資源簡介

5.3 簡單的軸對稱圖形
第3課時 角平分線的性質
學習目標：
1.會用尺規作一個角的平分線，知道作法的合理性；
2探索并證明角的平分線的性質；
3.能用角的平分線的性質解決簡單問題.
一、情境導入
你發現了什么圖形？
角是生活中常見的圖形，角是軸對稱圖形嗎？
要點探究
知識點一：角的軸對稱性
如圖，將∠AOB對折，你發現了什么？
知識點二：角平分線的性質
做一做
(1) 在一張紙上任意畫∠AOB ，沿角的兩邊將角剪下，將這個角對折，使角的兩邊重合，折痕就是∠AOB的平分線.
(2) 在∠AOB的角平分線上任意取一點C，分別折出過點C且與∠AOB的兩邊垂直的直線，垂足分別為D，E，將∠AOB再次對折，線段CD與CE能重合嗎？
改變點C的位置，線段CD和CE還相等嗎？
思考：你能驗證這個結論嗎？
已知：如圖，∠AOC =∠BOC，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.
試說明：PD = PE.
【歸納總結】
【典例精析】
例1 典例精析
例1利用尺規，作∠AOB的平分線.
已知：∠AOB.
求作：∠AOB的平分線.
想一想
如圖所示，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，垂足為E. DE與DC相等嗎？為什么？
變式：如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點P，若PC＝4，AB＝14.
(1) 則點P到AB的距離為_____；
(2) 求△APB的面積.
【歸納總結】
【針對訓練】
1. 如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F，若∠EDB =∠FDB = 60°，則∠EBF = °，BE = .
2. △ABC中，∠C = 90°，AD平分∠CAB，且BC = 8，BD = 5，則點D到AB的距離是 .
3. 用尺規作圖作一個已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC =∠BOC的依據是（ ）
A. SSS
B. ASA
C. AAS
D. 角平分線上的點到角兩邊的距離相等
4. 如圖，AD 是△ABC 的角平分線，DE⊥AB，垂足為 E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則 AC 的長是 (　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
二、課堂小結
1. 如圖，D是∠ACG的平分線上的一點．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為E，F. 試說明：CE＝CF.
參考答案
合作探究
一、要點探究
知識點一：角的軸對稱性
知識點二：角平分線的性質
典例精析
例1利用尺規，作∠AOB的平分線.
已知：∠AOB.
求作：∠AOB的平分線.
作法：
(1)以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N；
(2)分別以點M、點N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內部相交于點C；
(3)作射線OC. 射線OC即為所求.
想一想
如圖所示，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，垂足為E. DE與DC相等嗎？為什么？
解：DE與DC相等.
因為射線BD是∠ABC的平分線，點D到角兩邊BA，BC的距離分別是線段DE，DC的長，
所以 DE = DC.
變式：如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點P，若PC＝4，AB＝14.
(1) 則點P到AB的距離為__4__；
(2) 求△APB的面積.
解：由角平分線的性質知PD = PC = 4，
故 AB·PD = 28.
溫馨提示：存在一條垂線段——構造應用
針對訓練
1. 如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F，若∠EDB =∠FDB = 60°，則∠EBF = 60 °，BE = BF .
2. △ABC中，∠C = 90°，AD平分∠CAB，且BC = 8，BD = 5，則點D到AB的距離是 3 .
3. 用尺規作圖作一個已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC =∠BOC的依據是（ A ）
A. SSS
B. ASA
C. AAS
D. 角平分線上的點到角兩邊的距離相等
4. 如圖，AD 是△ABC 的角平分線，DE⊥AB，垂足為 E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則 AC 的長是 (　D　)
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：過點D作DF⊥AC于F，
因為AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，
所以DF＝DE＝2.
S△ABC＝×4×2 + ·AC×2＝7，解得AC＝3.
當堂檢測
1. 如圖，D是∠ACG的平分線上的一點．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為E，F. 試說明：CE＝CF.
解：因為CD是∠ACG的平分線，DE⊥AC，DF⊥CG，
所以DE＝DF，∠ECD =∠FCD，∠DEC =∠DFC = 90°.
在△CDE和△CDF中，
因為∠DEC =∠DFC，∠ECD =∠FCD，DE = DF，
所以△CDE≌△CDF. 所以CE＝CF.

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