資源簡介

(共53張PPT)
第3課時　用余弦、正弦定理解三角形
第六章　平面向量及其應用
01
必備知識　落實
√
√
02
關鍵能力　提升

解三角形綜合問題的方法
三角形中的綜合應用問題常常把正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、三角恒等變換等知識聯系在一起，解答此類題目，首先要正確應用所學知識“翻譯”題目條件，然后根據題目條件和要求選擇正弦或余弦定理求解．

多邊形中計算問題的解題思路
(1)正確挖掘圖形中的幾何條件，簡化運算是解題要點，還要善于應用正弦定理、余弦定理．只需通過解三角形，一般問題便能很快解決．
(2)解決此類問題的關鍵是仔細觀察，發現圖形中較隱蔽的幾何條件．
03
課堂鞏固　自測
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課后達標　檢測
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[C　拓展沖刺]
15．如圖，為測量A，C兩點間的距離，選取同一平面上的B，D兩點，測出四邊形ABCD各邊的長度(單位：km)為AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，若A，B，C，D四點共圓，則AC的長為(　　)
A．5 km B．6 km
C．7 km D．8 km
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16中小學教育資源及組卷應用平臺
第3課時　用余弦、正弦定理解三角形
知識點　三角形的面積公式
(1)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分別表示邊a，b，c上的高).
(2)S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B.
(3)S＝(a＋b＋c)·r(r為△ABC內切圓的半徑).
　(1)(多選)若△ABC的面積為，且b＝2，c＝，則A的值為(　　)
A．30° B．60°
C．150° D．120°
(2)在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，則△ABC的面積為________．
三角形面積計算的解題思路
對于此類問題，一般用公式S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B進行求解，可分為以下兩種情況：
(1)若所給圖形為多邊形，可通過作輔助線或其他途徑構造三角形，轉化為求三角形的面積．
(2)若所給條件為邊角關系，則需要運用正、余弦定理求出某兩邊及夾角，再利用三角形面積公式進行求解．
1．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，又知a＝1，A＝60°，c＝，則△ABC的面積為________．
2．在△ABC中，若a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，則b＝________.
考點一　正、余弦定理與三角形面積公式的綜合應用
　在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＋b＝5，c＝，且c cos A＋a＝b.
(1)求C的大小；
(2)求△ABC的面積．
解三角形綜合問題的方法
三角形中的綜合應用問題常常把正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、三角恒等變換等知識聯系在一起，解答此類題目，首先要正確應用所學知識“翻譯”題目條件，然后根據題目條件和要求選擇正弦或余弦定理求解．
已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＝2，cos B＝.
(1)若b＝4，求sin A的值；
(2)若△ABC的面積S△ABC＝4，求b，c的值．
考點二　正、余弦定理在幾何圖形中的應用
　已知四邊形ABCD的內角A與C互補，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.
(1)求C和BD；
(2)求四邊形ABCD的面積．
多邊形中計算問題的解題思路
(1)正確挖掘圖形中的幾何條件，簡化運算是解題要點，還要善于應用正弦定理、余弦定理．只需通過解三角形，一般問題便能很快解決．
(2)解決此類問題的關鍵是仔細觀察，發現圖形中較隱蔽的幾何條件．
如圖，在△ABC中，B＝45°，AC＝8，D是BC邊上一點，DC＝5，DA＝7，求AB的長．
1.在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝4，b＝3，C＝60°，則△ABC的面積為(　　)
A．3 B．3
C．6 D．6
2．已知銳角三角形ABC的面積為3，BC＝4，CA＝3，則角C的大小為(　　)
A．75° B．60°
C．45° D．30°
3．已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且(a＋b)2－c2＝4，C＝120°，則△ABC的面積為(　　)
A． B．
C． D．2
4．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若c＝，b＝1，C＝120°.
(1)求角B；
(2)求△ABC的面積S.
[A　基礎達標]
1．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列關系式中一定成立的是(　　)
A．a＞b sin A B．a＝b sin A
C．a＜b sin A D．a≥b sin A
2．若三角形的兩邊長為3和5，其夾角的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，則該三角形的面積是(　　)
A．6 B．
C．8 D．10
3．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若A＝30°，a＝b＝2，則△ABC的面積為(　　)
A．1 B．
C．2 D．2
4．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，則C＝(　　)
A． B．
C． D．
5．已知△ABC的周長為20，面積為10，A＝60°，則BC邊的長為(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
6．(多選)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，則△ABC的面積可以是(　　)
A． B．1
C． D．
7．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若B＝，a＝，sin2B＝2sinA sin C，則△ABC的面積S＝________.　
