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(共52張PPT)
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1課時(shí)　余弦定理
第六章　平面向量及其應(yīng)用
學(xué)習(xí)指導(dǎo) 核心素養(yǎng)
1.借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系，掌握余弦定理、正弦定理． 2.能用余弦定理、正弦定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題． 1.邏輯推理：正、余弦定理及三角形的面積公式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)．
2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用正、余弦定理求解三角形的邊、角等問(wèn)題．
3.數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用正、余弦定理解決生產(chǎn)實(shí)踐中的有關(guān)距離、高度、角度等問(wèn)題．
01
必備知識(shí)　落實(shí)
知識(shí)點(diǎn)一　余弦定理
文字語(yǔ)言 三角形中任何一邊的_____，等于其他兩邊__________減去這兩邊與它們夾角的__________________
符號(hào)語(yǔ)言 a2＝______________________
b2＝______________________
c2＝______________________
平方
平方的和
余弦的積的兩倍
b2＋c2－2bc cos A
a2＋c2－2ac cos B
a2＋b2－2ab cos C

余弦定理的三個(gè)等式中，每一個(gè)都包含四個(gè)不同的量，它們是三角形的三邊和一個(gè)角，知道其中的三個(gè)量，代入等式，就可以求出第四個(gè)量．
3

已知兩邊及一角解三角形的兩種情況
(1)若已知角是其中一邊的對(duì)角，可用余弦定理列出關(guān)于第三邊的一元二次方程求解．
(2)若已知角是兩邊的夾角，則直接運(yùn)用余弦定理求出另外一邊，再用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理求其他角．
√
1或2
知識(shí)點(diǎn)二　余弦定理的推論
1．推論：在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，
則cos A＝
cos B＝_______________，
cos C＝_______________．
2．解三角形
一般地，三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的_____．已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形．
元素
√
√

已知三角形的三邊解三角形的方法
先利用余弦定理的推論求出一個(gè)角的余弦，從而求出第一個(gè)角；再利用余弦定理的推論求出第二個(gè)角；最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角．
[注意]　若已知三角形三邊的比例關(guān)系，常根據(jù)比例的性質(zhì)引入k，從而轉(zhuǎn)化為“已知三邊解三角形”的問(wèn)題．
√
02
關(guān)鍵能力　提升
判斷三角形形狀的基本思想和兩條思路


　　 　　 在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，則△ABC一定是(　　)
A．銳角三角形 B．鈍角三角形
C．直角三角形 D．等邊三角形
解析：在△ABC中，因?yàn)锳＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，所以b＝c.結(jié)合A＝60°可得△ABC一定是等邊三角形．故選D.
√
03
課堂鞏固　自測(cè)
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04
課后達(dá)標(biāo)　檢測(cè)
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8．已知a，b，c為△ABC的三邊，B＝120°，則a2＋c2＋ac－b2＝________.
解析：因?yàn)閎2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－2ac cos 120°＝a2＋c2＋ac，所以a2＋c2＋ac－b2＝0.
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13．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若A＝60°，2a＝b＋c，則△ABC的形狀一定是(　　)
A．直角三角形 B．鈍角三角形
C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
√
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解析：在△ABC中，因?yàn)锳＝60°，2a＝b＋c，
所以(b＋c)2＝b2＋2bc＋c2＝4a2.
