資源簡介

（初中數學部分）
第一部分 解題技能競賽大綱
第二部分 解題技能競賽試題樣題
第三部分 數學建模論文示范論文
首屆全國中學生數理化學科能力競賽
數學學科筆試部分競賽大綱（2008年試驗稿）

為了提高廣大青少年走進科學、熱愛科學的興趣，培養和發現創新型人才，團中央中國青少年發展服務中心、全國“青少年走進科學世界”科普活動指導委員會辦公室共同舉辦首屆“全國中學生數理化學科能力競賽”（以下簡稱“競賽”）。競賽由北京師范大學《高中數理化》雜志社承辦。為保證競賽活動公平、公正、有序地進行，現將數學學科筆試部分競賽大綱頒布如下：
1　命題指導思想和要求
根據教育部《全日制義務教育數學課程標準》和《全日制普通高級中學數學課程標準》的要求，著重考查學生的基礎知識、基本能力、科學素養和運用所學知識分析問題、解決問題力及創新能力。命題吸收各地高考和中考的成功經驗，以能力測試為主導，體現新課程標準對能力的要求，注意數學知識中蘊涵的豐富的思維素材，強調知識點間的內在聯系；注重考查數學的通法通則，注重考查數學思想和方法。激發學生學科學的興趣，培養實事求是的科學態度和創新能力，促進新課程標準提出的“知識與技能”、“過程與方法”、“情感與價值觀”三維目標的落實。總體難度把握上，要追求“源于教材，高于教材，略高于高考”的原則。并提出以下三個層面上的命題要求：
1）從宏觀上看：注意對知識點和能力點的全面考查，注意對數學基本能力（空間想象、抽象概括、推理論證、運算求解、數據處理等基本能力）的考查，注意對數學思想和方法方面的考查，注意考查通則通法。
2）從中觀上看：注意各個主要知識塊的重點考查，注意對主要數學思維方法的考查。
3）從微觀上看：注意每個題目的基礎性（知識點）、技能性（能力點）、能力性（五大基本能力為主）和思想性（四種思想為主），注意考查大的知識塊中的重點內容（如：代數中的函數的單調性、奇偶性、周期性），注意從各個知識點之間的交匯命題，注意每個題目的通則通法使用的同時也適度引進必要的特技，注意題目編擬中一些題目的結構特征對思路形成的影響。
2　命題范圍
依據教育部《全日制義務教育數學課程標準》和《全日制普通高級中學數學課程標準》的要求，初賽和決賽所考查的知識點范圍，不超出相關年級在相應的時間段內的普遍教學進度。另外要明確初二年級以上開始，每個年級的命題范圍包含下年級的所有的內容。比如：高一的命題范圍包括初中所有內容和高中階段所學的內容。
3　考試形式
初一、初二、初三、高一、高二組：閉卷，筆答。考試時間為120分鐘，試卷滿分為120分。
4　試卷結構
全卷選擇題6題，非選擇題9題（填空6題、解答題3題）
5　難度系數
1）初賽試卷的難度系數控制在0.6左右；
2）決賽試卷的難度系數控制在0.5左右。
初中一年級樣題
選擇題（每小題5分，共30分）
1、若，，那么的值有( )個 【C】
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
2、若表示一個整數，則整數x可取值共有( ).【D】
（A）3個 （B） 4個 （C） 5個 （D） 6個
3、如果代數式4y2－2y+5的值為7，則代數式2y2－y+1的值等于（ ）【A】
（A）2 （B）3 （C）-2 （D）4
4、已知與之和的補角等于與之差的余角，則＝（　）【C】
（A）750　（B）600　　（C）450　　（D）300　
5、如右圖所示，在△ABC中，∠ACB是鈍角，讓點C在射線BD上向右移動，則（ ）【D】
（A）△ABC將先變成直角三角形，然后再變成銳角三角形，而不會再是鈍角三角形
（B）△ABC將變成銳角三角形，而不會再是鈍角三角形
（C）△ABC將先變成直角三角形，然后再變成銳角三角形，接著又由銳角三角形變為鈍角三角形
（D）△ABC先由鈍角三角形變為直角三角形，再變為銳角三角形，接著又變為直角三角形，然后再次變為鈍角三角形
6、觀察這一列數：，, , ,，依此規律下一個數是（ ）【D】
（A） （B） （C） （D）
填空題（每小題5分，共30分）
7、已知，則＝_________ 【128】
8、甲、乙兩打字員，甲每頁打500字，乙每頁打600字，已知甲每完成8頁，乙恰能完成7頁。若甲打完2頁后，乙開始打字，則當甲、乙打的字數相同時，乙打了　　　　頁【35】
9、如果多項式3mxay與—2nx4a—3y是關于x、y的單項式，且他們的和是單項式，則a2004—1=______ 【0】
10、一個蓋著瓶蓋的瓶子里面裝著一些水（如下圖所示），請你根據圖中標明的數據，計算瓶子的容積是_________cm3。【60】

