資源簡介

　遇到角平分線如何添加輔助線
方法一　作垂線
方法歸納
情形1：如圖，點P是∠MON平分線上的一點．
【結論】AP＝BP；Rt△AOP≌Rt△BOP.
情形2：如圖，點P是∠MON平分線上的一點，若AP⊥OP于點P，則延長AP交ON于點B，構造等腰三角形三線合一．
【結論】OA＝OB；△OAB為等腰三角形．
1. 如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于點D，若AB＝3，BC＝5，則AD的長為________________________________________________________________________．
第1題圖
2. 如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的平分線，△ABC的面積是30，AC＝14，BC＝16，則點D到AC的距離為________．
第2題圖
3. 如圖，已知點D為△ABC內一點，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝11，BC＝5，則△BCD的面積為________．
第3題圖
4. 如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于點E，BD⊥AD，若BD＝2，求AE的長．
　第4題圖
方法二　作平行線
方法歸納
如圖，點P在∠AOB的平分線上．
【結論】OQ＝PQ；△POQ是等腰三角形．
5.如圖，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，BD平分∠ABC，求的值．
　第5題圖
方法三　構造軸對稱圖形
方法歸納
情形1：如圖，點P是∠MON的平分線上一點，點A是射線OM上任意一點(截長法).
【結論】△OPB≌△OPA.
情形2：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC(補短法).
【結論】△AFD≌△ACD.
6. 如圖，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD是∠ACB的平分線，若AC＝16，AD＝8，求BC的長．
　第6題圖
7. 如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，AD＝CD，∠A＝120°，求證：BC＝AB＋AD.
　第7題圖
基礎過關
1. 如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D為AC上一點，若BD是∠ABC的平分線，則AD＝__________．
第1題圖　　　
2. 如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是∠BAC的平分線，E是AD上一點，過點E作EF⊥AB于點F，EF＝2，則AF的長為__________．
　
第2題圖
3. 如圖，在 ABCD中，BE平分∠ABC，CE⊥BE，若AE＝2，則BC的長為__________．
第3題圖
4. 已知：∠AOB＝60°.小新在學習了角平分線的知識后，做了一個夾角為120°(即∠DPE＝120°)的角尺來作∠AOB的平分線．
(1)如圖①，他先在邊OA和OB上分別取OD＝OE，再移動角尺使PD＝PE，然后他就說射線OP是∠AOB的平分線．試根據小新的做法證明射線OP是∠AOB的平分線；
(2)如圖②，小新在確認射線OP是∠AOB的平分線后，一時興起，將角尺繞點P旋轉了一定的角度，他認為旋轉后的線段PD和PE仍然相等．請問小新的觀點是否正確，為什么？
(3)如圖③，在(2)的基礎上，若角尺旋轉后恰好使得DP∥OB，請判斷線段OD與OE的數量關系，并說明理由．
圖① 圖② 圖③
第4題圖
遇到角平分線如何添加輔助線
1. 　【解析】如解圖，過點D作DE⊥BC，∵∠A＝90°，BD平分∠ABC，∴AD＝DE，∵∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，∴AC＝4，S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，設AD＝x，則AB·AC＝6＝＋，解得x＝，∴AD＝.
第1題解圖
2. 2　【解析】如解圖，過點D分別作DE⊥AC于點E，DF⊥BC于點F，∵CD是∠ACB的平分線，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF.∵S△ABC＝S△ACD＋S△BCD，∴DE·AC＋DF·BC＝30，即DE×14＋DE×16＝30，解得DE＝2，即點D到AC的距離為2.
第2題解圖
3. 6　【解析】如解圖，延長BD交AC于點E，∵CD⊥BE，且CD平分∠ACB，∴CB＝CE＝5，∵AC＝11，∴AE＝6，∵∠A＝∠ABD，∴BE＝AE＝6，∴BD＝3，∵∠BDC＝90°，BD＝3，BC＝5，∴CD＝4，∴S△BCD＝＝6.
第3題解圖
4. 解：如解圖，延長BD，AC交于點F，
∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，
∴△ABF為等腰三角形，
∴BD＝FD，即BF＝2BD＝2×2＝4.
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF＝90°，∠AEC＋∠EAC＝90°，
∵AD⊥BD，
∴∠BED＋∠FBC＝90°，
∵∠AEC＝∠BED，
∴∠EAC＝∠FBC.
又∵AC＝BC，∠ACE＝∠BCF，
∴△ACE≌△BCF(ASA)，
∴AE＝BF＝4.
第4題解圖
5. 解：如解圖①，過點D作DE∥AB交BC于點E，則∠ABD＝∠BDE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠BDE＝∠DBE，
∴DE＝BE，設DE＝BE＝x，則CE＝6－x，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴＝，即＝，
解得x＝2，
∴＝＝＝2.
