資源簡(jiǎn)介

(共52張PPT)
第2課時(shí)　向量的數(shù)量積(二)
第六章　平面向量及其應(yīng)用
01
必備知識(shí)　落實(shí)
知識(shí)點(diǎn)　向量數(shù)量積的運(yùn)算律
已知向量a，b，c和實(shí)數(shù)λ，則
(1)交換律：a·b＝_______；
(2)數(shù)乘結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝______________；
(3)分配律：(a＋b)·c＝_________________．
b·a
a·(λb)
a·c＋b·c

(1)向量的數(shù)量積不滿足消除律：若a，b，c均為非零向量，且a·c＝b·c，得不到a＝b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因?yàn)閍·b，b·c是數(shù)量積，是實(shí)數(shù)，不是向量，所以(a·b)·c與向量c共線，a·(b·c)與向量a共線，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情況下不成立．
　 　已知|a|＝3，|b|＝4，|c|＝5，向量a，b的夾角是120°，a，c的夾角是45°.求：
(1)(a－2b)·(3a＋b)；
【解】　(a－2b)·(3a＋b)＝3a2＋a·b－6a·b－2b2＝3|a|2－5a·b－2|b|2＝3×32－5×3×4×cos 120°－2×42＝25.

求向量的數(shù)量積的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)
求向量的數(shù)量積時(shí)，需明確兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：相關(guān)向量的模和夾角．若相關(guān)向量是兩個(gè)或兩個(gè)以上向量的線性運(yùn)算，則需先利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及多項(xiàng)式乘法的相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)．
1．已知|a|＝6，|b|＝4，a與b的夾角為60°，則(a＋2b)·(a＋3b)＝________
解析：(a＋2b)·(a＋3b)
＝a·a＋5a·b＋6b·b
＝|a|2＋5a·b＋6|b|2
＝|a|2＋5|a||b|cos 60°＋6|b|2
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－7
02
關(guān)鍵能力　提升
√
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【解析】　因?yàn)?a＋2b與ka－b互相垂直，
所以(3a＋2b)·(ka－b)＝0.
所以3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.
因?yàn)閍⊥b，所以a·b＝0，
(1)求向量夾角θ的基本步驟



(2)向量垂直問題的處理思路
解決與垂直相關(guān)問題的依據(jù)是a⊥b a·b＝0，利用數(shù)量積的運(yùn)算公式，與向量的模、夾角相關(guān)的知識(shí)結(jié)合解題．
√
√
03
課堂鞏固　自測(cè)
√
1.已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．0
解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3.
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課后達(dá)標(biāo)　檢測(cè)
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4．若向量a與b的夾角為60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，則|a|＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．12
解析：因?yàn)?a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2
＝|a|2－|a||b|cos 60°－6|b|2
＝|a|2－2|a|－96＝－72.
所以|a|2－2|a|－24＝0.
解得|a|＝6或|a|＝－4(舍去).故選C.
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13．已知向量a，b的夾角為120°，且|a|＝1，|b|＝2，則向量a＋b在向量a上的投影向量是________．
解析：因?yàn)橄蛄縜，b的夾角為120°，
且|a|＝1，|b|＝2，
所以(a＋b)·a＝a2＋a·b＝12＋1×2×cos 120°＝0，
所以向量a＋b在向量a上的投影向量是0.
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14．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求|a＋b|；
解：(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－3b2－4a·b
＝4×16－3×9－4a·b＝61，
解得a·b＝－6，
所以|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝16＋9－12＝13，
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16中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第2課時(shí)　向量的數(shù)量積(二)
知識(shí)點(diǎn)　向量數(shù)量積的運(yùn)算律
已知向量a，b，c和實(shí)數(shù)λ，則
(1)交換律：a·b＝b·a；
(2)數(shù)乘結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
(1)向量的數(shù)量積不滿足消除律：若a，b，c均為非零向量，且a·c＝b·c，得不到a＝b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因?yàn)閍·b，b·c是數(shù)量積，是實(shí)數(shù)，不是向量，所以(a·b)·c與向量c共線，a·(b·c)與向量a共線，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情況下不成立．
　已知|a|＝3，|b|＝4，|c|＝5，向量a，b的夾角是120°，a，c的夾角是45°.求：
(1)(a－2b)·(3a＋b)；
(2)a·(a－4b＋c).
