資源簡介

(共38張PPT)
6.4.2 向量在物理中的應(yīng)用舉例
第六章　平面向量及其應(yīng)用
學(xué)習(xí)指導(dǎo) 核心素養(yǎng)
1.會(huì)用向量方法解決物理中的一些問題． 2.體會(huì)向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問題中的作用． 數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用向量方法解決某些簡單的力學(xué)問題及其他一些實(shí)際問題．
01
關(guān)鍵能力　提升
考點(diǎn)一　利用向量解決力與做功問題
　 　已知力F(斜向上)與水平方向的夾角為30°，大小為50 N，一個(gè)質(zhì)量為8 kg的木塊受力F的作用在動(dòng)力摩擦因數(shù)μ＝0.02的水平面上運(yùn)動(dòng)了20 m．問力F和摩擦力f所做的功分別為多少？(g＝10 N/kg)



用向量方法解決物理問題的四個(gè)步驟


速度問題的向量解法
運(yùn)用向量解決物理中的速度問題時(shí)，一般涉及速度的合成與分解，因此應(yīng)充分利用三角形法則與平行四邊形法則將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的向量問題，正確地作出圖形解決問題．
√
60
30°
02
課堂鞏固　自測(cè)
√
1.已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為|s|＝14，F(xiàn)與s的夾角為60°，則F做的功為(　　)
A．7 B．10
C．14 D．70
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課后達(dá)標(biāo)　檢測(cè)
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8．(多選)如圖所示，小船被繩索拉向岸邊，設(shè)船在水中運(yùn)動(dòng)時(shí)水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中，下列說法中正確的是(　　)
A．繩子的拉力不斷增大
B．繩子的拉力不斷變小
C．船的浮力不斷變小
D．船的浮力保持不變
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5中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
6．4.2　向量在物理中的應(yīng)用舉例
學(xué)習(xí)指導(dǎo) 核心素養(yǎng)
1.會(huì)用向量方法解決物理中的一些問題． 2.體會(huì)向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問題中的作用． 數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用向量方法解決某些簡單的力學(xué)問題及其他一些實(shí)際問題．
考點(diǎn)一　利用向量解決力與做功問題
　已知力F(斜向上)與水平方向的夾角為30°，大小為50 N，一個(gè)質(zhì)量為8 kg的木塊受力F的作用在動(dòng)力摩擦因數(shù)μ＝0.02的水平面上運(yùn)動(dòng)了20 m．問力F和摩擦力f所做的功分別為多少？(g＝10 N/kg)
【解】　如圖所示，設(shè)木塊的位移為s，
則WF＝F·s＝|F||s|cos 30°
＝50×20×＝500(J).
將力F分解，它在鉛垂方向上的分力F1的大小為|F1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)，
所以摩擦力f的大小為|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，
因此Wf＝f·s＝|f||s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J).
即F和f所做的功分別為500J和－22 J．
用向量方法解決物理問題的四個(gè)步驟
設(shè)作用于同一點(diǎn)的三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3處于平衡狀態(tài)，若|F1|＝1，|F2|＝2，且F1與F2的夾角為π，如圖所示．
(1)求F3的大??；
(2)求F2與F3的夾角．
解：(1)由題意知，|F3|＝|F1＋F2|，
因?yàn)閨F1|＝1，|F2|＝2，
且F1與F2的夾角為π，
所以|F3|＝|F1＋F2|＝＝.
(2)設(shè)F2與F3的夾角為θ，
因?yàn)镕3＝－(F1＋F2)，
所以F3·F2＝－F1·F2－F2·F2，
所以×2×cos θ＝－1×2×－4＝－3，
所以cos θ＝－，
所以θ＝π.
考點(diǎn)二　利用向量解決速度、位移問題
　一條寬為 km的河，水流速度為2 km/h，在河兩岸有兩個(gè)碼頭A，B，已知AB＝ km，船在水中最大航速為4 km/h，問該船從A碼頭到B碼頭怎樣安排航行速度可使它最快到達(dá)彼岸B碼頭？用時(shí)多少？
【解】　如圖所示，設(shè)為水流速度，為航行速度，以AC和AD為鄰邊作 ACED且當(dāng)AE與AB重合時(shí)能最快到達(dá)彼岸B碼頭，根據(jù)題意AC⊥AE，在Rt△ADE和 ACED中，
||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°，
因?yàn)閟in ∠EAD＝，∠EAD∈(0°，90°)，
所以∠EAD＝30°，∠DAC＝120°.
所以||＝＝2.
又AB＝，所以用時(shí)＝0.5(h).
