資源簡介

(共59張PPT)
6.3.5 平面向量數量積的坐標表示
第六章　平面向量及其應用
學習指導 核心素養
1.掌握平面向量數量積的坐標表示． 2.會根據向量的坐標形式求數量積、模、夾角． 1.數學運算：平面向量數量積的坐標運算及求向量的模及夾角．
2.邏輯推理：利用向量證明垂直問題．
01
必備知識　落實
知識點一　向量數量積的坐標表示
條件 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
坐標表示 a·b＝______________
文字敘述 兩個向量的數量積等于它們對應坐標的__________
x1x2＋y1y2
乘積的和

公式a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉與a·b＝x1x2＋y1y2都是用來求兩向量的數量積的，沒有本質區別，只是書寫形式上的差異，兩者可以相互推導．
　 　已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2).
(1)求a·(a－b)；
【解】　方法一：因為a＝(－1，2)，b＝(3，2)，
所以a－b＝(－4，0).
所以a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
方法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.
(2)求(a＋b)·(2a－b).
【解】　因為a＋b＝(－1，2)＋(3，2)＝(2，4)，
2a－b＝2(－1，2)－(3，2)＝(－2，4)－(3，2)＝(－5，2)，
所以(a＋b)·(2a－b)＝(2，4)·(－5，2)＝2×(－5)＋4×2＝－2.

向量數量積運算的途徑
進行向量的數量積運算，前提是牢記有關的運算法則和運算性質．解題時通常有兩種途徑：一是先將各向量用坐標表示，直接進行數量積運算；二是先利用數量積的運算律將原式展開，再依據已知計算．
　　　　
1．設向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，則向量(a＋2b)·c＝(　　)
A．3 B．0
C．－3 D．－11
解析：依題意可得，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，所以(a＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.
√
2．已知a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，則x＝(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：由題意可得，8a－b＝(6，3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，所以18＋3x＝30，解得x＝4.
√
知識點二　向量數量積的坐標表示的結論
條件 結論
a＝(x，y) |a|＝_______
表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2) |a|＝___________________________
向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) a⊥b ________________________
a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a與b的夾角 cos θ＝ ＝_________________
x1x2＋y1y2＝0
向量垂直與向量平行的條件容易混淆，注意以下特點：
坐標表示 記憶口訣
垂直 a⊥b x1x2＋y1y2＝0 對應相乘和為0
平行 a∥b x1y2－x2y1＝0 交叉相乘差為0
√
√
√
√
　　　　
1．(2022·新高考卷Ⅱ)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，則t＝(　　)
A．－6 B．－5
C．5 D．6
√
2．已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1).若向量a＋b與a垂直，則m＝________．
解析：因為a＝(－1，2)，b＝(m，1)，
所以a＋b＝(－1＋m，2＋1)＝(m－1，3).
又a＋b與a垂直，
所以(a＋b)·a＝0，
即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.
7
02
關鍵能力　提升
5

對于以圖形為背景的向量數量積運算的題目，只需把握圖形的特征，并寫出相應點的坐標即可求解．
√
03
課堂鞏固　自測
√
1.設a＝(1，－2)，b＝(3，1)，c＝(－1，1)，則(a＋b)·(a－c)＝(　　)
A．11 B．5
C．－14 D．10
解析：a＋b＝(4，－1)，a－c＝(2，－3).所以(a＋b)·(a－c)＝4×2＋(－1)×(－3)＝11.故選A.
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課后達標　檢測
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[A　基礎達標]
1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，則k＝(　　)
A．－12 B．－6
C．6 D．12
解析：2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12.
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7．已知a＝(－1，1)，b＝(1，2)，則a·(a＋2b)＝________．
解析：因為a＋2b＝(1，5)，所以a·(a＋2b)＝4.
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14．已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b與c；
解：因為a∥b，所以3x＝4×9，即x＝12.因為a⊥c，所以3×4＋4y＝0，所以y＝－3.故b＝(9，12)，c＝(4，－3).