【解】　(1)(a－2b)·(3a＋b)＝3a2＋a·b－6a·b－2b2＝3|a|2－5a·b－2|b|2＝3×32－5×3×4×cos 120°－2×42＝25.
(2)a·(a－4b＋c)＝a2－4a·b＋a·c＝|a|2－4|a||b|cos 120°＋|a||c|cos 45°
＝32－4×3×4×＋×3×5×＝48.
求向量的數(shù)量積的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)
求向量的數(shù)量積時(shí)，需明確兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：相關(guān)向量的模和夾角．若相關(guān)向量是兩個(gè)或兩個(gè)以上向量的線性運(yùn)算，則需先利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及多項(xiàng)式乘法的相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)．
1．已知|a|＝6，|b|＝4，a與b的夾角為60°，則(a＋2b)·(a＋3b)＝________
解析：(a＋2b)·(a＋3b)
＝a·a＋5a·b＋6b·b
＝|a|2＋5a·b＋6|b|2
＝|a|2＋5|a||b|cos 60°＋6|b|2
＝62＋5×6×4×＋6×42＝192.
答案：192
2．如圖，在 ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，則·＝________．
解析：因?yàn)椋剑剑?br/>所以·＝(＋)·(－)
＝2－2＝9－16＝－7.
答案：－7
考點(diǎn)一　向量模的有關(guān)計(jì)算
　(1)已知平面向量a與b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝(　　)
A． B．2
C．4 D．12
(2)向量a，b滿足|a|＝1，|a－b|＝，a與b的夾角為60°，則|b|＝(　　)
A． B．
C． D．
【解析】　(1)|a＋2b|＝＝
＝
＝ ＝2.
(2)由題意得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos 60°＝，即1＋|b|2－|b|＝，解得|b|＝.
【答案】　(1)B　(2)B
求向量的模的常見思路及方法
(1)求模的問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用a2＝|a|2，勿忘記開方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化．
已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，則|a＋b|＝(　　)
A．6 B．4
C． D．
解析：選C.因?yàn)閍·(a－2b)＝0，所以a2－2a·b＝0.
因?yàn)閨a|＝1，所以a·b＝，又|b|＝2，
所以|a＋b|＝＝＝.
考點(diǎn)二　向量的夾角與垂直
　(1)已知平面向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝1，且(4a－b)·(a＋3b)＝2，則向量a，b的夾角θ為(　　)
A． B．
C． D．
(2)已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b與ka－b互相垂直，則k的值為(　　)
A．－ B．
C．± D．1
【解析】　(1)(4a－b)·(a＋3b)＝4a2－3b2＋11a·b＝2，
由|a|＝2，|b|＝1，得a·b＝－1.
由a·b＝|a||b|cos θ＝2cos θ＝－1，
得cos θ＝－，又0≤θ≤π，所以θ＝.
(2)因?yàn)?a＋2b與ka－b互相垂直，
所以(3a＋2b)·(ka－b)＝0.
所以3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.
因?yàn)閍⊥b，所以a·b＝0，
又|a|＝2，|b|＝3，所以12k－18＝0，解得k＝.
【答案】　(1)D　(2)B
(1)求向量夾角θ的基本步驟
(2)向量垂直問題的處理思路
解決與垂直相關(guān)問題的依據(jù)是a⊥b a·b＝0，利用數(shù)量積的運(yùn)算公式，與向量的模、夾角相關(guān)的知識(shí)結(jié)合解題．
1．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|，且a⊥(a－2b)，則a與b的夾角為(　　)
A． B．
C． D．
解析：選B.因?yàn)閍⊥(a－2b)，所以a·(a－2b)＝|a|2－2a·b＝|a|2－2|a||b|cos 〈a，b〉＝0，
因?yàn)閨a|＝|b|，所以cos 〈a，b〉＝＝＝，因?yàn)椤碼，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.故選B.
2．在△ABC中，·(＋)＝0，則△ABC的形狀為(　　)
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
解析：選B.因?yàn)椤?＋)＝·＝0，即BC⊥AC，所以△ABC為直角三角形．故選B.
