳解】解：過點C作CNAB，過點E作EMAB，
∵FDAB，CNAB，EMAB，∴ABCNEMFD
∴∠BAC＝∠NCA，∠NCD＝∠FDC，∠FDE＝∠DEM，∠MEA＝∠EAB．
∴∠DEA＝∠FDE+∠EAB，∠ACD＝∠BAC+∠FDC．
又∵DE和AC分別平分∠CDF和∠BAE，
∴∠FDC＝2∠FDE＝2∠EDC，∠BAE＝2∠BAC＝2∠EAC
∴56°＝∠BAC+2∠FDE①，46°＝∠FDE+2∠BAC②．
①+②，得3（∠BAC+∠FDE）＝102°，∴∠BAC+∠FDE＝34°③．
①﹣③，得∠FDE＝22°．∴∠CDF＝2∠FDE＝44°．故選：C．
【點睛】此題主要考查平行線間的角度求解，解題的關鍵是熟知平行線與角平分線的性質．
1．（2023·山東青島·統考中考真題）一個不透明小立方塊的六個面上分別標有數字1，2，3，4，5，6，其展開圖如圖①所示．在一張不透明的桌子上，按圖②方式將三個這樣的小立方塊搭成一個幾何體，則該幾何體能看得到的面上數字之和最小是（　　）

A．31 B．32 C．33 D．34
【答案】B
【分析】根據正方體展開圖的特征，得出相對面上的數字，再結合正方體擺放方式，得出使該幾何體能看得到的面上數字之和最小，則看不見的面數字之和要最大，即可解答．
【詳解】解：由圖①可知：1的相對面是3，2的相對面是4，5的相對面是6，
由圖2可知：要使該幾何體能看得到的面上數字之和最小，則看不見的面數字之和要最大，
上面的正方體有一個面被遮住，則這個面數字為6，
能看見的面數字之和為：；
左下的正方體有3個面被遮住，其中兩個為相對面，則這三個面數字分別為4，5，6，
能看見的面數字之和為：；
右下的正方體有2個面被遮住，這兩個面不是相對面，則這兩個面數字為4，6，
能看見的面數字之和為：；
∴能看得到的面上數字之和最小為：，故選：B．
【點睛】本題主要考查了正方體的相對面，掌握正方體展開圖中“相間一行是相對面”，是解題的關鍵．
2．（2022·貴州貴陽·統考中考真題）如圖，用一個平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面的形狀是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據圓錐體的立體圖形判斷即可．
【詳解】用平行底面的平面截圓錐體，截面是圓形，故選：B．
【點睛】本題考查了截面圖形的判斷，具有一定的空間想象力是解答本題的關鍵．
3．（2023·江蘇·統考中考真題）將直角三角板和直尺按照如圖位置擺放，若，則的度數是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據平行線的性質可得，進而根據三角形的外角的性質，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，

∵直尺的兩邊平行，∴，
又∵，∴，故選：A．
【點睛】本題考查平行線的性質，三角形的外角的性質，熟練掌握三角形的外角的性質是解題的關鍵．
4．（2023·湖南·中考真題）如圖，直線被直線所截，已知，則的大小為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據兩直線平行，同位角相等，對頂角相等，計算即可．
【詳解】如圖，∵，∴，∵，∴，故選B．

【點睛】本題考查了平行線的性質，對頂角的性質，熟練掌握這些基本性質是解題的關鍵．
5．（2023·湖北宜昌·統考中考真題）如圖，小穎按如下方式操作直尺和含角的三角尺，依次畫出了直線a，b，c．如果，則的度數為（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】可求，由，即可求解．
【詳解】解：如圖，

由題意得：，，，
，，，故選：C．
【點睛】本題考查平行線的性質，對頂角的性質，三角形外角定理，掌握平行線的性質是解題的關鍵．
6．（2023·山東青島·統考中考真題）如圖，直線，，，則的度數為（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根據平行線的性質得，再由三角形的外角定理可得的度數．
【詳解】解：∵，，∴，
又∵，∴．故選：B．
【點睛】此題主要考查了平行線的性質，三角形的外角定理，準確識圖，熟練掌握平行線的性質和三角形的外角定理是解答此題的關鍵．
7．（2023·遼寧盤錦·統考中考真題）如圖，直線，將一個含角的直角三角尺按圖中方式放置，點E在上，邊、分別交于點H、K，若，則等于（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據平行的性質可得，再根據四邊形內角和為可得，問題隨之得解．
【詳解】∵，，∴，
∵，，，∴，
∵，∴，故選：B．
【點睛】本題主要考查了平行的性質以及四邊形內角和為，掌握四邊形內角和為是解答本題的關鍵．
8．（2023·山東濰坊·統考中考真題）下列命題正確的是（ ）（多選題）
A．在一個三角形中至少有兩個銳角 B．在圓中，垂直于弦的直徑平分弦
C．如果兩個角互余，那么它們的補角也互余 D．兩條直線被第三條直線所截，同位角一定相等
【答案】AB
【分析】根據三角形的內角和定理、垂徑定理、互余與互補、平行線的性質逐項判斷即可得．
【詳解】解：A、在一個三角形中至少有兩個銳角，原命題正確，則此項符合題意；
B、在圓中，垂直于弦的直徑平分弦，原命題正確，則此項符合題意；
C、設與互余，，，
∴如果兩個角互余，那么它們的補角也互余，命題錯誤，則此項不符合題意；
D、兩條平行直線被第三條直線所截，同位角一定相等，原命題錯誤，則此項不符合題意；故選：AB．
【點睛】本題考查了三角形的內角和定理、垂徑定理、互余與互補、平行線的性質，熟練掌握各定理和性質是解題關鍵．
9．（2022·廣西桂林·統考中考真題）如圖，點C是線段AB的中點，若AC＝2cm，則AB＝ cm．
【答案】4
【分析】根據中點的定義可得AB＝2AC＝4cm．
【詳解】解：根據中點的定義可得：AB＝2AC＝2×2＝4（cm），故答案為：4．
【點睛】本題主要考查中點的定義，熟知中點的定義是解題關鍵．
10．（2022·江西·統考中考真題）沐沐用七巧板拼了一個對角線長為2的正方形，再用這副七巧板拼成一個長方形（如圖所示），則長方形的對角線長為 ．
【答案】
【分析】根據圖形可得長方形的長是正方形的對角線為2，長方形的寬是正方形對角線的一半為1，然后利用勾股定理即可解決問題．
【詳解】解：根據圖形可知：長方形的長是正方形的對角線為2，長方形的寬是正方形對角線的一半為1，∴根據勾股定理可知，長方形的對角線長：．故答案為：．
【點睛】本題主要考查了正方形的性質，七巧板，矩形的性質，勾股定理，解決本題的關鍵是所拼成的正方形的特點確定長方形的長與寬．
11.（2023·山東煙臺·統考中考真題）一桿古秤在稱物時的狀態如圖所示，已知，則的度數為 ．

