資源簡介

(共58張PPT)
6.2.3 向量的數乘運算
第六章　平面向量及其應用
學習指導 核心素養
1.通過實例分析，掌握平面向量數乘運算及運算法則，理解兩個平面向量共線的含義． 2.了解平面向量的線性運算性質及其幾何意義． 1.數學抽象：理解向量數乘的概念．
2.數學運算：向量數乘的運算律及其向量的線性運算．
3.邏輯推理：利用向量共線定理解決具體問題．
01
必備知識　落實
知識點一　向量的數乘運算
文字表述 規定實數λ與向量a的積是一個_____，這種運算叫做向量的數乘，記作____ 規定 長度 |λa|＝___________
方向 當λ>0時，λa的方向與a的方向_____
當λ<0時，λa的方向與a的方向_____
當λ＝0時，λa＝__
向量
λa
|λ||a|
相同
相反
0

λ是實數，a是向量，它們的積λa仍然是向量．實數與向量可以相乘，但是不能相加減，如λ＋a，λ－a均沒有意義．
6
2．若a與b是相反向量，則5a與－4b的方向________．
解析：5a與a同向，－4b與b反向，而a與b是相反向量，所以5a與－4b的方向相同．
相同
知識點二　向量的線性運算
1．向量數乘的運算律
設λ，μ為實數，那么：
(1)λ(μa)＝____________．
(2)(λ＋μ)a＝_____________．
(3)λ(a＋b)＝___________．
特別地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
2．向量的線性運算
向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算．
對于任意向量a，b，以及任意實數λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝_______________．
λμ1a±λμ2b

向量線性運算的基本方法
(1)類比法：向量的數乘運算可類似于代數多項式的運算．例如，實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形在向量的數乘中同樣適用,但是在這里的“同類項”“公因式”指向量,實數看作是向量的系數．
(2)方程法：向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數，利用解方程的方法求解，同時在運算過程中要多注意觀察，恰當地使用運算律，可以簡化運算．
√
2．已知e1，e2是兩個非零向量，設a＝e1－e2，b＝e1＋2e2，c＝5e1＋4e2，c＝xa＋y b，則x＋y＝__________.
解析：因為c＝xa＋yb＝x(e1－e2)＋y(e1＋2e2)＝(x＋y)e1＋(－x＋2y)e2，又c＝5e1＋4e2，所以x＋y＝5.
5
知識點三　向量共線定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使_________．
b＝λa

定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，則實數λ可以是任意實數；若a＝0，b≠0，則不存在實數λ，使得b＝λa.
(2)試確定實數k，使ka＋b與a＋kb共線．
【解】　因為ka＋b與a＋kb共線，
所以存在實數λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb，所以(k－λ)a＝(λk－1)b.
因為a，b是不共線的兩個非零向量，
所以k－λ＝λk－1＝0，
所以k2－1＝0，所以k＝±1.
(2)利用向量共線求參數的方法
判斷、證明向量共線問題的思路是根據向量共線定理尋求唯一的實數λ，使得a＝λb(b≠0).而已知向量共線求λ，常根據向量共線的條件轉化為相應向量系數相等求解．若兩向量不共線，必有向量的系數為零，利用待定系數法建立方程(組)，解方程(組)從而求得λ的值．
　 　　　 已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，c＝－6e1＋2e2，其中e1，e2不共線，則a＋b與c的關系為(　　)
A．不共線 B．共線
C．相等 D．無法確定
解析：因為a＋b＝3e1－e2，所以c＝－2(a＋b)，所以a＋b與c共線．故選B.
√
02
關鍵能力　提升
用已知向量表示未知向量的一般步驟

[提醒]　用已知向量表示未知向量的關鍵是弄清向量之間的數量關系．
√
√
03
課堂鞏固　自測
√
1.已知λ∈R，則下列結論正確的是(　　)
A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a
C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|>0
解析：當λ<0時，|λa|＝λ|a|不成立，A錯誤；
|λa|是一個非負實數，而|λ|a是一個向量，所以B錯誤；
當λ＝0或a＝0時，|λa|＝0，D錯誤．故選C.
