資源簡(jiǎn)介

(共50張PPT)
6.3.2 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
6.3.3 平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示
第六章　平面向量及其應(yīng)用
學(xué)習(xí)指導(dǎo) 核心素養(yǎng)
1.借助平面直角坐標(biāo)系，掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示． 2.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減運(yùn)算． 1.數(shù)學(xué)抽象：平面向量的正交分解及平面向量坐標(biāo)的定義．
2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：平面向量坐標(biāo)的加、減運(yùn)算．
01
必備知識(shí)　落實(shí)
知識(shí)點(diǎn)一　平面向量的坐標(biāo)表示





(1)表示點(diǎn)的坐標(biāo)與表示向量的坐標(biāo)不同，A(x，y)，a＝(x，y).
(2)當(dāng)向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同．

求點(diǎn)和向量坐標(biāo)的常用方法
(1)求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置的坐標(biāo)．
(2)求一個(gè)向量的坐標(biāo)時(shí)，可以首先求出這個(gè)向量的始點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo)．(知識(shí)點(diǎn)二會(huì)講向量的坐標(biāo)運(yùn)算)
　　　　
1．如圖，{e1，e2}是一個(gè)基底，且e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，則向量a的坐標(biāo)為(　　)
A．(1，3) B．(3，1)
C．(－1，－3) D．(－3，－1)
解析：因?yàn)閑1，e2分別是與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量，由題圖可知a＝e1＋3e2，根據(jù)平面向量坐標(biāo)的定義可知a＝(1，3).
√
知識(shí)點(diǎn)二　平面向量加、減的坐標(biāo)表示
設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則有下表：
文字描述 符號(hào)表示
加法 兩個(gè)向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的___ a＋b＝___________________
減法 兩個(gè)向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的___ a－b＝______________________
重要 結(jié)論 一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的_____的坐標(biāo)減去_____的坐標(biāo) 已知A(xA，yA)，B(xB，yB)，
則　 ＝(xB－xA，yB－yA)
和
(x1＋x2，y1＋y2)
差
(x1－x2，y1－y2)
終點(diǎn)
起點(diǎn)

(1)向量的坐標(biāo)只與起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)．
(2)向量平移前后，其坐標(biāo)不變．
√
(1，－1)
(－4，－3)

平面向量加、減坐標(biāo)運(yùn)算的方法
(1)若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算．
(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則必須先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算．
　　　　
1．已知向量a＝(2，4)，a＋b＝(3，2)，則b＝(　　)
A．(1，－2) B．(1，2)
C．(5，6) D．(2，0)
解析：b＝a＋b－a＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2).
√
2．已知點(diǎn)A(－1，－5)，向量a＝(－1，0)，b＝(1，－1)，當(dāng)　 ＝a＋b時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(　　)
A．(2，6) B．(－1，－6)
C．(0，－1) D．(－4，5)
√
02
關(guān)鍵能力　提升

坐標(biāo)形式下向量相等的條件及其應(yīng)用
(1)條件：相等向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等；
(2)應(yīng)用：利用坐標(biāo)形式下向量相等的條件，可以建立相等關(guān)系，由此可以求出某些參數(shù)的值或點(diǎn)的坐標(biāo)．
　　　　 已知點(diǎn)O(0，0)，A(1，2).若B(4，5)，P(1＋3t，2＋3t)，則四邊形OABP能為平行四邊形嗎？若能，求t值；若不能，說(shuō)明理由．
03
課堂鞏固　自測(cè)
√
1.已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，則b－a等于(　　)
A．(－2，1) B．(2，－1)
C．(2，0) D．(4，3)
解析：由題意得b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1).
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(0，4)
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04
課后達(dá)標(biāo)　檢測(cè)
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5．已知四邊形ABCD為平行四邊形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1，2)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(　　)
A．(－7，0) B．(7，6)
C．(6，7) D．(7，－6)
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7．如圖，向量a，b，c的坐標(biāo)分別是________，________，__________．




解析：將各向量分別向i，j所在直線分解，則a＝－4i＋0j，所以a＝(－4，0)；b＝0i＋6j，所以b＝(0，6)；c＝－2i－5j，所以c＝(－2，－5).