【答案】/度
【分析】根據兩直線平行，內錯角相等，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，依題意，，∴，
∵，，∴∴．故答案為：．

【點睛】本題考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．
1．（2023·廣東·統考模擬預測）緩降機是火災發生時避難的逃生設備，如圖是廠商提供的緩降機安裝示意圖，圖中呈現在三樓安裝緩降機時，使用此緩降機直接緩降到一樓地面的所需繩長（不計安全帶）．若某棟建筑的每個樓層高度皆為3公尺，則根據如圖的安裝方式在該建筑八樓安裝緩降機時，使用此緩降機直接緩降到一樓地面的所需繩長（不計安全帶）為多少公尺？（ ）
A．21.7 B．22.6 C．24.7 D．25.6
【答案】A
【分析】根據題意，在八樓安裝緩降機，繩長為落地架高度+七層樓高度-主機長度-繩端離地高度，列式計算出結果后對比選項進行選擇。
【詳解】解：該建筑八樓安裝緩降機時，使用此緩降機直接緩降到一樓地面的所需繩長=（公尺），故選：
【點睛】本題考查線段的和差定義，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
2.（2023·河北唐山·模擬預測）給出下列說法：（1）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；
（2）不相等的兩個角不是同位角；（3）直線外一點到這條直線的垂線段，叫做點到直線的距離；
（4）過一點作已知直線的平行線，有且只有一條；（5）垂直于同一條直線的兩條直線互相垂直．
其中真命題有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】A
【分析】利用平行線的性質、點到直線的距離的定義等知識分別判斷后即可確定真命題的個數，確定正確的選項．
【詳解】解：（1）兩條平行的直線被第三條直線所截，同位角相等，故原說法錯誤；
（2）不相等的兩個角也有可能是同位角，故原說法錯誤；
（3）直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，故原說法錯誤；
（4）過直線外一點作已知直線的平行線，有且只有一條；
（5）垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，故原說法正確，故正確的只有1個，故選：A．
【點睛】本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解平行線的性質、點到直線的距離的定義等知識，難度不大．
3．（2023·河北石家莊·考模擬預測）如圖，有A，B，C三個地點，且，從A地測得B地的方位角是北偏東，那么從C地測B地的方位角是（　　）

A．北偏西 B．南偏西 C．北偏東 D．南偏東
【答案】D
【分析】如圖，建立方位圖，根據平行線的性質可得，再根據直角三角形的兩個銳角互余即可求出，即為從C地測B地的方位角.
【詳解】解：如圖，由題意可得，，∴，
∵，∴，即從C地測B地的方位角是南偏東；故選：D.

【點睛】本題考查了方位角、平行線的性質和直角三角形的性質，屬于基礎題目，正確理解題意、求出的度數是解題的關鍵.
4．（2023·山西晉中·校聯考模擬預測）如圖，將一副三角尺如圖放置，、交于點，(，)則下列結論不正確的是( )

A． B．
C．若，則 D．若，則
【答案】C
【分析】由余角的性質，得到，由，得到，因為，故和不平行，由，得到．
【詳解】解： ＋＋，，故A正確；
，，故B正確；
，，
，，和不平行，故C錯誤；
，，
，，，故D正確．故選：C．
【點睛】本題考查平行線的判定，關鍵是掌握平行線的判定方法．
5．（2023·河北衡水·統考二模）在作業紙上，，點C在，之間，要得知兩相交直線，所夾銳角的大小，發現其交點不在作業紙內，無法直接測量．兩同學提供了如下間接測量方案（如圖1和圖2），對于方案I、II，說法正確的是（ ）
A．I可行，II不可行 B．I不可行，II可行
C．I、II都可行 D．I、II都不可行
【答案】C
【分析】如圖，延長交于，過作，而，，再利用平行線的性質可得答案，如圖，延長交于，利用平行線的性質可得答案.
【詳解】解：如圖，延長交于，過作，而，∴，
∴，，∴，∴I可行，
如圖，延長交于，∵，∴，∴II可行，故選C
【點睛】本題考查的是平行公理的應用，平行線的性質，熟記平行線的性質，作出合適的輔助線是解本題的關鍵.
6．（2023·河北保定·統考二模）已知直線，小明和小亮想畫出的平行線，他們的方法如下：

下列說法正確的是( )
A．小明的方法正確，小亮的方法不正確 B．小明的方法不正確，小亮的方法正確
C．小明、小亮的方法都正確 D．小明、小亮的方法都不正確
【答案】C
【分析】根據內錯角相等兩直線平行可知小明的方法正確，根據同位角相等兩直線平行可知小亮的方法正確，由此得解．
【詳解】解：小明的方法：設三角板的第三個頂點是F，

