資源簡介

(共58張PPT)
6.3.4 平面向量數乘運算的坐標表示
第六章　平面向量及其應用
學習指導 核心素養
1.會用坐標表示平面向量的數乘運算． 2.理解用坐標表示的平面向量共線的條件． 1.數學運算：平面向量坐標的數乘運算．
2.邏輯推理：平面向量共線的判定．
01
必備知識　落實
知識點一　向量數乘運算的坐標表示
符號表示 若a＝(x，y)，則λa＝__________
文字表示 實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的__________
(λx，λy)
相應坐標
√
(2)已知向量a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，c＝(2，1)則a＋2b－3c的坐標是____________．
【解析】　因為a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，c＝(2，1)，所以a＋2b－3c＝(－3，2)＋2(－1，0)－3(2，1)＝(－11，－1).
(－11，－1)
平面向量坐標運算的技巧
(1)若已知向量的坐標，則直接應用兩個向量和、差及向量數乘的坐標運算進行運算．
(2)若已知有向線段兩端點的坐標，則可先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算．
(3)向量的線性坐標運算可完全類比實數的運算進行．

1．已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，則
(1)2a＋3b＝________，
解析：2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7).
(2)a－3b＝___________．
解析：a－3b＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1).
(4，7)
(－7，－1)
知識點二　平面向量共線的坐標表示
條件 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0
結論 向量a，b(b≠0)共線的充要條件是________________________
x1y2－x2y1＝0

(1)a∥b(b≠0) a＝λb.這是幾何運算，體現了向量a與b的長度及方向之間的關系．
(2)a∥b(b≠0) x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).這是代數運算，由于不需引進參數λ，從而簡化了運算量．
　 　(1)已知向量a＝(1，－2)，b＝(3，4).若(3a－b)∥(a＋kb)，求k的值；
【解】　3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)，
因為(3a－b)∥(a＋kb)，
所以0－(－10－30k)＝0，

(1)向量共線的判定方法
三點共線問題的實質是向量共線問題．



(2)利用向量的坐標運算求參數
用已知點的坐標和參數表示出該點的坐標，利用點的位置確定其橫、縱坐標應滿足的條件，建立關于參數的方程(組)進行求解．
1．下列各組向量中，共線的是(　　)
A．a＝(－2，3)，b＝(4，6) B．a＝(2，3)，b＝(3，2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7，14) D．a＝(－3，2)，b＝(6，－4)
解析：A選項，(－2)×6－3×4＝－24≠0，
所以a與b不共線；
B選項，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，所以a與b不共線；
C選項，1×14－(－2)×7＝28≠0，所以a與b不共線；
D選項，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，所以a∥b.故選D.
√
2．已知向量a＝(x，2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，則實數x的值為(　　)
A．－3 B．2
C．4 D．－6
解析：因為(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3，1)，a－2b＝(x－6，4)，所以4(x＋3)－(x－6)＝0，解得x＝－6.
√
02
關鍵能力　提升
判斷向量(或三點)共線的3個步驟




√
03
課堂鞏固　自測
√
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√
2．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b＝(　　)
A．(－2，－4)
B．(－3，－6)
C．(－4，－8)
D．(－5，－10)
解析：由a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)，解得m＝－4，所以b＝(－2，－4)，所以2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8).
1
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√
3．已知A，B，C三點共線，且A(3，－6)，B(－5，2)，若C點的橫坐標為6，則C點的縱坐標為(　　)
A．－13 B．9
C．－9 D．13
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04
課后達標　檢測
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√
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2．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x－1，2)，若a∥b，則實數x的值為(　　)
A．2 B．－2
C．3 D．－3
解析：因為a∥b，所以2×2－(－1)×(x－1)＝0，得x＝－3.
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4．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，且c＝λ1a＋λ2b，則λ1，λ2的值分別為(　　)
A．－2，1 B．1，－2
C．2，－1 D．－1，2
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(8，－15)
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[C　拓展沖刺]
15.如圖所示，在四邊形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，則直線AC與BD交點P的坐標為________．
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16．已知a＝(1，0)，b＝(2，1).