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(－4，0)
(0，6)
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[C　拓展沖刺]
15．已知在非平行四邊形ABCD中，AB∥DC，且A，B，D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0，0)，(2，0)，(1，1)，則頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的取值范圍是_________________．

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(1，3)∪(3，＋∞)
16．已知向量u＝(x，y)和向量v＝(y，2y－x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用v＝f(u)表示．
(1)若a＝(1，1)，b＝(1，0)，試求向量f(a)及f(b)的坐標(biāo)；
解：由v＝f(u)可得，當(dāng)u＝(x，y)時(shí)，有v＝(y，2y－x)＝f(u)，從而f(a)＝(1，2×1－1)＝(1，1)，f(b)＝(0，2×0－1)＝(0，－1).
(2)求使f(c)＝(4，5)的向量c的坐標(biāo)．
解：設(shè)c＝(x，y)，則f(c)＝(y，2y－x)＝(4，5)，
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16中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
6．3.2　平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
6．3.3　平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示
學(xué)習(xí)指導(dǎo) 核心素養(yǎng)
1.借助平面直角坐標(biāo)系，掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示． 2.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減運(yùn)算． 1.數(shù)學(xué)抽象：平面向量的正交分解及平面向量坐標(biāo)的定義． 2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：平面向量坐標(biāo)的加、減運(yùn)算．
知識(shí)點(diǎn)一　平面向量的坐標(biāo)表示
(1)表示點(diǎn)的坐標(biāo)與表示向量的坐標(biāo)不同，A(x，y)，a＝(x，y).
(2)當(dāng)向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同．
　如圖，取與x軸，y軸同向的兩個(gè)單位向量i，j，分別用基底{i，j}表示，，并求出它們的坐標(biāo)．
【解】　由題圖得，＝6i＋2j，＝2i＋4j，
所以它們的坐標(biāo)表示分別為＝(6，2)，＝(2，4).
求點(diǎn)和向量坐標(biāo)的常用方法
(1)求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置的坐標(biāo)．
(2)求一個(gè)向量的坐標(biāo)時(shí)，可以首先求出這個(gè)向量的始點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo)．(知識(shí)點(diǎn)二會(huì)講向量的坐標(biāo)運(yùn)算)
1．如圖，{e1，e2}是一個(gè)基底，且e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，則向量a的坐標(biāo)為(　　)
A．(1，3) B．(3，1)
C．(－1，－3) D．(－3，－1)
解析：選A.因?yàn)閑1，e2分別是與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量，由題圖可知a＝e1＋3e2，根據(jù)平面向量坐標(biāo)的定義可知a＝(1，3).
2．已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第二象限，||＝6，∠x(chóng)OA＝150°，則向量的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
解析：設(shè)點(diǎn)A(x，y)，則＝(x，y)，
因?yàn)閤＝||cos 150°＝6cos 150°＝－3，
y＝||sin 150°＝3.
所以點(diǎn)A(－3，3)，
則＝(－3，3).
答案：(－3，3)
知識(shí)點(diǎn)二　平面向量加、減的坐標(biāo)表示
設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則有下表：
文字描述 符號(hào)表示
加法 兩個(gè)向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
減法 兩個(gè)向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差 a－b＝(x1－x2，y1－y2)
重要結(jié)論 一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo) 已知A(xA，yA)，B(xB，yB)，則＝(xB－xA，yB－yA)
(1)向量的坐標(biāo)只與起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)．
(2)向量平移前后，其坐標(biāo)不變．
　(1)已知點(diǎn)A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，則向量＝(　　)
A．(－7，－4) B．(7，4)
C．(－1，4) D．(1，4)
(2)若a＋b＝(－3，－4)，a－b＝(5，2)，則向量a＝________，向量b＝________．
【解析】　(1)方法一：設(shè)C(x，y)，則＝(x，y－1)＝(－4，－3)，
即x＝－4，y＝－2，故C(－4，－2)，
則＝(－7，－4).故選A.