依題意得：，∴，即小明的方法正確；
小亮的方法：依題意，這是尺規作圖—作相等的角，∴，
∴，即小亮的方法正確；∴小明、小亮的方法都正確，故選：C．
【點睛】本題考查平行線的判定，尺規作圖—作相等的角，掌握相關定理是解題的關鍵．
7．（2023·廣東深圳·校考模擬預測）“綠水青山，就是金山銀山”在兩個景區之間建立的一段觀光索道如圖所示，索道支撐架均為互相平行（），且每兩個支撐架之間的索道均是直的，若，，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】過點作，則，由平行線的性質可得，，由此進行計算即可得到答案．
【詳解】解：如圖，過點作，
，
，，，，
，，
，故選：C．
【點睛】本題考查了平行線的性質，熟練掌握兩直線平行，內錯角相等是解此題的關鍵．
8．（2022·山東淄博·模擬預測）圖中的長方體是由三個部分拼接而成的，每一部分都是由四個同樣大小的小正方體組成的，那么其中第一部分所對應的幾何體可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】觀察長方體，可知第一部分所對應的幾何體在長方體中，上面有兩個正方體，下面有兩個正方體，再在B、C選項中根據圖形作出判斷．
【詳解】解：由長方體和第一部分所對應的幾何體可知，
第一部分所對應的幾何體上面有兩個正方體，下面有兩個正方體，并且與選項B相符．故選：B．
【點睛】本題考查了認識立體圖形，找到長方體中第一部分所對應的幾何體的形狀是解題的關鍵．
9．（2023·浙江·模擬預測）在圖中，實線所圍成的多邊形區域（陰影部分）是由四個全等正方形拼接而成的．現在若補上圖中標有號碼的其中一個全等小正方形，則可得到九個多邊形區域（每個區域恰好含有五個全等小正方形），試問這九個多邊形區域中，可以折成無蓋的正方體容器的個數是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】根據正方體的展開圖有11種情況：1 4 1型共6種，1 3 2型共3種，2 2 2型一種，3 3型一種，由此判定找出答案即可．
【詳解】解：根據題意可得：補上后能夠折成無蓋的正方體容器的有：④⑤⑥⑦⑧⑨，共6個，
故選：D．
【點睛】此題考查正方體的展開圖，解決此題的關鍵是記住正方體展開圖的類型1-4-1型，2-3-1型，2-2-2型，3-3型．以及口訣“凹、田應棄之”．
10．（2023·河北衡水·校聯考模擬預測）已知點、、、在數軸上的位置如圖所示，為的中點，若，點所對應的數為，則點所對應的數是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出點A坐標，再求出點C坐標．
【詳解】,B為m則A點坐標為：
B點與A點互為相反數，所以B點坐標為： 故選：D
【點睛】本題考查數軸上的點的位置和坐標，找到不同點之間是數量關系是本題關鍵．
11.（2023·黑龍江大慶·校考模擬預測）如圖是某幾何體的展開圖，則該幾何體的體積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意知，該幾何體為圓錐，如圖，則 ，，，在中，由勾股定理得，，則幾何體的體積，計算求解即可．
【詳解】解：由題意知，該幾何體為圓錐，如圖，則，，，

在中，由勾股定理得，，
∴幾何體的體積，故選：D．
【點睛】本題考查了根據圓錐的展開圖求圓錐體積，勾股定理．解題的關鍵在于確定幾何體的形狀．
12．（2023·浙江溫州·校考二模）如圖，在中，平分，交邊于點E，在邊上取點F，連結，使．

(1)求證：；(2)當時，求的度數．
【答案】(1)見解析(2)
【分析】（1）根據平分得到，再由等量代換推出，根據內錯角相等，兩直線平行即可得證；
（2）先根據平行線的性質求出的度數，然后根據三角形內角和定理求出的度數，由平分推出的度數，最后根據三角形內角和定理即可求出的度數．
【詳解】（1）證明：∵平分，∴，
又，∴，∴；
（2）解：∵，，，
在中，，，
又∵平分，∴，．
【點睛】本題主要考查三角形內角和定理和平行線的性質與判定，靈活運用三角形內角和等于和平行線的判定和性質定理是解決問題的關鍵．
1．（2023·江西吉安·校考模擬預測）如圖①所示的是一個正方體的表面展開圖，將對應的正方體從如圖②所示的位置依次翻過第1格、第2格，到第3格時正方體朝上的一面上的字是（　　）

A．世 B．真 C．精 D．彩
【答案】B
【分析】根據正方體表面展開圖的特征判斷相對的面，再根據翻轉得出答案．
【詳解】解：由正方體表面展開圖的“相間、Z端是對面”可知，
“世”與“彩”相對，“界”與“真”相對，“杯”與“精”相對，
翻過第1格時，“世”在下面，“界”在右面，“杯”在前面，
翻過第2格時，“世”在后面，“界”在右面，“杯”在下面，
翻過第3格時，“界”在下面，因此“真”在上面，故選：B．
【點睛】本題考查了正方體相對兩個面上的文字，利用了正方體的翻轉，正方體中間相隔一個面的兩個面是對面．
2．（2023·湖北武漢·統考模擬預測）七巧板是中國古代勞動人民發明的一種傳統智力玩具，如圖1，它有五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形，共七塊板，可組成一個面積是1的大正方形．圖2是一個用七巧板拼成的裝飾圖，將其放入矩形ABCD內，則矩形內空白處的面積是（ ）

A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】設① 的直角邊為，則各邊長度如圖所示，表示矩形的兩邊分別為：，，再利用割補法求解空白部分的面積即可．
【詳解】解：設① 的直角邊為，則各邊長度如圖所示，

由題意可得：，∴，
而矩形的兩邊分別為：，，
∴矩形內空白處的面積是，故選A
【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，正方形，矩形的性質，等腰直角三角形的性質，利用割補法求解圖形的面積，理解題意，選擇合適的解題方法是關鍵．
3．（2023·浙江·一模）日晷是我國古代利用日影測定時刻的一種計時儀器，它由“晷面”和“晷針”組成，古人常用的日晷有水平式日晷（圖1）和赤道式日晷（圖2）．其中水平式日晷的“晷針”與“晷面”的夾角就是其所在位置的地理緯度且“晷面”與地面平行；赤道式日晷的“晷面”與赤道面平行當太陽光照在日晷上時，晷針的影子就會投向晷面．隨著時間的推移，晷針的影子在晷面上慢慢地移動，以此來顯示時刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均勻，赤道式日晷的“晷面”刻度則是均勻的．