(1)當k為何值時，ka－b與a＋2b共線；
解：由已知，得ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，　
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2).
因為ka－b與a＋2b共線，
所以2(k－2)－(－1)×5＝0，

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16中小學教育資源及組卷應用平臺
6．3.4　平面向量數乘運算的坐標表示
學習指導 核心素養
1.會用坐標表示平面向量的數乘運算． 2.理解用坐標表示的平面向量共線的條件． 1.數學運算：平面向量坐標的數乘運算． 2.邏輯推理：平面向量共線的判定．
知識點一　向量數乘運算的坐標表示
符號表示 若a＝(x，y)，則λa＝(λx，λy)
文字表示 實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標
　(1)已知A(2，4)，B(－1，－5)，C(3，－2)，則＋＝(　　)
A．(2，－3) B．(－2，－3)
C．(－2，3) D．(2，3)
(2)已知向量a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，c＝(2，1)則a＋2b－3c的坐標是________．
平面向量坐標運算的技巧
(1)若已知向量的坐標，則直接應用兩個向量和、差及向量數乘的坐標運算進行運算．
(2)若已知有向線段兩端點的坐標，則可先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算．
(3)向量的線性坐標運算可完全類比實數的運算進行．
1．已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，則
(1)2a＋3b＝________，(2)a－3b＝________．
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，＝，則P點的坐標為________．
知識點二　平面向量共線的坐標表示
條件 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0
結論 向量a，b(b≠0)共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0
(1)a∥b(b≠0) a＝λb.這是幾何運算，體現了向量a與b的長度及方向之間的關系．
(2)a∥b(b≠0) x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).這是代數運算，由于不需引進參數λ，從而簡化了運算量．
　(1)已知向量a＝(1，－2)，b＝(3，4).若(3a－b)∥(a＋kb)，求k的值；
(2)已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判斷與是否共線？如果共線，它們的方向相同還是相反？
(1)向量共線的判定方法
三點共線問題的實質是向量共線問題．
(2)利用向量的坐標運算求參數
用已知點的坐標和參數表示出該點的坐標，利用點的位置確定其橫、縱坐標應滿足的條件，建立關于參數的方程(組)進行求解．
1．下列各組向量中，共線的是(　　)
A．a＝(－2，3)，b＝(4，6) B．a＝(2，3)，b＝(3，2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7，14) D．a＝(－3，2)，b＝(6，－4)
2．已知向量a＝(x，2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，則實數x的值為(　　)
A．－3 B．2
C．4 D．－6
考點　向量共線的應用
角度1　三點共線問題
　已知＝(3，4)，＝(7，12)，＝(9，16)，求證：點A，B，C三點共線．
判斷向量(或三點)共線的3個步驟
角度2　線段分點坐標的計算
　已知點A(3，－4)與點B(－1，2)，點P在直線AB上，且||＝2||，求點P的坐標．
　
1．(變條件)若將本例條件“||＝2||”改為“＝3”，其他條件不變，求點P的坐標．
2．(變條件、變設問)若將本例條件改為“經過點P(－2，3)的直線分別交x軸、y軸于點A，B，且||＝3||”，求點A，B的坐標．
求點的坐標時需注意的問題
(1)設P1(x1，y1)，P2(x2，y2).若點P是P1P2的中點時，則P點坐標為.