11、張、王、李三人預測甲、乙、丙、丁四個隊參加足球比賽的結果：王說："丁隊得冠軍，乙隊得亞軍"； 李說："甲隊得亞軍，丙隊得第四"；張說："丙隊得第三，丁隊得亞軍"。 賽后得知，三人都只猜對了一半，則得冠軍的是___________。【丁】
12、如果a、b、c是非零有理數，那么的所有可能值是　　　　
【3、1、-1、-3】
解答題（每小題20分，共60分）
13、計算【2007】
14、三個互不相等的有理數，既可以表示為1，，的形式，也可以表示為0，，的形式，試求的值
【解：由于三個互不相等的有理數，既表示為1，，的形式，又可以表示為0，，的形式，也就是說這兩個數組的數分別對應相等。
于是可以判定與中有一個是0，中有一個是1，但若，會使無意義，∴，只能，即，于是．只能是，于是＝－1。
∴原式＝2 。】
15、現在由五個福娃帶我們去參觀國家體育館“鳥巢”，貴賓門票是每位30元，20人以上（含20人）的團體票8折優惠，我們一行共有18人（包括福娃），當領隊歡歡準備好零錢到售票處買18張票時，愛動腦筋的晶晶喊住了歡歡，提議買20張票，歡歡不明白，明明我們只有18人，買20張票豈不是“浪費”嗎？ （1）請你算算，晶晶的提議對不對？是不是真的“浪費”呢？ （2）當人數少于20人時，至少要有多少人去“鳥巢”，買20張票反而合算呢？
【略】
16、如圖，已知l1∥l2，MN分別和直線l1、l2交于點A、B，ME分別和直線l1、l2交于點C、D．點P在MN上（P點與A、B、M三點不重合）．
（1）如果點P在A、B兩點之間運動時，∠α、∠β、∠γ之間有何數量關系？請說明理由．
（2）如果點P在A、B兩點外側運動時，∠α、∠β、∠γ有何數量關系？（只須寫出結論）
【答案：①過點P作PF∥AC，交ME于點F,則∠γ= ∠α+∠β
②當點P運動到射線AN上時：∠α= ∠γ+∠β
當點P運動到線段BM上時: ∠β= ∠γ+∠α】
初中二年級樣題
選擇題（每小題5分，共30分）
1、一個多邊形的內角和與外角和的總和為1800°，則這個多邊形的邊數是（ ）【B】
（A）8 （B）10 （C）12 （D）14
2、若直線過第一、二、四象限，那么直線不經過（ ）【B】
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
3、如圖是3×3正方形方格，將其中兩個方格涂黑有若干種涂法．約定沿正方形ABCD的對稱軸翻折能重合的圖案或繞正方形ABCD中心旋轉能重合的圖案都視為同一種圖案，例如就視為同一種圖案，則不同的涂法有 ( )【C】
(A)4種 (B)6種
(C)8種 (D)12種。
4、在中，設所對的邊分別為,若，那么等于 ( ) 【B】
(A) (B) (C) (D)
5、如右圖，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM=2，
N是AC上一動點，則DN+MN的最小為（ ）．
（A）8 B．8 C．2 D．10
【D 提示：D點和B點關于AC對稱】
6、、已知長度為l0cm的線段AB，以AB為直徑向上作半圓，記該半圓的周長為C1；將AB兩等分，分別以其一半線段為直徑向上作半圓，記該兩個半圓的周長之和為C2；再將AB三等分，分別以其三分之一線段為直徑向上作半圓，記該兩個半圓的周長之和為C3；如此繼續，記k等分時各半圓周長之和為 Ck，那么隨著等分數k的增加，各半圓周長之和Ck的數值 ( )
（A）越來越大 （B）越來越小 （C）不變 （D）無法判斷
【C不管等分數為多少，各個半圓的周長之和始終為5π】
填空題（每小題5分，共30分）
7、如圖1，直線上放置了一個邊長為6的等邊三角形，當等邊
三角形沿著直線翻轉一次到達圖2的位置.如果等邊三角形翻轉
204次，則頂點A移動的路徑總長是_____ _ (用π表示)
【544π】
8、下列4個判斷：
①有兩邊及第三邊上的高對應相等的兩個三角形全等；
②兩個三角形的6個邊、角元素中，有5個元素分別相等的兩個三角形全等；
③有兩邊及其中一邊上的高對應相等的兩個三角形全等；
④有兩邊及第三邊上的中線對應相等的兩個三角形全等；
其中正確判斷的編號是___________________【①②③】
9、若a、c、d都是整數，b是正整數，且a＋b＝c，b＋c＝d，c＋d＝a，則a＋b＋c＋d的最大值是____________
【－5 ∵a＋b＝c①，b＋c＝d②，c＋d＝a③，∴由①＋②得a+c+2b=c+d=a，即c= －2b
進而得a=－3b,d=－b,∴a+b+c+d=－5b,∵b是正整數，∴最大值為－5】
10、現有長為150的鐵絲，要截成若干個小段，要求每段的長度都是不小于1的整數，如果其中任意三小段都不能組成三角形，問當切成最多段時，共有___________種切法.