又b2＋c2－a2＝2bc cos A，
所以3a2－2bc＝2bc cos A＝bc，
所以a2＝bc，所以(b－c)2＝0，
則b＝c，所以a＝b＝c，故△ABC是等邊三角形．
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16中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
6．4.3　余弦定理、正弦定理
學(xué)習(xí)指導(dǎo) 核心素養(yǎng)
1.借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系，掌握余弦定理、正弦定理． 2.能用余弦定理、正弦定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題． 1.邏輯推理：正、余弦定理及三角形的面積公式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)． 2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用正、余弦定理求解三角形的邊、角等問(wèn)題． 3.數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用正、余弦定理解決生產(chǎn)實(shí)踐中的有關(guān)距離、高度、角度等問(wèn)題．
第1課時(shí)　余弦定理
知識(shí)點(diǎn)一　余弦定理
文字語(yǔ)言 三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍
符號(hào)語(yǔ)言 a2＝b2＋c2－2bc__cos__A
b2＝a2＋c2－2ac__cos__B
c2＝a2＋b2－2ab__cos__C
余弦定理的三個(gè)等式中，每一個(gè)都包含四個(gè)不同的量，它們是三角形的三邊和一個(gè)角，知道其中的三個(gè)量，代入等式，就可以求出第四個(gè)量．
　(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，則a＝________．
(2)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a＝，c＝2，cos A＝，則b＝________．
　(變條件)將本例(2)中的條件a＝，c＝2，cos A＝改為a＝2，c＝2，cos A＝，求b為何值？
已知兩邊及一角解三角形的兩種情況
(1)若已知角是其中一邊的對(duì)角，可用余弦定理列出關(guān)于第三邊的一元二次方程求解．
(2)若已知角是兩邊的夾角，則直接運(yùn)用余弦定理求出另外一邊，再用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理求其他角．
1．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a＝3，c＝2，A＋C＝，則b＝(　　)
A． B．6
C．7 D．8
2．已知△ABC中，AB＝，BC＝1，A＝30°，則AC＝________．
知識(shí)點(diǎn)二　余弦定理的推論
1．推論：在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，則cos A＝，cos B＝，
cos C＝．
2．解三角形
一般地，三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形．
　(1)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c.若a＝2，b＝3，c＝，則C＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a∶b∶c＝4∶5∶6，則其最大內(nèi)角的余弦值為(　　)
A． B．
C． D．
已知三角形的三邊解三角形的方法
先利用余弦定理的推論求出一個(gè)角的余弦，從而求出第一個(gè)角；再利用余弦定理的推論求出第二個(gè)角；最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角．
[注意]　若已知三角形三邊的比例關(guān)系，常根據(jù)比例的性質(zhì)引入k，從而轉(zhuǎn)化為“已知三邊解三角形”的問(wèn)題．
在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a＝7，b＝4，c＝，則△ABC的最小角為(　　)
A． B．
C． D．
考點(diǎn)　判斷三角形的形狀
　在△ABC中，若a cos B＋a cos C＝b＋c，試判斷該三角形的形狀．
判斷三角形形狀的基本思想和兩條思路
在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，則△ABC一定是(　　)
A．銳角三角形 B．鈍角三角形
C．直角三角形 D．等邊三角形
1.在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，則A等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．75°
2．在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，則c等于(　　)
A． B．8
C．10 D．7
3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知a＝1，b＝2，C＝，則△ABC是(　　)
A.等腰直角三角形 B．鈍角三角形
C．銳角三角形 D．直角三角形
4．在△ABC中，a＝3，b＝3，B＝30°，解這個(gè)三角形．
[A　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝，b＝2，c＝5，則A的大小為(　　)
A．30° B．60°
C．45° D．90°
2．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a＝3，b＝2，cos (A＋B)＝，則c＝(　　)
A．4 B．
C．3 D．
3．在△ABC中，已知a＝2，則b cos C＋c cos B＝(　　)
A．1 B．
C．2 D．4
4．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，則角B的大小是(　　)
A．45° B．60°
C．90° D．135°
5．在△ABC中，cos B＝(a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊)，則△ABC的形狀為(　　)
A．直角三角形
B．等邊三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
6．(多選)在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，則c的值為(　　)
A．4 B．8
C．4或6 D．無(wú)解
7．在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝，則AB＝________．
8．已知a，b，c為△ABC的三邊，B＝120°，則a2＋c2＋ac－b2＝________.
9．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a，b，c滿足b2＝ac，且c＝2a，則cos B＝________．
10．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知sin C＝，a＝2，b＝2，求c.
