資源簡介

等腰三角形與直角三角形
1. 如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為BC邊上的高，H為AC上一點，BH與AD交于點O，連接DH.
　第1題圖
(1)當∠BAC＝64°時．
①∠ABC的度數為________；
②若BH為∠ABC的平分線，∠AOB的度數為________；
(2)若H為AC的中點，當AH＝3時，HD的長為________，△HDC是________三角形；
(3)若BH平分∠ABC，H為AC的中點．
①△ABC是________三角形；
②若AB＝6，則△ABC的面積為________，△CDH的面積為________．
2. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB邊上一點，連接CD.
　第2題圖
(1)若∠B＝30°，AC＝2，則AB＝________；
(2)若D是AB邊的中點．
①當∠B＝25°時，則∠ACD＝________；
②當AC＝3，BC＝4時，則CD＝________；
(3)若CD⊥AB，當AC＝6，BC＝8，則S△ABC＝________，CD＝________；
(4)如圖，E為BC中點，連接DE，若BC＝2DE，則△BCD為________三角形．
　第3題圖
3. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC的中點，AD＝2.
(1)∠DAC的度數為________；
(2)AC的長為________；
(3)如圖，過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，則四邊形AEDF的周長為________．
知識逐點過
考點1 　等腰三角形的性質及判定
等腰三角形 等邊三角形
性質 1. 兩腰相等，兩底角①______(簡寫成“等邊對等角”)；2. 頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線②______(簡寫成“三線合一”)； 1. 三邊相等(如圖中AB＝BC＝AC)；2. 三個內角相等，并且每一個角都等于③________(如圖中∠BAC＝∠B＝∠C＝④______)；
性質 3. 是軸對稱圖形，有1條對稱軸，對稱軸為頂角的平分線(底邊上的高線，底邊上的中線)所在的直線(如圖中AD所在的直線) 3. 是軸對稱圖形，有⑤________條對稱軸；4. 內、外心重合
判定 1. 有兩條邊相等的三角形是等腰三角形(定義)；2. 有兩個角相等的三角形是等腰三角形(簡寫成“等角對等邊”) 1. 三邊都相等的三角形是等邊三角形；2. 三個內角都是⑥________的三角形是等邊三角形；3. 有一個角是⑦________的等腰三角形是等邊三角形
面積 S△ABC＝ah，其中a為底邊長，h為底邊上的高 S△ABC＝ah＝a2，其中a為等邊三角形的邊長，h為任意一邊上的高
考點2 　直角三角形的性質及判定
直角三角形 等腰直角三角形
性質 1. 兩銳角和等于⑧______；2. 斜邊上的中線等于⑨____；3. 30°角所對的直角邊等于______；4. 若有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于 ____；5. 勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么 ________ 1. 兩直角邊相等；2. 兩銳角相等且均等于 ________
判定 1. 有一個角為90°的三角形；2. 有兩個角互余的三角形；3. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長為a，b，c，且滿足a2＋b2＝c2或a2＋c2＝b2或b2＋c2＝a2，那么這個三角形是直角三角形 1. 頂角為90°的等腰三角形是等腰直角三角形；2. 有兩個角為45°的三角形是等腰直角三角形；3. 有一個角為45°的直角三角形是等腰直角三角形；4. 兩邊相等的直角三 角形是等腰直角三角形
面積 S＝ab＝ch，其中a，b為兩條直角邊長，c為斜邊長，h為斜邊上的高 S＝ch＝a2＝c2，其中a為直角邊長，c為斜邊長，h為斜邊上的高
真題演練
命題點1 特殊三角形的判定
1. 如圖，在△ABC中，點D，E分別是AB，AC邊上的點，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE與CD相交于點F.求證：△ABC是等腰三角形．
　第1題圖
2. 若a＝－4，b＝12，一個三角形的一條邊的長為2，另外兩條邊的長是關于x的方程x2＋ax＋b＝0的解．試判斷該三角形的形狀，并說明理由．
命題點2 特殊三角形性質相關的證明與計算
3. 如圖，在Rt△ABC中，AB＝BC，點D在斜邊AC上，且CD＝CB，AH平分∠BAC，交BD于點E，交BC于點H，過點E作EF⊥AB于點F.
