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,平面向量中的最值與范圍
[學生用書P32]
　　　　　　　　　　　　　　
平面向量中的范圍、最值問題是熱點問題，也是難點問題，此類問題綜合性強，體現了知識的交匯組合，其基本題型是根據已知條件求某個變量的范圍、最值，比如向量的模、數量積、向量的夾角、系數的范圍等等，解題思路是建立目標函數解析式，轉化為求函數的最值．
類型一　向量數量積的最值與范圍
　在邊長為1的正方形ABCD中，M為邊BC的中點，點E在線段AB上運動，則·的取值范圍是(　　)
A． B．
C． D．[0，1]
類型二　向量模的最值與范圍
　(1)已知||＝10，||＝7，則||的取值范圍是________．
(2)向量a，b滿足|a|＝1，a與b的夾角為，則|a－b|的最小值為________．
類型三　向量夾角的最值與范圍
　已知向量a，b滿足a＝(t，2－t)，|b|＝1，且(a－b)⊥b，則a，b的夾角的最小值為(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　
A． B．
C． D．
類型四　向量線性運算中的最值與范圍
　如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，動點P在邊BC上，且滿足＝m＋n(m，n均為正實數)，求＋的最小值．
1．已知向量m＝(a－1，1)，n＝(2－b，2)(a>0，b>0)，若m∥n，則m·n的取值范圍是(　　)
A．[2，＋∞) B．(0，＋∞)
C．[2，4) D．(2，4)
2．已知點A(4，3)和B(1，2)，O為坐標原點，則|＋t|(t∈R)的最小值為(　　)
A．5 B．5
C．3 D．
3.
如圖，在△ABC中，點D是線段BC上的動點，且＝x＋y，則＋的最小值為(　　)
A．3 B．4
C．5 D．9
4．已知M是邊長為1的正三角形ABC的邊AC上的動點，N為AB的中點，則·的取值范圍是(　　)
A． B．
C． D．
5．已知向量a＝(5，5)，b＝(λ，1)，若a＋b與a－b的夾角是銳角，則實數λ的取值范圍是________．
6．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A，B，C三點滿足＝＋.已知A(1，sin x)，B(1＋sin x，sin x)，x∈(0，π)，且函數f(x)＝·＋||的最小值為，求實數m的值．
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培優點1　平面向量中的最值與范圍
第六章　平面向量及其應用
平面向量中的范圍、最值問題是熱點問題，也是難點問題，此類問題綜合性強，體現了知識的交匯組合，其基本題型是根據已知條件求某個變量的范圍、最值，比如向量的模、數量積、向量的夾角、系數的范圍等等，解題思路是建立目標函數解析式，轉化為求函數的最值．
√
[3，17]
√

1．已知向量m＝(a－1，1)，n＝(2－b，2)(a>0，b>0)，若m∥n，則m·n的取值范圍是(　　)
A．[2，＋∞) B．(0，＋∞)
C．[2，4) D．(2，4)
解析：因為m∥n，所以2a－2＝2－b，所以2a＋b＝4，所以b＝4－2a>0，所以0√
√
√
√
(－7，1)∪(1，7)
2
1
D
C
M
-1
A
E
B
2
X
-1
D
C
P
A
B
A
B
D
C
B
N
A
0
M C
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平面向量中的最值與范圍
平面向量中的范圍、最值問題是熱點問題，也是難點問題，此類問題綜合性強，體現了知識的交匯組合，其基本題型是根據已知條件求某個變量的范圍、最值，比如向量的模、數量積、向量的夾角、系數的范圍等等，解題思路是建立目標函數解析式，轉化為求函數的最值．
類型一　向量數量積的最值與范圍
　在邊長為1的正方形ABCD中，M為邊BC的中點，點E在線段AB上運動，則·的取值范圍是(　　)
A． B．
C． D．[0，1]
【解析】　將正方形放入如圖所示的平面直角坐標系中，
設E(x，0)，0≤x≤1.
則M，C，
所以＝，
＝(1－x，1)，
所以·＝·(1－x，1)＝(1－x)2＋.
因為0≤x≤1，所以≤(1－x)2＋≤，
即·的取值范圍是.
【答案】　C
類型二　向量模的最值與范圍
　(1)已知||＝10，||＝7，則||的取值范圍是________．
(2)向量a，b滿足|a|＝1，a與b的夾角為，則|a－b|的最小值為________．
【解析】　(1)|||－|||≤||≤||＋||，
即|10－7|≤||≤10＋7，
即3≤||≤17.