【7．提示：要盡可能多的切成段，且任意三小段都不能組成三角形，只能這樣切成10段：
（1）1，1，2，3，5，8，13，21，34，55＋7（2）1，1，2，3，5，8，13，21，35，55＋6
（3）··· ，36，55＋5 （4）··· ，37，55＋4（∵59－37>21） (5)··· 13,22,35,57+3 (6)···,22,36,57+2（∵59－36>22） (7)···,8,14,22,36,58】
11、一批旅客決定分乘幾輛大汽車，并且要使每輛車有相同的人數。起先，每輛車乘坐22人，發現有一人坐不上車。若是開走一輛空車，那么所有的旅客剛好平均分乘余下的汽車。已知每輛車的載客量不能多于32人，則原有 輛汽車，這批旅客有 人。
【提示：設原有輛汽車，開走一輛空車后，留下的每輛車乘坐個人，顯然≥2，≤32．
易知旅客人數等于，當一輛空車開走以后，所有旅客的人數可以表示為，由此列出方程
。
所以 。
因為為正整數數，所以必為正整數，但由于23是質數，因數只有1和23兩個，
且≥2，所以，或。
如果，則，，不滿足≤32的條件。
如果，則，，符合題意。
所以旅客人數等于＝23×23＝529（人）】
12、∣|叫做二階行列式，它的算法是：，將四個數2、3、4、5排成不同的二階行列式，則不同的計算結果有＿＿個，其中，數值最大的是＿＿＿【6，14】
解答題（每小題20分，共60分）
13、如圖，橫向或縱向的兩個相鄰格點的距離都是1．若六邊形(可以是凸的或凹的)的頂點都在格點上，且面積為6，畫出三個形狀不同的這樣的六邊形．
【答案：如右圖,符合條件的六邊形有許多．】
14、甲、乙兩車分別從A地將一批物品運往B地，再返回A地，圖6表示兩車離A地的距離（千米）隨時間（小時）變化的圖象，已知乙車到達B地后以30千米/小時的速度返回。請根據圖象中的數據回答：
（1）甲車出發多長時間后被乙車追上？
（2）甲車與乙車在距離A地多遠處迎面相遇？
（3）甲車從A地返回的速度多大時，才能比乙車先回到A地？
【答案：（1）由圖知，可設甲車由A地前往B地的函數解析式為
將代入，解得 所以
由圖可知，在距A地30千米處，乙車追上甲車，所以當千米時，
（小時）。即甲車出發1.5小時后被乙車追上
（2）由圖知，可設乙車由A地前往B地函數的解析式為
將（1.0，0）和（1.5，30）代入，得，解得
所以
當乙車到達B地時，千米。代入，得小時
又設乙車由B地返回A地的函數的解析式為
將（1.8，48）代入，得，解得
所以
當甲車與乙車迎面相遇時，有
解得小時 代入，得千米
即甲車與乙車在距離A地千米處迎面相遇
（3）當乙車返回到A地時，有 解得小時
甲車要比乙車先回到A地，速度應大于（千米/小時）】
15、當x=20時，一個關于x的二次三項式的值等于694．若該二次三項式的各項系數及常數項都是絕對值小于10的整數，求滿足條件的所有二次三項式．
【答案：將x=20代入ax2+bx+c得400a+20b+c=694①，于是400a=694-(20b+c)，
由-10又-10∴滿足條件的二次三項式只有2x2-5x-6 】
16、現有一臺天平，一個2克的砝碼和一個7克的砝碼，要求只使用這臺天平三次，將一包重140克的食鹽分成90克和50克。此外，為了便于減少誤差，每次分離食鹽時，規定重量是整數千克。請你設計盡可能多的方案，說明基本理由
【此題有多種答案。若考慮現有砝碼與其不同放置的情況，可將指定重量分為2份，它們的重量之差(克數)僅限于：0、2、5、7與9。因此可設如下數學模型：
。從而可得下列5種解決方案


而若考慮將已稱量的食鹽當作新的砝碼，則還可以得到其他的解決方案(略)。 】
初中三年級樣題
一、選擇題（每小題5分，共30分）
1、已知，，則＝（ ） 【B】