方法二：因?yàn)椋?－3，－1)，所以＝＋＝(－7，－4).故選A.
(2)a＋b＝(－3，－4)，　①
a－b＝(5，2)，　②
由①＋②，得a＝[(－3，－4)＋(5，2)]＝(1，－1)；
由①－②，得b＝[(－3，－4)－(5，2)]＝(－4，－3).
【答案】　(1)A　(2)(1，－1)　(－4，－3)
平面向量加、減坐標(biāo)運(yùn)算的方法
(1)若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算．
(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則必須先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算．
1．已知向量a＝(2，4)，a＋b＝(3，2)，則b＝(　　)
A．(1，－2) B．(1，2)
C．(5，6) D．(2，0)
解析：選A.b＝a＋b－a＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2).
2．已知點(diǎn)A(－1，－5)，向量a＝(－1，0)，b＝(1，－1)，當(dāng)＝a＋b時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(　　)
A．(2，6) B．(－1，－6)
C．(0，－1) D．(－4，5)
解析：選B.因?yàn)閍＝(－1，0)，b＝(1，－1)，
所以a＋b＝(－1，0)＋(1，－1)＝(0，－1).
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x，y)，則＝(x＋1，y＋5)，
所以由已知得(x＋1，y＋5)＝(0，－1)，
所以解得
所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－1，－6).
考點(diǎn)　平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用
　已知點(diǎn)A(2，3)，B(5，4)，＝(5λ，7λ).若＝＋(λ∈R)，試求λ為何值時(shí)，
(1)點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上；
(2)點(diǎn)P在第三象限內(nèi)．
【解】　設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，
則＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，
＋＝(5，4)－(2，3)＋(5λ，7λ)＝(3，1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ).
因?yàn)椋剑遗c不共線，
所以則
(1)若點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上，
則5＋5λ＝4＋7λ，所以λ＝.
(2)若點(diǎn)P在第三象限內(nèi)，則
所以λ<－1.
坐標(biāo)形式下向量相等的條件及其應(yīng)用
(1)條件：相等向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等；
(2)應(yīng)用：利用坐標(biāo)形式下向量相等的條件，可以建立相等關(guān)系，由此可以求出某些參數(shù)的值或點(diǎn)的坐標(biāo)．
已知點(diǎn)O(0，0)，A(1，2).若B(4，5)，P(1＋3t，2＋3t)，則四邊形OABP能為平行四邊形嗎？若能，求t值；若不能，說(shuō)明理由．
解：＝(1，2)，＝－＝(3－3t，3－3t).
若四邊形OABP為平行四邊形，則＝，
所以該方程組無(wú)解．
故四邊形OABP不能為平行四邊形．
1.已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，則b－a等于(　　)
A．(－2，1) B．(2，－1)
C．(2，0) D．(4，3)
解析：選B.由題意得b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1).
2．已知＝(1，3)，且點(diǎn)A(－2，5)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(　　)
A．(1，8) B．(－1，8)
C．(3，2) D．(－3，2)
解析：選B.設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x，y)，則＝(x，y)－(－2，5)＝(x＋2，y－5)＝(1，3)，所以
解得所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－1，8).
3．已知點(diǎn)A(2，1)，B(－2，3)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且＝，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
解析：設(shè)C(x，y)，則＝(x＋2，y－3)，＝(2，1).由＝，得(x＋2，y－3)＝(2，1)，所以x＝0，y＝4，故點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，4).
答案：(0，4)
4．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝，＝，求點(diǎn)M，N及向量的坐標(biāo)．
解：因?yàn)锳(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
所以＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)，
＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3).
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，
因?yàn)椋剑剑?br/>所以(x1＋3，y1＋4)＝(1，8)，(x2＋3，y2＋4)＝(6，3)，
所以x1＝－2，y1＝4，x2＝3，y2＝－1，
所以M(－2，4)，N(3，－1)，
所以＝(3，－1)－(－2，4)＝(5，－5).
[A　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1．如圖，分別取與x軸，y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量i，j，以{i，j}作為基底，若|a|＝，θ＝45°，則向量a的坐標(biāo)為(　　)
A．(1，1) B．(－1，－1)
C．(，) D．(－，－)
解析：選A.由題意，得a＝(cos 45°)i＋(sin 45°)j＝i＋j＝(1，1).