1.已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．0
解析：選B.a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3.
2．已知a，b為非零向量，若a＋2b與a－2b互相垂直，則＝(　　)
A． B．4
C． D．2
解析：選D.由題意得(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2＝0，所以|a|＝2|b|，所以＝2.
3．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則·(＋)＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．3
解析：選C.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，且邊長(zhǎng)為2，
所以·(＋)
＝·＋·
＝||||cos 45°＝2×2×＝4.
4．已知|a|＝1，|b|＝.
(1)若a，b的夾角為60°，求|a＋b|；
(2)若a－b與a垂直，求a與b的夾角．
解：(1)因?yàn)閨a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3＋，
所以|a＋b|＝.
(2)由(a－b)·a＝0，得a2＝a·b，
設(shè)a與b的夾角為θ，
所以cos θ＝＝，又θ∈[0°，180°]，故θ＝45°.
[A　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1．已知|a|＝9，|b|＝6，a·b＝－54，則a與b的夾角θ為(　　)
A．45° B．135°
C．120° D．150°
解析：選B.因?yàn)閏os θ＝＝＝－，又0°≤θ≤180°，所以θ＝135°.
2．若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，則a與b的夾角為(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：選C.因?yàn)?2a＋b)·b＝2a·b＋b·b＝0，
所以a·b＝－|b|2.設(shè)a與b的夾角為θ，
則cos θ＝＝＝－，故θ＝120°.
3．已知平面向量a，b滿足|a|＝，|b|＝2，a·b＝－3，則|a＋2b|＝(　　)
A．1 B．
C．4＋ D．2
解析：選B.根據(jù)題意，得|a＋2b|＝＝.故選B.
4．若向量a與b的夾角為60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，則|a|＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．12
解析：選C.因?yàn)?a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2
＝|a|2－|a||b|cos 60°－6|b|2
＝|a|2－2|a|－96＝－72.
所以|a|2－2|a|－24＝0.
解得|a|＝6或|a|＝－4(舍去).故選C.
5．(多選)在△ABC中，下列命題正確的是(　　)
A．－＝
B．＋＋＝0
C．若(＋)·(－)＝0，則△ABC為等腰三角形
D．若·>0，則△ABC為銳角三角形
解析：選BC.A項(xiàng)，－＝，所以A不正確；B項(xiàng)，＋＋＝＋＝0，故B正確；C項(xiàng)，因?yàn)?＋)·(－)＝2－2＝0，所以2＝2，所以||＝||.即在△ABC中，AB＝AC，故△ABC為等腰三角形，故C正確；D項(xiàng)，·＝||||cos A>0，則A必為銳角，△ABC的形狀不確定，故D不正確．
6．(多選)△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足＝2a，＝2a＋b，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A．a(chǎn)為單位向量 B．b為單位向量
C．a(chǎn)⊥b D．(4a＋b)⊥
解析：選AD.因?yàn)榈冗吶切蜛BC的邊長(zhǎng)為2.＝2a.所以||＝2|a|＝2，所以|a|＝1，故A正確；因?yàn)椋剑?a＋＝2a＋b，所以＝b，所以|b|＝2，故B錯(cuò)誤；由于＝2a，＝b，所以a與b的夾角為120°，故C錯(cuò)誤；又因?yàn)?4a＋b)·＝4a·b＋|b|2＝4×1×2×＋4＝0.所以(4a＋b)⊥，故D正確．故選AD.
7．已知向量e1，e2的模分別為1，2，e1，e2的夾角為，則向量(e2－e1)·e2的值為________．
解析：由題意可知，(e2－e1)·e2＝e－e1·e2＝|e2|2－|e1||e2|cos ＝22－1×2×cos ＝3.
答案：3
8．(2022·高考全國卷甲)設(shè)向量a，b的夾角的余弦值為，且|a|＝1，|b|＝3，則(2a＋b)·b＝________．
解析：(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a|·|b|·cos ?a，b?＋|b|2＝2×1×3×＋32＝11.
答案：11
9．在△ABC中，若BC＝8，BC邊上中線長(zhǎng)為3，則·＝________．
解析：在△ABC中，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則＝－.
由題意知||＝4，||＝3.
