資源簡介

　遇到中點如何添加輔助線
方法一　構造中位線
方法歸納
情形1：圖形中出現兩個及以上的中點，考慮構造中位線．
如圖，在△ABC中，D，E分別為AB，AC邊上的中點．
【結論】DE∥BC；DE＝BC；△ADE∽△ABC.
情形2：圖形中出現一個中點時，考慮過中點作另一邊的平行線構造中位線．
如圖，在△ABC中，D為AB的中點．
【結論】AE＝CE；DE＝BC；△ADE∽△ABC.
1. 如圖，在△ABC中，D，E分別為AC，BC的中點，連接AE，BD交于點F，則的值為________．
　
第1題圖
2. 如圖，在△ABC中，D為AC的中點，E為AB上一點，連接DE并延長交CB的延長線于點F，若E為DF的中點，BE＝3，則AE的長為________.
　
第2題圖　　
3. 如圖，在△ABC中，AC＝BC＝13，CD是△ABC的角平分線，E是AC邊上一點，連接BE，交CD于點F，若CE＝7，則的值為________.
　
第3題圖
方法二　構造中線
方法歸納
情形1：遇等腰三角形底邊上的中點時，考慮作底邊上的中線，利用“三線合一”解題．
如圖，D為等腰△ABC底邊BC的中點．
【結論】AD⊥BC；AD平分∠BAC.
情形2：遇直角三角形斜邊上的中點時，考慮作斜邊上的中線，利用“直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半”解題．
如圖，D為Rt△ABC斜邊AB的中點．
【結論】CD＝AB.
4. 如圖，將兩個含30°且大小不一樣的兩個直角三角板(Rt△ABC和Rt△BCD，∠ACB＝∠BDC＝90°)擺放在一起，E為AB的中點，連接DE.若AC＝2，則DE的長為________．
第4題圖
5. 如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BM＝CM＝3，MN⊥AC于點N，則MN的長為________．
第5題圖
6. 如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D為AC的中點，點E，F分別在AB，BC上，且∠EDF＝90°，EF＝3，則△DEF的周長為________．
　
第6題圖
方法三　構造倍長中線(類中線)
方法歸納
情形1：倍長中線
如圖，在△ABC中，AD是BC邊的中線．
輔助線作法一：延長AD至點E，使DE＝AD，連接BE.
輔助線作法二：過點B作BE∥AC交AD的延長線于點E.
【結論】△ACD≌△EBD.
情形2：倍長類中線
如圖，在△ABC中，D是邊BC的中點，E是AB上一點，連接DE.
輔助線作法一：延長ED至點F，使DF＝ED，連接CF.
輔助線作法二：過點C作CF∥AB交ED的延長線于點F.
【結論】△BDE≌△CDF.
7. 如圖，在△ABC中，BD是AC邊上的中線，∠ABD＝70°，∠DBC＝40°，BD＝3，則BC的長為________．
　
第7題圖
8. 如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，連接BE并延長交AC于點F，AF＝EF，求證：AC＝BE.
證法一(構造倍長中線)：
　第8題圖
基礎過關
1. 如圖，在Rt△ABC中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，D，E分別為AC，BC中點，連接AE，BD相交于點F，點G在CD上，且DG∶GC＝1∶2，則四邊形DFEG的面積為(　　)
A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 6 cm2 D. 8 cm2
第1題圖
2. 如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°.AB＝AC.點D為BC邊的中點，過點D作DM⊥DN分別交BA，AC的延長線于點M，N，若DM＝1，則DN的長為__________．
第2題圖
3. 如圖，在△ABC中，D為AB的中點，連接CD，若∠ACB＝120°，∠DCB＝90°，BC＝2，則△ABC的面積為__________．
第3題圖
4. 如圖，在 ABCD中，點E，F分別是AB，BC的中點，且EF⊥AB，連接DE，若AB＝4，BC＝8，則線段DE的長為__________．
　
第4題圖
5. 如圖，點C為線段AB上一點，分別以AC，BC為等腰三角形的底邊，在AB的同側作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE.在線段EC上取一點F，使EF＝AD，連接BF，DE.