（1）如圖1，當水平式日晷放在緯度為 （即）位置時，晷針與晷面的夾角為 °．
（2）如圖3，將兩種日晷的“晷針”重合，n小時后，兩種日晷對應的時刻一致，即兩種晷“晷針”的影子所在的直線相交于點．此時與滿足的關系式 ．
【答案】
【分析】（1）根據水平式日晷的“晷針”與“晷面”的夾角就是其所在位置的地理緯度求解即可；
（2）過點作于點，證明，根據平行投影證明，根據，得出即可．
【詳解】解：（1）∵水平式日晷的“晷針”與“晷面”的夾角就是其所在位置的地理緯度，
∴當水平式日晷放在緯度為 （即）位置時，晷針與晷面的夾角為；故答案為：；
（2）過點作于點，如圖所示：

則，∴，根據題意可知，赤道日晷的晷面與晷針垂直，
∴，∴，∴，∴，
根據平行投影可知，當12點時，點在水平方向的投影為點E，經過n小時后，的投影在上，因此，∵， ∴．故答案為：．
【點睛】本題主要考查了平移投影的有關知識，解題的關鍵是數形結合，發揮空間想象能力，根據平行投影得出．
4．（2023·廣東深圳·校考模擬預測）在一副三角尺中，，，將它們按如圖所示擺放在量角器上，邊與量角器的刻度線重合，邊與量角器的刻度線重合．將三角尺繞點以每秒的速度逆時針旋轉，同時三角尺繞點以每秒的速度順時針旋轉，當三角尺的邊與刻度線重合時兩塊三角尺都停止運動，則當運動時間 秒時，兩塊三角尺有一組邊平行．
【答案】3或或或
【分析】分五種情況：當時，當時，當時，當時，當時，利用平行線的性質，分別進行計算即可得到答案．
【詳解】解：將三角尺繞點以每秒的速度逆時針旋轉，同時三角尺繞點以每秒的速度順時針旋轉，，，
如圖，當時，，
， ，，
，，
，，，解得：；
如圖，當時，
，，，
，解得：；
如圖，當時，則，
，，，解得：；
如圖，當時，則，
， ，
，，
，解得：；
如圖，當時，則，
，，解得：，
當三角尺的邊與刻度線重合時兩塊三角尺都停止運動，
，故不符合題意；
綜上所述：或或或秒時，兩塊三角尺有一組邊平行，
故答案為：3或或或．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質、旋轉的性質，熟練掌握以上知識點，采用分類討論的思想是解此題的關鍵．
5．（2020·浙江杭州·模擬預測）如圖所示，M是線段AB上一定點，，C，D兩點分別從點M，B出發以，的速度沿直線BA向左運動，運動方向如箭頭所示（點C在線段AM上，點D在線段BM上）．
（1）當點C，D運動了時，求的值．
（2）若點C，D運時，總有，則_______．
（3）在（2）的條件下，N是直線AB上一點，且，求的值．
【答案】（1）6cm；（2）4；（3）或1
【分析】（1）由題意得CM=2cm，BD=4cm，根據AC+MD=AM-CM+BM-BD=AB-CM-BD可得答案；
（2）根據C、D的運動速度知BD=2MC，再由已知條件MD=2AC求得MB=2AM，所以AM=AB；
（3）分點N在線段AB上時和點N在線段AB的延長線上時分別求解可得．
【詳解】解：（1）當點C、D運動了2s時，CM=2cm，BD=4cm
∵AB=12cm，CM=2cm，BD=4cm，∴AC+MD=AM-CM+BM-BD=AB-CM-BD=12-2-4=6（cm）；
（2）根據C、D的運動速度知：BD=2MC，∵MD=2AC，∴BD+MD=2（MC+AC），即MB=2AM，
∵AM+BM=AB，∴AM+2AM=AB，∴AM=AB=4，故答案為：4；
（3）①當點N在線段AB上時，如圖1，
∵AN-BN=MN，又∵AN-AM=MN，∴BN=AM=4，∴MN=AB-AM-BN=12-4-4=4，∴；
②當點N在線段AB的延長線上時，如圖2，
∵AN-BN=MN，又∵AN-BN=AB，∴MN=AB=12，∴，
綜上：的值為或1．
【點睛】本題考查了兩點間的距離，靈活運用線段的和、差、倍、分轉化線段之間的數量關系是十分關鍵的一點．
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第四章 三角形及四邊形
第一節 幾何圖形初步、相交線與平行線
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 認識幾何圖形 ☆ 本專題內容是初中幾何的基礎，在中考數學中屬于基礎考點，年年都會考查，分值為8分左右，大部分地區在選擇、填空題中考察可能性較大，主要考查平行線的性質和判定、方位角、角度的大小等知識，這些知識點考查較容易，另外平行線的性質可能在綜合題中出現，考查學生綜合能力，比如：作平行的輔助線，構造特殊四邊形，此類題目有一定難度，需要學生靈活掌握。對本專題的復習也直接影響后續對其他幾何圖形的學習，需要考生細心對待。
考點2直線、射線、線段的相關概念 ☆
考點3 角的相關概念 ☆☆
考點4 相交線 ☆☆
考點5 平行線的性質與判定 ☆☆☆
■考點一　認識幾何圖形
1.幾何圖形的概念: 我們把實物中抽象出來的各種圖形叫幾何圖形，幾何圖形分為平面圖形和立體圖形。
2.立體圖形的概念：有些幾何圖形的各個部分不都在同一平面內，這個圖形叫做立體圖形。
3.平面圖形的概念：有些幾何圖形的各個部分在同一平面內的圖形，這個圖形叫做平面圖形。
4．正方體的展開圖（共計11種）：
5.幾何圖形的組成：1）點：線和線相交的地方是點，它是幾何圖形最基本的圖形；2）線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線；3）面：包圍著體的是面，分為平面和曲面；4）體：幾何體簡稱體。
6.組成幾何圖形元素的關系：點動成 ，線動成 ，面動成 。
7.拓展：歐拉公式：V+F-E=2，（其中：頂點數（V）、面數（F）、棱數（E））。
■考點二　直線、射線、線段的相關概念
1.直線的性質：（1）兩條直線相交，只有一個交點；（2）基本事實：經過兩點有且只有 。
2.線段的性質：兩點確定一條直線，兩點之間，線段最短，兩點間線段的長度叫 。
3.線段的中點性質：若C是線段AB中點，則AC=BC= ；AB=2AC=2BC。
■考點三　角的相關概念
1.角：有公共端點的兩條射線組成的圖形。
2.角平分線定義：在角的內部，以角的頂點為端點把這個角分成兩個相等的角的射線。
性質：若OC是∠AOB的平分線，則∠AOC=∠BOC = ，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC。
3.度、分、秒的運算方法：1°=60′，1′=60″，1°=3600″． 1周角=2平角=4直角=360°。
4.余角和補角及其性質
1） 余角：∠1＋∠2＝90° ∠1與∠2互為 ；2）補角：∠1＋∠2＝180° ∠1與∠2互為 。
3）性質：同角（或等角）的余角 ；同角（或等角）的補角 。
■考點四　相交線
1.兩條直線的位置關系：在同一平面內，兩條直線只有兩種位置關系： 。
2.垂直定義：兩條直線相交所形成的四個角中有一個是直角時叫兩條直線互相垂直。
3.垂直的性質：①經過一點有且只有一條直線與已知直線 ；②直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段 。
4.點到直線的距離：從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這 。
5.三線八角：直線a，b被直線l所截，構成八個角（如圖）．其中∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是 ；∠2和∠8，∠3和∠5是 ；∠5和∠2，∠3和∠8是 。
6．對頂角：1）定義：兩個角有一個公共的頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為對頂角。2）性質：對頂角 。
■考點五　平行線的性質與判定
1.平行線的定義：在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。
2.平行公理（唯一性）：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線 。
平行公理的推論（傳遞性）：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相 。
3.平行線的判定
（1） ，兩直線平行．（2） ，兩直線平行．（3） ，兩直線平行．
（4）平行于同一直線的兩直線互相平行．（5） 于同一直線的兩直線互相平行（同一平面內）。
4.平行線的性質
（1）兩直線平行， ．（2）兩直線平行， ．（3）兩直線平行， 。
5.平行線間的距離
1）定義：同時垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線的線段的長度，叫做這 。
2）性質：兩平行線間的距離處處 ，夾在兩平行線間的平行線段 。
6.除了基本模型外，我們還經常會遇到稍難一些的平行線加折線模型，主要是下面兩類：
做這類題型時，一般在折點處作平行線，進而把線的關系轉換成角的關系，如上圖：
■易錯提示
1. 一條射線要成為一個角的平分線必須同時滿足兩個條件：1）射線必須在角的內部；2）它把這個角分成兩個相等的角；
2. 互為余角、補角是兩個角之間的關系,只與角的度數有關，與角的位置無關；
3. 如果∠α與∠β是對頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對頂角；
4. 平行線必在同一平面內，分別在兩個平面內的兩條直線，即使不相交，也可以不平行，因此“在同一平面內”是平行線存在的前提條件；
5. 在兩直線平行的前提下才存在同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補的結論. 這是平行線特有的性質不要一提同位角或內錯角就認為它們相等，一提同旁內角就認為互補，若沒有兩直線平行的條件，這些是不成立的。
■考點一　認識幾何圖形
◇典例1：（2023·四川樂山·統考中考真題）下面幾何體中，是圓柱的是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1.（2023·江蘇鎮江·校聯考一模）不透明的箱子中裝有一個幾何體模型，小樂和小欣摸該模型并描述它的特征．小樂：它有4個面是三角形；小欣：它有6條棱．則該幾何體模型的形狀可能是（ ）
A．三棱錐 B．三棱柱 C．四棱錐 D．四棱柱
◇典例2：（2023·湖南益陽·統考中考真題）下列正方體的展開圖中，是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1.（2023·山東·統考中考真題）如圖是一正方體的表面展開圖．將其折疊成正方體后，與頂點K距離最遠的頂點是（　　）

