資源簡(jiǎn)介

全等三角形
1. 如圖，點(diǎn)B，D，E，C在同一條直線上，若△ABD≌△ACE，∠AEC＝110°，則∠DAE的度數(shù)為_(kāi)_______．
　第1題圖
2. 如圖，已知點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在直線l上，點(diǎn)A，D在l異側(cè)，且AC∥DF，AC＝DF.
(1)補(bǔ)充條件，求證△ABC≌△DEF.
①若要以“SAS”為依據(jù)，還缺條件________；
②若要以“ASA”為依據(jù)，還缺條件________；
③若要以“AAS”為依據(jù)，還缺條件________；
④若要以“SSS”為依據(jù)，還缺條件________；
⑤若∠A＝∠D＝90°，要以“HL”為依據(jù)，還缺條件________；
　第2題圖
(2)在(1)的條件下，若BE＝20，BF＝6，求FC的長(zhǎng)．
知識(shí)逐點(diǎn)過(guò)
考點(diǎn)1 　全等三角形的性質(zhì)
概念 能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形
性質(zhì) 1. 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊①________，對(duì)應(yīng)角②________；2. 兩個(gè)全等三角形的周長(zhǎng)③________，面積④________；3. 全等三角形對(duì)應(yīng)的中線、高線、角平分線、中位線都⑤________
考點(diǎn)2 　全等三角形的判定
判定方法 SSS(邊邊邊) SAS(邊角邊) ASA(角邊角) AAS(角角邊) HL
文字?jǐn)⑹?有三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(基本事實(shí)) 有兩邊和它們的⑥____分別相等的兩個(gè)三角形全等(基本事實(shí)) 有兩角和它們的⑦_(dá)___分別相等的兩個(gè)三角形全等(基本事實(shí)) 有兩角及其中一個(gè)角的⑧____分別相等的兩個(gè)三角形全等 ⑨____和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等
圖形
真題演練
命題點(diǎn) 與全等三角形有關(guān)的證明與計(jì)算
類(lèi)型一　軸對(duì)稱型
模型解讀
模型展示
有公共邊
有公共頂點(diǎn)
模型特點(diǎn) 所給圖形沿公共邊所在直線或者經(jīng)過(guò)公共頂點(diǎn)的某條直線折疊，兩個(gè)三角形能完全重合
解題思路 證明三角形全等的關(guān)鍵：(1)找公共角、垂直、對(duì)頂角、等腰等條件得對(duì)應(yīng)角相等；(2)找公共邊、中點(diǎn)、等底角、相等邊、線段的和差等條件得對(duì)應(yīng)邊相等
1. 如圖，已知∠AOC＝∠BOC，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，求證：△OPD≌△OPE.
　第1題圖
【變式題】
2. 如圖，已知OC平分∠AOB，P為OC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交OA，OB于點(diǎn)D，E，連接PD，PE，求證：PD＝PE.
　第2題圖
模型二　平移型
模型解讀
模型展示
模型特點(diǎn) 沿同一直線(l)平移可得兩三角形重合(BE＝CF)
解題思路 證明三角形全等的關(guān)鍵：(1)加(減)共線部分CE，得BC＝EF；(2)利用平行線性質(zhì)找對(duì)應(yīng)角相等
拓展訓(xùn)練
3. 如圖，已知點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在同一直線上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.求證：AC∥DF.
　第3題圖
模型三　自旋轉(zhuǎn)型
模型解讀
模型展示 共頂點(diǎn)
模型展示 不共頂點(diǎn)
模型特點(diǎn) 此模型可看成是將三角形繞某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成，故一般有一對(duì)相等的角隱含在平行線、對(duì)頂角、某些角的和或者差中
解題思路 證明三角形全等的關(guān)鍵：(1)共頂點(diǎn)：加(減)共頂點(diǎn)的角的共角部分得一組對(duì)應(yīng)角相等；(2)不共頂點(diǎn)：①加(減)共線部分CF得BC＝EF；②利用平行線性質(zhì)找對(duì)應(yīng)角相等
4. 如圖，在△ABC和△DBE中，AB＝DB，∠1＝∠2，∠A＝∠D.求證：BC＝BE.
　第4題圖
5. 如圖，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，C，D依次在同一直線上，且AB∥DE.