（A）4 （B）0 （C）2 （D）－2
2、將五張分別畫有等邊三角形、直角三角形、平行四邊形、等腰梯形、正六邊形的卡片任意擺放，將有圖形的一面朝下，從中任意翻開一張卡片，圖形一定是中心對稱圖形的概率是
（ ）【B】
（A） （B） （C） （D）
3、一塊含30°角的直角三角板（如右圖），它的斜邊AB=8cm，里面空心△DEF的各邊與△ABC的對應邊平行，且各對應邊的距離都是1 cm，那么△DEF的周長是（ ）
(A) 5 cm (B) 6 cm (C)（）cm (D)（）cm
【B：提示：連結BE，分別過E，F作AC的平行線交BC于點M和N，則EM=1，BM=，MN=．∴ 小三角形的周長是cm】
4、作拋物線A關于x軸對稱的拋物線B，再將拋物線B向左平移2個單位，向上平移1個單位，得到的拋物線C的函數解析式是，則拋物線A所對應的函數表達式是（　　 ）【D】
(A) 　　 　　(B)
(C) (D)
5、如圖，設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，黑、白
兩個甲殼蟲同時從A點出發，以相同的速度分別沿棱
向前爬行，黑甲殼蟲爬行的路線是AA1→A1D1→……，白甲殼蟲爬行的路線是AB→BB1→……，并且都遵循如下規則：所爬行的第條棱所在的直線必須是既不平行也不相交（其中是正整數）．那么當黑、白兩個甲殼蟲各爬行完第2008條棱分別停止在所到的正方體頂點處時，它們之間的距離是（ ）
（A）0 （B）1 （C） （D）
【答案： C
黑甲殼蟲爬行的路徑為：
白甲殼蟲爬行的路徑為：
黑、白甲殼蟲每爬行6條邊后又重復原來的路徑，因2008=334×6+4，所以當黑、白兩個甲殼蟲各爬行完第2008條棱分別停止時，黑甲殼蟲停在點C，白甲殼蟲停在點D1，因此】
6、一個商人用元（是正整數）買來了臺（為質數）電視機，其中有兩臺以成本的一半價錢賣給某個慈善機構，其余的電視機在商店出售，每臺盈利500元，結果該商人獲得利潤為5500元，則的最小值是（ ） 【C】
（A）11 （B）13 （C）17 （D）19
二、填空題（每小題5分，共30分）
7、正方形ABCD的邊長為1，將其繞頂點A順時針旋轉60°得正方形AB′C′D′，點C所經過的路徑長為 。【】
8、已知直角三角形的兩直角邊長分別為3 cm和4 cm，那么以兩直角邊為直徑的兩圓公共弦的長為　　 　　cm．
【 解：不難證明其公共弦就是直角三角形斜邊上的高(設為h)，則5h=3×4，h=】
9、設、是方程的兩個實根，且．則的值是 ．
【1】
10、從等邊三角形內一點向三邊作垂線，已知這三條垂線的長分別為1，3，5．則這個等邊三角形的面積是
【】
11、將一組數據按由小到大（或由大到小）的順序排列，處于最中間位置的數（當數據的個數是奇數時），或最中間兩個數據的平均數（當數據的個數是偶數時）叫做這組數據的中位數．現有一組數據共有100個數，其中有15個數在中位數和平均數之間，如果這組數據的中位數和平均數都不在這100個數中，那么這組數據中小于平均數的數據占這100個數據的百分比是　　
【答案：35％或65％ 解：如果平均數小于中位數，那么小于平均數的數據有35個；如果平均數大于中位數，那么小于平均數的數據有65個，所以這組數據中小于平均數的數據占這100個數據的百分比是35％或65％】
12、在直角坐標系中，軸上的動點M（，0）到定點P（5，5）、Q（2，1）的距離分別為MP和MQ，那么當MP＋MQ取最小值時，點M的橫坐標＝ 【】
三、解答題（（每小題20分，共60分）
13、如圖，一次函數的圖象過點P（2，3），交x軸的正半軸與A，交y軸的正半軸與B，求△AOB面積的最小值．
【解：設一次函數解析式為，則，得，令得，則OA＝．