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16中小學教育資源及組卷應用平臺
6．3.5　平面向量數量積的坐標表示
學習指導 核心素養
1.掌握平面向量數量積的坐標表示． 2.會根據向量的坐標形式求數量積、模、夾角． 1.數學運算：平面向量數量積的坐標運算及求向量的模及夾角． 2.邏輯推理：利用向量證明垂直問題．
知識點一　向量數量積的坐標表示
條件 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
坐標表示 a·b＝x1x2＋y1y2
文字敘述 兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和
公式a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉與a·b＝x1x2＋y1y2都是用來求兩向量的數量積的，沒有本質區別，只是書寫形式上的差異，兩者可以相互推導．
　已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2).
(1)求a·(a－b)；
(2)求(a＋b)·(2a－b).
【解】　(1)方法一：因為a＝(－1，2)，b＝(3，2)，
所以a－b＝(－4，0).
所以a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
方法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.
(2)因為a＋b＝(－1，2)＋(3，2)＝(2，4)，
2a－b＝2(－1，2)－(3，2)＝(－2，4)－(3，2)＝(－5，2)，
所以(a＋b)·(2a－b)＝(2，4)·(－5，2)＝2×(－5)＋4×2＝－2.
向量數量積運算的途徑
進行向量的數量積運算，前提是牢記有關的運算法則和運算性質．解題時通常有兩種途徑：一是先將各向量用坐標表示，直接進行數量積運算；二是先利用數量積的運算律將原式展開，再依據已知計算．
1．設向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，則向量(a＋2b)·c＝(　　)
A．3 B．0
C．－3 D．－11
解析：選C.依題意可得，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，所以(a＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.
2．已知a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，則x＝(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：選C.由題意可得，8a－b＝(6，3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，所以18＋3x＝30，解得x＝4.
知識點二　向量數量積的坐標表示的結論
條件 結論
a＝(x，y) |a|＝
表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2) |a|＝
向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) a⊥b x1x2＋y1y2＝0
a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a與b的夾角 cos θ＝＝
向量垂直與向量平行的條件容易混淆，注意以下特點：
坐標表示 記憶口訣
垂直 a⊥b x1x2＋y1y2＝0 對應相乘和為0
平行 a∥b x1y2－x2y1＝0 交叉相乘差為0
角度1　用坐標法求向量的模
　(1)設平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，則|3a＋b|＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，則|b|等于(　　)
A． B．
C．5 D．25
【解析】　(1)因為a∥b，所以1×y－2×(－2)＝0，
解得y＝－4，從而3a＋b＝(1，2)，|3a＋b|＝.
(2)因為a＝(2，1)，所以a2＝5，
又|a＋b|＝5，
所以(a＋b)2＝50，
即a2＋2a·b＋b2＝50，
所以5＋2×10＋b2＝50，
所以b2＝25，所以|b|＝5.
【答案】　(1)A　(2)C
求向量的模的兩種基本策略
(1)字母表示下的運算
利用|a|2＝a2，將向量的模的運算轉化為向量與向量的數量積的問題．
(2)坐標表示下的運算
若a＝(x，y)，則有|a|＝ .
(2022·高考全國卷乙)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，則|a－b|＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：選D.方法一：由題意知a－b＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝＝5，故選D.
方法二：由題意知|a|＝，|b|＝2，a·b＝2×(－2)＋1×4＝0，所以|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝25，所以|a－b|＝5，故選D.
角度2　用坐標法求非零向量的夾角
　(1)若向量a＝(1，2)，b＝(1，－1)，則2a＋b與a－b的夾角為(　　)
A．－ B．
C． D．
(2)(2021·高考全國卷甲)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb.若a⊥c，則k＝________．
【解析】　(1)因為a＝(1，2)，b＝(1，－1)，
所以2a＋b＝(3，3)，a－b＝(0，3)，
所以cos 〈2a＋b，a－b〉＝＝，
所以〈2a＋b，a－b〉＝.
(2)由題意得c＝(3，1)＋(k，0)＝(3＋k，1)，a·c＝3(3＋k)＋1×1＝10＋3k＝0，得k＝－.