2．如果用i，j分別表示x軸和y軸方向上的單位向量，且A(2，3)，B(4，2)，則可以表示為(　　)
A．2i＋3j B．4i＋2j
C．2i－j D．－2i＋j
解析：選C.記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j.
3．已知A(1，1)，B(－2，2)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則＋＝(　　)
A．(－1，3) B．(3，－1)
C．(1，1) D．(－2，2)
解析：選D.因?yàn)椋?－3，1)，
所以＋＝(－2，2).
4．已知A(－1，2)，B(2，－1)，若點(diǎn)C滿足＋＝0，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(　　)
A． B．(－3，3)
C．(3，－3) D．(－4，5)
解析：選D.設(shè)C(x，y)，由＝(x＋1，y－2)，＝(3，－3)，＋＝0，得x＝－4，y＝5.
5．已知四邊形ABCD為平行四邊形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1，2)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(　　)
A．(－7，0) B．(7，6)
C．(6，7) D．(7，－6)
解析：選D.設(shè)D(x，y)，因?yàn)椋剑?br/>所以(x－5，y＋1)＝(2，－5)，
所以x＝7，y＝－6.所以D(7，－6).
6．(多選)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2，3)，B(－3，4)，如圖所示，x軸、y軸同方向上的兩個(gè)單位向量分別為i和j，則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．＝2i＋3j B．＝3i＋4j
C．＝－5i＋j D．＝5i＋j
解析：選AC.＝2i＋3j，故A正確．＝－3i＋4j，故B錯(cuò)誤．＝－5i＋j，故C正確，＝5i－j，故D錯(cuò)誤．
7．如圖，向量a，b，c的坐標(biāo)分別是________，________，________．
解析：將各向量分別向i，j所在直線分解，則a＝－4i＋0j，所以a＝(－4，0)；b＝0i＋6j，所以b＝(0，6)；c＝－2i－5j，所以c＝(－2，－5).
答案：(－4，0)　(0，6)　(－2，－5)
8．已知向量a＝(2m，m)，b＝(n，－2n)，若a＋b＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為_(kāi)_______．
解析：因?yàn)閍＋b＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
所以解得
所以m－n＝2－5＝－3.
答案：－3
9．若＝(1，1)，＝(0，1)，＋＝(a，b)，則a＋b＝________．
解析：因?yàn)椋剑剑?－1，0)，所以a＝－1，b＝0，所以a＋b＝－1.
答案：－1
10．如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30°角．求點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)以及與的坐標(biāo)．
解：由題知B，D分別是30°角，120°角的終邊與單位圓的交點(diǎn)．設(shè)B(x1，y1)，D(x2，y2).
由三角函數(shù)的定義，
得x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝，
所以B.
x2＝cos 120°＝－，
y2＝sin 120°＝，
所以D.
所以＝，＝.
[B　能力提升]
11．已知向量＝(5，12)，將繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到，則＝(　　)
A．(－5，13) B．(－5，12)
C．(－12，13) D．(－12，5)
解析：選D.過(guò)點(diǎn)A作AA′⊥y軸于點(diǎn)A′，過(guò)點(diǎn)B作BB′⊥x軸于點(diǎn)B′，則△OAA′≌△OBB′，且AA′＝BB′＝5，OA′＝OB′＝12，所以B(－12，5)，所以＝(－12，5)，故選D.
12．對(duì)于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定義m n＝(x1x2，y1y2).已知a＝(2，－4)，且a＋b＝a b，那么向量b＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：選A.設(shè)b＝(x，y)，由新定義及a＋b＝a b，可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，所以2＋x＝2x，y－4＝－4y，解得x＝2，y＝，所以向量b＝.
13．已知A，B(1，4)，且＝(sin α，cos β)，α，β∈，則α＋β＝________．
解析：由題意知＝＝(sin α，cos β)，
所以sin α＝－，cos β＝，
又因?yàn)棣粒隆剩?br/>所以α＝－，β＝或－，
所以α＋β＝或－.