令得，則OA＝．
所以，三角形AOB面積的最小值為12．】
14、小宇同學在布置班級文化園地時，想從一塊長為20cm，寬為8cm的長方形彩色紙板上剪下一個腰長為10cm的等腰三角形，并使其一個頂點在長方形的一邊上，另兩個頂點落在對邊上，請你幫他計算出所剪下的等腰三角形的底邊長。
解：分三種情況 ：（1）當底邊在長方形的長邊上時，如圖1，ABAC10 cm，
BE6 cm，BC2BE12 cm
（2）當腰在長方形的長邊上時，
如圖2（a），BCAB10 cm，CEBCBE1064 cm，
ACcm
如圖2（b），BCAC10 cm，BEBC＋CE10＋616 cm，
ABcm
故等腰三角形的底邊長為 cm或 cm或 cm
15、邊長為整數的等腰三角形一腰上的中線將其周長分為1∶2的兩部分，那么所有這些等腰三角形中，面積最小的三角形的面積是多少？
答案：
解：設這個等腰三角形的腰為x，底為y，分為的兩部分邊長分別為n和2n，得
或 解得 或
∵ (此時不能構成三角形，舍去)，∴ 取其中n是3的倍數．
三角形的面積．對于，
當n≥0時，隨著n的增大而增大，故當n=3時，取最小．
初中數學創新小論文要求及范文
論文形式：科學論文
科學論文是對某一課題進行探討、研究，表述新的科學研究成果或創見的文章。
注意：它不是感想，也不是調查報告。
論文選題：新穎，有意義，力所能及
要求：
有背景.
應用問題要來源于學生生活及其周圍世界的真實問題，要有具體的對象和真實的數據。理論問題要了解問題的研究現狀及其理論價值。要做必要的學術調研和研究特色。
有價值.
有一定的應用價值，或理論價值，或教育價值，學生通過課題的研究可以掌握必須的科學概念，提升科學研究的能力。
有基礎
對所研究問題的背景有一定了解，掌握一定量的參考文獻，積累了一些解決問題的方法，所研究問題的數據資料是能夠獲得的。
有特色
思路創新，有別于傳統研究的新思路；
方法創新，針對具體問題的特點，對傳統方法的改進和創新；
結果創新，要有新的，更深層次的結果。
問題可行
適合學生自己探究并能夠完成，要有學生的特色，所用知識應該不超過初中生（高中生）的能力范圍。
（數學應用問題）數據資料：來源可靠，引用合理，目標明確
要求：
數據真實可靠，不是編的數學題目；
數據分析合理，采用分析方法得當。
（數學應用問題）數學模型：通過抽象和化簡，使用數學語言對實際問題的一個近似描述，以便于人們更深刻地認識所研究的對象。
要求：
抽象化簡適中，太強，太弱都不好；
抽象出的數學問題，參數選擇源于實際，變量意義明確；
數學推理嚴格，計算準確無誤，得出結論；
將所得結論回歸到實際中，進行分析和檢驗，最終解決問題，或者提出建設性意見；
問題和方法的進一步推廣和展望。
（數學理論問題）問題的研究現狀和研究意義：了解透徹
要求：
對問題了解足夠清楚，其中指導教師的作用不容忽視；
問題解答推理嚴禁，計算無誤；
突出研究的特色和價值。
論文格式：符合規范，內容齊全，排版美觀
1. 標題：
是以最恰當、最簡明的詞語反映論文中主要內容的邏輯組合。
要求：反映內容準確得體，外延內涵恰如其分，用語凝練醒目。
2. 摘要：
全文主要內容的簡短陳述。
要求：
1）摘要必須指明研究的主要內容，使用的主要方法，得到的主要結論和成果；
2）摘要用語必須十分簡練，內容亦須充分概括。文字不能太長，6000字以內的文章摘要一般不超過300字；
3）不要舉例，不要講過程，不用圖表，不做自我評價。
3. 關鍵詞：文章中心內容所涉及的重要的單詞，以便于信息檢索。
要求：數量不要多，以3-5各為宜，不要過于生僻。
4. 正文
1）前言：
問題的背景：問題的來源；
提出問題：需要研究的內容及其意義；
文獻綜述：國內外有關研究現狀的回顧和存在的問題；