[B　能力提升]
11．(多選)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且bA．b＝2 B．b＝2
C．B＝60° D．B＝30°
12．若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，則ab的值為(　　)
A． B．8－4
C．1 D．
13．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若A＝60°，2a＝b＋c，則△ABC的形狀一定是(　　)
A．直角三角形 B．鈍角三角形
C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
14．已知A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，其所對(duì)的邊分別為a，b，c，且2cos2＋cosA＝0.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求c的值．
[C　拓展沖刺]
15．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知cos C＋cos A＝1，則cos B的取值范圍為(　　)
A．(，＋∞) B．[，＋∞)
C．(，1) D．[，1)
16．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.
(1)求A的大小；
(2)若b＋c＝2a＝2，試判斷△ABC的形狀．
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6．4.3　余弦定理、正弦定理
學(xué)習(xí)指導(dǎo) 核心素養(yǎng)
1.借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系，掌握余弦定理、正弦定理． 2.能用余弦定理、正弦定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題． 1.邏輯推理：正、余弦定理及三角形的面積公式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)． 2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用正、余弦定理求解三角形的邊、角等問(wèn)題． 3.數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用正、余弦定理解決生產(chǎn)實(shí)踐中的有關(guān)距離、高度、角度等問(wèn)題．
第1課時(shí)　余弦定理
知識(shí)點(diǎn)一　余弦定理
文字語(yǔ)言 三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍
符號(hào)語(yǔ)言 a2＝b2＋c2－2bc__cos__A
b2＝a2＋c2－2ac__cos__B
c2＝a2＋b2－2ab__cos__C
余弦定理的三個(gè)等式中，每一個(gè)都包含四個(gè)不同的量，它們是三角形的三邊和一個(gè)角，知道其中的三個(gè)量，代入等式，就可以求出第四個(gè)量．
　(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，則a＝________．
(2)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a＝，c＝2，cos A＝，則b＝________．
【解析】　(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝32＋(2)2－2×3×2cos 30°＝3，
所以a＝.
(2)由余弦定理得5＝22＋b2－2×2b cos A，
因?yàn)閏os A＝，所以3b2－8b－3＝0，
所以b＝3.
【答案】　(1)　(2)3
　(變條件)將本例(2)中的條件a＝，c＝2，cos A＝改為a＝2，c＝2，cos A＝，求b為何值？
解：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
所以22＝b2＋(2)2－2×b×2×，
即b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4.
所以b的值為2或4.
已知兩邊及一角解三角形的兩種情況
(1)若已知角是其中一邊的對(duì)角，可用余弦定理列出關(guān)于第三邊的一元二次方程求解．
(2)若已知角是兩邊的夾角，則直接運(yùn)用余弦定理求出另外一邊，再用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理求其他角．
1．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a＝3，c＝2，A＋C＝，則b＝(　　)
A． B．6
C．7 D．8
解析：選A.因?yàn)锳＋C＝，
所以B＝π－(A＋C)＝.
因?yàn)閍＝3，c＝2，
所以由余弦定理可得b＝
＝＝.
2．已知△ABC中，AB＝，BC＝1，A＝30°，則AC＝________．
解析：因?yàn)锳B＝c＝，BC＝a＝1，cos A＝，
所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，
得1＝b2＋3－3b，
解得b＝1或b＝2，則AC＝1或AC＝2.
答案：1或2
知識(shí)點(diǎn)二　余弦定理的推論
1．推論：在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，則cos A＝，cos B＝，
cos C＝．
2．解三角形
一般地，三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形．
　(1)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c.若a＝2，b＝3，c＝，則C＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a∶b∶c＝4∶5∶6，則其最大內(nèi)角的余弦值為(　　)
A． B．
C． D．
【解析】　(1)因?yàn)閍＝2，b＝3，c＝，所以cos C＝＝＝.因?yàn)镃∈(0，π)，所以C＝.故選C.