所以該船的航行速度為4 km/h，與水流方向成120°角時(shí)能最快到達(dá)彼岸B碼頭，用時(shí)0.5 h．
速度問題的向量解法
運(yùn)用向量解決物理中的速度問題時(shí)，一般涉及速度的合成與分解，因此應(yīng)充分利用三角形法則與平行四邊形法則將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的向量問題，正確地作出圖形解決問題．
1．一只鷹正以與水平方向成30°角的方向向下飛行，直撲獵物，太陽光從頭上直照下來，鷹在地面上的影子形成的速度大小是40 m/s，則鷹的飛行速度的大小為(　　)
A． m/s B． m/s
C． m/s D． m/s
解析：選C.如圖，設(shè)鷹在地面上的影子形成的速度＝v1，鷹的飛行速度＝v2，由題可知||＝|v1|＝40，且∠CAB＝30°，則||＝|v2|＝＝.故選C.
2．某人從點(diǎn)O向正東走30 m到達(dá)點(diǎn)A，再向正北走30 m 到達(dá)點(diǎn)B，則此人的位移的大小是________m，方向是北偏東________.
解析：
如圖所示，此人的位移是＝＋，且⊥，
則||＝＝60(m)，
tan ∠BOA＝＝，
所以∠BOA＝60°.
所以的方向?yàn)楸逼珫|30°.
答案：60　30°
1.已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為|s|＝14，F(xiàn)與s的夾角為60°，則F做的功為(　　)
A．7 B．10
C．14 D．70
解析：選D.F做的功為F·s＝|F||s|cos 60°＝10×14×＝70.
2．用兩條等長的繩子懸掛一個(gè)燈具，繩子成120°角，已知燈具的重量為10 N，則每根繩子的拉力大小為______N．
解析：如圖，由題意，得∠AOC＝∠COB＝60°，||＝10，
則||＝||＝10，即每根繩子的拉力大小為10 N.
答案：10
3．河水自西向東流動(dòng)的速度的大小為10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在靜水中的速度的大小為10 km/h，求小船的實(shí)際航行速度．
解：設(shè)a，b分別表示水流速度和小船在靜水中的速度，過平面內(nèi)一點(diǎn)O作＝a，＝b，以，為鄰邊作矩形OACB，連接，如圖，則＝a＋b，且即為小船的實(shí)行航行速度．
所以||＝＝
＝20(km/h).
因?yàn)閠an ∠AOC＝＝，
所以∠AOC＝60°.
所以小船的實(shí)際航行速度大小為20 km/h，按北偏東30°的方向航行．
[A　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1．某人在無風(fēng)條件下騎自行車的速度為v1，風(fēng)速為v2(|v1|>|v2|)，則逆風(fēng)行駛的速度的大小為(　　)
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D．
解析：選C.題目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是實(shí)數(shù)．故逆風(fēng)行駛的速度的大小為|v1|－|v2|.
2．一艘船以4 km/h的速度與水流方向成120°的方向航行．已知河水流速為2 km/h，則經(jīng)過 h，船的實(shí)際航程為(　　)
A．2 km B．6 km
C．2 km D．8 km
解析：選B.設(shè)船的速度為a，水的速度為b，則船的實(shí)際航行速度為a＋b，則(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×4×2×(－)＋4＝12，|a＋b|＝2 km/h，即船的實(shí)際航程為2×＝6 km.故選B.
3.
甲、乙兩人同時(shí)用力，拉起一個(gè)有繩相縛的物體處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖，當(dāng)甲、乙所拉著的繩子與鉛垂線分別成30°、60°的角時(shí)，甲和乙的手上所承受的力之比是(　　)
A．1∶ B．∶1
C．1∶ D．∶1
解析：選D.由題意知，F(xiàn)甲·cos 60°＝F乙·cos 30°，所以＝＝，故F甲∶F乙＝∶1.
4．已知一物體在共點(diǎn)力F1＝(2，2)，F(xiàn)2＝(3，1)的作用下產(chǎn)生位移s＝，則這兩個(gè)共點(diǎn)力對(duì)物體做的總功為________．
解析：合力F＝F1＋F2＝(5，3)，其所做的功W＝F·s＝＋＝7.
答案：7
5．如圖，已知兩個(gè)力的大小和方向，則合力的大小為________N；若在圖示坐標(biāo)系中，用坐標(biāo)表示合力，則合力的坐標(biāo)為________．
解析：因?yàn)镕1＝(2，3)，F(xiàn)2＝(3，1)，
所以合力F＝F1＋F2＝(2，3)＋(3，1)＝(5，4)，
所以合力的大小為＝(N).
答案：　(5，4)
6．已知兩恒力F1＝(3，4)，F(xiàn)2＝(6，－5)作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使之由點(diǎn)A(20，15)移動(dòng)到點(diǎn)B(7，0).　
(1)求力F1，F(xiàn)2分別對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功；
(2)求力F1，F(xiàn)2的合力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功．
解：(1)＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)，
力F1對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功
W1＝F1·＝(3，4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，
力F2對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功
W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J).