則·＝(＋)·(＋)＝(－)·(＋)＝||2－||2＝9－16＝－7.
答案：－7
10．已知平面向量a，b，若|a|＝1，|b|＝2，且|a－b|＝.
(1)求a與b的夾角θ；
(2)若c＝ta＋b，且a⊥c，求t的值及|c|.
解：(1)由|a－b|＝，
得a2－2a·b＋b2＝7，
所以1－2×1×2×cos θ＋4＝7，所以cos θ＝－.
又θ∈[0，π]，所以θ＝.
(2)因?yàn)閍⊥c，所以a·(ta＋b)＝0，
所以ta2＋a·b＝0，所以t＋1×2×＝0，
所以t＝1，所以c＝a＋b，c2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×2×＋4＝3.
所以|c|＝.
[B　能力提升]
11．已知a，b為非零向量，若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，則向量a－b與b的夾角為(　　)
A． B．
C． D．
解析：選D.由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，由|a－b|＝2|a|，可得3a2＝b2，所以|b|＝|a|，設(shè)向量a－b與b的夾角為θ，則cos θ＝＝＝－＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝.
12．若O為△ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，且滿足(－)·(＋－2)＝0，則△ABC的形狀為(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
解析：選A.因?yàn)?－)·(＋－2)＝0，
即·(＋)＝0，
又因?yàn)椋剑?br/>所以(－)·(＋)＝0，
即||＝||，
所以△ABC是等腰三角形．
13．已知向量a，b的夾角為120°，且|a|＝1，|b|＝2，則向量a＋b在向量a上的投影向量是________．
解析：因?yàn)橄蛄縜，b的夾角為120°，
且|a|＝1，|b|＝2，
所以(a＋b)·a＝a2＋a·b＝12＋1×2×cos 120°＝0，
所以向量a＋b在向量a上的投影向量是0.
答案：0
14．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求|a＋b|；
(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影向量的模．
解：(1)(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－3b2－4a·b
＝4×16－3×9－4a·b＝61，
解得a·b＝－6，
所以|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝16＋9－12＝13，
所以|a＋b|＝.
(2)設(shè)a與a＋b的夾角為θ，
因?yàn)閍·(a＋b)＝a2＋a·b＝10，
所以cos θ＝＝，則a在a＋b方向上的投影向量的模為||a|cos θ|＝4×＝.
[C　拓展沖刺]
15．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a－2b)·(2a＋b)≥4，則a與b的夾角θ的取值范圍是________．
解析：(a－2b)·(2a＋b)＝2a2＋a·b－4a·b－2b2
＝2×9－3|a||b|cos θ－2×16
＝－14－3×3×4cos θ≥4，
所以cos θ≤－，所以θ∈.
答案：
16．在四邊形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2.
(1)若四邊形ABCD是矩形，求·的值；
(2)若四邊形ABCD是平行四邊形，且·＝6，求與夾角的余弦值．
解：(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，
所以⊥，即·＝0，
又AB＝9，BC＝6，＝2，
所以＝＋＝＋，
＝＋＝－.
所以·
＝·
＝2－·－2
＝62－×92＝18.
(2)設(shè)與的夾角為θ，由(1)得，
·＝·
＝2－·－2
＝62－×9×6×cos θ－×92＝6，
所以cos θ＝.
故與夾角的余弦值為.
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第2課時(shí)　向量的數(shù)量積(二)
知識(shí)點(diǎn)　向量數(shù)量積的運(yùn)算律
已知向量a，b，c和實(shí)數(shù)λ，則
(1)交換律：a·b＝b·a；
(2)數(shù)乘結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
(1)向量的數(shù)量積不滿足消除律：若a，b，c均為非零向量，且a·c＝b·c，得不到a＝b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因?yàn)閍·b，b·c是數(shù)量積，是實(shí)數(shù)，不是向量，所以(a·b)·c與向量c共線，a·(b·c)與向量a共線，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情況下不成立．
　已知|a|＝3，|b|＝4，|c|＝5，向量a，b的夾角是120°，a，c的夾角是45°.求：
(1)(a－2b)·(3a＋b)；
(2)a·(a－4b＋c).
