資源簡介

一般三角形及其性質
1. 如圖，在△ABC中，∠ACD是△ABC的一個外角．
第1題圖
(1)若AB＝2，AC＝3，則BC邊的長度可以是________(寫出一個即可)，依據為________；
(2)若∠ACB＝50°，∠A＝∠B＋10°，則∠B＝________°；
(3)若∠A＝60°，∠B＝80°，則∠ACD＝________°.
2. 如圖，在△ABC中，D是AC的中點，E是BC的中點，連接DE，BD.
第2題圖
(1)若S△ABC＝10，則S△BDE＝________；
(2)若DE＝3，BC＝8，則AB＝________，△BCD與△ABD的周長之差為________．
3. 在△ABC中，AB＝8，D是BC上一點，E是AC上一點．連接AD，DE.
(1)如圖①，AD平分∠BAC，DE⊥AC.若DE＝2，則S△ABD＝________；
圖① 圖②
第3題圖
(2)如圖②，DE是線段AC的垂直平分線，BC＝9，AD與CD的數量關系是________，△ABD的周長為________．
知識逐點過
考點1 　三角形的分類
按角分類 1. 銳角三角形：三個角均小于90°；2. 直角三角形：有一個角是90°；3. 鈍角三角形：有一個角大于90°
按邊分類 1. 三邊都不相等的三角形；2. 等腰三角形：(1)底邊和腰不相等的等腰三角形；(2)等邊三角形
考點2 　三角形的三邊關系、內角和定理及內外角關系
三邊關系 1. 三角形兩邊之和①________第三邊，三角形兩邊之差②________第三邊(若一個三角形的三邊邊長分別為a，b，c，則|a－b|＜c＜a＋b)；2. 三角形具有穩定性
內角和定理 三角形三個內角的和等于③________
內外角關系 1. 三角形的外角和等于360°；2. 三角形的外角④________與它不相鄰的兩個內角的和；3. 三角形的一個外角⑤________任何一個和它不相鄰的內角
邊角關系 同一個三角形中，等邊對等角，大邊對大角，小邊對小角
面積公式 S＝ah(h為邊a上的高)　　　【溫馨提示】同底(等底)等高(同高)的三角形面積相等，在解決面積問題時常會用到，如圖，h1＝h2，可知S△ABC＝S△ABD
考點3 　三角形中的重要線段
四線 圖示 性質 面積關系 延伸
中位線 DE是△ABC的中位線 DE⑥________BC，且DE＝⑦______BC S△ADE＝S△ABC 當三角形中遇到中點時，常構造三角形中位線，可簡單地概括為“已知中點找中位線”
角平分線 AD是△ABC的角平分線 1.∠BAD＝⑧____＝⑨______∠BAC；2．DE＝⑩______ S△ABD∶S△ACD＝BD∶CD＝AB∶AC 1.三角形的三條角平分線的交點是三角形的內心；2．內心到三角形三邊的距離相等
中線 AD是△ABC的中線 BD＝ ________＝ ________BC S△ABD＝S△ADC＝S△ABC 三角形三條中線的交點是三角形的重心
高線 AD是△ABC的高線 AD⊥ ________，即∠ADB＝∠ADC＝ ________ S△ABC＝BC·AD，＝ 三角形三條高線所在直線的交點是三角形的垂心
真題演練
命題點1 三角形的基本性質
1. 下列圖形中有穩定性的是(　　)
A. 三角形 B. 平行四邊形 C. 長方形 D. 正方形
命題點2 三角形中的重要線段(6年7考，在圓或特殊四邊形中涉及考查3次)
2. 如圖，在△ABC中，BC＝4，點D，E分別為AB，AC的中點，則DE＝(　　)
A. B. C. 1 D. 2
第2題圖
3. 已知△ABC的周長為16，點D，E，F分別為△ABC三條邊的中點，則△DEF的周長為(　　)
A. 8 B. 2 C. 16 D. 4
拓展訓練
4. 如圖，在△ABC中，BE，CD分別是∠ABC和∠ACB的平分線，且BE，CD相交于點P，若∠A＝50°，則∠BPC＝________．
第4題圖
5. 如圖，在△ABC中，AB＝2，BC＝4，求△ABC的高AD與CE的比值．
　第5題圖
基礎過關
1. 如圖，鋼架橋的設計中采用了三角形的結構，其數學道理是(　　)
第1題圖
A. 三角形具有穩定性
B. 兩點確定一條直線
C. 兩點之間，線段最短
D. 三角形的兩邊之和大于第三邊
2. 若某三角形的三邊長分別為3，4，m，則m的值可以是(　　)
A. 1 B. 5 C. 7 D. 9
3. 如圖，將△ABC折疊，使AC邊落在AB邊上，展開后得到折痕l，則l是△ABC的(　　)
A. 中線 B. 中位線
C. 高線 D. 角平分線
第3題圖
4. 如圖，用三角板畫△ABC的邊AB上的高線，下列三角板的擺放位置正確的是(　　)
ABCD
5. 如圖，將一副直角三角板，按如圖所示疊放在一起，則圖中∠COB的度數是(　　)
A. 75° B. 105° C. 115° D. 100°
第5題圖
6. 如圖，在△ABC中，BD是△ABC的中線，BE是△ABD的中線，若AE＝3，則AC的長度為(　　)
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
　
第6題圖
7. 如圖，把兩根鋼條OA，OB的一個端點連在一起，點C，D分別是OA，OB的中點．若CD＝4 cm，則該工件內槽寬AB的長為__________cm.