8．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a sin A·sin B＋b cos2A＝2a，則＝________．
9．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若sin B＝2sin A，且△ABC的面積為a2sin B，則cos B＝________．
10．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，角C是鈍角，且sin B＝.
(1)求角C的值；
(2)若b＝2，△ABC的面積為，求c的值．
[B　能力提升]
11．在銳角三角形ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若sin A＝，a＝2，△ABC的面積S△ABC＝，則b的值為(　　)
A． B．
C．2 D．2
12．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b sin 2A＋a sin B＝0，b＝c，則的值為(　　)
A．1 B．
C． D．
13．已知△ABC的三個內角滿足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，則邊BC上的中線AD的長為________．
14．已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，tan A＝－，a＝2，b＝2.
(1)求c；
(2)設D為BC邊上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積．
[C　拓展沖刺]
15．如圖，為測量A，C兩點間的距離，選取同一平面上的B，D兩點，測出四邊形ABCD各邊的長度(單位：km)為AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，若A，B，C，D四點共圓，則AC的長為(　　)
A．5 km B．6 km
C．7 km D．8 km
16．如圖所示，在四邊形ABCD中，D＝2B，且AD＝1，CD＝3，cos B＝.
(1)求△ACD的面積；
(2)若BC＝2，求AB的長．
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第3課時　用余弦、正弦定理解三角形
知識點　三角形的面積公式
(1)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分別表示邊a，b，c上的高).
(2)S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B.
(3)S＝(a＋b＋c)·r(r為△ABC內切圓的半徑).
　(1)(多選)若△ABC的面積為，且b＝2，c＝，則A的值為(　　)
A．30° B．60°
C．150° D．120°
(2)在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，則△ABC的面積為________．
【解析】　(1)由S△ABC＝bc sin A＝，
得 sin A＝，sin A＝，
由0°(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，
即c2＋5c－24＝0，
解得c＝3或c＝－8(舍去).
所以S△ABC＝ac sin B＝×5×3sin 120°＝.
【答案】　(1)BD　(2)
三角形面積計算的解題思路
對于此類問題，一般用公式S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B進行求解，可分為以下兩種情況：
(1)若所給圖形為多邊形，可通過作輔助線或其他途徑構造三角形，轉化為求三角形的面積．
(2)若所給條件為邊角關系，則需要運用正、余弦定理求出某兩邊及夾角，再利用三角形面積公式進行求解．
1．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，又知a＝1，A＝60°，c＝，則△ABC的面積為________．
解析：由正弦定理得＝，
即＝，
解得sin C＝.又c＜a，所以C＜A，且0°＜C＜180°，所以C＝30°，故B＝90°，
所以S＝ac＝×1×＝.
答案：
2．在△ABC中，若a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，則b＝________.
解析：因為cos C＝，所以C∈(0°，90°)，
所以sin C＝＝，
又S△ABC＝ab sin C＝×3×b×＝4，
所以b＝2.
答案：2
考點一　正、余弦定理與三角形面積公式的綜合應用
　在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＋b＝5，c＝，且c cos A＋a＝b.
(1)求C的大小；
(2)求△ABC的面積．
【解】　(1)由正弦定理，得sin C cos A＋sin A＝sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C，
即sin A＝sin A cos C，
因為sin A≠0，所以cos C＝，
又C∈(0，π)，所以C＝.
(2)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C，
即7＝a2＋b2－ab，
所以7＝(a＋b)2－3ab＝25－3ab，故ab＝6，
所以S△ABC＝ab sin C＝×6×＝，
故△ABC的面積為.
解三角形綜合問題的方法
三角形中的綜合應用問題常常把正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、三角恒等變換等知識聯系在一起，解答此類題目，首先要正確應用所學知識“翻譯”題目條件，然后根據題目條件和要求選擇正弦或余弦定理求解．
已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＝2，cos B＝.
(1)若b＝4，求sin A的值；
(2)若△ABC的面積S△ABC＝4，求b，c的值．
解：(1)因為cos B＝，
所以sin B＝＝，
在△ABC中，由正弦定理得＝，
即＝，所以sin A＝＝.
(2)因為S△ABC＝ac sin B＝4，
所以×2×c×＝4，
解得c＝5.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝4＋25－2×2×5×＝17，
所以b＝，
綜上，b＝，c＝5.