(1)求證：△ABC≌△DCE；
(2)連接AE，當(dāng)BC＝5，DE＝13時(shí)，求AD的長(zhǎng)．
　第5題圖
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)
1. 如圖，工人師傅設(shè)計(jì)了一種測(cè)零件內(nèi)徑AB的卡鉗，卡鉗交叉點(diǎn)O為AA′，BB′的中點(diǎn)，只要量出A′B′的長(zhǎng)度，就可以知道該零件內(nèi)徑AB的長(zhǎng)度，依據(jù)的數(shù)學(xué)基本事實(shí)是(　　)
第1題圖
A. 兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等
B. 兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等
C. 兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例
D. 兩點(diǎn)之間線段最短
2. 已知圖中的兩個(gè)三角形全等，則∠1的度數(shù)是(　　)
A. 76° B. 60° C. 54° D. 50°
第2題圖　　　
3. 如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一個(gè)條件，不能證明△ABF≌△DCE的是(　　)
A. ∠A＝∠D B. ∠AFB＝∠DEC C. AB＝DC D. AF＝DE
第3題圖
4.如圖，已知△ABC≌△DEF，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)依次在同一條直線上．若BC＝8，CE＝5，則CF的長(zhǎng)為_(kāi)_________．
第4題圖
5. 如圖，AB∥CD，AD與BC交于點(diǎn)O，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件__________，使△AOB≌△DOC.(只填一種情況即可)
第5題圖
6. 如圖，點(diǎn)C是BD的中點(diǎn)，AB＝ED，AC＝EC.
求證：△ABC≌△EDC.
第6題圖
如圖，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°.過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，延長(zhǎng)EA至點(diǎn)D，使AD＝AC，在邊AC上截取AF＝AB，連接DF.
求證：DF＝CB.
　第7題圖
8. 如圖，在△ABC中，BD為△ABC的角平分線，延長(zhǎng)BD至點(diǎn)E，使BE＝BA，連接AE，CE，且∠ABE＝∠ACE.
(1)求證：△ABD≌△EBC；
(2)若∠BCE＝100°，求∠BCD的度數(shù)．
第8題圖
綜合提升
9.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若AC＝4，CE＝5，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)_________．
第9題圖
10. 如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C.
(1)求證：∠EAD＝∠EDA；
(2)若∠C＝60°，DE＝4時(shí)，求△AED的面積．
第10題圖
11. 如圖，AB＝AE，BC＝ED，有下列三個(gè)條件：①∠B＝∠E，②AC＝AD，③∠C＝∠D.
(1)請(qǐng)?jiān)谏鲜鋈齻€(gè)條件中選取一個(gè)條件，使得△ABC≌△AED.
你選取的條件為(填寫(xiě)序號(hào))__________(只需選一個(gè)條件，多選不得分)；
你判定△ABC≌△AED的依據(jù)是__________(填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”)；
(2)利用(1)的結(jié)論△ABC≌△AED. 求證：∠BAD＝∠EAC.
第11題圖
　全等三角形
1. 40°　【解析】∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝110°，∴∠ADE＝∠AED＝180°－110°＝70°，∴∠DAE＝180°－∠ADE－∠AED＝40°.
2. 解：(1)①BC＝EF；②∠A＝∠D；③∠ABC＝∠DEF；④DE＝AB，且BC＝EF；⑤BC＝EF.
(2)∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BC－CF＝EF－CF，即BF＝CE，
∵BE＝20，BF＝6，
∴CE＝BF＝6，
∴FC＝BE－BF－CE＝20－6－6＝8.
知識(shí)逐點(diǎn)過(guò)
①相等?、谙嗟取、巯嗟取、芟嗟?br/>⑤相等?、迠A角?、邐A邊　⑧對(duì)邊?、嵝边?br/>真題演練
1. 證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°，(3分)
在△OPD和△OPE中，
，
∴△OPD≌△OPE(AAS).(8分)
【一題多解】證明：∵∠AOC＝∠BOC，
∴OC為∠AOB的平分線，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE，(3分)
在Rt△OPD和Rt△OPE中，
，
∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL).(8分)
2. 證明：根據(jù)尺規(guī)作圖可知：OD＝OE，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP，
在△DOP和△EOP中，
∴△DOP≌△EOP(SAS)，
∴PD＝PE.
3. 證明：∵BE＝CF，
∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SSS)，
∴∠F＝∠ACB，
∴AC∥DF.