(2)根據(jù)題意，設(shè)a＝4k，b＝5k，c＝6k，k>0，且最大角為C，所以cos C＝＝＝.故選A.
【答案】　(1)C　(2)A
已知三角形的三邊解三角形的方法
先利用余弦定理的推論求出一個(gè)角的余弦，從而求出第一個(gè)角；再利用余弦定理的推論求出第二個(gè)角；最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角．
[注意]　若已知三角形三邊的比例關(guān)系，常根據(jù)比例的性質(zhì)引入k，從而轉(zhuǎn)化為“已知三邊解三角形”的問(wèn)題．
在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a＝7，b＝4，c＝，則△ABC的最小角為(　　)
A． B．
C． D．
解析：選B.因?yàn)閏所以最小角為角C.
所以cos C＝＝＝，
又C∈(0，π)，
所以C＝.故選B.
考點(diǎn)　判斷三角形的形狀
　在△ABC中，若a cos B＋a cos C＝b＋c，試判斷該三角形的形狀．
【解】　由a cos B＋a cos C＝b＋c并結(jié)合余弦定理，
得a·＋a·＝b＋c，
即＋＝b＋c，
整理得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
因?yàn)閎＋c≠0，
所以a2＝b2＋c2，
故△ABC是直角三角形．
判斷三角形形狀的基本思想和兩條思路
在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，則△ABC一定是(　　)
A．銳角三角形 B．鈍角三角形
C．直角三角形 D．等邊三角形
解析：選D.在△ABC中，因?yàn)锳＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，所以b＝c.結(jié)合A＝60°可得△ABC一定是等邊三角形．故選D.
1.在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，則A等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析：選C.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
所以cos A＝＝＝，
又A為△ABC的內(nèi)角，
所以A＝60°.
2．在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，則c等于(　　)
A． B．8
C．10 D．7
解析：選D.由余弦定理得c＝
＝＝7.
3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知a＝1，b＝2，C＝，則△ABC是(　　)
A.等腰直角三角形 B．鈍角三角形
C．銳角三角形 D．直角三角形
解析：選D.因?yàn)閍＝1，b＝2，C＝，
由余弦定理可得，
c2＝a2＋b2－2ab cos C＝1＋4－2×1×2×＝3.
因?yàn)閍2＋c2＝b2，則△ABC為直角三角形．故選D.
4．在△ABC中，a＝3，b＝3，B＝30°，解這個(gè)三角形．
解：由余弦定理得b2＝c2＋a2－2ca cos B，
即c2－9c＋18＝0，解得c＝3或c＝6.
當(dāng)c＝3時(shí)，cos A＝＝－，
因?yàn)?°所以A＝120°，
故C＝180°－120°－30°＝30°；
當(dāng)c＝6時(shí)，cos A＝＝，
因?yàn)?°所以A＝60°，故C＝180°－60°－30°＝90°.
綜上所述，A＝60°，C＝90°，c＝6或A＝120°，C＝30°，c＝3.　
[A　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝，b＝2，c＝5，則A的大小為(　　)
A．30° B．60°
C．45° D．90°
解析：選B.由余弦定理，得cos A＝＝＝，又0°2．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a＝3，b＝2，cos (A＋B)＝，則c＝(　　)
A．4 B．
C．3 D．
解析：選D.cos C＝－cos (A＋B)＝－.
又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C
＝9＋4－2×3×2×(－)＝17，所以c＝.
3．在△ABC中，已知a＝2，則b cos C＋c cos B＝(　　)
A．1 B．
C．2 D．4
解析：選C.b cos C＋c cos B＝b·＋c·＝＝a＝2.
4．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，則角B的大小是(　　)
A．45° B．60°
C．90° D．135°
解析：選A.因?yàn)閍2＝b2－c2＋ac，所以a2＋c2－b2＝ac，
由余弦定理，得cos B＝＝＝，
又0°5．在△ABC中，cos B＝(a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊)，則△ABC的形狀為(　　)
A．直角三角形
B．等邊三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
解析：選A.cos B＝，由余弦定理得＝，整理得b2＋a2＝c2，即C為直角，則△ABC為直角三角形．
6．(多選)在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，則c的值為(　　)
A．4 B．8
C．4或6 D．無(wú)解
解析：選AB.由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.