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√
2．(多選)下列運算正確的是(　　)
A．(－3)·2a＝－6a
B．2(a＋b)－(2b－a)＝3a
C．(a＋2b)－(2b＋a)＝0
D．2(3a－b)＝6a－2b
解析：選ABD.根據向量的線性運算律知A，B，D正確；
C中，(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，所以該運算錯誤．
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課后達標　檢測
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[A　基礎達標]
1．下列說法中正確的是(　　)
A．λa與a的方向不是相同就是相反(λ為實數)
B．若a，b共線，則b＝λa(λ為實數)
C．若|b|＝2|a|，則b＝±2a
D．若b＝±2a，則|b|＝2|a|
解析：當λ＝0時，A不正確．
當a＝0時，B不正確．
當|b|＝2|a|時，不能說明a，b共線，C不正確．
顯然當b＝±2a時，必有|b|＝2|a|，D正確．
√
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2．(多選)下列各式計算正確的有(　　)
A．(－7)6a＝－42a
B．7(a＋b)－8b＝7a＋15b
C．a－2b＋a＋2b＝2a
D．4(2a＋b)＝8a＋4b
解析：由向量的線性運算知，A，C，D正確，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b.
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7．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，則x＝________．
解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，
所以x＋3a－4b＝0.所以x＝4b－3a.
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16中小學教育資源及組卷應用平臺
6.2.3　向量的數乘運算
學習指導 核心素養
1.通過實例分析，掌握平面向量數乘運算及運算法則，理解兩個平面向量共線的含義． 2.了解平面向量的線性運算性質及其幾何意義． 1.數學抽象：理解向量數乘的概念． 2.數學運算：向量數乘的運算律及其向量的線性運算． 3.邏輯推理：利用向量共線定理解決具體問題．
知識點一　向量的數乘運算
文字表述 規定實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa
規定 長度 |λa|＝|λ||a|
方向 當λ>0時，λa的方向與a的方向相同
當λ<0時，λa的方向與a的方向相反
當λ＝0時，λa＝0
λ是實數，a是向量，它們的積λa仍然是向量．實數與向量可以相乘，但是不能相加減，如λ＋a，λ－a均沒有意義．
1．若|a|＝3，|b|＝，則|－2a|＝____________，|3b|＝____________．
2．若a與b是相反向量，則5a與－4b的方向________．
知識點二　向量的線性運算
1．向量數乘的運算律
設λ，μ為實數，那么：
(1)λ(μa)＝(λμ)a．
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μ__a．
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．
特別地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
2．向量的線性運算
向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算．
對于任意向量a，b，以及任意實數λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．
　(1)計算：.
(2)設向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a).
向量線性運算的基本方法
(1)類比法：向量的數乘運算可類似于代數多項式的運算．例如，實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形在向量的數乘中同樣適用，但是在這里的“同類項”“公因式”指向量，實數看作是向量的系數．
(2)方程法：向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數，利用解方程的方法求解，同時在運算過程中要多注意觀察，恰當地使用運算律，可以簡化運算．
1．化簡的結果是(　　)
A．2a－b B．2b－a
C．b－a D．a－b
知識點三　向量共線定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使b＝λa．
定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，則實數λ可以是任意實數；若a＝0，b≠0，則不存在實數λ，使得b＝λa.
　設兩個非零向量a與b不共線．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，B，D三點共線；
(2)試確定實數k，使ka＋b與a＋kb共線．
(1)證明或判斷三點共線的方法
①一般來說，要判定A，B，C三點是否共線，只需看是否存在實數λ，使得＝λ(或＝λ等)即可．
②利用結論：若A，B，C三點共線，O為直線外一點 存在實數x，y，使＝x＋y 且x＋y＝1.
(2)利用向量共線求參數的方法
判斷、證明向量共線問題的思路是根據向量共線定理尋求唯一的實數λ，使得a＝λb(b≠0).而已知向量共線求λ，常根據向量共線的條件轉化為相應向量系數相等求解．若兩向量不共線，必有向量的系數為零，利用待定系數法建立方程(組)，解方程(組)從而求得λ的值．
已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，c＝－6e1＋2e2，其中e1，e2不共線，則a＋b與c的關系為(　　)
A．不共線 B．共線
C．相等 D．無法確定
考點　用已知向量表示其他向量
　
如圖，已知ABCD是一個梯形，∥且||＝2||，M，N分別是DC，AB的中點，已知＝e1，＝e2，分別用e1，e2表示，.
