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第19屆 “希望杯”初中試題芻議
2008年第19屆全國“希望杯”數學邀請賽已經落下了帷幕。作為數學愛好者總要回味今年的試題.，交流學習試題的體驗。 “希望杯”初中試題的內容那樣的基本，粗看平淡無奇，細品則另有醇美的風味.
比如，初一1試題4. 正方形內有一點A，到各邊的距離分別為1，2，5，6，則正方形面積為（ ）
（A）33 （B）36 （C）48 （D）49
答案：選（D）.
由于A在正方形內，所以A到兩組對邊的距離之和相等，由于只有1+6=2+5，于是，正方形的邊長只能為7，故面積是72=49（平方單位）.
題目的設置將正方形的邊長為7，以條件“正方形內有一點A，到各邊的距離分別為1，2，5，6”，將其巧妙地隱藏起來，等待解題者去發見。接著又在初一2試中，進一步升華為試題9.
平行四邊形內一點到四條邊的距離分別是1，2，3，4，那么，這樣的平行四邊形的面積最小是（ ）.
（A）21 （B） 22 （C） 24 （D） 25.
答案：選（A）.
如1圖所設，和是平行四邊形的兩條邊長，
和是平行四邊形的兩條高，則 面積.
從1，2，3，4共有3組組合可作為為和，
其中 時，最小.
本題巧妙地利用斜邊大于直角邊解決了最小值的問題. 拓廣了前一個試題的內涵，足見命題者匠心獨運.
對綜合性的大題仔細品味，試題有如下特點.
一、題型基本，知識基本，技能基本，寓以新意有發展
例1. 如圖2，A和B兩個小機器人，自甲處同時出發相背而行，繞直徑為整數米的圓周上運動，15分鐘內相遇7次，如果A的速度每分鐘增加6米，則A和B在15分鐘內相遇9次，問圓周直徑至多是多少米？至少是多少米？（取）
分析：行程中的相遇問題，從小學開始就是重要的應用題型，屬基本題型。其中路程、時間與速度的關系是基本知識。解決本
題的關鍵在于基本技能的綜合運用。
由于圓的直徑為，則圓周長為。設A和B的速度和是每分鐘米， 一次相遇所用的時間為分；他們15分鐘內相遇7次，用數學語言可以描述為
①
如果A的速度每分鐘增加6米，A加速后的兩個機器人的速度和是每分鐘米，則A和B在15分鐘內相遇9次，用數學語言可以描述為
②
本題不是列方程，而是列不等式來描述題設的數量關系，這對一般學生可能比較生疏，體現了基本技能的靈活性。
　　由①，得由②，得，
　　上面兩式相加，則有
，
.
已知“圓的直徑為整數米”，所以，圓周直徑至多是28米，至少是10米。
將行程問題與不等式的整數解聯系起來，使行程問題的老題型有了新意，運算與表達難度對初一學生適中，可以綜合考察學生的數學素養與數學能力。
二、問題不難，思路不難，解法不難，深層聯系須挖掘
我們著重分析初二2試的第22題的來龍去脈.
杠桿在直角坐標軸上滑動，是非常典型的題型，對研究軌跡，函數、極值、導數都有重要意義.從小學到大學，都屬常見的基本題型.比如：
1. 圖3中的兩個滑塊A，B由一個連桿連接，分別可以在垂直和水平的滑道上滑動。開始時，滑塊A距O點20厘米，滑塊B距
O點15厘米。問： 當滑塊A向下滑到O點時，滑
塊B 滑動了多少厘米？（第十屆華杯賽口試題22）
【答】滑塊B滑動了10厘米。
【理由】由
，
可知連桿的長度等于25厘米。當滑塊A向下滑到O點時，滑塊B距O點的距離是25厘米，故滑塊B滑動了25 -15 =10厘米.
2.“給定直角XOY，一條定長（記為）的線段AB兩端在角的兩邊上滑動，求AB中點P的軌跡.（軌跡是以O為中心，為半徑的圓被定直角XOY截出的四分之一圓弧，解略）
把定長線段變為一個直角三角形的斜邊，可得
3.“在直角坐標系中，滿足，
點A，B分別在軸、軸上，當A點從原點開
始在正軸上運動時，點B隨著在正軸上運動（圖 4）
.求原點O到點C的距離OC的最大值，并確定此時圖形
應滿足什么條件？”（OC的最大值是10，當A點重合于O時可達到）
如果求的線段的一端C不是直角的頂點，比如將直角板翻過來放，將C放在軸上，求原點O到點B的距離OB的最大值，就改編成了19屆初二2試的第22題. 并且有意識地安排成了3問的階梯型，啟發作題的思維過程.
例2. 在直角坐標系中，滿足，點A，C分別在軸、軸上，當A點從原點開始在正軸上運動時，點C隨著在正軸上運動.