(2)求線段P1P2上或延長線上的點的坐標時，不必過分強調公式的記憶，可以轉化為向量問題后列出方程組求解，同時要注意分類討論．
1．在△ABC中，A(2，3)，B(8，－4)，點G(2，－1)在中線AD上，且＝2，則點C的坐標是(　　)
A．(－4，2) B．(－4，－2)
C．(4，－2) D．(4，2)
2．已知A(1，－3)，B，C(9，1)，求證：A，B，C三點共線．
　　1．下列各組向量中，共線的是(　　)
A．a＝(－1，2)，b＝
B.a＝，b＝
C．a＝(2，3)，b＝(2，－3)
D．a＝(－3，2)，b＝(3，－2)
2．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b＝(　　)
A．(－2，－4)
B．(－3，－6)
C．(－4，－8)
D．(－5，－10)
3．已知A，B，C三點共線，且A(3，－6)，B(－5，2)，若C點的橫坐標為6，則C點的縱坐標為(　　)
A．－13 B．9
C．－9 D．13
4．已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量與平行嗎？直線AB平行于直線CD嗎？
[A　基礎達標]
1．已知平面向量a＝(－2，0)，b＝(－1，－1)，則a－2b＝(　　)
A．(1，2) B．(－1，－2)
C．(－1，2) D．(1，－2)
2．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x－1，2)，若a∥b，則實數x的值為(　　)
A．2 B．－2
C．3 D．－3
3．已知O為坐標原點，A(－1，3)，B(2，－4)，＝2＋m，若點P在y軸上，則實數m＝(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．－2
4．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，且c＝λ1a＋λ2b，則λ1，λ2的值分別為(　　)
A．－2，1 B．1，－2
C．2，－1 D．－1，2
5．已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，若A，B，C三點共線，則k的值為(　　)
A．－2 B．11
C．－2或11 D．2或11
6．(多選)已知點A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)，給出下面四個結論，其中正確的有(　　)
A．與平行
B．＋＝
C．＋＝
D．＝－2
7．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，則λ＝________．
8．已知向量a＝(2，－3)，b＝(1，2)，p＝(9，4)，若p＝ma＋nb，則m＋n＝________．
9．已知A(－1，2)，B(2，8).若＝，＝－，則的坐標為________．
10．已知向量＝(4，3)，＝(－3，－1)，點A(－1，－2).　
(1)求線段BD的中點M的坐標；
(2)若點P(2，y)滿足＝λ(λ∈R)，求實數λ與y的值．
[B　能力提升]
11．已知三點A(－1，1)，B(0，2)，C(2，0)，若和是相反向量，則D點的坐標是(　　)
A．(1，0) B．(－1，0)
C．(1，－1) D．(－1，1)
12．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三點不能構成三角形，則實數k應滿足的條件是(　　)
A．k＝－2 B．k＝
C．k＝1 D．k＝－1
13．已知A(2，3)，B(4，－3)，點P在線段AB的延長線上，且|AP|＝|BP|，則點P的坐標為________．
14．設A，B，C，D為平面內的四點，且A(1，3)，B(2，－2)，C(4，1).
(1)若＝，求D點的坐標；
(2)設向量a＝，b＝，若ka－b與a＋3b平行，求實數k的值．
[C　拓展沖刺]
15.
如圖所示，在四邊形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，則直線AC與BD交點P的坐標為________．
16．已知a＝(1，0)，b＝(2，1).
(1)當k為何值時，ka－b與a＋2b共線；
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三點共線，求m的值．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
6．3.4　平面向量數乘運算的坐標表示
學習指導 核心素養
1.會用坐標表示平面向量的數乘運算． 2.理解用坐標表示的平面向量共線的條件． 1.數學運算：平面向量坐標的數乘運算． 2.邏輯推理：平面向量共線的判定．
知識點一　向量數乘運算的坐標表示
符號表示 若a＝(x，y)，則λa＝(λx，λy)
文字表示 實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標
　(1)已知A(2，4)，B(－1，－5)，C(3，－2)，則＋＝(　　)
A．(2，－3) B．(－2，－3)
C．(－2，3) D．(2，3)
(2)已知向量a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，c＝(2，1)則a＋2b－3c的坐標是________．
【解析】　(1)因為A(2，4)，B(－1，－5)，C(3，－2)，
所以＝(1，－6)，＝(3，9)，
所以＋＝(2，－3).
(2)因為a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，c＝(2，1)，所以a＋2b－3c＝(－3，2)＋2(－1，0)－3(2，1)＝(－11，－1).
【答案】　(1)A　(2)(－11，－1)
平面向量坐標運算的技巧
(1)若已知向量的坐標，則直接應用兩個向量和、差及向量數乘的坐標運算進行運算．
(2)若已知有向線段兩端點的坐標，則可先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算．
(3)向量的線性坐標運算可完全類比實數的運算進行．
1．已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，則
(1)2a＋3b＝________，(2)a－3b＝________．
解析：(1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7).
(2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1).
