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(共59張PPT)
第2課時(shí)　正弦定理
第六章　平面向量及其應(yīng)用
01
必備知識(shí)　落實(shí)
知識(shí)點(diǎn)　正弦定理
正弦

(1)正弦定理的特點(diǎn)
①適用范圍：正弦定理對(duì)任意的三角形都成立．
②表達(dá)形式：分子為三角形的邊長(zhǎng)，分母為相應(yīng)邊所對(duì)角的正弦的連等式．
[提醒]　R為△ABC外接圓的半徑．

已知兩角及一邊解三角形的一般步驟

√

已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形的思路
(1)首先由正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦值；
(2)如果已知的角為大邊所對(duì)的角時(shí)，由三角形中大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊的法則能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，由正弦值可求銳角；
(3)如果已知的角為小邊所對(duì)的角，不能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角時(shí)，這時(shí)要根據(jù)正弦值分類討論．
√
02
關(guān)鍵能力　提升
考點(diǎn)一　判斷三角形的形狀
　 　已知在△ABC中，角A，B所對(duì)的邊分別是a和b，若a cosB＝b cos A，則△ABC一定是(　　)
A．等腰三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】　方法一：由正弦定理得a cos B＝b cos A sin A cos B＝sin B cos A sin (A－B)＝0.由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC為等腰三角形．
√

判斷三角形形狀的兩種途徑




[提醒]　在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解．
　　 　　 在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc，若sin B sin C＝sin2A，則△ABC是(　　)
A．等腰且非等邊三角形 B．直角三角形
C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
解析：根據(jù)正弦定理可知sinB sin C＝sin2A bc＝a2，所以b2＋c2＝a2＋bc＝2bc (b－c)2＝0，所以b＝c，又因?yàn)閎c＝a2，所以a＝b＝c.即△ABC是等邊三角形．故選C.
√