(1)如圖①，求證：DE＝BF；
(2)如圖②，若AD＝2，BF的延長線恰好經過DE的中點G，求BE的長．
　
圖①　　　　　　　圖②
第5題圖
遇到中點如何添加輔助線
1. 　【解析】如解圖，連接DE，∵D，E分別為AC，BC的中點，∴DE為△ABC的中位線，∴DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴＝＝，∴＝.
第1題解圖
2. 9　【解析】如解圖，過點D作DG∥AB，交BC于點G，∵E為DF的中點，∴BE為△FGD的中位線，∵BE＝3，∴DG＝2BE＝6.∵D為AC的中點，∴DG為△ABC的中位線，∴AB＝2DG＝12，∴AE＝AB－BE＝12－3＝9.
第2題解圖
3. 　【解析】∵AC＝BC，CD是△ABC的角平分線，∴AD＝BD，∵AC＝BC＝13，CE＝7，∴AE＝AC－CE＝13－7＝6.如解圖，過點D作DG∥AC交BE于點G，∵AD＝BD，∴DG是△BAE的中位線，∴DG＝AE＝3.∵DG∥AC，∴＝＝.
第3題解圖
4. 　【解析】如解圖，連接CE，由題意，得∠ABC＝∠CBD＝30°，∠A＝∠DCB＝60°，∠ACB＝∠CDB＝90°，∵AC＝2，∴AB＝4，BC＝2，∴DC＝，∵E為AB的中點，∴CE＝AE＝AB＝2，∴∠ACE＝∠A＝60°，∴∠BCE＝30°，∴∠DCE＝∠BCE＋∠DCB＝30°＋60°＝90°，在Rt△CDE中，由勾股定理，得DE＝＝＝.
第4題解圖
5. 　【解析】如解圖，連接AM，∵AB＝AC，BM＝CM，∴AM⊥BC，在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，根據勾股定理得，AM＝＝＝4.又∵S△AMC＝AC·MN＝AM·MC，∴MN＝＝.
第5題解圖
6. 6＋3　【解析】如解圖，連接BD，在等腰Rt△ABC中，∵D是AC的中點，∴BD⊥AC，∴BD＝AD＝CD，∠DBC＝∠A＝45°，∠ADB＝90°，∵∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠BDF，在△ADE和△BDF中，∠A＝∠DBF，AD＝BD，∠ADE＝∠BDF，∴△ADE≌△BDF(ASA)，∴DE＝DF.在Rt△DEF中，DE＝DF，∴EF＝DE，∴DE＝DF＝＝＝3，∴△DEF的周長為DE＋DF＋EF＝3＋3＋3＝6＋3.
第6題解圖
7. 6　【解析】如解圖，延長BD至點E，使DE＝BD，連接AE，∵BD是AC邊上的中線，∴AD＝CD，∵∠BDC＝∠EDA，∴△BDC≌△EDA(SAS)，∴BC＝EA，∠DBC＝∠DEA＝40°，∵∠ABD＝70°，∴∠BAE＝180°－∠ABD－∠AED＝180°－70°－40°＝70°，∴∠BAE＝∠ABE，∴AE＝BE＝2BD＝6，∴BC＝6.
第7題解圖
8. 證法一：證明：如解圖①，延長AD至點G，使AD＝DG，連接BG，
∵AD是BC邊上的中線，
∴BD＝CD.
在△ACD和△GBD中，
，
∴△ACD≌△GBD(SAS)，
∴BG＝CA，∠CAD＝∠G.
∵AF＝EF，
∴∠EAF＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠BED，
∴∠BED＝∠EAF，
∴∠BEG＝∠G，
∴BE＝BG，
∴AC＝BE.
第8題解圖①
證法二：證明：如解圖②，延長ED至點H，使ED＝DH，連接CH，
∵AD是BC邊上的中線，
∴BD＝CD.
在△BDE和△CDH中，
，
∴△BDE≌△CDH(SAS)，
∴∠BED＝∠CHD，BE＝CH，
∵AF＝EF，
∴∠EAF＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠BED，
∴∠BED＝∠EAF，
∴∠CHD＝∠EAF，
∴CH＝AC，
∴AC＝BE.