(1)求證：EA＝EB；
(2)若EF＝2，求BH的長．
　第3題圖
4. 如圖，在等邊△ABC中，∠ADC＝∠BEA，AE與CD交于點F.
(1)求證：△BCD≌△CAE；
(2)若BC＝5，CE＝2，求CD的長．
　第4題圖
基礎過關
1. 如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，則∠ACD的度數為(　　)
A. 70° B. 100° C. 110° D. 140°
第1題圖　　
2. 一技術人員用刻度尺(單位： cm)測量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知∠ACB＝90°，點D為邊AB的中點，點A，B對應的刻度為1，7，則CD＝(　　)
A. 3.5 cm B. 3 cm C. 4.5 cm D. 6 cm
第2題圖
3. 如圖，等邊△OAB頂點B的坐標為(2，0)，則點A的坐標為(　　)
A. (1，) B. (，1) C. (，) D. (，)
第3題圖
4. 5月26日，“2023中國國際大數據產業博覽會”在貴陽開幕，在“自動化立體庫”中有許多幾何元素，其中有一個等腰三角形模型(示意圖如圖所示)，它的頂角為120°，腰長為12 m，則底邊上的高是(　　)
A. 4 m B. 6 m C. 10 m D. 12 m
第4題圖
5. △ABC的三邊長a，b，c滿足(a－b)2＋＋|c－3|＝0，則△ABC是(　　)
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 銳角三角形 D. 等腰直角三角形
6. 如圖，在△ABC中，若AB＝AC，AD＝BD，∠CAD＝24°，則∠C＝__________．
第6題圖
7. 如圖，CD為Rt△ABC斜邊AB上的中線，點E為AC的中點，若AC＝8，CD＝5，則DE＝__________．
第7題圖
8. 我國漢代數學家趙爽證明勾股定理時創制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形和一個小正方形組成．如圖，直角三角形的直角邊長為a，b，斜邊長為c，若b－a＝4，c＝20，則每個直角三角形的面積為__________．
第8題圖
9. 如圖，BD是等邊△ABC的中線，以點D為圓心，DB的長為半徑畫弧，交BC的延長線于點E，連接DE.求證：CD＝CE.
第9題圖
10. 圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，線段AB的端點均在格點上．在圖①、圖②、圖③中以AB為邊各畫一個等腰三角形，使其依次為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，且所畫三角形的頂點均在格點上．
圖① 圖② 圖③
第10題圖
綜合提升
11. 如圖，在Rt△ABC中，AB＝4，點M是斜邊BC的中點，以AM為邊作正方形AMEF.若S正方形AMEF＝16，則S△ABC＝(　　)
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
第11題圖
12. 如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB為腰作等腰直角三角形BAE，頂點E恰好落在CD邊上，若AD＝1，則CE的長是(　　)
A. B. C. 2 D. 1
第12題圖
13. 在△ABC中，∠B＝60°，AB＝4，若△ABC是銳角三角形，則滿足條件的BC長可以是(　　)
A. 1 B. 2 C. 6 D. 8
新考法推薦
14.清初數學家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對南宋數學家秦九韶提出的計算三角形面積的“三斜求積術”給出了一個完整的證明，證明過程中創造性地設計直角三角形，得出了一個結論：如圖，AD是銳角△ABC的高，則BD＝(BC＋).當AB＝7，BC＝6，AC＝5時，CD＝__________．
第14題圖
等腰三角形與直角三角形
1. (1)①58°；【解析】∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．∵∠BAC＝64°，∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－∠BAC)＝58°.