考點二　正、余弦定理在幾何圖形中的應用
　已知四邊形ABCD的內角A與C互補，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.
(1)求C和BD；
(2)求四邊形ABCD的面積．
【解】　(1)連接BD(圖略)，則由題設及余弦定理得，
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos C＝13－12cos C，①
BD2＝AB2＋DA2－2AB·DA cos A＝5＋4cos C．②
由①②得cos C＝，故C＝60°，BD＝.
(2)四邊形ABCD的面積
S＝AB·DA sin A＋BC·CD sin C
＝sin 60°＝2.
多邊形中計算問題的解題思路
(1)正確挖掘圖形中的幾何條件，簡化運算是解題要點，還要善于應用正弦定理、余弦定理．只需通過解三角形，一般問題便能很快解決．
(2)解決此類問題的關鍵是仔細觀察，發現圖形中較隱蔽的幾何條件．
如圖，在△ABC中，B＝45°，AC＝8，D是BC邊上一點，DC＝5，DA＝7，求AB的長．
解：因為DC＝5，DA＝7，AC＝8，
所以由余弦定理得cos ∠ADC＝＝，
因此cos ∠ADB＝－，所以sin ∠ADB＝，
又B＝45°，DA＝7，
由正弦定理，可得＝，
所以AB＝＝＝4.
1.在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝4，b＝3，C＝60°，則△ABC的面積為(　　)
A．3 B．3
C．6 D．6
解析：選B.△ABC的面積為ab sin C＝×4×3×＝3，故選B.
2．已知銳角三角形ABC的面積為3，BC＝4，CA＝3，則角C的大小為(　　)
A．75° B．60°
C．45° D．30°
解析：選B.由三角形的面積公式及題設可得，
3＝×4×3×sin C，所以sin C＝，
因為△ABC為銳角三角形，所以C＝60°.
3．已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且(a＋b)2－c2＝4，C＝120°，則△ABC的面積為(　　)
A． B．
C． D．2
解析：選C.將c2＝a2＋b2－2ab cos C與(a＋b)2－c2＝4聯立，解得ab＝4，所以S△ABC＝ab sin C＝.
4．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若c＝，b＝1，C＝120°.
(1)求角B；
(2)求△ABC的面積S.
解：(1)由正弦定理＝，得sin B＝＝，
因為在△ABC中，b(2)因為A＋B＋C＝180°，
所以A＝180°－120°－30°＝30°.
所以S＝bc sin A＝.
[A　基礎達標]
1．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列關系式中一定成立的是(　　)
A．a＞b sin A B．a＝b sin A
C．a＜b sin A D．a≥b sin A
解析：選D.由正弦定理＝，得a＝.
在△ABC中，因為0＜sin B≤1，所以≥1，
所以a≥b sin A．
2．若三角形的兩邊長為3和5，其夾角的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，則該三角形的面積是(　　)
A．6 B．
C．8 D．10
解析：選A.解方程5x2－7x－6＝0，得x＝－或x＝2(舍去).設三角形邊長為3，5的兩邊的夾角為α，則cos α＝－，sin α＝，故該三角形的面積S＝×3×5×＝6.
3．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若A＝30°，a＝b＝2，則△ABC的面積為(　　)
A．1 B．
C．2 D．2
解析：選B.在△ABC中，A＝30°，a＝b＝2，由等腰三角形的性質可得，A＝B＝30°，
則C＝180－30°－30°＝120°，
所以S△ABC＝ab sin C＝×2×2×＝.
4．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，則C＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：選C.由＝和3sin A＝5sin B，得3a＝5b，即b＝a，又b＋c＝2a，所以c＝a，所以由余弦定理，得cos C＝＝－，所以C＝，故選C.
5．已知△ABC的周長為20，面積為10，A＝60°，則BC邊的長為(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：選C.設△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，由題設a＋b＋c＝20，bc sin 60°＝10，
所以bc＝40.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos 60°＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120.
所以a＝7.即BC邊的長為7.
6．(多選)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，則△ABC的面積可以是(　　)
A． B．1
C． D．
解析：選AD.因為AB＝，AC＝1，B＝，
又由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，
所以BC2－3BC＋2＝0，
所以BC＝1或BC＝2，
因為S△ABC＝·AB·BC·sin B，
所以S△ABC＝或S△ABC＝.
7．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若B＝，a＝，sin2B＝2sinA sin C，則△ABC的面積S＝________.　