所以力F1，F(xiàn)2對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功分別為－99 J和－3 J.
(2)合力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功W＝F·＝(F1＋F2)·
＝[(3，4)＋(6，－5)]·(－13，－15)
＝(9，－1)·(－13，－15)
＝9×(－13)＋(－1)×(－15)
＝－117＋15＝－102(J).
所以合力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功為－102 J．
[B　能力提升]
7．河中水流以每小時(shí)10 km的速度自西向東流，小船自南岸A點(diǎn)出發(fā)，想要沿直線駛向正北岸的B點(diǎn)，并使它的實(shí)際速度達(dá)到每小時(shí)10 km，該小船行駛的方向和靜水速度分別為(　　)
A．西偏北30°，速度為20 km/h
B．北偏西30°，速度為20 km/h
C．西偏北30°，速度為20 km/h
D．北偏西30°，速度為20 km/h
解析：選B.如圖，設(shè)水流速度為，靜水速度為，實(shí)際速度為，則四邊形ACBD是平行四邊形，∠BAC＝90°，AB＝10，AC＝BD＝10，所以tan ∠BAD＝＝，
所以∠BAD＝30°，AD＝＝20，所以小船行駛的方向?yàn)楸逼?0°，速度為20 km/h，故選B.
8．(多選)如圖所示，小船被繩索拉向岸邊，設(shè)船在水中運(yùn)動(dòng)時(shí)水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中，下列說法中正確的是(　　)
A．繩子的拉力不斷增大
B．繩子的拉力不斷變小
C．船的浮力不斷變小
D．船的浮力保持不變
解析：選AC.設(shè)水的阻力為f，繩的拉力為F，F(xiàn)與水平方向夾角為θ(0<θ<).
則|F|cos θ＝|f|，所以|F|＝.
因?yàn)棣仍龃?，cos θ減小，所以|F|增大．
因?yàn)閨F|sin θ增大，且|F|sin θ加上浮力等于船的重力，所以船的浮力減小．
9．一個(gè)物體受到平面上的三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3的作用處于平衡狀態(tài)，已知F1，F(xiàn)2成60°角，且|F1|＝3N，|F2|＝4 N，則F1與F3夾角的余弦值是________．
解析：因?yàn)槲矬w處于平衡狀態(tài)，
所以F1＋F2＋F3＝0.
因此F3＝－(F1＋F2)，
于是|F3|＝
＝
＝＝.
設(shè)F1與F3的夾角是θ，
又F2＝－(F1＋F3)，
所以|F2|＝
＝
＝＝4，
解得cos θ＝－.
答案：－
10．已知e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，今有動(dòng)點(diǎn)P從P0(－1，2)開始，沿著與向量e1＋e2相同的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度的大小為|e1＋e2| m/s；另一動(dòng)點(diǎn)Q從Q0(－2，－1)開始，沿著與向量3e1＋2e2相同的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度的大小為|3e1＋2e2| m/s.設(shè)P，Q在t＝0 s時(shí)分別在P0，Q0處，問當(dāng)⊥P0Q0時(shí)，所需的時(shí)間t為多少？
解：e1＋e2＝(1，1)，|e1＋e2|＝，其單位向量為
；3e1＋2e2＝(3，2)，|3e1＋2e2|＝，
其單位向量為.
依題意知|P0P|＝t，|Q0Q|＝t，
所以P0P＝|P0P|＝(t，t)，
Q0Q＝|Q0Q|＝(3t，2t).
由P0(－1，2)，Q0(－2，－1)，
得P(t－1，t＋2)，Q(3t－2，2t－1)，
所以P0Q0＝(－1，－3)，＝(2t－1，t－3).
因?yàn)椤蚉0Q0，
所以P0Q0·＝0，
即2t－1＋3t－9＝0，解得t＝2.