概括介紹論文的內容，問題的結論和所使用的方法。
2）主體：（數學應用問題）數學模型的組建、分析、檢驗和應用等。
（數學理論問題）推理論證，得出結論等。
3）討論
解釋研究的結果，揭示研究的價值, 指出應用前景, 提出研究的不足。
要求：
1）背景介紹清楚，問題提出自然；
2）思路清晰，涉及到得數據真是可靠，推理嚴密，計算無誤；
3）突出所研究問題的難點和意義。
5. 參考文獻：
是在文章最后所列出的文獻目錄。他們是在論文研究過程中所參考引用的主要文獻資料，是為了說明文中所引用的的論點、公式、數據的來源以表示對前人成果的尊重和提供進一步檢索的線索。
要求：
1）文獻目錄必須規范標注；
2）文末所引的文獻都應是論文中使用過的文獻，并且必須在正文中標明。
　　
示范小論文：
演出收入計稅的數學模型
[內容提要]
本文運用了Y=aX+b這一最基本的函數，通過建立數學模型，簡化了比較復雜的演出收入計算個人所得稅的問題。
[關鍵詞] 演出收入個人所得稅數學模型
問題的提出
我的表姐是一個演員，每次演出的收入較高，但是她總覺得繳納個人所得稅的計稅方法太復雜，到底要繳多少稅，心里沒底。為了幫表姐解決這個問題，我上網查證了計稅方法，詢問了稅務局的專家，通過分析后發現，運用Y=ax+b這一最基本的函數，通過建立相應的數學模型，可以簡化比較復雜的演出收入計算個人所得稅的問題。
一、由演出者繳稅的數學模型
（一）、稅法規定的數學模型
個人所得稅稅法規定，演出收入要在減去一定費用，計算出應納稅所得額以后，再按規定稅率來計算應納稅額。
假設：應納稅額為Y元，總收入為M元，應納稅所得額為X元，稅率為Z。則Y=XZ。這個關系式中，有兩點需要說明：
1.這里的應納稅所得額X，是在獲得的總收入M的基礎上扣除一定費用后的余額。稅法規定，費用的扣除標準如下：
當M≤4000時，費用扣除額為800元，即X=M-800.
當M＞4000時，費用扣除額為收入的20%，即X=M-20%M=0.8M
2.這里的稅率Z規定如下表(見表1)
級數
X(每次應納稅所得額)
Z(稅率%)
1
不超過20000元（含）的部分
20
2
超過20000元至50000元（含）的部分
30
3
超過50000元的部分
40
表1 演出收入個人所得稅稅率表
該稅率表在稅法里有一個術語，叫三級超額累進稅率。即：它將收入分為三段，每段的稅率分別不同，收入越高，稅率越高。如果用數學的術語來表達的話，它是一個分段函數：
1、如果X≤20000
則Y=20％X
2、如果50000≥X>20000
則Y=20000×20％+(X一20000)×30％
3、如果X＞50000
則Y=20000×20%十(50000—20000)×30％+(X一50000)×40％
上述表達式告訴我們，計算個人所得稅時，應先根據M計算出X，
再根據X找出相應的Z，最后將X進行分段，再計算出應納稅額Y。
數學模型的應用：
問題1：甲演員到杭州演出一場，收入3000元，應繳納多少個人所得稅?
1、∵M=3000元＜4000
∵X=M-800=3000—800=2200元
2、∵X＜20000
∴Y=20％X= 2200×20％=440元
問題2：乙演員到杭州演出一場，收入100000元，應繳納多少個人所得稅?
1、∵M=100000元＞40000
∴X=0.8M=0.8×100000=80000元
2、∵X＞20000
∴Y=20000×20％+(50000-20000)×3O％+(X一50000)×40％
=20000×20％+(50000-20000)×30％+(80000—50000) ×40％
=25000元
從以上這些例子我們發現，在超額累進稅率F，分段計稅確實比較復雜。我們能不能找出簡單一點的計算方法呢?