第5題解圖①
【一題多解】如解圖②，過點D作DF∥BC交AB于點F，
∵BD為∠ABC的平分線，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DF∥BC，
∴∠FDB＝∠DBC，
∴∠FBD＝∠FDB，
∴BF＝DF，
∵＝，即＝，
解得AF＝1，
∴＝＝＝2.
　
第5題解圖②
6. 解：如解圖，在BC邊上截取CE＝CA，連接DE.
∵CD是∠ACB的平分線，
∴∠ACD＝∠BCD，
在△ACD和△ECD中，
，
∴△ACD≌△ECD(SAS)，
∴AD＝DE，∠A＝∠1.
∵∠A＝2∠B，
∴∠1＝2∠B.
∵∠1＝∠B＋∠EDB，
∴∠B＝∠EDB，
∴EB＝ED，
∴EB＝AD＝8，
∴BC＝EC＋EB＝16＋8＝24.
第6題解圖
7. 證明：如解圖，延長BA至點F，使得BF＝BC，連接DF.
∵BD是∠ABC的平分線，
∴∠ABD＝∠CBD.
在△FBD和△CBD中，
，
∴△FBD≌△CBD(SAS)，
∴FD＝CD，
∵AD＝CD，
∴AD＝FD，
∵∠BAD＝120°，
∴∠DAF＝60°.
∴△ADF是等邊三角形，
∴AF＝AD，
∴BC＝BF＝AB＋AF＝AB＋AD.
第7題解圖
基礎過關
1. 5　【解析】如解圖，過點D作AB的垂線，垂足為點P，在Rt△ABC中，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10.∵BD是∠ABC的平分線，∴∠CBD＝∠PBD.∵∠C＝∠BPD＝90°，BD＝BD，∴△BDC≌△BDP(AAS)，∴BC＝BP＝6，CD＝PD.設CD＝PD＝x，在Rt△ADP中，∵PA＝AB－BP＝4，AD＝8－x，∴x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，∴AD＝AC－CD＝5.
第1題解圖
2. 2＋2　【解析】 如解圖，過點E作EG∥AC交AB于點G，∵∠BAC＝45°，AD是∠BAC的平分線，∴∠CAD＝∠BAD＝22.5°，∵GE∥AC，∴∠AEG＝∠CAD＝22.5°，∴∠GAE＝∠AEG＝∠CAD＝22.5°，∴∠EGF＝45°，AG＝EG.∵EF⊥AB，∴GF＝EF＝2，EG＝EF＝2，∴AF＝AG＋GF＝EG＋GF＝2＋2.
第2題解圖
3. 4　【解析】 如解圖，延長CE交BA的延長線于點F，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠CBE＝∠AEB.∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝2.∵CE⊥BE，∴△BCF為等腰三角形，∴BC＝BF，E為CF的中點．∵AD∥BC，∴AE為△BCF的中位線，∴點A為BF的中點，∴BC＝BF＝2AB＝4.
第3題解圖
4. (1)證明：在△OPD和△OPE中，
，
∴△OPD≌△OPE(SSS)，
∴∠POD＝∠POE，
∴射線OP是∠AOB的平分線；
(2)解：小新的觀點正確．
理由：如解圖①，過點P作PH⊥OA于點H，PK⊥OB于點K.
∵∠PHO＝∠PKO＝90°，∠AOB＝60°，∴∠HPK＝120°，
∵∠DPE＝∠HPK＝120°，
∴∠DPH＝∠EPK.
∵OP平分∠AOB，PH⊥OA，PK⊥OB，∴PH＝PK.
在△PHD和△PKE中，
，
∴△PHD≌△PKE(ASA)，
∴PD＝PE；
(3)解：OE＝2OD.
理由：如解圖②，在OB上取一點T，使得OT＝OD，連接PT.
∵OP平分∠AOB，
∴∠POD＝∠POT.
在△POD和△POT中，
，
∴△POD≌△POT(SAS)，
∴∠ODP＝∠OTP.
∵PD∥OB，∴∠PDO＋∠AOB＝180°，∠DPE＋∠PEO＝180°.
∵∠AOB＝60°，∠DPE＝120°，
∴∠ODP＝120°，∠PEO＝60°，
∴∠OTP＝∠ODP＝120°，
∴∠PTE＝60°，
∴∠TPE＝∠PET＝60°，
∴TP＝TE.
∵∠PTE＝∠TOP＋∠TPO，∠POT＝30°，∴∠TOP＝∠TPO＝30°，
∴OT＝TP，∴OT＝TE.
∵OT＝OD，
∴OE＝2OD.
圖①
　　
圖②
第4題解圖

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