【答案】　(1)C　(2)－
用坐標法求兩個非零向量夾角的一般步驟
(1)利用向量的坐標求出這兩個向量的數量積．
(2)利用公式|a|＝，求出這兩個向量的模．
(3)代入cos θ＝，求出cos θ的值．
(4)根據θ的取值范圍確定θ的值．
1．(2022·新高考卷Ⅱ)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，則t＝(　　)
A．－6 B．－5
C．5 D．6
解析：選C.由題意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因為〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，即＝，即＝3＋t，解得t＝5，故選C.
2．已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1).若向量a＋b與a垂直，則m＝________．
解析：因為a＝(－1，2)，b＝(m，1)，
所以a＋b＝(－1＋m，2＋1)＝(m－1，3).
又a＋b與a垂直，
所以(a＋b)·a＝0，
即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.
答案：7
考點　幾何圖形中的數量積運算
　
在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，點M，N分別在DC，BC上，且DM＝MC，BN＝BC，則·＝________．
【解析】　方法一：·＝·＝0＋×22＋×32＋×0＝5.
方法二：以A為原點，，的方向分別為x軸，y軸的正方向，建立平面直角坐標系(圖略)，則A(0，0)，M(1，2)，N(3，1)，
于是＝(1，2)，＝(3，1)，故·＝5.
【答案】　5
對于以圖形為背景的向量數量積運算的題目，只需把握圖形的特征，并寫出相應點的坐標即可求解．
在△ABC中，B＝90°，AB＝2，D是邊BC上一動點，則·＝(　　)
A．2 B．－2
C．4 D．無法確定
解析：選C.方法一：·＝·(＋)＝2＋·，因為B＝90°，所以·＝0，
所以·＝2＝4.
方法二：以B為原點，以，的方向為x軸，y軸的正方向，建立平面直角坐標系，如圖．
則B(0，0)，A(2，0)，D(0，y).
所以＝(－2，0)，＝(－2，y)，
得·＝(－2，0)·(－2，y)＝4.
1.設a＝(1，－2)，b＝(3，1)，c＝(－1，1)，則(a＋b)·(a－c)＝(　　)
A．11 B．5
C．－14 D．10
解析：選A.a＋b＝(4，－1)，a－c＝(2，－3).所以(a＋b)·(a－c)＝4×2＋(－1)×(－3)＝11.故選A.
2．已知向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，則|a＋b|＝(　　)
A． B．
C．2 D．10
解析：選B.由題意可得a·b＝x·1＋1×(－2)＝x－2＝0，
解得x＝2.
再由a＋b＝(x＋1，－1)＝(3，－1)，
可得|a＋b|＝.
3．已知向量m＝(1，1)，向量n與向量m的夾角為，且m·n＝－1，則|n|＝(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．－2
解析：選B.由題意得|m|＝＝，cos ＝＝＝－，得|n|＝1，故選B.
4．已知點A(0，1)，B(1，－2)，向量＝(4，－1)，求·及||.
解：因為＝(1，－3)，所以·＝1×4＋(－3)×(－1)＝7，＝－＝(4，－1)－(1，－3)＝(3，2)，
所以||＝＝.
[A　基礎達標]
1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，則k＝(　　)
A．－12 B．－6
C．6 D．12
解析：選D.2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12.
2．已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，則a，b夾角的余弦值等于(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：選B.因為a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，所以b＝[a－(a－2b)]＝(1，－2)，所以a·b＝2－8＝－6.設a，b的夾角為θ，因為a·b＝|a||b|·cos θ＝2××cos θ＝10cos θ，所以10cos θ＝－6，所以cos θ＝－.
3．已知a＝(－1，3)，b＝(2，－1)，且(ka＋b)⊥(a－2b)，則k＝(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：選C.由題意知，ka＋b＝(2－k，3k－1)，a－2b＝(－5，5)，且(ka＋b)·(a－2b)＝0，故－5(2－k)＋5(3k－1)＝0，解得k＝.