(二)化簡數學模型
我們將上面的分段函數進行化簡：
1、如果X≤20000
則Y=200％X，這已經很簡單了，不需要再化簡。
2、如果50000≥X＞20000
則Y=20000×20％+(X-20000)×30％=30％X-2000
3、如果X＞50000
則Y=20000×20％+(50000-20000)×30％+(X-50000)×40％
=40％X一7000
分析上述三個化簡后的式子，我們可以得出以下兩個結論：
1、應納稅額Y等于應納稅所得額X與相應稅率Z的乘積減去一個常數。假設此常數為C，則Y=XZ-C。
2、可以把稅率表(表1)改寫成表2
表2 演出收入個人所得稅稅率表
級數
X(每次應納稅所得額)
Z(稅率%)
C（常數）
1
不超過20000元（含）的部分
20
0
2
超過20000元至50000元（含）的部分
30
2000
3
超過50000元的部分
40
7000
上述結論告訴我們，計算個人所得稅時，應先根據M計算出X，再根據X找出相應的Z和C，代入關系式Y=XZ-C，就可以直接得出結
果了。
數學模型的應用：
問題3 資料同問題1。
1、∵M=3000元＜4000
∴X=M-800=3000-800=220元
2、∵X＜20000，則Z=20％，C=O
∴Y=XZ-C=2200×20％-0=440元
問題4 資料同問題2。
1、∵M=100000元＞40000元
∴X=0.8M=0.8×100000=80000元
2、∵X＞50000,則Z=40%,C=7000
∴Y=XZ-C=80000×40%-7000=25000元
這樣計算就簡單多了!
(三)再化簡數學模型
經過化簡后，計算確實簡單了許多，但它還需要轉個彎，M的前提下，只有換算成X后才能計算稅款。能不能直接用M來：
答案是肯定的。因為M與X之間存在著密切的關系。下面我佃
1、當M≤4000吋．則X=M-800，Z=20％．C=0，代入 Y=XZ-C
那么，Y=(M一800)×20% = 0.2M-160
令Y=0，即0.2M-160=0,得M=800
所以，M的取值范圍為：800＜M≤4000
即當800＜M≤4000時，Y=0.2M-160
2、當M＞4000時，X=O.8M，按照X的取值范圍分三種情況
(1)如果X≤20000，則Z=20％，C=O，代入Y=XZ-C，
那么，Y=20%X-0=0.2×0.8M=0.16M
令X=20000,得M=X÷0.8=20000÷0.8=25000
所以,M的取值范圍為4000＜M≤25000
即當4000＜M≤25000時，Y=0.16M
(2)如果50000≥X＞20000,則Z=30%，C=2000，代入Y=XZ-C
那么，Y=30%X-2000=0.3×0.8M-2000=0.24M-2000=0.24M-2000
令X=50000，得M=X÷0.8=50000÷0.8=62500
所以,M的取值范圍為：25000＜M≤62500
即，當25000＜M≤62500時，Y=0.24M-2000
20000，得M：X÷O 8：20000÷0 8：25000
(3)如果X＞50000,則Z=40%,C=7000,代入Y=XZ-C
那么，Y=40%X-7000=0.4×0.8M-7000=0.32M-7000
M的取值范圍為M＞625000
即，當M＞625000時，Y=0.32M-7000
通過觀察上述式子，我們可以發現，他們都變成了一次函數:Y=aM-b。將上述推導結果整理成下表（表3）
表3 演出收入個人所得稅計稅系數表
級數
X(每次總收入)
a
b
1
超過800元至4000元（含）的
0.2
160
2
超過4000元至25000元（含）的
0.16
0
3
超過25000元至62500元（含）的
0.24
2000
4
超過62500元的
0.32
7000
問題5：資料同問題1
∵M=3000元＜4000，則a=0.2，b=160
∴Y=aM-b=0.2×3000—160=440元
問題6:資料同問題2
∵M=100000元，M＞62500，則a=0.32，b=7000
∴Y=aM—b=0.32×100000—7000=25000元
這樣的計算就更簡單了!
二、由舉辦方代付稅款的數學模型
問題2中乙到杭州演出一場，總收入為100000元，繳了25000元個人所得稅后，稅后凈收入只有75000元了。她覺得報酬太低，不合算。于是丙到演出舉辦單位簽訂協議，要求演出的稅后凈收入為100000元，即個人所得稅由演出舉辦者承擔．那么，舉辦者代為繳納的個人所得稅是不是25000元呢?