A．A點 B．B點 C．C點 D．D點
2.（2023·湖北宜昌·統考中考真題）“爭創全國文明典范城市，讓文明成為宜昌人民的內在氣質和城市的亮麗名片”．如圖，是一個正方體的平面展開圖，把展開圖折疊成正方體后，“城”字對面的字是（ ）．

A．文 B．明 C．典 D．范
◇典例3：（2022·廣西柳州·統考中考真題）如圖，將矩形繞著它的一邊所在的直線l旋轉一周，可以得到的立體圖形是（　　）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1.（2023·江蘇無錫·校考三模）一塊直角邊分別為6和8的三角形木板，繞長度為8的邊旋轉一周，則斜邊掃過的面積是（　　）
A．45 B． C．60 D．
2.（2023·河南信陽·二模）妹妹把一密閉且透明的圓柱形水杯中裝一半的水，隨意轉動水杯，水面的形狀不可能是（ ）
A．三角形 B．長方形 C．圓形 D．橢圓
◇典例5：（2023·湖南·統考中考真題）七巧板是我國民間廣為流傳的一種益智玩具，某同學用邊長為的正方形紙板制作了一副七巧板（如圖），由5個等腰直角三角形，1個正方形和1個平行四邊形組成．則圖中陰影部分的面積為 ．