②119°；【解析】∵∠ABC＝58°，BH為∠ABC的平分線，∴∠ABH＝∠CBH＝∠ABC＝29°.∵AB＝AC，AD為BC邊上的高，∴∠BAD＝∠BAC＝32°，∴∠AOB＝180°－∠BAD－∠ABH＝119°.
(2)3，等腰；【解析】∵H是AC的中點，∴CH＝AH＝AC＝AB，∵AB＝AC，AD為BC邊上的高，∴D是BC的中點，∴HD＝AB，∴HD＝AH＝CH＝3，△HDC是等腰三角形．
(3)①等邊；【解析】∵BH平分∠ABC，H為AC中點，∴AB＝BC，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等邊三角形．
②9，.【解析】∵AB＝6，∴BD＝3，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∴AD＝3，∴S△ABC＝BC·AD＝×6×3＝9，∵HD是△ABC的中位線，∴S△CDH＝S△ABC＝.
2. (1)4；(2)①65°，②；(3)24，；
(4)直角．【解析】∵E為BC中點，∴BE＝CE，∵BC＝2DE，∴DE＝CE＝BE，∴∠EDC＝∠ECD，∠EDB＝∠B，∵∠EDC＋∠ECD＋∠EDB＋∠B＝180°，∴∠CDE＋∠EDB＝90°，∴△BCD為直角三角形．
3. (1)45°；【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵D是BC的中點，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝45°.
(2)2；【解析】∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中點，∴AD＝DC＝2，AD⊥BC，在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC＝＝2.
(3)4.【解析】∵AD＝DC，DF⊥AC，∴F是AC的中點，∵AD⊥BC，∴DF＝AC＝，同理DE＝，∵∠AED＝∠EAF＝∠AFD＝90°，DE＝DF，∴四邊形AEDF是正方形，∴四邊形AEDF的周長為4.
知識逐點過
①相等　②重合　③60°　④60°　⑤三　⑥60°　⑦60°　⑧90°　⑨斜邊的一半　⑩斜邊的一半　 30°　 a2＋b2＝c2　 45°
真題演練
1. 證明：∵BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，∠DFB＝∠EFC，
∴△BDF≌△CEF(AAS)，
∴BF＝CF，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴∠FBC＋∠ABE＝∠FCB＋∠ACD，
即∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
2. 解：該三角形是等腰直角三角形．
理由如下：
當a＝－4，b＝12時，關于x的方程x2＋ax＋b＝0即為x2－4x＋12＝0，
解得x1＝x2＝2，
∴該三角形是等腰三角形，
又∵(2)2＋(2)2＝(2)2，
∴該三角形是等腰直角三角形．
3. (1)證明：∵在Rt△ABC中，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠C＝45°.
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝×(180°－45°)＝67.5°，
∴∠ABD＝90°－67.5°＝22.5°.
∵AH平分∠BAC，
∴∠BAH＝∠BAC＝22.5°.
即∠ABE＝∠BAE，
∴EA＝EB；
(2)解：由(1)得，EA＝EB，
∵EF⊥AB，∠ABC＝90°，
∴AF＝BF，EF∥BH，
∴EF為△ABH的中位線，
∴BH＝2EF＝2×2＝4.
4. (1)證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴BC＝CA，∠B＝∠ACE＝60°.
∵∠ADC＝∠BEA，
∴∠B＋∠DCB＝∠ACE＋∠EAC，
∴∠DCB＝∠EAC.
在△BCD和△CAE中，
∴△BCD≌△CAE(ASA)；
(2)解：如解圖，過點D作DG⊥BC于點G，則∠DGB＝∠DGC＝90°，
由(1)得△BCD≌△CAE，
∴BD＝CE＝2.
∵∠B＝60°，
∴∠BDG＝30°，
∴BG＝BD＝1，DG＝BG＝，
∴CG＝BC－BG＝5－1＝4，
在Rt△DGC中，由勾股定理，得CD＝＝＝.