答案：或－
14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1，1)，B(2，3)，C(3，2).
(1)若＝＋，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
(2)若＋＋＝0，求的坐標(biāo)．
解：(1)因?yàn)椋?1，2)，＝(2，1)，
所以＝(1，2)＋(2，1)＝(3，3)，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，3).
(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，
因?yàn)椋?，
又＋＋
＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)
＝(6－3x，6－3y).
所以解得
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，2)，故＝(2，2).
[C　拓展沖刺]
15．已知在非平行四邊形ABCD中，AB∥DC，且A，B，D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0，0)，(2，0)，(1，1)，則頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的取值范圍是________．
解析：當(dāng)ABCD為平行四邊形時(shí)，
則＝＋＝(2，0)＋(1，1)＝(3，1)，故滿足題意的頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的取值范圍是(1，3)∪(3，＋∞).
答案：(1，3)∪(3，＋∞)
16．已知向量u＝(x，y)和向量v＝(y，2y－x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用v＝f(u)表示．
(1)若a＝(1，1)，b＝(1，0)，試求向量f(a)及f(b)的坐標(biāo)；
(2)求使f(c)＝(4，5)的向量c的坐標(biāo)．
解：(1)由v＝f(u)可得，當(dāng)u＝(x，y)時(shí)，有v＝(y，2y－x)＝f(u)，從而f(a)＝(1，2×1－1)＝(1，1)，f(b)＝(0，2×0－1)＝(0，－1).
(2)設(shè)c＝(x，y)，則f(c)＝(y，2y－x)＝(4，5)，
所以解得即c＝(3，4).
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6．3.2　平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
6．3.3　平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示
學(xué)習(xí)指導(dǎo) 核心素養(yǎng)
1.借助平面直角坐標(biāo)系，掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示． 2.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減運(yùn)算． 1.數(shù)學(xué)抽象：平面向量的正交分解及平面向量坐標(biāo)的定義． 2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：平面向量坐標(biāo)的加、減運(yùn)算．
知識(shí)點(diǎn)一　平面向量的坐標(biāo)表示
(1)表示點(diǎn)的坐標(biāo)與表示向量的坐標(biāo)不同，A(x，y)，a＝(x，y).
(2)當(dāng)向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同．
　如圖，取與x軸，y軸同向的兩個(gè)單位向量i，j，分別用基底{i，j}表示，，并求出它們的坐標(biāo)．
求點(diǎn)和向量坐標(biāo)的常用方法
(1)求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置的坐標(biāo)．
(2)求一個(gè)向量的坐標(biāo)時(shí)，可以首先求出這個(gè)向量的始點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo)．(知識(shí)點(diǎn)二會(huì)講向量的坐標(biāo)運(yùn)算)
1．如圖，{e1，e2}是一個(gè)基底，且e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，則向量a的坐標(biāo)為(　　)
A．(1，3) B．(3，1)
C．(－1，－3) D．(－3，－1)
2．已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第二象限，||＝6，∠x(chóng)OA＝150°，則向量的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
知識(shí)點(diǎn)二　平面向量加、減的坐標(biāo)表示
設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則有下表：
文字描述 符號(hào)表示
加法 兩個(gè)向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
減法 兩個(gè)向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差 a－b＝(x1－x2，y1－y2)
重要結(jié)論 一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo) 已知A(xA，yA)，B(xB，yB)，則＝(xB－xA，yB－yA)
(1)向量的坐標(biāo)只與起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)．
(2)向量平移前后，其坐標(biāo)不變．
　(1)已知點(diǎn)A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，則向量＝(　　)
A．(－7，－4) B．(7，4)
C．(－1，4) D．(1，4)
(2)若a＋b＝(－3，－4)，a－b＝(5，2)，則向量a＝________，向量b＝________．
平面向量加、減坐標(biāo)運(yùn)算的方法
(1)若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算．
(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則必須先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算．
1．已知向量a＝(2，4)，a＋b＝(3，2)，則b＝(　　)