◆變式訓練
1．（2023·廣東深圳·校考三模）七巧板是我國古代勞動人民的發明之一，被譽為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的，如圖，是一個用七巧板拼成的裝飾圖，放入長方形內，裝飾圖中的三角形頂點E，F分別在邊上，三角形①的邊在邊上，則的值為（ ）
A． B． C． D．
◇典例6：（2020·山東棗莊·中考真題）歐拉（Euler，1707年~1783年）為世界著名的數學家、自然科學家，他在數學、物理、建筑、航海等領域都做出了杰出的貢獻．他對多面體做過研究，發現多面體的頂點數（Vertex）、棱數E（Edge）、面數F（Flat surface）之間存在一定的數量關系，給出了著名的歐拉公式．（1）觀察下列多面體，并把下表補充完整：
名稱 三棱錐 三棱柱 正方體 正八面體
圖形
頂點數V 4 6 8
棱數E 6 12
面數F 4 5 8
（2）分析表中的數據，你能發現V、E、F之間有什么關系嗎？請寫出關系式：___________________．
◆變式訓練
1．（2023·貴州銅仁·統考三模）18世紀瑞士數學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的一個有趣的關系式，被稱為歐拉公式．請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題．
(1)根據上面的多面體模型，直接寫出表格中的m，n的值，則______，______．
多面體 頂點數（V） 面數（F） 棱數（E）
四面體 4 4 6
長方體 m 6 12
正八面體 n 8 12
正十二面體 20 12 30
(2)你發現頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的關系式是_______．
(3)一個多面體的面數等于頂點數，且這個多面體有30條棱，求這個多面體的面數．
■考點二　直線、射線、線段的相關概念
◇典例7：（2023·河北石家莊·校考模擬預測）如圖，若射線與線段有一個公共點，則射線可能經過的點是（　　）

A．點D B．點E C．點Q D．點M
◆變式訓練
1. （2023·河北保定·保定市第十七中學校考三模）如圖，直線，和線段將平面分成五個區域（不包含邊界），若線段與線段有公共點，則點落在的區域是（ ）

A．① B．② C．③ D．④或⑤
◇典例8：（2022·廣西柳州·統考中考真題）如圖，從學校A到書店B有①、②、③、④四條路線，其中最短的路線是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
◆變式訓練
1. （2023·陜西西安·模擬預測）如圖，鋸木板前，在木板兩端固定兩個點，用墨盒彈一根墨線然后再鋸，這樣做的數學道理是（ ）
A．兩點之間線段最短 B．兩點確定一條直線
C．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
D．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行
2.（2023·浙江杭州·模擬預測）下面說法正確的是（ ）
A．兩點間的連線的長度，叫做兩點間的距離 B．連結兩點的線段，叫做兩點間的距離
C．兩點間的距離就是兩點間的路程 D．兩點間的距離是連結兩點的線段的長度
◇典例9：（2023·黑龍江大慶·統考一模）哈齊高鐵于2015年開通，是我國目前最北端的高速鐵路，開通8年時間，方便了千千萬萬大慶市民出行，也推動了龍江經濟發展．從大慶西站到哈爾濱站中間有4個車站，共有 種票價．（注：擬設每兩個城市之間的票價相同）
◆變式訓練
1．（2023·湖北武漢·校考模擬預測）2條直線最多有個交點，3條直線最多有個交點，按照規律依此類推，2023條直線最多有個交點，則的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·安徽蚌埠·校考二模）將一塊等邊三角形蛋糕切三次，最多能分成的塊數為（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
◇典例10：（2023·河北滄州·校考模擬預測）有兩道作圖題：①“延長線段到，使”；②“反向延長線段，使點是線段的一個三等分點”．小明正確的作出了圖形．他的兩個同學嘉嘉、淇淇展開了討論：嘉嘉說：“點是線段中點”；淇淇說：“如果線段，那么線段”，下列說法正確的是( )
A．嘉嘉對，淇淇不對 B．嘉嘉不對，淇淇對 C．嘉嘉、淇淇都不對 D．嘉嘉、淇淇都對
◆變式訓練
1．（2023·河北石家莊·校聯考模擬預測）如圖，某同學用直尺畫數軸．數軸上點A、分別在直尺的，處，若點A對應，直尺的0刻度位置對應，則線段中點對應的數為（ ）

A．4 B．5 C．8 D．12
2.（2023·浙江·模擬預測）如圖，A，B兩地相距1200m，小車從A地出發，以8m/s的速度向B地行駛，中途在C地停靠3分鐘．大貨車從B地出發，以5m/s的速度向A地行駛，途經D地（在A地與C地之間）時沿原路返回B點取貨兩次，且往返兩次速度都保持不變（取貨時間不計），取完兩批貨后再出發至A點．已知：，則直至兩車都各自到達終點時，兩車相遇的次數為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
■考點三　角的相關概念
◇典例11：（2023·山東臨沂·統考中考真題）下圖中用量角器測得的度數是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1.（2023·湖北恩施·校考模擬預測）用一個10倍的放大鏡看一個的角，看到的角的度數為（ ）
A． B． C． D．
2. （2023·河北·統考中考真題）淇淇一家要到革命圣地西柏坡參觀．如圖，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，則淇淇家位于西柏坡的（ ）

A．南偏西方向 B．南偏東方向 C．北偏西方向 D．北偏東方向
3.（2023·浙江寧波·校考一模）下列選項中，可以用來說明命題“兩個銳角的和是鈍角”是假命題的例子是（ ）
A．， B．， C．， D．，
◇典例12：（2023·廣東河源·三模）任意一個銳角的補角與這個銳角的余角的差等于 ．
◆變式訓練
1.（2023·廣東佛山·統考三模）已知，與互為余角，則（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·陜西咸陽·校考三模）若，則補角的大小是( )
A． B． C． D．
3.（2023·北京大興·統考一模）已知，，，四點的位置如圖所示，下列結論正確的是（ ）
A． B． C．比大 D．與互補
4.（2023·吉林·統考中考真題）如圖，在中，，分別以點B和點C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩孤交于點D，作直線交于點E．若，則的大小為 度．

■考點四　相交線
◇典例13：（2023·河南·統考中考真題）如圖，直線，相交于點O，若，，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
◆變式訓練
1.（2023·青海·統考中考真題）如圖，直線，相交于點O，，則的度數是（ ）