即當(dāng)⊥P0Q0時(shí)所需的時(shí)間為2 s．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
6．4.2　向量在物理中的應(yīng)用舉例
學(xué)習(xí)指導(dǎo) 核心素養(yǎng)
1.會(huì)用向量方法解決物理中的一些問題． 2.體會(huì)向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問題中的作用． 數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用向量方法解決某些簡單的力學(xué)問題及其他一些實(shí)際問題．
考點(diǎn)一　利用向量解決力與做功問題
　已知力F(斜向上)與水平方向的夾角為30°，大小為50 N，一個(gè)質(zhì)量為8 kg的木塊受力F的作用在動(dòng)力摩擦因數(shù)μ＝0.02的水平面上運(yùn)動(dòng)了20 m．問力F和摩擦力f所做的功分別為多少？(g＝10 N/kg)
用向量方法解決物理問題的四個(gè)步驟
設(shè)作用于同一點(diǎn)的三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3處于平衡狀態(tài)，若|F1|＝1，|F2|＝2，且F1與F2的夾角為π，如圖所示．
(1)求F3的大??；
(2)求F2與F3的夾角．
考點(diǎn)二　利用向量解決速度、位移問題
　一條寬為 km的河，水流速度為2 km/h，在河兩岸有兩個(gè)碼頭A，B，已知AB＝ km，船在水中最大航速為4 km/h，問該船從A碼頭到B碼頭怎樣安排航行速度可使它最快到達(dá)彼岸B碼頭？用時(shí)多少？
速度問題的向量解法
運(yùn)用向量解決物理中的速度問題時(shí)，一般涉及速度的合成與分解，因此應(yīng)充分利用三角形法則與平行四邊形法則將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的向量問題，正確地作出圖形解決問題．
1．一只鷹正以與水平方向成30°角的方向向下飛行，直撲獵物，太陽光從頭上直照下來，鷹在地面上的影子形成的速度大小是40 m/s，則鷹的飛行速度的大小為(　　)
A． m/s B． m/s
C． m/s D． m/s
2．某人從點(diǎn)O向正東走30 m到達(dá)點(diǎn)A，再向正北走30 m 到達(dá)點(diǎn)B，則此人的位移的大小是________m，方向是北偏東________.
1.已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為|s|＝14，F(xiàn)與s的夾角為60°，則F做的功為(　　)
A．7 B．10
C．14 D．70
2．用兩條等長的繩子懸掛一個(gè)燈具，繩子成120°角，已知燈具的重量為10 N，則每根繩子的拉力大小為______N．
3．河水自西向東流動(dòng)的速度的大小為10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在靜水中的速度的大小為10 km/h，求小船的實(shí)際航行速度．
[A　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1．某人在無風(fēng)條件下騎自行車的速度為v1，風(fēng)速為v2(|v1|>|v2|)，則逆風(fēng)行駛的速度的大小為(　　)
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D．
2．一艘船以4 km/h的速度與水流方向成120°的方向航行．已知河水流速為2 km/h，則經(jīng)過 h，船的實(shí)際航程為(　　)
A．2 km B．6 km
C．2 km D．8 km
3.
甲、乙兩人同時(shí)用力，拉起一個(gè)有繩相縛的物體處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖，當(dāng)甲、乙所拉著的繩子與鉛垂線分別成30°、60°的角時(shí)，甲和乙的手上所承受的力之比是(　　)
A．1∶ B．∶1
C．1∶ D．∶1
4．已知一物體在共點(diǎn)力F1＝(2，2)，F(xiàn)2＝(3，1)的作用下產(chǎn)生位移s＝，則這兩個(gè)共點(diǎn)力對(duì)物體做的總功為________．
5．如圖，已知兩個(gè)力的大小和方向，則合力的大小為________N；若在圖示坐標(biāo)系中，用坐標(biāo)表示合力，則合力的坐標(biāo)為________．
6．已知兩恒力F1＝(3，4)，F(xiàn)2＝(6，－5)作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使之由點(diǎn)A(20，15)移動(dòng)到點(diǎn)B(7，0).　
(1)求力F1，F(xiàn)2分別對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功；
(2)求力F1，F(xiàn)2的合力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功．
[B　能力提升]
7．河中水流以每小時(shí)10 km的速度自西向東流，小船自南岸A點(diǎn)出發(fā)，想要沿直線駛向正北岸的B點(diǎn)，并使它的實(shí)際速度達(dá)到每小時(shí)10 km，該小船行駛的方向和靜水速度分別為(　　)
A．西偏北30°，速度為20 km/h
B．北偏西30°，速度為20 km/h
C．西偏北30°，速度為20 km/h
D．北偏西30°，速度為20 km/h
8．(多選)如圖所示，小船被繩索拉向岸邊，設(shè)船在水中運(yùn)動(dòng)時(shí)水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中，下列說法中正確的是(　　)
A．繩子的拉力不斷增大
B．繩子的拉力不斷變小
C．船的浮力不斷變小
D．船的浮力保持不變
9．一個(gè)物體受到平面上的三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3的作用處于平衡狀態(tài)，已知F1，F(xiàn)2成60°角，且|F1|＝3N，|F2|＝4 N，則F1與F3夾角的余弦值是________．
10．已知e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，今有動(dòng)點(diǎn)P從P0(－1，2)開始，沿著與向量e1＋e2相同的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度的大小為|e1＋e2| m/s；另一動(dòng)點(diǎn)Q從Q0(－2，－1)開始，沿著與向量3e1＋2e2相同的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度的大小為|3e1＋2e2| m/s.設(shè)P，Q在t＝0 s時(shí)分別在P0，Q0處，問當(dāng)⊥P0Q0時(shí)，所需的時(shí)間t為多少？
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