（1）當A在原點時，求原點O到點B的距離OB；
（2）當OA=OC時，求原點O到點B的距離OB；
（3）求原點O到點B的距離OB的最大值，并確定此時圖形應滿足什么條件？
解答分析：（1）當A點在坐標原點時，如圖5，
AC在軸上，軸，
所以
目的是從特殊情況理解題意，考察勾股定理的
基本應用與計算.
（2）當時，如圖6，是等腰直角三
角形，AC = 2.，所以 ，
過點B作于E，過點C作且CD
與BE交于點D，則
又BC=1，
所以
因此
本問就當時，求原點O到點B的距離OB.為求“原點O到點B的距離OB的最大值” 是個方法性的提示. 那么如何找這
個最大值呢？一般地我們也可以通過如下的代數的途
徑求得這個極值.
解: 如圖7所示，設過C作，
由于所以
由可以得B點的坐標
為.則

當時，所以
這種解法所用的三角函數，顯然超出了初二的知識范圍，我們寫出來是為了給大家參考.有沒有可供初二學生接受的直觀的妙著呢？有的！請看：
（3）如圖8，取AC的中點E，連結OE，BE. 在Rt中，OE是斜邊AC上的中線，所以
在中，BC=1，
所以
若點不在一條直線上，則
若點在一條直線上，
則
所以當點在一條直線上時，OB取到最大值，
最大值是
當在一條直線上時，OB取到最大值時，
AC與軸的夾角 從圖9可見，OE=1，
，但CE=OE=1，
.與三角法計算的結果是一致的.
這里，巧妙地利用了線段的基本性質：兩點間線段最短.一般地說，線段基本性質常用來求最小值。即線段AB長為定值時，AC+BC的最小值為AB，此時C在AB上.這是線段基本性質的一種應用；而另一種應用往往為人們所忽視：如果兩條線段AC和CB在C點接在一起，AC = m與CB = n都是定長；那么
AC+BC的最大值為m + n，此時C、A、B三點共線. 例2的第（3）問就是應用了這一性質.
三、課外知識以簡單的整數整除、組合計數為主，重在知識的靈活運用.
“希望杯”作為中學生的數學競賽，畢竟不是中考.總要有一些機智靈巧的問題，考察學生的數學素質與數學意識. 其中以簡單的整除知識、最基本的組合知識為首選內容.
例3. 已知是正整數.
（1）若與的末位數字相同，求的最小值；
（2）若與的末兩位數字都相同，求的最小值。
這是初二2試第23題.
解（1）若與的末位數字相同，必須且只須是10的倍數，即是10的倍數.又 所以是10的倍數，即只需的末位數字是1. 顯然34 = 81滿足條件，所以的最小值是4.
取則此時最小，其最小值等于6.
（2）若與的末兩位數字都相同，必須且只需是100的倍數.
即是100的倍數. 又所以是100的倍數，即只需的末兩位數字是01.
由于的末位數字是1，所以一定是4的倍數.令（是正整數）所以
的末兩位數字是01.
經試算可知：811 末兩位數字是81；812 末兩位數字是61；813 末兩位數字是41；814 末兩位數字是21；815 末兩位數字是01；……，當=5時，的末兩位數字是01.所以當=5時，取得最小值是20，也就是的最小值是20.
例3的命題思路源于1978年第20屆IMO的試題1：“與的最后三位數相等，試求使最小的正整數這里” ，是這道IMO試題的簡化。會解例3的同學，已經為解決這類競賽試題作了知識與思路的必要的準備.
例4. 某校組織了20次天文觀測活動，每次有5名學生參加，任何2名學生都至多同時參加過一次觀測．證明：參加過這些觀測活動的學生數不少于21名.
這是初一2試第23題.
　　證明：設參加觀測活動次數最多的學生A參加了a次觀測，共有x名學生參加過這些觀測活動．
　　由于有A參加的每次觀測活動中，除了A，其他學生各不相同（這是因為任何2名學生都至多同時參加過一次觀測），故
x≥． （I）
　　另一方面，學生A參加觀測的次數不小于每名學生平均觀測次數．即
a≥． （II）
　　綜合（I）、（II），得x≥，≥0．即.
　　因是相鄰兩個自然數的乘積，經試算可得 x≥21．
　　即參加過這些觀測活動的學生數不少于21人．
例3和例4，都有推理計算或論證.這是數學素養的基本要求.
第19屆整個初中兩個年級的“希望杯”試題，注重“雙基”，體現對數學教學的總體要求：現實是源泉，興趣引入門，思維是核心，證明是靈魂.總體說來基本體現了希望杯命題的原則：貼近現行的中學教材；試題活而不難，巧而不偏.富于啟發性，試題既大眾化，又富有啟發性. 試題總體體現了時代性，適應了時代的要求.
以上簡單例析，難免掛一漏萬，只是應編輯部之邀發表的一點個人體會.
僅供大家參考.

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