4．已知平面向量a與b的夾角為60°，a＝(2，0)，|b|＝1，則|a＋2b|＝(　　)
A． B．2
C．4 D．12
解析：選B.因為a＝(2，0)，|b|＝1，
所以|a|＝2，a·b＝2×1×cos 60°＝1.
所以|a＋2b|＝＝2.
5．已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，則△ABC的形狀是(　　)
A．直角三角形 B．銳角三角形
C．鈍角三角形 D．等邊三角形
解析：選A.由題設知＝(8，－4)，＝(2，4)，＝(－6，8)，所以·＝2×8＋(－4)×4＝0，即⊥，所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形．
6．設點A(4，2)，B(a，8)，C(2，a)，O為坐標原點，若四邊形OABC是平行四邊形，則向量與的夾角為(　　)
A． B．
C． D．
解析：選B.因為四邊形OABC是平行四邊形，
所以＝，即(4－0，2－0)＝(a－2，8－a)，
所以a＝6，因為＝(4，2)，＝(2，6)，
設向量與的夾角為θ，
所以cos θ＝＝＝，
又θ∈(0，π)，所以與的夾角為.
7．已知a＝(－1，1)，b＝(1，2)，則a·(a＋2b)＝________．
解析：因為a＋2b＝(1，5)，所以a·(a＋2b)＝4.
答案：4
8．已知a＝(1，2)，b＝(－2，n)，且a⊥b，則|3a＋b|＝________．
解析：因為a⊥b，所以－2＋2n＝0.于是n＝1，因此a＝(1，2)，b＝(－2，1)，所以3a＋b＝(1，7)，故|3a＋b|＝5.
答案：5
9．在OA為邊、OB為對角線的矩形中，＝(－3，1)，＝(－2，k)，則實數k＝________．
解析：如圖所示，由于＝(－3，1)，＝(－2，k)，所以＝－＝(1，k－1).在矩形中，由⊥得·＝0，所以(－3，1)·(1，k－1)＝0，即－3×1＋1×(k－1)＝0，解得k＝4.
答案：4
10．已知a＝(4，3)，b＝(－1，2).
(1)求a與b夾角的余弦值；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求實數λ的值．
解：(1)因為a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，
|a|＝＝5，|b|＝＝，
設a與b的夾角為θ，
所以cos θ＝＝＝.
(2)因為a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，
又(a－λb)⊥(2a＋b)，
所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，所以λ＝.
[B　能力提升]
11．在 ABCD中，已知＝(－4，2)，＝(2，－6)，那么|2＋|＝(　　)
A．5 B．2
C．2 D．
解析：選D.因為＋＝＝(－4，2)，
又＝＋＝(－4，2)＋(－2，6)＝(－3，4)，
所以2＋＝＋(＋)＝(－3，4)＋(－4，2)＝(－7，6)，
所以|2＋|＝＝.
12．(多選)設向量a＝(k，2)，b＝(1，－1)，則下列敘述錯誤的是(　　)
A．若k<－2，則a與b的夾角為鈍角
B．|a|的最小值為2
C．與b共線的單位向量只有一個，為
D．若|a|＝2|b|，則k＝2或－2
解析：選CD.設向量a，b的夾角為θ，
由a＝(k，2)，b＝(1，－1)，
所以cos θ＝.
當k<－2時，cos θ<0且cos θ≠－1，故A正確．
|a|＝，所以|a|的最小值為2，B正確．
與b共線的單位向量有無數個，C錯誤．當|a|＝2|b|時，k＝±2，故D錯誤．
13．若a·b＝39，b＝(12，5)，則a在b上的投影向量是________．
解析：設a，b的夾角為θ，因為b＝(12，5)，所以與b方向相同的單位向量e＝，所以a在b上的投影向量為|a|cos θ e＝e＝3e＝.
答案：
14．已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b與c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夾角的大小．
解：(1)因為a∥b，所以3x＝4×9，即x＝12.因為a⊥c，所以3×4＋4y＝0，所以y＝－3.故b＝(9，12)，c＝(4，－3).