A．(1，－2) B．(1，2)
C．(5，6) D．(2，0)
2．已知點(diǎn)A(－1，－5)，向量a＝(－1，0)，b＝(1，－1)，當(dāng)＝a＋b時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(　　)
A．(2，6) B．(－1，－6)
C．(0，－1) D．(－4，5)
考點(diǎn)　平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用
　已知點(diǎn)A(2，3)，B(5，4)，＝(5λ，7λ).若＝＋(λ∈R)，試求λ為何值時(shí)，
(1)點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上；
(2)點(diǎn)P在第三象限內(nèi)．
坐標(biāo)形式下向量相等的條件及其應(yīng)用
(1)條件：相等向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等；
(2)應(yīng)用：利用坐標(biāo)形式下向量相等的條件，可以建立相等關(guān)系，由此可以求出某些參數(shù)的值或點(diǎn)的坐標(biāo)．
已知點(diǎn)O(0，0)，A(1，2).若B(4，5)，P(1＋3t，2＋3t)，則四邊形OABP能為平行四邊形嗎？若能，求t值；若不能，說(shuō)明理由．
1.已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，則b－a等于(　　)
A．(－2，1) B．(2，－1)
C．(2，0) D．(4，3)
2．已知＝(1，3)，且點(diǎn)A(－2，5)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(　　)
A．(1，8) B．(－1，8)
C．(3，2) D．(－3，2)
3．已知點(diǎn)A(2，1)，B(－2，3)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且＝，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
4．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝，＝，求點(diǎn)M，N及向量的坐標(biāo)．
[A　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1．如圖，分別取與x軸，y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量i，j，以{i，j}作為基底，若|a|＝，θ＝45°，則向量a的坐標(biāo)為(　　)
A．(1，1) B．(－1，－1)
C．(，) D．(－，－)
2．如果用i，j分別表示x軸和y軸方向上的單位向量，且A(2，3)，B(4，2)，則可以表示為(　　)
A．2i＋3j B．4i＋2j
C．2i－j D．－2i＋j
3．已知A(1，1)，B(－2，2)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則＋＝(　　)
A．(－1，3) B．(3，－1)
C．(1，1) D．(－2，2)
4．已知A(－1，2)，B(2，－1)，若點(diǎn)C滿足＋＝0，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(　　)
A． B．(－3，3)
C．(3，－3) D．(－4，5)
5．已知四邊形ABCD為平行四邊形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1，2)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(　　)
A．(－7，0) B．(7，6)
C．(6，7) D．(7，－6)
6．(多選)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2，3)，B(－3，4)，如圖所示，x軸、y軸同方向上的兩個(gè)單位向量分別為i和j，則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．＝2i＋3j B．＝3i＋4j
C．＝－5i＋j D．＝5i＋j
7．如圖，向量a，b，c的坐標(biāo)分別是________，________，________．
8．已知向量a＝(2m，m)，b＝(n，－2n)，若a＋b＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為_(kāi)_______．
9．若＝(1，1)，＝(0，1)，＋＝(a，b)，則a＋b＝________．
10．如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30°角．求點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)以及與的坐標(biāo)．
[B　能力提升]
11．已知向量＝(5，12)，將繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到，則＝(　　)
A．(－5，13) B．(－5，12)
C．(－12，13) D．(－12，5)
12．對(duì)于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定義m n＝(x1x2，y1y2).已知a＝(2，－4)，且a＋b＝a b，那么向量b＝(　　)
A． B．
C． D．
13．已知A，B(1，4)，且＝(sin α，cos β)，α，β∈，則α＋β＝________．
14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1，1)，B(2，3)，C(3，2).
(1)若＝＋，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
(2)若＋＋＝0，求的坐標(biāo)．
[C　拓展沖刺]
15．已知在非平行四邊形ABCD中，AB∥DC，且A，B，D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0，0)，(2，0)，(1，1)，則頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的取值范圍是________．
16．已知向量u＝(x，y)和向量v＝(y，2y－x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用v＝f(u)表示．
(1)若a＝(1，1)，b＝(1，0)，試求向量f(a)及f(b)的坐標(biāo)；
(2)求使f(c)＝(4，5)的向量c的坐標(biāo)．
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