用已知向量表示未知向量的一般步驟
[提醒]　用已知向量表示未知向量的關鍵是弄清向量之間的數量關系．
1．如圖，在 ABCD中，E是BC的中點，若＝a，＝b，則＝(　　)
A．a－b B．a＋b
C．a＋b D．a－b
2．如圖，在△ABC中，BD＝2DC.若＝a，＝b，則＝(　　)
A．a＋b
B．a－b
C．a＋b
D．a－b
1.已知λ∈R，則下列結論正確的是(　　)
A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a
C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|>0
2．(多選)下列運算正確的是(　　)
A．(－3)·2a＝－6a
B．2(a＋b)－(2b－a)＝3a
C．(a＋2b)－(2b＋a)＝0
D．2(3a－b)＝6a－2b
3．如圖，已知AM是△ABC的邊BC上的中線，若＝a，＝b，則等于(　　)
A.(a－b)
B．－(a－b)
C．(a＋b)
D．－(a＋b)
4．設e1與e2是兩個不共線向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三點共線，求實數k的值．
[A　基礎達標]
1．下列說法中正確的是(　　)
A．λa與a的方向不是相同就是相反(λ為實數)
B．若a，b共線，則b＝λa(λ為實數)
C．若|b|＝2|a|，則b＝±2a
D．若b＝±2a，則|b|＝2|a|
2．(多選)下列各式計算正確的有(　　)
A．(－7)6a＝－42a
B．7(a＋b)－8b＝7a＋15b
C．a－2b＋a＋2b＝2a
D．4(2a＋b)＝8a＋4b
3．在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共線，則四邊形ABCD是(　　)
A．梯形 B．平行四邊形
C．菱形 D．矩形
4．已知a，b是不共線的向量，＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)·b，且A，B，C三點共線，則λ＝(　　)
A．－1 B．－2
C．－2或1 D．－1或2
5．在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝3DC，E為BC的中點，則＝(　　)
A．＋
B．＋
C．＋
D．＋
6．(多選)若點D，E，F分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點，且＝a，＝b，則下列結論正確的有(　　)
A．＝－a－b B．＝a＋b
C．＝－a＋b D．＝a
7．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，則x＝________．
8．已知向量a，b滿足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，則實數λ的值是________．
9．已知O，A，B是平面上的三個點，直線AB上有一點C，滿足2＋＝0，若＝a，＝b，用a，b表示向量，則＝________．
10．計算：
(1)＋(3a－2b)－(a－b)；
(2)－.
[B　能力提升]
11．(多選)如圖，在梯形ABDC中，AB∥CD，AB＝2CD，AD與BC相交于點O，則下列結論正確的是(　　)
A.－＝
B．＋＋＋＝0
C．|＋2|＝0
D．＝＋
12．已知a，b是不共線的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三點共線的充要條件為(　　)
A．λ＋μ＝2 B．λμ＝1
C．λμ＝－1 D．λ－μ＝1
13.
如圖所示，在△ABC中，D為BC邊上一點，且BD＝2DC，若＝m＋n(m，n∈R)，則m－n＝________．
14．已知兩個非零向量a與b不共線，＝2a－b，＝a＋3b，＝ka＋5b.
(1)若2－＋＝0，求k的值；
(2)若A，B，C三點共線，求k的值．
[C　拓展沖刺]
15．在△ABC中，若點P滿足＝＋，＝＋AC，則△APQ與△ABC的面積之比為(　　)
A．1∶3 B．5∶12
C．3∶4 D．9∶16
16．如圖所示，在△ABC中，D，F分別是邊BC，AC的中點，且＝，＝a，＝b.