(2)m＝2a－b＝(6，8)－(9，12)＝(－3，－4)，n＝a＋c＝(3，4)＋(4，－3)＝(7，1).
設m，n的夾角為θ，
則cos θ＝＝
＝＝－.
因為θ∈[0，π]，所以θ＝，即m，n的夾角為.
[C　拓展沖刺]
15．(多選)已知四邊形ABCD是邊長為2的正方形，P為平面ABCD內一點，則(＋)·(＋)(　　)
A．有最小值－4 B．有最大值－4
C．無最小值 D．無最大值
解析：選AD.建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，
D(0，2).
設P(x，y)，則＝(－x，－y)，＝(2－x，－y)，＝(2－x，2－y)，＝(－x，2－y)，
所以(＋)·(＋)＝(2－2x，－2y)·(2－2x，4－2y)＝(2－2x)2＋(2y－2)2－4，
當x＝1，y＝1時，(＋)·(＋)取得最小值－4，無最大值．故選AD.
16．如圖，在矩形ABCD中，點E是BC邊上的中點，點F在邊CD上．
(1)若AB＝BC＝2，點F是邊CD上靠近C的三等分點，求·的值；
(2)若AB＝，BC＝2，當·＝0時，求CF的長．
解：建立如圖所示的平面直角坐標系：
(1)因為AB＝BC＝2，點F是邊CD上靠近C的三等分點，E是BC邊上的中點，所以A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(2，1)，D(0，2)，F(，2)；
所以＝(2，1)，＝(－，1).
所以·＝－＋1＝－.
(2)因為AB＝，BC＝2，
所以A(0，0)，B(，0)，E(，1)，C(，2)，D(0，2)，
設F(a，2)，所以＝(，1)，＝(a－，2)，當
·＝0時，(a－)＋2＝0，
解得a＝，
所以CF的長為－＝.
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6．3.5　平面向量數量積的坐標表示
學習指導 核心素養
1.掌握平面向量數量積的坐標表示． 2.會根據向量的坐標形式求數量積、模、夾角． 1.數學運算：平面向量數量積的坐標運算及求向量的模及夾角． 2.邏輯推理：利用向量證明垂直問題．
知識點一　向量數量積的坐標表示
條件 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
坐標表示 a·b＝x1x2＋y1y2
文字敘述 兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和
公式a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉與a·b＝x1x2＋y1y2都是用來求兩向量的數量積的，沒有本質區別，只是書寫形式上的差異，兩者可以相互推導．
　已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2).
(1)求a·(a－b)；
(2)求(a＋b)·(2a－b).
向量數量積運算的途徑
進行向量的數量積運算，前提是牢記有關的運算法則和運算性質．解題時通常有兩種途徑：一是先將各向量用坐標表示，直接進行數量積運算；二是先利用數量積的運算律將原式展開，再依據已知計算．
1．設向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，則向量(a＋2b)·c＝(　　)
A．3 B．0
C．－3 D．－11
2．已知a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，則x＝(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
知識點二　向量數量積的坐標表示的結論
條件 結論
a＝(x，y) |a|＝
表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2) |a|＝
向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) a⊥b x1x2＋y1y2＝0
a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a與b的夾角 cos θ＝＝
向量垂直與向量平行的條件容易混淆，注意以下特點：
坐標表示 記憶口訣
垂直 a⊥b x1x2＋y1y2＝0 對應相乘和為0
平行 a∥b x1y2－x2y1＝0 交叉相乘差為0
角度1　用坐標法求向量的模
　(1)設平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，則|3a＋b|＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，則|b|等于(　　)
A． B．
C．5 D．25
求向量的模的兩種基本策略
(1)字母表示下的運算
利用|a|2＝a2，將向量的模的運算轉化為向量與向量的數量積的問題．
(2)坐標表示下的運算
若a＝(x，y)，則有|a|＝ .