第4題解圖
基礎過關
1. C　【解析】 ∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠B＝∠ACB＝＝＝70°，∴∠ACD＝∠A＋∠B＝110°.
2. B　【解析】由題圖可知AB＝7－1＝6 cm，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，D為邊AB的中點，∴CD＝AB＝3 cm.
3. A　【解析】 如解圖，過點A作AC⊥OB交x軸于點C.∵△OAB為等邊三角形，OB＝2，∴OC＝OB＝1.∵∠AOB＝60°，∴AC＝OC·tan 60°＝，∴點A的坐標為(1，).
第3題解圖
4. B　【解析】如解圖，過點A作AD⊥BC于點D，∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝120°，∴∠B＝×(180°－120°)＝30°，∴AD＝AB＝6 m.
第4題解圖
5. D　【解析】∵(a－b)2＋＋|c－3|＝0，且，
∴，∴，解得，∴a2＋b2＝c2，且a＝b，∴△ABC為等腰直角三角形．
6. 52°　【解析】 ∵AB＝AC，AD＝BD，∴∠B＝∠C，∠B＝∠BAD.∵三角形內角和是180°，∠B＋∠BAD＋∠CAD＋∠C＝180°，解得∠C＝52°.
7. 3　【解析】∵CD為Rt△ABC斜邊AB上的中線，∴AD＝DB＝CD＝5，∴AB＝2CD＝10，根據勾股定理可得BC＝6.∵點E為AC的中點，∴DE為△ABC的中位線，∴DE＝BC＝3.
8. 96　【解析】由題意得，大正方形的面積＝20×20＝400，小正方形的面積＝4×4＝16，∴四個直角三角形的面積和為400－16＝384，每個直角三角形的面積為384÷4＝96.
9. 證明：如解圖，∵BD為等邊△ABC的中線，
∴BD⊥AC，∠1＝60°，
∴∠3＝30°.∵BD＝DE，
∴∠E＝∠3＝30°.
∵∠2＋∠E＝∠1＝60°，
∴∠E＝∠2＝30°，∴CD＝CE.
第9題解圖
10. 解：如解圖①，△ABC即為所求銳角三角形；
如解圖②，△ABD即為所求直角三角形；
如解圖③，△ABE即為所求鈍角三角形．
(答案不唯一)
解圖①
　
解圖②
解圖③
第10題解圖
11. B　【解析】∵S正方形AMEF＝16，∴AM＝4.∵點M是斜邊BC的中點，∴AM是Rt△ABC斜邊上的中線，∴BC＝2AM＝8.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝＝4，∴S△ABC＝AB·AC＝×4×4＝8.
12. A　【解析】如解圖，連接BD，∵AD∥BC，∴∠C＋∠ADE＝180°，∴∠ADE＝180°－45°＝135°.∵△ABE為等腰直角三角形，∴∠ABE＝45°，∵∠ABE＋∠ADE＝180°，∴A，B，E，D四點共圓．∵∠BEC＋∠BED＝180°，∠BAD＋∠BED＝180°，∴∠BAD＝∠BEC.∵∠ADB＝∠AEB＝45°，∠C＝45°，∴∠ADB＝∠C，∴△ABD∽△EBC，∴＝.∵＝，∴＝，∴EC＝，故選A.
第12題解圖
13. C　【解析】如解圖①，在△ABC中，AB＝4，∠B＝60°，當∠A＝90°時，∠C＝30°，∴BC＝2AB＝8.如解圖②，當∠ACB＝90°時，∠A＝30°，∴BC＝AB＝2.∵△ABC是銳角三角形，∴∠A，∠C都小于90°，∴2＜BC＜8，∴BC的長可以是6，故選C.
圖①
　
圖②
第13題解圖
14. 1　【解析】將AB＝7，BC＝6，AC＝5代入公式中得BD＝×(6＋)＝5，∴CD＝BC－BD＝6－5＝1.

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