(1)用a，b表示，，，，；
(2)求證：B，E，F三點共線．
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6．2.3　向量的數乘運算
學習指導 核心素養
1.通過實例分析，掌握平面向量數乘運算及運算法則，理解兩個平面向量共線的含義． 2.了解平面向量的線性運算性質及其幾何意義． 1.數學抽象：理解向量數乘的概念． 2.數學運算：向量數乘的運算律及其向量的線性運算． 3.邏輯推理：利用向量共線定理解決具體問題．
知識點一　向量的數乘運算
文字表述 規定實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa
規定 長度 |λa|＝|λ||a|
方向 當λ>0時，λa的方向與a的方向相同
當λ<0時，λa的方向與a的方向相反
當λ＝0時，λa＝0
λ是實數，a是向量，它們的積λa仍然是向量．實數與向量可以相乘，但是不能相加減，如λ＋a，λ－a均沒有意義．
1．若|a|＝3，|b|＝，則|－2a|＝____________，|3b|＝____________．
解析：因為|a|＝3，|b|＝，
所以|－2a|＝2|a|＝6，|3b|＝3|b|＝.
答案：6　
2．若a與b是相反向量，則5a與－4b的方向________．
解析：5a與a同向，－4b與b反向，而a與b是相反向量，所以5a與－4b的方向相同．
答案：相同
知識點二　向量的線性運算
1．向量數乘的運算律
設λ，μ為實數，那么：
(1)λ(μa)＝(λμ)a．
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μ__a．
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．
特別地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
2．向量的線性運算
向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算．
對于任意向量a，b，以及任意實數λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．
　(1)計算：.
(2)設向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a).
【解】　(1)原式＝
＝
＝a－b.
(2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a
＝a＋b
＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)
＝i＋j
＝－i－5j.
向量線性運算的基本方法
(1)類比法：向量的數乘運算可類似于代數多項式的運算．例如，實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形在向量的數乘中同樣適用，但是在這里的“同類項”“公因式”指向量，實數看作是向量的系數．
(2)方程法：向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數，利用解方程的方法求解，同時在運算過程中要多注意觀察，恰當地使用運算律，可以簡化運算．
1．化簡的結果是(　　)
A．2a－b B．2b－a
C．b－a D．a－b
解析：選B.原式＝＝－a＋2b.
2．已知e1，e2是兩個非零向量，設a＝e1－e2，b＝e1＋2e2，c＝5e1＋4e2，c＝xa＋y b，則x＋y＝______________________________________________.
解析：因為c＝xa＋yb＝x(e1－e2)＋y(e1＋2e2)＝(x＋y)e1＋(－x＋2y)e2，又c＝5e1＋4e2，所以x＋y＝5.
答案：5
知識點三　向量共線定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使b＝λa．
定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，則實數λ可以是任意實數；若a＝0，b≠0，則不存在實數λ，使得b＝λa.
　設兩個非零向量a與b不共線．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，B，D三點共線；
(2)試確定實數k，使ka＋b與a＋kb共線．
【解】　(1)證明：因為＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.
所以，共線．
又因為與有公共點B，
所以A，B，D三點共線．
(2)因為ka＋b與a＋kb共線，
所以存在實數λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb，所以(k－λ)a＝(λk－1)b.
因為a，b是不共線的兩個非零向量，
所以k－λ＝λk－1＝0，
所以k2－1＝0，所以k＝±1.
(1)證明或判斷三點共線的方法
①一般來說，要判定A，B，C三點是否共線，只需看是否存在實數λ，使得＝λ(或＝λ等)即可．
②利用結論：若A，B，C三點共線，O為直線外一點 存在實數x，y，使＝x＋y 且x＋y＝1.
(2)利用向量共線求參數的方法
判斷、證明向量共線問題的思路是根據向量共線定理尋求唯一的實數λ，使得a＝λb(b≠0).而已知向量共線求λ，常根據向量共線的條件轉化為相應向量系數相等求解．若兩向量不共線，必有向量的系數為零，利用待定系數法建立方程(組)，解方程(組)從而求得λ的值．
已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，c＝－6e1＋2e2，其中e1，e2不共線，則a＋b與c的關系為(　　)
A．不共線 B．共線
C．相等 D．無法確定
解析：選B.因為a＋b＝3e1－e2，所以c＝－2(a＋b)，所以a＋b與c共線．故選B.
考點　用已知向量表示其他向量
　
如圖，已知ABCD是一個梯形，∥且||＝2||，M，N分別是DC，AB的中點，已知＝e1，＝e2，分別用e1，e2表示，.