(2)|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
＝1－2×1×|b|cos ＋|b|2
＝|b2|－|b|＋1＝＋≥，
所以|a－b|≥，當|b|＝時取得最小值．
【答案】　(1)[3，17]　(2)
類型三　向量夾角的最值與范圍
　已知向量a，b滿足a＝(t，2－t)，|b|＝1，且(a－b)⊥b，則a，b的夾角的最小值為(　　)
A． B．
C． D．
【解析】　因為(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝0，
即a·b＝b2，cos 〈a，b〉＝＝＝＝＝，
又因為2t2－4t＋8＝2[(t－)2＋2]
≥2[(－)2＋2]＝4，
所以0所以a，b的夾角的最小值為.
【答案】　C
類型四　向量線性運算中的最值與范圍
　如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，動點P在邊BC上，且滿足＝m＋n(m，n均為正實數)，求＋的最小值．
【解】　因為在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，所以＝＋＝－，
所以＝m＋n＝m＋n＝＋n，
由P，B，C三點共線得，
m－n＋n＝m＋n＝1(m，n>0)，
所以＋＝＝＋＋
≥＋2＝＋＝(當且僅當3n2＝4m2時取等號)，
即＋的最小值為.
1．已知向量m＝(a－1，1)，n＝(2－b，2)(a>0，b>0)，若m∥n，則m·n的取值范圍是(　　)
A．[2，＋∞) B．(0，＋∞)
C．[2，4) D．(2，4)
解析：選C.因為m∥n，所以2a－2＝2－b，所以2a＋b＝4，所以b＝4－2a>0，所以02．已知點A(4，3)和B(1，2)，O為坐標原點，則|＋t|(t∈R)的最小值為(　　)
A．5 B．5
C．3 D．
解析：選D.由題意可得＝(4，3)，＝(1，2)，
則|＋t|＝|(4，3)＋t(1，2)|＝|(4＋t，3＋2t)|＝＝＝，
結合二次函數的性質可得，當t＝－2時，|＋t|min＝.
3.
如圖，在△ABC中，點D是線段BC上的動點，且＝x＋y，則＋的最小值為(　　)
A．3 B．4
C．5 D．9
解析：選D.由圖可知x，y均為正，且x＋y＝1，
所以＋＝(x＋y)＝5＋＋
≥5＋2＝9，當且僅當＝，
即x＝，y＝時等號成立，
則＋的最小值為9.
4．已知M是邊長為1的正三角形ABC的邊AC上的動點，N為AB的中點，則·的取值范圍是(　　)
A． B．
C． D．
解析：選A.取AC的中點O，連接OB，以O為坐標原點，AC所在直線為x軸，OB所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，
則A，B，N.
設M(x，0)，－≤x≤，
則＝，＝，
所以·＝－x2－x－＝－－.
因為－≤x≤，
所以當x＝時，·取最小值－，
當x＝－時，·取最大值－，
所以·的取值范圍是.故選A.
5．已知向量a＝(5，5)，b＝(λ，1)，若a＋b與a－b的夾角是銳角，則實數λ的取值范圍是________．
解析：a＋b＝(5＋λ，6)，a－b＝(5－λ，4)，由題意得，(a＋b)·(a－b)>0，且a＋b與a－b不共線，所以
解得－7<λ<7，且λ≠1，
所以λ的取值范圍是(－7，1)∪(1，7).
答案：(－7，1)∪(1，7)
6．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A，B，C三點滿足＝＋.已知A(1，sin x)，B(1＋sin x，sin x)，x∈(0，π)，且函數f(x)＝·＋||的最小值為，求實數m的值．
解：因為A(1，sin x)，B(1＋sin x，sin x)，
所以＝＋＝，
所以·＝1＋sin x＋sin2x.
又＝(sinx，0)，所以||＝sin x，
所以f(x)＝·＋||
＝sin2x＋2m sinx＋1.
設sin x＝t，因為x∈(0，π)，
所以t∈(0，1]，
所以y＝t2＋2mt＋1＝(t＋m)2＋1－m2.
①當－m≤0，即m≥0時，y＝t2＋2mt＋1無最小值，不合題意；
②當0<－m≤1，即－1≤m<0時，
當t＝－m時，ymin＝1－m2＝，所以m＝－；
③當－m>1，即m<－1時，當t＝1時，ymin＝2＋2m＝，所以m＝－>－1，不合題意．
綜上可知，m＝－.
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