　
第7題圖
8.若三角形三個內角的比為1∶2∶3，則這個三角形是__________三角形．
9. 如圖，在△ABC中，點E是中線AD的中點，若△AEC的面積是1，則△ABD的面積是__________．
　
第9題圖
10. 如圖，在△ABC中，DE是BC的垂直平分線．若AB＝5，AC＝8，則△ABD的周長是__________．
第10題圖
11. 如圖，在△ABC中，AB＝4，BD是△ABC的角平分線，DE⊥BC于點E.若△ABC的面積為7，DE＝2，則BC的長為__________．
第11題圖
綜合提升
12.如圖，在△ABC中，D是AB邊上任意一點，點E是CD的中點，點F是BE的中點，若△ABF的面積為6，則△ABC的面積為__________．
第12題圖
13. 如圖，在5×7網格中，各小正方形邊長均為1，點O，A，B，C，D，E均在格點上，點O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情況下，則除△ABC外把你認為外心也是O的三角形都寫出來__________．
　
第13題圖
14. 下面是證明三角形內角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．
三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于180°.已知：如圖①，△ABC.求證：∠A＋∠B＋∠C＝180°.第14題圖①
方法一證明：如圖②，過點A作DE∥BC.第14題圖② 方法二證明：如圖③，過點C作CD∥AB.第14題圖③
一般三角形及其性質
1. (1)2(答案不唯一，1＜BC＜5即可)，三角形中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；
(2)60；
(3)140.
2. (1)；【解析】∵D，E分別是AC，BC的中點，∴＝，＝，∵S△BDE與S△CDE等底同高，∴S△BDE＝S△CDE＝S△ABC＝×10＝.
(2)6，2.【解析】∵＝，∴AB＝6，∵AD＝CD，BD＝BD，∴△BCD與△ABD的周長之差為BC－AB＝8－6＝2.
3. (1)8；
(2)AD＝CD，17.
知識逐點過
①大于　②小于　③180°　④等于
⑤大于　⑥∥　⑦　⑧∠CAD　⑨　⑩DF　 CD　 　 BC
90°
真題演練
1. A
2. D　【解析】∵在△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點，∴DE為△ABC的中位線，∴DE＝BC＝2.
3. A　【解析】∵D，E，F是△ABC三條邊的中點，∴△DEF的三邊是△ABC的三條中位線，∴△DEF的三邊之和等于△ABC三邊之和的一半，∴△DEF的周長為8.
4. 115°　【解析】∵∠ABC，∠ACB的平分線BE，CD相交于點P，∴∠CBP＝∠ABC，∠BCP＝∠ACB，∵∠A＝50°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝130°，∴∠BPC＝180°－(∠CBP＋∠BCP)＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝115°.
5. 解：由題意，得S△ABC＝AB·CE＝BC·AD，
∵AB＝2，BC＝4，
∴×2·CE＝×4·AD，
∴＝.
基礎過關
1. A
2. B　【解析】 根據三角形的三邊關系定理得4－33. D　【解析】角是軸對稱圖形，角的對稱軸是角平分線所在的直線.
4. D　【解析】 AB邊上的高應該從頂點C向它所對的邊AB所在直線畫垂線，故D選項符合題意．
5. B　【解析】 ∵∠BDC＝60°，∠OCD＝45°，∴∠BOC＝60°＋45°＝105°.
6. D　【解析】 ∵BE是△ABD的中線，∴AD＝2AE＝6.∵BD是△ABC的中線，∴AC＝2AD＝12.
7. 8
8. 直角　【解析】設這個三角形三個內角依次為x，2x，3x，∵x＋2x＋3x＝180°，∴x＝30°，∴最大角為3x＝90°，故這個三角形是直角三角形．
9. 2　【解析】∵點E是AD的中點，∴S△ACD＝2S△ACE＝2.∵AD是△ABC的中線，∴S△ABD＝S△ADC＝2.
10. 13　【解析】 ∵垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，∴DB＝DC，∴△ABD的周長＝AB＋AD＋DB＝AB＋AD＋DC＝AB＋AC＝5＋8＝13.
11. 3　【解析】 如解圖，過點D作DF⊥AB于點F，∵BD是△ABC的角平分線，DE⊥BC，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝AB·DF＋BC·DE＝×4×2＋BC×2＝7，∴BC＝3.
第11題解圖
12. 24 　【解析】 如解圖，連接AE，∵點F是BE的中點，∴S△AEF＝S△ABF.∵點E是CD的中點，∴S△ADE＝S△ACE，S△BDE＝S△BCE，∴S△ABE＝S△BDE＋S△ADE＝S△ABC，∴S△ABC＝2S△ABE＝4S△ABF＝24.
第12題解圖
13. △ADC，△BDC，△ADB　【解析】三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，由網格可知，點O到A，B，C，D四點的距離相等，∴除△ABC外，外心也是O的三角形還有△ADC，△BDC，△ADB.
14. 方法一
證明：∵DE∥BC，
∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC.
∵∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝180°，
∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，
即△ABC的內角和為180°.
方法二
證明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠ACD，∠B＋∠BCD＝180°.
又∵∠BCD＝∠ACD＋∠BCA，
∴∠A＋∠B＋∠BCA＝180°，
即△ABC的內角和為180°.

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