求向量的數(shù)量積的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)
求向量的數(shù)量積時(shí)，需明確兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：相關(guān)向量的模和夾角．若相關(guān)向量是兩個(gè)或兩個(gè)以上向量的線性運(yùn)算，則需先利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及多項(xiàng)式乘法的相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)．
1．已知|a|＝6，|b|＝4，a與b的夾角為60°，則(a＋2b)·(a＋3b)＝________
2．如圖，在 ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，則·＝________．
考點(diǎn)一　向量模的有關(guān)計(jì)算
　(1)已知平面向量a與b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝(　　)
A． B．2
C．4 D．12
(2)向量a，b滿足|a|＝1，|a－b|＝，a與b的夾角為60°，則|b|＝(　　)
A． B．
C． D．
求向量的模的常見思路及方法
(1)求模的問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用a2＝|a|2，勿忘記開方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化．
已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，則|a＋b|＝(　　)
A．6 B．4
C． D．
考點(diǎn)二　向量的夾角與垂直
　(1)已知平面向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝1，且(4a－b)·(a＋3b)＝2，則向量a，b的夾角θ為(　　)
A． B．
C． D．
(2)已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b與ka－b互相垂直，則k的值為(　　)
A．－ B．
C．± D．1
(1)求向量夾角θ的基本步驟
(2)向量垂直問題的處理思路
解決與垂直相關(guān)問題的依據(jù)是a⊥b a·b＝0，利用數(shù)量積的運(yùn)算公式，與向量的模、夾角相關(guān)的知識(shí)結(jié)合解題．
1．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|，且a⊥(a－2b)，則a與b的夾角為(　　)
A． B．
C． D．
2．在△ABC中，·(＋)＝0，則△ABC的形狀為(　　)
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
1.已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．0
2．已知a，b為非零向量，若a＋2b與a－2b互相垂直，則＝(　　)
A． B．4
C． D．2
3．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則·(＋)＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．3
4．已知|a|＝1，|b|＝.
(1)若a，b的夾角為60°，求|a＋b|；
(2)若a－b與a垂直，求a與b的夾角．
[A　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1．已知|a|＝9，|b|＝6，a·b＝－54，則a與b的夾角θ為(　　)
A．45° B．135°
C．120° D．150°
2．若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，則a與b的夾角為(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
3．已知平面向量a，b滿足|a|＝，|b|＝2，a·b＝－3，則|a＋2b|＝(　　)
A．1 B．
C．4＋ D．2
4．若向量a與b的夾角為60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，則|a|＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．12
5．(多選)在△ABC中，下列命題正確的是(　　)
A．－＝
B．＋＋＝0
C．若(＋)·(－)＝0，則△ABC為等腰三角形
D．若·>0，則△ABC為銳角三角形
6．(多選)△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足＝2a，＝2a＋b，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A．a(chǎn)為單位向量 B．b為單位向量
C．a(chǎn)⊥b D．(4a＋b)⊥
7．已知向量e1，e2的模分別為1，2，e1，e2的夾角為，則向量(e2－e1)·e2的值為________．
8．(2022·高考全國卷甲)設(shè)向量a，b的夾角的余弦值為，且|a|＝1，|b|＝3，則(2a＋b)·b＝________．
9．在△ABC中，若BC＝8，BC邊上中線長(zhǎng)為3，則·＝________．
10．已知平面向量a，b，若|a|＝1，|b|＝2，且|a－b|＝.
(1)求a與b的夾角θ；
(2)若c＝ta＋b，且a⊥c，求t的值及|c|.
[B　能力提升]
11．已知a，b為非零向量，若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，則向量a－b與b的夾角為(　　)
A． B．
C． D．
12．若O為△ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，且滿足(－)·(＋－2)＝0，則△ABC的形狀為(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
13．已知向量a，b的夾角為120°，且|a|＝1，|b|＝2，則向量a＋b在向量a上的投影向量是________．
14．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求|a＋b|；
(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影向量的模．
[C　拓展沖刺]
15．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a－2b)·(2a＋b)≥4，則a與b的夾角θ的取值范圍是________．
16．在四邊形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2.
(1)若四邊形ABCD是矩形，求·的值；
(2)若四邊形ABCD是平行四邊形，且·＝6，求與夾角的余弦值．
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