資源簡介

相似三角形(含位似)
1. 如圖，C為線段AB的黃金分割點，AC＞BC，若AB＝2，則AC的長為(　　)
A. －1 B. ＋1 C. 3－ D. 3＋
第1題圖
2. 如圖，直線a∥b∥c，直線l1，l2與這三條平行線分別交于點A，B，C和點D，E，F.若AB∶BC＝1∶2，DE＝3，則EF的長為(　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
第2題圖
3. 如圖，在△ABC中，D，E分別在AC，AB邊上，DE與BC不平行，那么下列條件中，不能判斷△ADE∽△ABC的是(　　)
A. ∠ADE＝∠B B. ∠AED＝∠C C. ＝ D. ＝
第3題圖
4. 如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點，連接CD，BE交于點O，連接DE.
第4題圖
(1)找出圖中所有的相似的三角形：____________；
(2)DO∶CO＝________，＝________．
5. 如圖，△ABC與△A′B′C′是位似圖形，點O為位似中心，若OA′∶OA＝1∶3.
第5題圖
(1)OB′∶OB＝________，A′B′∶AB＝________，位似比為________；
(2)若△ABC的周長為12，則△A′B′C′的周長為________；
(3)若∠BAC＝30°，則∠B′A′C′的度數為________．
知識逐點過
考點1 　比例線段及其性質
比例線段 在四條線段a，b，c，d中，如果a與b的比①________c與d的比，即②________，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段
比例的性質 性質1(基本性質)：如果＝，那么ad＝③________(bd≠0)；性質2(合比性質)：如果＝，那么＝④________(bd≠0)；性質3(等比性質)：如果＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么＝
黃金分割 如圖，一般地，點C把線段AB分成AC和BC兩段，如果＝，那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比(＝或AC≈0.618AB)注：一條線段上有兩個黃金分割點　　　　
考點2 　平行線分線段成比例
基本事實 兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例，如圖，兩條直線AC，DF被三條互相平行的直線l1，l2，l3所截，則＝
推論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例，如圖，在△ABC中，若DE∥BC，則＝，也可以說＝
考點3 　相似三角形的性質與判定
性質 1. 相似三角形的對應角⑤________，對應邊⑥________；2. 相似三角形中的所有對應線段(高、中線、角平分線)成比例，且等于相似比；3. 相似三角形的周長比等于⑦________，面積比等于⑧________
判定方法 兩角分別相等的兩個三角形相似 兩邊成比例且⑨______相等的兩個三角形相似 三邊⑩________的兩個三角形相似
考點4 　位似
概念 如果兩個圖形不僅相似，而且經過每對對應頂點的直線相交于一點，對應邊互相平行(或在一條直線上).我們把這樣的兩個圖形稱為位似圖形，對應頂點所在直線的交點稱為位似中心，這時的相似比又稱位似比　　　
性質 1. 位似圖形是相似圖形，具備相似圖形的所有性質；2. 經過每對對應頂點的直線相交于一點(位似中心)；3. 兩個位似圖形上的任意一對對應點到位似中心的距離的比等于相似比；4. 兩個位似圖形對應邊平行(或在一條直線上)
【溫馨提示】位似是相似的特例．位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形
真題演練
模型解讀
模型一　A字型
類型 正“A”字型 斜“A”字型
模型展示
模型特點 有共用的一組角∠A，并且有另外一組角相等，形似“字母A”
解題思路 找同側的一組相等角 找異側的一組相等角
結論 △ADE∽△ABC ＝＝ △ADE∽△ACB ＝＝
模型二　8字型
類型 正“8”字型 斜“8”字型
模型展示
模型特點 有一組角為對頂角，并且有另外一組角相等，形似“數字8”
解題思路 找對頂角之外的另一組角相等，或對頂角的兩邊對應成比例
結論 △AOB∽△DOC ＝＝ △AOB∽△COD ＝＝
命題點1 黃金分割數
1. 我國著名數學家華羅庚曾為普及優選法作出重要貢獻．優選法中有一種0.618法應用了(　　)
A. 黃金分割數 B. 平均數
C. 眾數 D. 中位數
命題點2 與相似三角形有關的證明與計算
2. 在△ABC中，點D，E分別為邊AB，AC的中點，則△ADE與△ABC的面積之比為(　　)
A. B. C. D.
拓展訓練
3. 如圖，在△ABC中，DE∥BC分別交AC，AB于點D，E，EF∥AC交BC于點F，＝，BF＝8，則DE的長為(　　)
A. B.
C. 2 D. 3
　第3題圖
4. 如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高．若AB＝6，BC＝10，求BD的長．
　第4題圖
5. 如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AC，AB上，AB＝2AD，AC＝2AE.若△ADE的面積為2，求四邊形BCDE的面積．
　第5題圖
6. 如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，過點A作AD∥BC，連接DC交AB于點E，過點B作BF⊥DC于點F.