(2022·高考全國卷乙)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，則|a－b|＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
角度2　用坐標法求非零向量的夾角
　(1)若向量a＝(1，2)，b＝(1，－1)，則2a＋b與a－b的夾角為(　　)
A．－ B．
C． D．
(2)(2021·高考全國卷甲)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb.若a⊥c，則k＝________．
用坐標法求兩個非零向量夾角的一般步驟
(1)利用向量的坐標求出這兩個向量的數量積．
(2)利用公式|a|＝，求出這兩個向量的模．
(3)代入cos θ＝，求出cos θ的值．
(4)根據θ的取值范圍確定θ的值．
1．(2022·新高考卷Ⅱ)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，則t＝(　　)
A．－6 B．－5
C．5 D．6
2．已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1).若向量a＋b與a垂直，則m＝________．
考點　幾何圖形中的數量積運算
　
在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，點M，N分別在DC，BC上，且DM＝MC，BN＝BC，則·＝________．
對于以圖形為背景的向量數量積運算的題目，只需把握圖形的特征，并寫出相應點的坐標即可求解．
在△ABC中，B＝90°，AB＝2，D是邊BC上一動點，則·＝(　　)
A．2 B．－2
C．4 D．無法確定
1.設a＝(1，－2)，b＝(3，1)，c＝(－1，1)，則(a＋b)·(a－c)＝(　　)
A．11 B．5
C．－14 D．10
2．已知向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，則|a＋b|＝(　　)
A． B．
C．2 D．10
3．已知向量m＝(1，1)，向量n與向量m的夾角為，且m·n＝－1，則|n|＝(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．－2
4．已知點A(0，1)，B(1，－2)，向量＝(4，－1)，求·及||.
[A　基礎達標]
1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，則k＝(　　)
A．－12 B．－6
C．6 D．12
2．已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，則a，b夾角的余弦值等于(　　)
A．－ B．－
C． D．
3．已知a＝(－1，3)，b＝(2，－1)，且(ka＋b)⊥(a－2b)，則k＝(　　)
A． B．－
C． D．－
4．已知平面向量a與b的夾角為60°，a＝(2，0)，|b|＝1，則|a＋2b|＝(　　)
A． B．2
C．4 D．12
5．已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，則△ABC的形狀是(　　)
A．直角三角形 B．銳角三角形
C．鈍角三角形 D．等邊三角形
6．設點A(4，2)，B(a，8)，C(2，a)，O為坐標原點，若四邊形OABC是平行四邊形，則向量與的夾角為(　　)
A． B．
C． D．
7．已知a＝(－1，1)，b＝(1，2)，則a·(a＋2b)＝________．
8．已知a＝(1，2)，b＝(－2，n)，且a⊥b，則|3a＋b|＝________．
9．在OA為邊、OB為對角線的矩形中，＝(－3，1)，＝(－2，k)，則實數k＝________．
10．已知a＝(4，3)，b＝(－1，2).
(1)求a與b夾角的余弦值；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求實數λ的值．
[B　能力提升]
11．在 ABCD中，已知＝(－4，2)，＝(2，－6)，那么|2＋|＝(　　)
A．5 B．2
C．2 D．
12．(多選)設向量a＝(k，2)，b＝(1，－1)，則下列敘述錯誤的是(　　)
A．若k<－2，則a與b的夾角為鈍角
B．|a|的最小值為2
C．與b共線的單位向量只有一個，為
D．若|a|＝2|b|，則k＝2或－2
13．若a·b＝39，b＝(12，5)，則a在b上的投影向量是________．
14．已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b與c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夾角的大小．
[C　拓展沖刺]
15．(多選)已知四邊形ABCD是邊長為2的正方形，P為平面ABCD內一點，則(＋)·(＋)(　　)
A．有最小值－4 B．有最大值－4
C．無最小值 D．無最大值
16．如圖，在矩形ABCD中，點E是BC邊上的中點，點F在邊CD上．
(1)若AB＝BC＝2，點F是邊CD上靠近C的三等分點，求·的值；
(2)若AB＝，BC＝2，當·＝0時，求CF的長．
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