(一)稅法規定的數學模型
假設：稅后凈收入為N，舉辦者為演員代付款為Y，演出舉辦方實際支出為M，M也就是演出者的總收入。顯然M=Y+N。這意味著計算代付稅款時，應當將舉辦者支付給演員的的稅后凈收入N(或稱不含稅支付額)換算為總收入M，按規定扣除費用后得巾應納稅所得額X，然后按規定稅率Z計算出應代付的個人所得稅款Y。
現在N是已知條件，我們只要建立起以N為自變量、丫為因變量的函數關系式，并且將表面化中的X換算成N，就可確定Z，計算出Y。
根據費用扣除規定和表面化的信息，推導如下：
1、當M≤4000時，X=M-800,將X=M-800，代入Y=XZ-C
那么，Y=（M-800）Z-C =（Y+N-800）Z-C，經整理可得：
Y=
下面確定N的取值范圍。
當M≤4000時，Z=20％,C=0
令Y=0，即 =0，則N=800。
令M=4000，即Y=XZ—C=(4000—800)×20％-0=640元，
N=M—Y=4000—640=3360元。
即：與M=4000元相對應值為3360元。
也就是說,當3360≥N＞800時，按Y= 來計算稅款。
此時，Z=20％，C=0。
2、當M＞4000時，X=0.8M
那以，Y =XZ-C
=0.8MZ-C
=0.8(Y+N)Z-C
經整理可得:
Y=
下面分別就X的三種取值范圍來確定N的對應取值范圍。
（1）當X=20000元時，Y=XZ-C=20000×20％-0=4000元
M=X÷0.8=20000÷0.8=25000元
N=M-Y=25000-4000=20111元。即：與X=2000元相對應的N值為21000元。
也就是說，當21000≥N＞3360時，按Y=來計算稅款。此時，Z=20%,C=0。
（2）當X=50000元時，Y=XZ-C=50000×30%-2000=13000元
M=X÷0.8=50000÷0.8=62500元，N=M-Y=62500-13000=49500元，即：與X=50000元相對應的N值為49500元。
也就是說，當49500≥N＞21000時，按Y=來計算稅款。此時，Z=30%,C=2000。
（3）顯然，當N＞49500時，按Y=來計算稅款。此時，Z=40%,C=7000元。
根據上述推導，可以把稅率表（表2）改寫成下表（表4）
表4 不含演出收入適用稅率表
級數
N(不含稅演出收入)
Z（稅率%）
C（常數）
1
超過800元至3360元（含）的
20
0
2
超過3360元至21000元（含）的
20
0
3
超過21000元至49500元（含）的
30
2000
4
超過49500元的
40
7000
問題7：丙演員到杭州演出一場，按照合同規定，舉辦方應支付歌星報酬3000元，與其報酬相關的個人所得稅由舉辦方代付。計算應代付的個人所得稅稅額。
1、∵N=3000＜3360，則Z=20%，C=0
2、∴Y===550元
現在，我們知道了由演員自己繳稅和演出舉辦方代付稅款的計算方法是不一樣的。但是，這樣的計算比較復雜，能否再簡化點呢？
(二)化簡數學模型
觀察表4可知，Z和C雖然隨著N的變化而變化，但當N確定后，
Z和C就變為常數了。所以，我們將Z和C代入式子
Y= 或Y=就可以進行化繁為簡了。
1、當N≤3360時，Z=20％，C=0
那么，Y===
2、當21000≥N＞3360時，Z=20％，C=0
那么，Y= =
3、當49500≥N＞21000時，Z=30％，C=2000
那么，Y= =
4、當N＞49500時，Z=40％，C=70000
那么，Y==
通過觀察上述式子，我門可以發現，它們都變成了一次函數：
Y=An-b。
將上述推導結果整理成下表(見表5)
表5 不含演出收入計稅系數表
級數
不含稅勞務報酬收入
A
B
1
未超過3360元（含）的
200
2
超過3360元至21000元（含）的
0
3
超過21000元至49500元（含）的
2631.58
4
超過49500元的
10294.12
數學模型的應用：
問題8：資料同問題7
1、∵N=3000＜3360，則a=，b=200
2 、Y=元—200
結論
綜上所述，不論是由演出者付稅，還是由演出舉辦者代付稅，都可以運用Y=Ax+b來計算個人所得稅。只要稍微懂點函數知識的人，利用本文介紹的方法，計算個人所得稅就易如反掌了。

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