第8題解圖②
基礎過關
1. B　【解析】 如解圖，連接DE，∵D，E分別為AC，BC中點，∴DE∥AB，DE＝AB＝3 cm，∴∠ABD＝∠EDF，∠BAF＝∠DEF，∴△ABF∽△EDF，∴＝＝.∵BE＝CE＝BC＝4 cm，DE⊥BC，∴S△BDE＝S△CDE＝BE·DE＝×4×3＝6 cm2，∴S△DFE＝S△BDE＝2 cm2.∵DG∶GC＝1∶2，∴S△DGE＝S△CDE＝2 cm2，∴S四邊形DFEG＝S△DFE＋S△DGE＝4 cm2.
第1題解圖
2. 1　【解析】 如解圖，連接AD，∵∠BAC＝90°，D為BC的中點，∴AD＝CD，∠DAC＝∠ACD＝∠BAD＝45°.∵∠ADM＋∠MDC＝90°，∠MDC＋∠CDN＝90°，∴∠ADM＝∠CDN.∵∠MAD＝180°－∠BAD＝135°，∠NCD＝∠180°－∠ACD＝135°，∴∠MAD＝∠NCD.∴在△AMD和△CND中，，∴△AMD≌△CND(ASA)，∴DN＝DM＝1.
第2題解圖
3. 2　【解析】 如解圖，延長CD至點H，使DH＝CD，連接AH，∵在△ABC中，D為AB的中點，∴AD＝BD，∴△BCD≌△AHD(SAS)，∴∠BCD＝∠AHD＝90°，BC＝AH，∴S△BCD＝S△AHD，S△ABC＝S△ACH.∵BC＝2，∴AH＝2.∵∠ACB＝120°，∴∠ACH＝120°－90°＝30°，∴AC＝2AH＝2×2＝4.在Rt△ACH中，CH＝＝2.∴S△ACH＝AH·CH＝×2×2＝2，∴S△ABC ＝2.
第3題解圖
4. 2　【解析】 如解圖①，延長EF至點G，使EF＝GF，連接CG，∵F是BC的中點，∴BF＝CF＝4，在△BFE和△CFG中，，∴△BFE≌△CFG(SAS)，∴∠B＝∠BCG.∵∠B＋∠BCD＝180°，∴∠BCG＋∠BCD＝180°，即D，C，G三點共線．∵AB＝4，∴BE＝AE＝2.∵EF⊥AB，在Rt△BEF中，由勾股定理得，EF＝＝2，∴EG＝2EF＝4.∵CG＝BE＝2，DC＝AB＝4，∴DG＝DC＋CG＝6.∵∠G＝∠BEF＝90°，在Rt△DGE中，由勾股定理得，DE＝＝2.
【一題多解】 如解圖②，延長DE至點H，使DE＝HE，連接BH，過點E作EM⊥BC于點M，∵E為AB的中點，∴AE＝BE＝2.∵∠AED＝∠BEH，DE＝HE，∴△AED≌△BEH(SAS)，∴AD＝BH＝8，∠A＝∠EBH.∵∠A＋∠ABC＝180°，∴∠EBH＋∠ABC＝180°，即C，B，H三點共線．∵F是BC的中點，∴BF＝FC＝4.∵EF⊥AB，在Rt△BEF中，由勾股定理得，EF＝＝2，∴S△BEF＝BE·EF＝BF·EM，即×2×2＝×4×EM，∴EM＝.在Rt△BEM中，由勾股定理得，BM＝＝1，∴HM＝8＋1＝9，∴HE＝＝2，∴DE＝HE＝2.
圖①
圖②
第4題解圖
5. (1)證明：∵△ACD和△BCE分別是以AC，BC為底邊的等腰三角形，∴AD＝CD，CE＝BE，
∴∠DAC＝∠DCA，∠ECB＝∠CBE.
∵∠A＝∠CBE，
∴∠DCA＝∠CBE，
∴CD∥BE，
∴∠DCE＝∠FEB.
∵EF＝AD，∴CD＝EF，
∴△DCE≌△FEB(SAS)，
∴DE＝BF；
(2)解：如解圖，過點G作GH∥DC交CE于點H，
∵點G為DE的中點，
∴GH是△CDE的中位線，
∴GH＝CD＝AD＝1.
設BE＝CE＝2x，則EH＝x，FH＝EH－EF＝x－2.
∵CD∥EB，∴GH∥BE，
∴△FGH∽△FBE，
∴＝，即＝，
解得x1＝＋1，x2＝1－(舍)，
∴BE＝2＋2.
第5題解圖

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