【解】　因為∥，||＝2||，
所以＝2，＝.
則＝＋＝e2＋e1.
因為M，N分別為DC，AB的中點，
所以||＝2||，||＝2||，
則＝＋＋
＝－－＋
＝－e1－e2＋e1＝e1－e2.
用已知向量表示未知向量的一般步驟
[提醒]　用已知向量表示未知向量的關鍵是弄清向量之間的數量關系．
1．如圖，在 ABCD中，E是BC的中點，若＝a，＝b，則＝(　　)
A．a－b B．a＋b
C．a＋b D．a－b
解析：選D.因為E是BC的中點，
所以＝＝－＝－b，
所以＝＋＝＋＝a－b.
2．如圖，在△ABC中，BD＝2DC.若＝a，＝b，則＝(　　)
A．a＋b
B．a－b
C．a＋b
D．a－b
解析：選C.由題意可得，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
1.已知λ∈R，則下列結論正確的是(　　)
A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a
C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|>0
解析：選C.當λ<0時，|λa|＝λ|a|不成立，A錯誤；|λa|是一個非負實數，而|λ|a是一個向量，所以B錯誤；當λ＝0或a＝0時，|λa|＝0，D錯誤．故選C.
2．(多選)下列運算正確的是(　　)
A．(－3)·2a＝－6a
B．2(a＋b)－(2b－a)＝3a
C．(a＋2b)－(2b＋a)＝0
D．2(3a－b)＝6a－2b
解析：選ABD.根據向量的線性運算律知A，B，D正確；C中，(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，所以該運算錯誤．
3．如圖，已知AM是△ABC的邊BC上的中線，若＝a，＝b，則等于(　　)
A.(a－b)
B．－(a－b)
C．(a＋b)
D．－(a＋b)
解析：選C.因為M是BC的中點，所以＝(a＋b).故選C.
4．設e1與e2是兩個不共線向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三點共線，求實數k的值．
解：因為A，B，D三點共線，
故存在一個實數λ，使得＝λ，
又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，
所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)
＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，
所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，
所以
解得k＝－.
[A　基礎達標]
1．下列說法中正確的是(　　)
A．λa與a的方向不是相同就是相反(λ為實數)
B．若a，b共線，則b＝λa(λ為實數)
C．若|b|＝2|a|，則b＝±2a
D．若b＝±2a，則|b|＝2|a|
解析：選D.當λ＝0時，A不正確．當a＝0時，B不正確．當|b|＝2|a|時，不能說明a，b共線，C不正確．顯然當b＝±2a時，必有|b|＝2|a|，D正確．
2．(多選)下列各式計算正確的有(　　)
A．(－7)6a＝－42a
B．7(a＋b)－8b＝7a＋15b
C．a－2b＋a＋2b＝2a
D．4(2a＋b)＝8a＋4b
解析：選ACD.由向量的線性運算知，A，C，D正確，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b.
3．在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共線，則四邊形ABCD是(　　)
A．梯形 B．平行四邊形
C．菱形 D．矩形
解析：選B.在四邊形ABCD中，因為＝a＋2b，＝－＝－4a－b－(－5a－3b)＝a＋2b，
所以＝，所以四邊形ABCD為平行四邊形．不能判斷平行四邊形ABCD是菱形或矩形．
4．已知a，b是不共線的向量，＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)·b，且A，B，C三點共線，則λ＝(　　)
A．－1 B．－2
C．－2或1 D．－1或2
解析：選D.因為A，B，C三點共線，所以存在實數k使得＝k，所以λa＋2b＝k[a＋(λ－1)b]，所以解得λ＝－1或λ＝2.
5．在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝3DC，E為BC的中點，則＝(　　)
A．＋
B．＋
C．＋
D．＋
解析：選A.＝＋＋＝－＋，＝＋＝＋＝＋＝＋.
6．(多選)若點D，E，F分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點，且＝a，＝b，則下列結論正確的有(　　)
A．＝－a－b B．＝a＋b
C．＝－a＋b D．＝a
解析：選ABC.在△ABC中，＝＋＝－＋＝－b－a.故A正確；＝＋＝＋＝a＋b，故B正確；＝＋＝－b－a，＝＋＝＋＝b＋(－b－a)＝－a＋b，故C正確；＝＝－a，故D不正確．故選ABC.