7．在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝，則AB＝________．
解析：在△ABC中，因?yàn)锳＝60°，AC＝2，BC＝，設(shè)AB＝x，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A，化簡(jiǎn)得x2－2x＋1＝0，所以x＝1，即AB＝1.
答案：1
8．已知a，b，c為△ABC的三邊，B＝120°，則a2＋c2＋ac－b2＝________.
解析：因?yàn)閎2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－2ac cos 120°＝a2＋c2＋ac，所以a2＋c2＋ac－b2＝0.
答案：0
9．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a，b，c滿足b2＝ac，且c＝2a，則cos B＝________．
解析：因?yàn)閎2＝ac，且c＝2a，所以cos B＝＝＝.
答案：
10．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知sin C＝，a＝2，b＝2，求c.
解：因?yàn)閟in C＝，且0所以C＝或C＝.
當(dāng)C＝時(shí)，cos C＝，
此時(shí)c2＝a2＋b2－2ab cos C＝4，所以c＝2.
當(dāng)C＝時(shí)，cos C＝－，
此時(shí)c2＝a2＋b2－2ab cos C＝28，所以c＝2.
綜上所述，c的值為2或2.
[B　能力提升]
11．(多選)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且bA．b＝2 B．b＝2
C．B＝60° D．B＝30°
解析：選AD.由a2＝b2＋c2－2bc cos A，得4＝b2＋12－6b b2－6b＋8＝0 (b－2)(b－4)＝0，
由b12．若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，則ab的值為(　　)
A． B．8－4
C．1 D．
解析：選A.由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(a＋b)2－2ab－2ab cos C，
得(a＋b)2－c2＝2ab(1＋cos C)＝2ab(1＋cos 60°)＝3ab＝4，
所以ab＝.
13．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若A＝60°，2a＝b＋c，則△ABC的形狀一定是(　　)
A．直角三角形 B．鈍角三角形
C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
解析：選C.在△ABC中，因?yàn)锳＝60°，2a＝b＋c，
所以(b＋c)2＝b2＋2bc＋c2＝4a2.
又b2＋c2－a2＝2bc cos A，
所以3a2－2bc＝2bc cos A＝bc，
所以a2＝bc，所以(b－c)2＝0，
則b＝c，所以a＝b＝c，故△ABC是等邊三角形．
14．已知A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，其所對(duì)的邊分別為a，b，c，且2cos2＋cosA＝0.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求c的值．
解：(1)因?yàn)閏os A＝2cos2－1，2cos2＋cosA＝0，
所以2cos A＋1＝0，所以cos A＝－，
又0°(2)由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bc cos A.
又a＝2，b＝2，cos A＝－，
所以(2)2＝22＋c2－2×2×c×，
化簡(jiǎn)，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去).
[C　拓展沖刺]
15．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知cos C＋cos A＝1，則cos B的取值范圍為(　　)
A．(，＋∞) B．[，＋∞)
C．(，1) D．[，1)
解析：選D.由cos C＋cos A＝1及余弦定理，得×＋×＝＝1，所以b2＝ac，所以cos B＝＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)取等號(hào)，又B為三角形的內(nèi)角，所以≤cos B<1.故選D.
16．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.
(1)求A的大小；
(2)若b＋c＝2a＝2，試判斷△ABC的形狀．
解：(1)因?yàn)?a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
所以a2＝b2＋c2－bc，
而a2＝b2＋c2－2bc cos A，
所以2cos A＝1，所以cos A＝.
因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＝.
(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cos A，且a＝，
所以()2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc.　①
又因?yàn)閎＋c＝2，與①聯(lián)立，解得bc＝3，
所以所以b＝c＝，
所以△ABC為等邊三角形．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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