4. 證明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠ABE＝∠2＋∠ABE，
即∠DBE＝∠ABC，
在△DBE和△ABC中，
∴△DBE≌△ABC(ASA)，
∴BC＝BE.
5. (1)證明：∵AB∥DE，
∴∠BAC＝∠D，
又∵∠B＝∠DCE＝90°，AC＝DE，
∴△ABC≌△DCE(AAS)；
(2)解：由(1)得△ABC≌△DCE，
∴AC＝DE＝13，AB＝DC，
在Rt△ABC中，AC＝13，BC＝5，
∴AB＝＝12，
∴AD＝AC＋CD＝13＋12＝25，
即AD的長(zhǎng)是25.
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)
1. A　【解析】∵點(diǎn)O為AA′、BB′的中點(diǎn)，∴OA＝OA′，OB＝OB′，∵∠AOB＝∠A′OB′(對(duì)頂角相等)，在△AOB與△A′OB′中，，∴△AOB≌△A′OB′(SAS)，∴AB＝A′B′.
2. D　【解析】 第一個(gè)三角形中b，c之間的夾角為180°－76°－54°＝50°，∠1是b，c之間的夾角，∵兩個(gè)三角形全等，∴∠1＝50°.
3. D　【解析】∵BE＝CF ，∴BF＝CE.∵∠B＝∠C ，逐項(xiàng)分析如下：
選項(xiàng) 逐項(xiàng)分析 正誤
A 添加∠A＝∠D，可利用角角邊證明△ABF≌△DCE ，故本選項(xiàng)不符合題意 ×
B 添加∠AFB＝∠DEC，可利用角邊角證明△ABF≌△DCE，故本選項(xiàng)不符合題意 ×
C 添加AB＝DC，可利用邊角邊證明△ABF≌△DCE，故本選項(xiàng)不符合題意 ×
D 添加AF＝DE ，無(wú)法證明△ABF≌△DCE，故本選項(xiàng)符合題意 √
4. 3　【解析】∵△ABC≌△DEF，∴EF＝BC＝8，∴CF＝EF－CE＝8－5＝3.
5. OB＝OC(答案不唯一)　【解析】添加的條件是OB＝OC.∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∠B＝∠C.在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC(AAS).
6. 證明：∵點(diǎn)C是BD的中點(diǎn)，
∴BC＝DC.
在△ABC與△EDC中，，
∴△ABC≌△EDC(SSS).
7. 證明：∵在△ABC 中，∠B＝50°，∠C＝20°，
∴∠CAB＝180°－∠B－∠C＝110°.
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠DAF＝∠AEC＋∠C＝110°，
∴∠DAF＝∠CAB.
又∵AD＝AC，AF＝AB，
∴△DAF≌△CAB，
∴DF＝CB.
8. (1)證明：∵BD為△ABC的角平分線，
∴∠ABD＝∠EBC.
∵∠ABE＝∠ACE，∠ADB＝∠CDE，
∴∠BAD＝∠BEC.
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC(ASA)；
(2)解：由(1)得，△ABD≌△EBC，
∴∠BDA＝∠BCE＝100°，BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD.
又∵∠ADB＋∠BDC＝180°，
∴∠BCD＝∠BDC＝80°.
9. 　【解析】 ∵AB∥CE，∴∠BAD＝∠CED.∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD.在△BAD和△CED中，，∴△BAD≌△CED(AAS)，∴CE＝AB.∵AC＝4，CE＝AB＝5，∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝3，∴CD＝BC＝.
10. (1)證明：∵∠B＝∠AED，
∴∠BEA＋∠BAE＝∠BEA＋∠CED，
∴∠BAE＝∠CED.
在△BAE和△CED中，
，
∴△BAE≌△CED(AAS)，
∴EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA；
(2)解：如解圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F.
由(1)知EA＝ED，
∵∠AED＝∠C＝60°，
∴∠AEF＝∠DEF＝30°.
∵DE＝4，
∴DF＝DE＝2，
∴AD＝2DF＝4，EF＝＝＝2，
∴S△AED＝AD·EF＝×4×2＝4.
第10題解圖
11. (1)解：①，SAS(或②，SSS)；
(2)證明：∵△ABC≌△AED，
∴∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAD＋∠DAC＝∠EAC＋∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC.

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