7．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，則x＝________．
解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，
所以x＋3a－4b＝0.所以x＝4b－3a.
答案：4b－3a
8．已知向量a，b滿足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，則實數λ的值是________．
解析：由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|.
因為|a|＝3，|b|＝5，所以|λ|＝，即λ＝±.
答案：±
9．已知O，A，B是平面上的三個點，直線AB上有一點C，滿足2＋＝0，若＝a，＝b，用a，b表示向量，則＝________．
解析：＝－，＝－，
因為2＋＝0，
所以2(－)＋(－)＝0，
所以＝2－＝2a－b.
答案：2a－b
10．計算：
(1)＋(3a－2b)－(a－b)；
(2)－.
解：(1)原式＝a＋b＝a＋b.
(2)原式＝－
＝a＋b－a－b＝0.
[B　能力提升]
11．(多選)如圖，在梯形ABDC中，AB∥CD，AB＝2CD，AD與BC相交于點O，則下列結論正確的是(　　)
A.－＝
B．＋＋＋＝0
C．|＋2|＝0
D．＝＋
解析：選ABC.對于A，－＝＝，所以A正確；對于B，＋＋＋＝0，所以B正確；對于C，易知△OCD∽△OBA，所以＝＝，即＝－，所以|＋2|＝|－|＝|0|＝0，所以C正確；對于D，＝＝(＋)＝(＋2)＝＋，故D不正確．故選ABC.
12．已知a，b是不共線的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三點共線的充要條件為(　　)
A．λ＋μ＝2 B．λμ＝1
C．λμ＝－1 D．λ－μ＝1
解析：選B.因為A，B，C三點共線，所以向量∥.令＝m(m∈R)，所以λa＋b＝m(a＋μb)，所以(λ－m)a＝(mμ－1)b.由a，b是不共線的向量，得解得所以λμ＝1.故選B.
13.
如圖所示，在△ABC中，D為BC邊上一點，且BD＝2DC，若＝m＋n(m，n∈R)，則m－n＝________．
解析：直接利用向量共線定理，得＝3，
則＝＋＝＋3＝＋3(－)＝＋3－3，
所以＝－＋，
則m＝－，n＝，那么m－n＝－－＝－2.
答案：－2
14．已知兩個非零向量a與b不共線，＝2a－b，＝a＋3b，＝ka＋5b.
(1)若2－＋＝0，求k的值；
(2)若A，B，C三點共線，求k的值．
解：(1)因為2－＋＝2(2a－b)－a－3b＋ka＋5b＝(k＋3)a＝0，所以k＝－3.
(2)＝－＝－a＋4b，＝－＝(k－2)a＋6b，
又A，B，C三點共線，
則存在λ∈R，使＝λ，
即(k－2)a＋6b＝－λa＋4λb，
所以解得k＝.
[C　拓展沖刺]
15．在△ABC中，若點P滿足＝＋，＝＋AC，則△APQ與△ABC的面積之比為(　　)
A．1∶3 B．5∶12
C．3∶4 D．9∶16
解析：選B.因為＝＋，所以(－)＝(－)，即＝2，得點P為線段BC上靠近點C的三等分點．又＝＋，所以(－)＝(－)，即3＝，得點Q為線段BC上靠近點B的四等分點，所以PQ＝BC，所以△APQ與△ABC的面積之比為S△APQ∶S△ABC＝PQ∶BC＝5∶12.故選B.
16．如圖所示，在△ABC中，D，F分別是邊BC，AC的中點，且＝，＝a，＝b.
(1)用a，b表示，，，，；
(2)求證：B，E，F三點共線．
解：(1)如圖，延長AD到G，
使＝2，
連接BG，CG，
得到平行四邊形ABGC.
則＝a＋b，＝
＝(a＋b)，
＝＝(a＋b)，
＝＝b，
＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，
＝－＝b－a＝(b－2a).
(2)證明：由(1)知，＝，所以，共線．
又因為，有公共點B，所以B，E，F三點共線．
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