答案：(1)(4，7)　(2)(－7，－1)
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，＝，則P點的坐標為________．
解析：設P(x，y)，所以＝(x－3，y＋2)，＝(－8，1)，
由＝得解得
故P.
答案：
知識點二　平面向量共線的坐標表示
條件 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0
結論 向量a，b(b≠0)共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0
(1)a∥b(b≠0) a＝λb.這是幾何運算，體現了向量a與b的長度及方向之間的關系．
(2)a∥b(b≠0) x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).這是代數運算，由于不需引進參數λ，從而簡化了運算量．
　(1)已知向量a＝(1，－2)，b＝(3，4).若(3a－b)∥(a＋kb)，求k的值；
(2)已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判斷與是否共線？如果共線，它們的方向相同還是相反？
【解】　(1)3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)，
因為(3a－b)∥(a＋kb)，
所以0－(－10－30k)＝0，
解得k＝－.
(2)因為＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，
＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)，
因為2×6－3×4＝0，
所以∥，所以與共線．
又＝，所以與的方向相同．
(1)向量共線的判定方法
三點共線問題的實質是向量共線問題．
(2)利用向量的坐標運算求參數
用已知點的坐標和參數表示出該點的坐標，利用點的位置確定其橫、縱坐標應滿足的條件，建立關于參數的方程(組)進行求解．
1．下列各組向量中，共線的是(　　)
A．a＝(－2，3)，b＝(4，6) B．a＝(2，3)，b＝(3，2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7，14) D．a＝(－3，2)，b＝(6，－4)
解析：選D.A選項，(－2)×6－3×4＝－24≠0，
所以a與b不共線；
B選項，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，所以a與b不共線；
C選項，1×14－(－2)×7＝28≠0，所以a與b不共線；
D選項，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，所以a∥b.故選D.
2．已知向量a＝(x，2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，則實數x的值為(　　)
A．－3 B．2
C．4 D．－6
解析：選D.因為(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3，1)，a－2b＝(x－6，4)，所以4(x＋3)－(x－6)＝0，解得x＝－6.
考點　向量共線的應用
角度1　三點共線問題
　已知＝(3，4)，＝(7，12)，＝(9，16)，求證：點A，B，C三點共線．
【證明】　由題意知＝－＝(4，8)，
＝－＝(6，12)，所以＝，
即與共線．
又因為與有公共點A，所以點A，B，C三點共線．
判斷向量(或三點)共線的3個步驟
角度2　線段分點坐標的計算
　已知點A(3，－4)與點B(－1，2)，點P在直線AB上，且||＝2||，求點P的坐標．
【解】　設點P的坐標為(x，y)，
因為||＝2||，
所以當P在線段AB上時，＝2，
所以(x－3，y＋4)＝2(－1－x，2－y)，
所以解得
所以點P的坐標為；
當P在線段AB的延長線上時，＝－2，
所以(x－3，y＋4)＝－2(－1－x，2－y)，
所以解得
所以點P的坐標為(－5，8)，
綜上所述，點P的坐標為或(－5，8).
　
1．(變條件)若將本例條件“||＝2||”改為“＝3”，其他條件不變，求點P的坐標．
解：設點P的坐標為(x，y).
因為＝3，所以(x－3，y＋4)＝3(－1－x，2－y)，
所以解得
所以點P的坐標為.
2．(變條件、變設問)若將本例條件改為“經過點P(－2，3)的直線分別交x軸、y軸于點A，B，且||＝3||”，求點A，B的坐標．
解：由題設知，A，B，P三點共線，
且||＝3||.設A(x，0)，B(0，y).
①點P在A，B之間，則有＝3，
所以(－x，y)＝3(－2－x，3)，
所以解得x＝－3，y＝9，
點A，B的坐標分別為(－3，0)，(0，9).
②點P不在A，B之間，則有＝－3，
易得點A，B的坐標分別為，(0，－9).
綜上，點A，B的坐標分別為(－3，0)，(0，9)或，(0，－9).
求點的坐標時需注意的問題
(1)設P1(x1，y1)，P2(x2，y2).若點P是P1P2的中點時，則P點坐標為.