解析：由sin2B＝2sinA sin C及正弦定理，
得b2＝2ac.①
又B＝，所以a2＋c2＝b2.②
聯立①②解得a＝c＝，
所以S＝××＝3.
答案：3
8．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a sin A·sin B＋b cos2A＝2a，則＝________．
解析：由已知及正弦定理，得sin2A·sinB＋sin B cos2A＝2sinA，即sin B(sin2A＋cos2A)＝2sinA，所以sin B＝2sin A，所以b＝2a，即＝2.
答案：2
9．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若sin B＝2sin A，且△ABC的面積為a2sin B，則cos B＝________．
解析：由sin B＝2sin A，得b＝2a，由△ABC的面積為a2sin B，得ac sin B＝a2sin B，由sin B≠0，
知c＝2a，
所以由余弦定理得cos B＝＝＝.
答案：
10．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，角C是鈍角，且sin B＝.
(1)求角C的值；
(2)若b＝2，△ABC的面積為，求c的值．
解：(1)由sin B＝得2c sin B＝b，
由正弦定理得2sin C sin B＝sin B，
所以sin B(2sin C－1)＝0.
因為sin B≠0，
所以sin C＝.
因為C是鈍角，所以C＝.
(2)由S＝ab sin C＝a＝，
得a＝2，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C
＝12＋4－2×2×2×(－)＝28，
解得c＝2，即c的值為2.
[B　能力提升]
11．在銳角三角形ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若sin A＝，a＝2，△ABC的面積S△ABC＝，則b的值為(　　)
A． B．
C．2 D．2
解析：選A.因為S△ABC＝，所以bc sin A＝bc·＝，所以bc＝3.①
因為sin A＝，A∈，所以cos A＝＝. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得(b＋c)2＝a2＋2bc(1＋cos A)＝4＋6×＝12，所以b＋c＝2.②
由①②得b＝c＝.
12．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b sin 2A＋a sin B＝0，b＝c，則的值為(　　)
A．1 B．
C． D．
解析：選D. 由b sin 2A＋a sin B＝0，結合正弦定理，可得
sin B sin 2A＋sin A sin B＝0，
即2sin B sin A cos A＋sin A sin B＝0，
由于sin B sin A≠0，所以cos A＝－，
因為0＜A＜π，所以A＝.
又b＝c，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A
＝3c2＋c2＋3c2＝7c2，
即a2＝7c2，所以＝.
13．已知△ABC的三個內角滿足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，則邊BC上的中線AD的長為________．
解析：由2B＝A＋C及A＋B＋C＝π知，B＝.
在△ABD中，AB＝1，BD＝＝2，
所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos ＝3.
因此AD＝.
答案：
14．已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，tan A＝－，a＝2，b＝2.
(1)求c；
(2)設D為BC邊上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積．
解：(1)因為tan A＝－，所以A＝.
在△ABC中，由余弦定理，得28＝4＋c2－4c cos ，
即c2＋2c－24＝0.
解得c＝－6(舍去)或c＝4.
(2)由題設可得∠CAD＝，
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.
故△ABD面積與△ACD面積的比值為＝1.
又△ABC的面積為×4×2sin ∠BAC＝2，
所以△ABD的面積為.
[C　拓展沖刺]
15．如圖，為測量A，C兩點間的距離，選取同一平面上的B，D兩點，測出四邊形ABCD各邊的長度(單位：km)為AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，若A，B，C，D四點共圓，則AC的長為(　　)
A．5 km B．6 km
C．7 km D．8 km
解析：選C. 因為A，B，C，D四點共圓，圓內接四邊形的對角和為π，所以B＋D＝π.
由余弦定理可得AC2＝52＋32－2×5×3×cos D＝34－30 cos D，
AC2＝52＋82－2×5×8×cos B＝89－80cos B.
因為B＋D＝π，所以cos B＝－cos D，
所以＝－，
所以AC＝7.
16．如圖所示，在四邊形ABCD中，D＝2B，且AD＝1，CD＝3，cos B＝.
(1)求△ACD的面積；
(2)若BC＝2，求AB的長．
解：(1)因為D＝2B，cos B＝，
所以cos D＝cos 2B＝2cos2B－1＝－.
因為D∈(0，π)，
所以sinD＝＝.
因為AD＝1，CD＝3，
所以△ACD的面積為S＝AD·CD·sinD＝×1×3×＝.
(2)在△ACD中，由余弦定理，得AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos D＝12，所以AC＝2.
因為BC＝2，
由正弦定理得＝，
所以＝＝＝，
所以AB＝4.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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