A． B． C． D．
2.（2023·河南周口·校考模擬預測）如圖，直線相交于點，若，則（ ）

A． B． C． D．
◇典例14：（2023·河北秦皇島·模擬預測）如圖，在三角形中，，，垂足為D，則下列說法不正確的是（ ）

A．線段的長是點A到的距離 B．線段的長是點C到的距離
C．線段的長是點B到的距離 D．線段的長是點B到的距離
◆變式訓練
1.（2023·吉林長春·模擬預測）長春市解放大路和新民大街分別是東西走向與南北走向，如交通圖所示，小致同學想從新民廣場盡快走到解放大路，他選擇沿新民大街走，小致這樣走的數學依據 ．

2.（2023·浙江杭州·校聯考三模）如圖，點P是直線l外一點，A，O，B，C在直線l上，且，其中，則點P到直線l的距離可能是（　　）

A．3.2 B．3.5 C．4 D．4.5
◇典例15：（2023·山東淄博·統考一模）有以下命題：①對頂角相等；②經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行；③同位角相等．其中假命題的是（ ）
A．①② B．② C．③ D．②③
◆變式訓練
1．（2022·河北石家莊·考模擬預測）如圖，在同一平面內．經過直線l外一點O有四條直線①②③④，借助直尺和三角板判斷，與直線l平行的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2.（2023·四川宜賓·模擬預測）有下列說法：對頂角相等；同位角相等；過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；點到直線的距離即為垂線段；同旁內角互補，兩直線平行其中正確的有 ．
◇典例16：（2023·浙江杭州·模擬預測）如圖，直線l1，l2被直線l3所截，則（　　）
A．∠1和∠2是同位角 B．∠1和∠2是內錯角 C．∠1和∠3是同位角 D．∠1和∠3是內錯角
◆變式訓練
1.（2023·河北滄州·校考模擬預測）如圖，與的位置關系是（　　）
A．同位角 B．內錯角 C．同旁內角 D．鄰補角
■考點五　平行線的性質與判定
◇典例17：（2023·遼寧鞍山·統考中考真題）如圖，直線，將含有角的直角三角尺按如圖所示的位置放置，若，那么的大小為（ ）

A． B． C． D．
◆變式訓練
1.（2023·遼寧營口·統考中考真題）如圖，是的平分線，，，則的度數是（ ）

A．50° B．40° C．35° D．45°
2.（2023·湖南·統考中考真題）如圖，直線直線n，點A在直線n上，點B在直線m上，連接，過點A作，交直線m于點C．若，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
◇典例18：（2023·遼寧·模擬預測）如圖，平行于主光軸的光線和經過凹透鏡的折射后，折射光線，的反向延長線交于主光軸上一點P．若，則的度數是（ ）

A． B． C． D．
◆變式訓練
1.（2023·江蘇鎮江·統考中考真題）如圖，一條公路經兩次轉彎后，方向未變．第一次的拐角是，第二次的拐角是 °．

2.（2023·山西太原·統考二模）利用課后服務時間，同學們在操場上進行實地測量．如圖，在處測得建筑物在南偏西的方向上，在處測得建筑物在南偏西的方向上．在建筑物處測得A，B兩處的視角的度數為（ ）

A． B． C． D．
◇典例19：（2023·湖北武漢·校考模擬預測）已知：如圖，于點，于點，．

(1)求證：；(2)若，，求的度數．
◆變式訓練
1．（2023·江蘇揚州·校考二模）完成下面的證明：已知：如圖，，，．求證：．
證明：（已知），
∴（　 　 ），
∴在中，（　 　 ），
∵（已知），
∴，
∵，
∴ = （ ），
∴（　 　 ）．
2．（2023·陜西西安·統考一模）如圖，相交于點O，，延長到F，延長到E，，連接．求證．

◇典例20：（2023·安徽蚌埠·統考三模）如圖，已知：，，求證：．在證明該結論時，需添加軸助線，則以下關于秿助線的作法不正確的是（ ）

A．延長交的延長線于點 B．連接 C．分別作，的平分線，
D．過點作（點在點左側），過點作（點在點左側）
◆變式訓練
1．（2022·貴州安順·統考中考真題）如圖，，將一個等腰直角三角板放置到如圖所示位置．若，則的大小是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江蘇·統考一模）如圖，已知ABDF，DE和AC分別平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA＝46°，∠ACD＝56°，則∠CDF的度數為（　　）
A．42° B．43° C．44° D．45°
1．（2023·山東青島·統考中考真題）一個不透明小立方塊的六個面上分別標有數字1，2，3，4，5，6，其展開圖如圖①所示．在一張不透明的桌子上，按圖②方式將三個這樣的小立方塊搭成一個幾何體，則該幾何體能看得到的面上數字之和最小是（　　）

A．31 B．32 C．33 D．34
2．（2022·貴州貴陽·統考中考真題）如圖，用一個平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面的形狀是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·江蘇·統考中考真題）將直角三角板和直尺按照如圖位置擺放，若，則的度數是（ ）．
A． B． C． D．

3題 4題
4．（2023·湖南·中考真題）如圖，直線被直線所截，已知，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·湖北宜昌·統考中考真題）如圖，小穎按如下方式操作直尺和含角的三角尺，依次畫出了直線a，b，c．如果，則的度數為（ ）．

A． B． C． D．
6．（2023·山東青島·統考中考真題）如圖，直線，，，則的度數為（　　）
A． B． C． D．

6題 7題
7．（2023·遼寧盤錦·統考中考真題）如圖，直線，將一個含角的直角三角尺按圖中方式放置，點E在上，邊、分別交于點H、K，若，則等于（ ）．
A． B． C． D．
8．（2023·山東濰坊·統考中考真題）下列命題正確的是（ ）（多選題）
A．在一個三角形中至少有兩個銳角 B．在圓中，垂直于弦的直徑平分弦
C．如果兩個角互余，那么它們的補角也互余 D．兩條直線被第三條直線所截，同位角一定相等
9．（2022·廣西桂林·統考中考真題）如圖，點C是線段AB的中點，若AC＝2cm，則AB＝ cm．
10．（2022·江西·統考中考真題）沐沐用七巧板拼了一個對角線長為2的正方形，再用這副七巧板拼成一個長方形（如圖所示），則長方形的對角線長為 ．
11.（2023·山東煙臺·統考中考真題）一桿古秤在稱物時的狀態如圖所示，已知，則的度數為 ．