(2)求線段P1P2上或延長線上的點的坐標時，不必過分強調公式的記憶，可以轉化為向量問題后列出方程組求解，同時要注意分類討論．
1．在△ABC中，A(2，3)，B(8，－4)，點G(2，－1)在中線AD上，且＝2，則點C的坐標是(　　)
A．(－4，2) B．(－4，－2)
C．(4，－2) D．(4，2)
解析：選B.設點C的坐標為(x，y)，則點D的坐標為.由＝2可得4＋x＝0，－2＋y＝－4，解得x＝－4，y＝－2，故點C的坐標為(－4，－2).　
2．已知A(1，－3)，B，C(9，1)，求證：A，B，C三點共線．
證明：＝＝，＝(9－1，1＋3)＝(8，4)，
因為7×4－×8＝0，
所以∥，且，有公共點A，
所以A，B，C三點共線．
　　1．下列各組向量中，共線的是(　　)
A．a＝(－1，2)，b＝
B.a＝，b＝
C．a＝(2，3)，b＝(2，－3)
D．a＝(－3，2)，b＝(3，－2)
解析：選D.選項A中，2×－(－1)×1≠0，則a與b不共線；同理，B，C中的兩向量不共線；選項D中，2×3－(－3)×(－2)＝0，則有a∥b.
2．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b＝(　　)
A．(－2，－4)
B．(－3，－6)
C．(－4，－8)
D．(－5，－10)
解析：選C.由a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)，解得m＝－4，所以b＝(－2，－4)，所以2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8).
3．已知A，B，C三點共線，且A(3，－6)，B(－5，2)，若C點的橫坐標為6，則C點的縱坐標為(　　)
A．－13 B．9
C．－9 D．13
解析：選C.設C(6，y)，因為∥，
又＝(－8，8)，＝(3，y＋6)，
所以－8×(y＋6)－3×8＝0，所以y＝－9.
4．已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量與平行嗎？直線AB平行于直線CD嗎？
解：因為＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，
＝(2－1，7－5)＝(1，2).
又2×2－4×1＝0，
所以∥.
又＝(2，6)，＝(2，4)，
所以2×4－2×6≠0，
所以A，B，C不共線，
所以AB與CD不重合，
所以AB∥CD.
[A　基礎達標]
1．已知平面向量a＝(－2，0)，b＝(－1，－1)，則a－2b＝(　　)
A．(1，2) B．(－1，－2)
C．(－1，2) D．(1，－2)
解析：選A.a－2b＝(－1，0)－(－2，－2)＝(1，2).
2．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x－1，2)，若a∥b，則實數x的值為(　　)
A．2 B．－2
C．3 D．－3
解析：選D.因為a∥b，所以2×2－(－1)×(x－1)＝0，得x＝－3.
3．已知O為坐標原點，A(－1，3)，B(2，－4)，＝2＋m，若點P在y軸上，則實數m＝(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．－2
解析：選B.由已知得＝(2m－2，6－4m)，因為點P在y軸上，所以2m－2＝0，所以m＝1.
4．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，且c＝λ1a＋λ2b，則λ1，λ2的值分別為(　　)
A．－2，1 B．1，－2
C．2，－1 D．－1，2
解析：選D.因為a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，c＝λ1a＋λ2b，所以(3，4)＝λ1(1，2)＋λ2(2，3)＝(λ1＋2λ2，2λ1＋3λ2)，
所以解得λ1＝－1，λ2＝2.故選D.
5．已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，若A，B，C三點共線，則k的值為(　　)
A．－2 B．11
C．－2或11 D．2或11
解析：選C.＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(6，k－5)，由題知∥，故(4－k)(k－5)－(－7)×6＝0，解得k＝11或k＝－2.
6．(多選)已知點A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)，給出下面四個結論，其中正確的有(　　)
A．與平行
B．＋＝
C．＋＝
D．＝－2
解析：選ACD.＝(2，－1)，＝(－2，1)，又2×1－(－1)×(－2)＝0，所以與平行，A正確．＋＝≠，所以B不正確．＋＝(0，2)＝，所以C正確．＝(－4，0)，－2＝(0，2)－(4，2)＝(－4，0)，所以D正確．
7．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，則λ＝________．
解析：2a＋b＝2(1，2)＋(2，－2)＝(4，2)，c＝(1，λ)，由c∥(2a＋b)，得4λ－2＝0，得λ＝.