(1)求證：△ADE∽△BCE；
(2)若AD＝2，AE＝1，求的值．
　第6題圖
基礎過關
1. 神奇的自然界處處蘊含著數學知識，動物學家在鸚鵡螺外殼上發現，其每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618，這體現了數學中的(　　)
A. 平移 B. 旋轉 C. 軸對稱 D. 黃金分割
第1題圖　　
2. 若兩個相似三角形周長的比為1∶4，則這兩個三角形對應邊的比是(　　)
A. 1∶2 B. 1∶4 C. 1∶8 D. 1∶16
3. 如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，過點D作DE∥BC，交AC于點E.若AD＝2，BD＝3，則的值是(　　)
A. B. C. D.
　
第3題圖
4. 如圖，某零件的外徑為10 cm，用一個交叉卡鉗(兩條尺長AC和BD相等)可測量零件的內孔直徑A B. 如果OA∶OC＝OB∶OD＝3，且量得CD＝3 cm，則零件的厚度x為(　　)
A. 0.3 cm B. 0.5 cm C. 0.7 cm D. 1 cm
第4題圖
5. 如圖，已知∠1＝∠2，添加下列條件后，仍無法判定△ABC∽△ADE的是(　　)
A. ＝ B. ∠B＝∠D C. ∠C＝∠AED D. ＝
第5題圖
6. 如圖，DE是△ABC的中位線，點F在DB上，DF＝2BF，連接EF并延長，與CB的延長線相交于點M.若BC＝6，則線段CM的長為(　　)
A. B. 7 C. D. 8
第6題圖
7. 如圖，直線AD，BC交于點O，AB∥EF∥CD.若AO＝2，OF＝1，FD＝2，則的值為__________．
第7題圖
8. 如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△A1B1C1位似，原點O是位似中心，且＝3.若A(9，3)，則A1的坐標是__________．
第8題圖　
9.如圖，樂器上的一根弦AB＝80 cm，兩個端點A，B固定在樂器面板上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，支撐點D是靠近點A的黃金分割點，則支撐點C，D之間的距離為__________cm.(結果保留根號)
第9題圖
10. 如圖，四邊形ABCD為菱形，點E在AC的延長線上，∠ACD＝∠ABE.
(1)求證：△ABC∽△AEB；
(2)當AB＝6，AC＝4時，求AE的長．
第10題圖
綜合提升
11. 如圖，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D為AB的中點．若點E在邊AC上，且＝，則AE的長為(　　)
　
第11題圖
A. 1 B. 2 C. 1或 D. 1或2
12. 如圖，點P是△ABC的重心，點D是邊AC的中點，PE∥AC交BC于點E，DF∥BC交EP于點F.若四邊形CDFE的面積為6，則△ABC的面積為(　　)
第12題圖
A. 12 B. 14 C. 18 D. 24
13. 小慧同學在學習了九年級上冊“4.1比例線段”3節課后，發現學習內容是一個逐步特殊化的過程，請在橫線上填寫適當的數值，感受這種特殊化的學習過程．
第13題圖
相似三角形(含位似)
1. A　【解析】∵C為線段AB的黃金分割點，AC＞BC，AB＝2，∴AC＝AB＝×2＝－1.
2. D　【解析】∵a∥b∥c，∴＝，∵＝，DE＝3，∴EF＝6.
3. C　【解析】∵∠DAE＝∠BAC，∴當∠ADE＝∠B時，△ADE∽△ABC；當∠AED＝∠C時，△ADE∽△ABC；當＝時，△ADE∽△ABC；C選項不滿足兩邊對應成比例且夾角相等，∴不能判斷△ADE∽△ABC.
4. (1)△ADE∽△ABC，△DOE∽△COB；
(2)1∶2，　【解析】∵D，E分別是邊AB，AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△DOE∽△COB，∴＝＝，＝()2＝，設S△DOE＝x，則S△COB＝4x，∵BO∶OE＝CO∶OD＝2∶1，∴S△DOB＝S△COE＝2x，∴S四邊形DECB＝9x.∵E為AC的中點，∴S△ADE＝S△DEC＝3x，∴S△ABC＝S△ADE＋S四邊形DECB＝12x，∴＝.
5. (1)1∶3，1∶3，1∶3；
(2)4；
(3)30°.
知識逐點過
①等于　②＝　③bc　④　⑤相等　⑥成比例　⑦相似比　⑧相似比的平方　⑨夾角　⑩對應成比例
真題演練
1. A
2. C　【解析】∵點D，E分別為邊AB，AC的中點，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝()2＝()2＝.
3. A　【解析】∵DE∥BC，EF∥AC，∴∠B＝∠AED，∠BEF＝∠A，∴△BEF∽△EAD，∴＝＝，∵BF＝8，∴DE＝.
4. 解：∵AD是斜邊BC上的高，
∴∠BDA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BDA＝∠BAC，
又∵∠B為公共角，
∴△ABD∽△CBA，
∴＝，
∴＝，解得BD＝，
∴BD＝.