1．（2023·廣東·統考模擬預測）緩降機是火災發生時避難的逃生設備，如圖是廠商提供的緩降機安裝示意圖，圖中呈現在三樓安裝緩降機時，使用此緩降機直接緩降到一樓地面的所需繩長（不計安全帶）．若某棟建筑的每個樓層高度皆為3公尺，則根據如圖的安裝方式在該建筑八樓安裝緩降機時，使用此緩降機直接緩降到一樓地面的所需繩長（不計安全帶）為多少公尺？（ ）
A．21.7 B．22.6 C．24.7 D．25.6
2.（2023·河北唐山·模擬預測）給出下列說法：（1）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；
（2）不相等的兩個角不是同位角；（3）直線外一點到這條直線的垂線段，叫做點到直線的距離；
（4）過一點作已知直線的平行線，有且只有一條；（5）垂直于同一條直線的兩條直線互相垂直．
其中真命題有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
3．（2023·河北石家莊·考模擬預測）如圖，有A，B，C三個地點，且，從A地測得B地的方位角是北偏東，那么從C地測B地的方位角是（　　）

A．北偏西 B．南偏西 C．北偏東 D．南偏東
4．（2023·山西晉中·校聯考模擬預測）如圖，將一副三角尺如圖放置，、交于點，(，)則下列結論不正確的是( )

A． B． C．若，則 D．若，則
5．（2023·河北衡水·統考二模）在作業紙上，，點C在，之間，要得知兩相交直線，所夾銳角的大小，發現其交點不在作業紙內，無法直接測量．兩同學提供了如下間接測量方案（如圖1和圖2），對于方案I、II，說法正確的是（ ）
A．I可行，II不可行 B．I不可行，II可行 C．I、II都可行 D．I、II都不可行
6．（2023·河北保定·統考二模）已知直線，小明和小亮想畫出的平行線，他們的方法如下：

下列說法正確的是( )
A．小明的方法正確，小亮的方法不正確 B．小明的方法不正確，小亮的方法正確
C．小明、小亮的方法都正確 D．小明、小亮的方法都不正確
7．（2023·廣東深圳·校考模擬預測）“綠水青山，就是金山銀山”在兩個景區之間建立的一段觀光索道如圖所示，索道支撐架均為互相平行（），且每兩個支撐架之間的索道均是直的，若，，則（　　）
A． B． C． D．
8．（2022·山東淄博·模擬預測）圖中的長方體是由三個部分拼接而成的，每一部分都是由四個同樣大小的小正方體組成的，那么其中第一部分所對應的幾何體可能是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·浙江·模擬預測）在圖中，實線所圍成的多邊形區域（陰影部分）是由四個全等正方形拼接而成的．現在若補上圖中標有號碼的其中一個全等小正方形，則可得到九個多邊形區域（每個區域恰好含有五個全等小正方形），試問這九個多邊形區域中，可以折成無蓋的正方體容器的個數是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2023·河北衡水·校聯考模擬預測）已知點、、、在數軸上的位置如圖所示，為的中點，若，點所對應的數為，則點所對應的數是( )
A． B． C． D．
11.（2023·黑龍江大慶·校考模擬預測）如圖是某幾何體的展開圖，則該幾何體的體積為（ ）

A． B． C． D．
12．（2023·浙江溫州·校考二模）如圖，在中，平分，交邊于點E，在邊上取點F，連結，使．

(1)求證：；(2)當時，求的度數．
1．（2023·江西吉安·校考模擬預測）如圖①所示的是一個正方體的表面展開圖，將對應的正方體從如圖②所示的位置依次翻過第1格、第2格，到第3格時正方體朝上的一面上的字是（　　）

A．世 B．真 C．精 D．彩
2．（2023·湖北武漢·統考模擬預測）七巧板是中國古代勞動人民發明的一種傳統智力玩具，如圖1，它有五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形，共七塊板，可組成一個面積是1的大正方形．圖2是一個用七巧板拼成的裝飾圖，將其放入矩形ABCD內，則矩形內空白處的面積是（ ）

A． B． C． D．1
3．（2023·浙江·一模）日晷是我國古代利用日影測定時刻的一種計時儀器，它由“晷面”和“晷針”組成，古人常用的日晷有水平式日晷（圖1）和赤道式日晷（圖2）．其中水平式日晷的“晷針”與“晷面”的夾角就是其所在位置的地理緯度且“晷面”與地面平行；赤道式日晷的“晷面”與赤道面平行當太陽光照在日晷上時，晷針的影子就會投向晷面．隨著時間的推移，晷針的影子在晷面上慢慢地移動，以此來顯示時刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均勻，赤道式日晷的“晷面”刻度則是均勻的．

（1）如圖1，當水平式日晷放在緯度為 （即）位置時，晷針與晷面的夾角為 °．
（2）如圖3，將兩種日晷的“晷針”重合，n小時后，兩種日晷對應的時刻一致，即兩種晷“晷針”的影子所在的直線相交于點．此時與滿足的關系式 ．
4．（2023·廣東深圳·校考模擬預測）在一副三角尺中，，，將它們按如圖所示擺放在量角器上，邊與量角器的刻度線重合，邊與量角器的刻度線重合．將三角尺繞點以每秒的速度逆時針旋轉，同時三角尺繞點以每秒的速度順時針旋轉，當三角尺的邊與刻度線重合時兩塊三角尺都停止運動，則當運動時間 秒時，兩塊三角尺有一組邊平行．
5．（2020·浙江杭州·模擬預測）如圖所示，M是線段AB上一定點，，C，D兩點分別從點M，B出發以，的速度沿直線BA向左運動，運動方向如箭頭所示（點C在線段AM上，點D在線段BM上）．
（1）當點C，D運動了時，求的值．（2）若點C，D運動時，總有，則_______．
（3）在（2）的條件下，N是直線AB上一點，且，求的值．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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