答案：
8．已知向量a＝(2，－3)，b＝(1，2)，p＝(9，4)，若p＝ma＋nb，則m＋n＝________．
解析：由于p＝ma＋nb，
即(9，4)＝(2m，－3m)＋(n，2n)
＝(2m＋n，－3m＋2n)，
所以解得
所以m＋n＝7.
答案：7
9．已知A(－1，2)，B(2，8).若＝，＝－，則的坐標為________．
解析：＝＝(3，6)＝(1，2)，
＝－＝－(3，6)＝(－2，－4)，
＝＋＝(－1，－2)，
所以＝(1，2).
答案：(1，2)
10．已知向量＝(4，3)，＝(－3，－1)，點A(－1，－2).　
(1)求線段BD的中點M的坐標；
(2)若點P(2，y)滿足＝λ(λ∈R)，求實數λ與y的值．
解：(1)設B(x1，y1)，
因為＝(4，3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)，
所以解得
所以B(3，1).
同理可得D(－4，－3)，設BD的中點M(x2，y2)，
則x2＝＝－，y2＝＝－1，
所以M.
(2)因為＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)，
＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，
又＝λ(λ∈R)，
所以(1，1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以解得
[B　能力提升]
11．已知三點A(－1，1)，B(0，2)，C(2，0)，若和是相反向量，則D點的坐標是(　　)
A．(1，0) B．(－1，0)
C．(1，－1) D．(－1，1)
解析：選C.因為與是相反向量，所以＝－.又＝(1，1)，所以＝(－1，－1).設D(x，y)，則＝(x－2，y)＝(－1，－1).從而x＝1，y＝－1，即D(1，－1).故選C.
12．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三點不能構成三角形，則實數k應滿足的條件是(　　)
A．k＝－2 B．k＝
C．k＝1 D．k＝－1
解析：選C.因為A，B，C三點不能構成三角形，則A，B，C三點共線，則∥，又＝－＝(1，2)，＝－＝(k，k＋1)，所以2k－(k＋1)＝0，即k＝1.
13．已知A(2，3)，B(4，－3)，點P在線段AB的延長線上，且|AP|＝|BP|，則點P的坐標為________．
解析：設P(x，y)，由點P在線段AB的延長線上，則＝，得(x－2，y－3)＝(x－4，y＋3)，
即
解得所以點P的坐標為(8，－15).
答案：(8，－15)
14．設A，B，C，D為平面內的四點，且A(1，3)，B(2，－2)，C(4，1).
(1)若＝，求D點的坐標；
(2)設向量a＝，b＝，若ka－b與a＋3b平行，求實數k的值．
解：(1)設D(x，y)，
則＝(1，－5)，＝(x－4，y－1).
因為＝，
所以(1，－5)＝(x－4，y－1)，
即
解得
所以D點的坐標為(5，－4).
(2)由題意知a＝＝(1，－5)，b＝＝(2，3)，
所以ka－b＝(k－2，－5k－3)，a＋3b＝(7，4).
因為(ka－b)∥(a＋3b)，
所以4(k－2)＝7(－5k－3)，
解得k＝－.
[C　拓展沖刺]
15.
如圖所示，在四邊形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，則直線AC與BD交點P的坐標為________．
解析：設P(x，y)，則＝(x－1，y)，＝(5，4)，＝(－3，6)，＝(4，0).
由B，P，D三點共線可得＝λ＝(5λ，4λ).
又因為＝－＝(5λ－4，4λ)，
由與共線得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.
解得λ＝，所以＝＝，
所以P的坐標為.
答案：
16．已知a＝(1，0)，b＝(2，1).
(1)當k為何值時，ka－b與a＋2b共線；
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三點共線，求m的值．
解：(1)由已知，得ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，　
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2).
因為ka－b與a＋2b共線，
所以2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，解得k＝－.
(2)因為A，B，C三點共線，所以∥.
所以存在實數λ，使得2a＋3b＝λ(a＋mb)＝λa＋λmb.
又a與b不共線，所以
解得m＝.
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