5. 解：∵AB＝2AD，AC＝2AE，
∴AE∶AC＝AD∶AB＝1∶2，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC.
∴＝()2＝()2＝，
∵△ADE的面積為2，
∴△ABC的面積為8，
∴S四邊形BCDE＝S△ABC－S△ADE＝8－2＝6.
6. (1)證明：∵AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴∠DAE＝90°，
∴∠DAE＝∠ABC，
∵∠AED＝∠BEC，
∴△ADE∽△BCE；
(2)解：∵BF⊥DC，
∴∠BFE＝∠DAE＝90°，
∵∠AED＝∠FEB，
∴△AED∽△FEB，
∴＝，即＝，
∴FB＝2FE，
在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE＝，即BE＝EF，
∴＝＝.
基礎過關
1. D　2. B
3. A　【解析】∵DE∥BC，AD＝2，BD＝3，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝.
4. B　【解析】∵∠COD＝∠AOB，OA∶OC＝OB∶OD＝3，∴△OCD∽△OAB，∴＝＝3.又∵CD＝3，∴AB＝9，故零件厚度為(10－AB)×＝0.5 cm.
5. D　【解析】 ∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，即∠BAC＝∠DAE.A.＝，符合相似三角形的判定定理，能推出△ABC∽△ADE，故本選項不符合題意；
B．∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，符合相似三角形的判定定理，能推出△ABC∽△ADE，故本選項不符合題意；C.∠BAC＝∠DAE，∠C＝∠AED，符合相似三角形的判定定理，能推出△ABC∽△ADE，故本選項不符合題意；D.＝，∠BAC＝∠DAE，不符合相似三角形的判定定理，不能推出△ABC∽△ADE，故本選項符合題意．
6. C　【解析】∵DE是△ABC的中位線，∴DE＝BC＝3，DE∥BC，∴△DEF∽△BMF，∴＝＝，∴MB＝ED＝，∴CM＝MB＋BC＝.
7. 　【解析】∵AB∥EF∥CD，∴＝＝.∵AO＝2，OF＝1，FD＝2，∴＝＝.
8. (3，1)　【解析】 ∵△ABC與△A1B1C1位似，＝3，∴＝3.∵A(9，3)，∴點A1的坐標是(3，1).
9. (80－160)　【解析】由題意，得弦AB＝80 cm，點C是靠近點B的黃金分割點，設BC＝x cm，則AC＝(80－x)cm，∴＝，解得x＝120－40.∵點D是靠近點A的黃金分割點，∴設AD＝y cm，則BD＝(80－y)cm，∴＝，解得y＝120－40，∴支撐點C，D之間的距離為80－x－y＝80－120＋40－120＋40＝(80－160)cm.
10. (1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，AC為對角線，
∴∠ACD＝∠ACB.
∵∠ACD＝∠ABE，
∴∠ACB＝∠ABE.
又∵∠BAC＝∠EAB，
∴△ABC∽△AEB；
(2)解：∵△ABC∽△AEB，
∴＝.
∵AB＝6，AC＝4，
∴＝，
∴AE＝9.
11. D　【解析】 在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AC＝2BC＝4，AB＝2，∠C＝60°.∵點D是AB的中點，∴AD＝.∵＝，∴DE＝1.如解圖①，當∠ADE＝90°時，∵∠ADE＝∠ABC，＝，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴AE＝2.如解圖②，當∠ADE≠90°時，取AC的中點H，連接DH.∵點D是AB中點，點H是AC的中點，∴DH∥BC，DH＝BC＝1，∴∠AHD＝∠C＝60°，DH＝DE＝1，∴∠DEH＝60°，∴∠ADE＝∠A＝30°，∴AE＝DE＝1.綜上，AE的長為1或2.
圖①
　　
圖②
第11題解圖
12. C　【解析】 如解圖，連接BD.∵點P是△ABC的重心，D是邊AC的中點，∴P在BD上，S△ABC＝2S△BDC，∴BP∶PD＝2∶1.∵DF∥BC，∴△DFP∽△BEP，∴＝.∵EF∥AC，∴△BEP∽△BCD，∴＝()2＝()2＝.設△DFP的面積為m，則△BEP的面積為4m，△BCD的面積為9m.∵四邊形CDFE的面積為6，∴m＋9m－4m＝6，∴m＝1，∴△BCD的面積為9，∴△ABC的面積是18.
第12題解圖
13. 2　【解析】當＝＝時，a＝b，c＝b，∴＝2.

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