利用正弦、余弦定理解三角形的注意點(diǎn)
正、余弦定理都是用來(lái)解三角形的，但在解題過(guò)程中要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更合適，或是兩個(gè)定理都要用，應(yīng)抓住兩個(gè)定理的特點(diǎn)：正弦定理“邊對(duì)角”，余弦定理“邊夾角”，正確選擇定理是解決此類題目的關(guān)鍵．
03
課堂鞏固　自測(cè)
√
1.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.下列等式正確的是(　　)
A．a(chǎn)∶b＝A∶B B．a(chǎn)∶b＝sin A∶sin B
C．a(chǎn)∶b＝sin B∶sin A D．a(chǎn) sin A＝b sin B
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04
課后達(dá)標(biāo)　檢測(cè)
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6．(多選)根據(jù)下列條件，判斷三角形解的情況，其中正確的是(　　)
A．a(chǎn)＝8，b＝16，A＝30°，有一解
B．b＝18，c＝20，B＝60°，有兩解
C．a(chǎn)＝5，c＝2，A＝90°，無(wú)解
D．a(chǎn)＝30，b＝25，A＝150°，有一解
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[B　能力提升]
11．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若c－a cos B＝(2a－b)cos A，則△ABC的形狀是(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
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解析：已知c－a cos B＝(2a－b)cos A，
由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，
所以sin (A＋B)－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A.
化簡(jiǎn)得cos A(sin B－sin A)＝0，
所以cos A＝0或sin B－sin A＝0，則A＝90°或A＝B.
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16中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第2課時(shí)　正弦定理
知識(shí)點(diǎn)　正弦定理
文字語(yǔ)言 在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等
符號(hào)語(yǔ)言 在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則＝＝
(1)正弦定理的特點(diǎn)
①適用范圍：正弦定理對(duì)任意的三角形都成立．
②表達(dá)形式：分子為三角形的邊長(zhǎng)，分母為相應(yīng)邊所對(duì)角的正弦的連等式．
(2)正弦定理的變形
①a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A；
②sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
③a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；
④sin A＝，sin B＝，sin C＝；
⑤＝2R.
[提醒]　R為△ABC外接圓的半徑．
角度1　已知兩角及一邊解三角形
　在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．
【解】　因?yàn)锽＝30°，C＝105°，
所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°.
由正弦定理，得＝＝，
解得a＝＝4，c＝＝2＋2.
已知兩角及一邊解三角形的一般步驟
1．在△ABC中，A＝45°，B＝30°，a＝10，則b＝(　　)
A．5 B．10
C．10 D．5
解析：選A.由正弦定理＝得b＝＝＝5.
2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b的值．
解：因?yàn)锳＝45°，C＝30°，
所以B＝180°－(A＋C)＝105°.
由＝得a＝＝＝10.
因?yàn)閟in 105°＝sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝，
所以b＝＝20×＝5＋5.
角度2　已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形
　在△ABC中，已知a＝2，c＝，C＝，解三角形．
【解】　因?yàn)椋剑詓in A＝＝.
因?yàn)閏＞a，所以C＞A.所以A＝.
所以B＝，b＝ ＝＝＋1.
1．(變條件)若本例條件“c＝”改為“c＝”，其他條件不變，解三角形．
解：由＝，得sin A＝＝＝1，
所以A＝，則B＝π－A－C＝，
由勾股定理，得b＝＝＝1.
2．(變條件)若本例條件“c＝，C＝”改為“c＝，C＝”，其他條件不變，解三角形．
解：由＝，得sin A＝＝＝.
因?yàn)閏所以A＝或A＝.
當(dāng)A＝時(shí)，B＝，此時(shí)△ABC為直角三角形，則
由勾股定理得b＝＝＝；
當(dāng)A＝時(shí)，B＝，此時(shí)b＝c＝.
已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形的思路
(1)首先由正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦值；
(2)如果已知的角為大邊所對(duì)的角時(shí)，由三角形中大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊的法則能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，由正弦值可求銳角；
(3)如果已知的角為小邊所對(duì)的角，不能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角時(shí)，這時(shí)要根據(jù)正弦值分類討論．
在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，則cos C等于(　　)
A． B．
C． D．±
解析：選B.由正弦定理，得＝，
即＝，解得sin C＝，
因?yàn)锳B所以cos C＝＝.
考點(diǎn)一　判斷三角形的形狀
　已知在△ABC中，角A，B所對(duì)的邊分別是a和b，若a cosB＝b cos A，則△ABC一定是(　　)
A．等腰三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】　方法一：由正弦定理得a cos B＝b cos A sin A cos B＝sin B cos A sin (A－B)＝0.由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC為等腰三角形．
方法二：由余弦定理得
a·＝b·，
整理得2a2＝2b2，因?yàn)閍>0，b>0，得a＝b，所以△ABC為等腰三角形．
【答案】　A
判斷三角形形狀的兩種途徑
[提醒]　在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解．
在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc，若sin B sin C＝sin2A，則△ABC是(　　)
A．等腰且非等邊三角形 B．直角三角形
C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
解析：選C.根據(jù)正弦定理可知sinB sin C＝sin2A bc＝a2，所以b2＋c2＝a2＋bc＝2bc (b－c)2＝0，所以b＝c，又因?yàn)閎c＝a2，所以a＝b＝c.即△ABC是等邊三角形．故選C.
考點(diǎn)二　正弦、余弦定理的綜合應(yīng)用
　設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b sin A＝a cos B.
(1)求B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
【解】　(1)因?yàn)閎 sin A＝a cos B，
所以由正弦定理，得sin B sin A＝sin A cos B.
在△ABC中，sin A≠0，
即得tan B＝，所以B＝.
(2)因?yàn)閟in C＝2sin A，
所以由正弦定理，得c＝2a，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，
即9＝a2＋4a2－2a·2a cos ，
解得a＝，所以c＝2a＝2.
利用正弦、余弦定理解三角形的注意點(diǎn)
正、余弦定理都是用來(lái)解三角形的，但在解題過(guò)程中要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更合適，或是兩個(gè)定理都要用，應(yīng)抓住兩個(gè)定理的特點(diǎn)：正弦定理“邊對(duì)角”，余弦定理“邊夾角”，正確選擇定理是解決此類題目的關(guān)鍵．
設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a sin A＋c sin C－a sin C＝b sin B.
(1)求B的大小；
(2)若A＝75°，b＝2，求a的值．
解：(1)由正弦定理，得a2＋c2－ac＝b2.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B．
故cos B＝，又0°(2)sin A＝sin (30°＋45°)
＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝.
故由正弦定理，得a＝b·＝1＋.
1.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.下列等式正確的是(　　)
A．a(chǎn)∶b＝A∶B B．a(chǎn)∶b＝sin A∶sin B
C．a(chǎn)∶b＝sin B∶sin A D．a(chǎn) sin A＝b sin B
解析：選B.由正弦定理＝可得a∶b＝sin A∶sin B，可知B正確．
2．一個(gè)三角形中的兩個(gè)角分別等于120°和45°，若45°角所對(duì)的邊長(zhǎng)是4，那么120°角所對(duì)的邊長(zhǎng)是(　　)
A．4 B．12
C．4 D．12
解析：選D.設(shè)120°角所對(duì)的邊長(zhǎng)為x，則由正弦定理，可得＝，得x＝＝＝12，故選D.
3．(多選)在△ABC中，若a＝2b sin A，則B等于(　　)
A． B．
C． D．
解析：選AC.由正弦定理，得sin A＝2sin B sin A，
所以sin A·(2sin B－)＝0.
因?yàn)?所以sin A≠0，sin B＝，
所以B＝或B＝.
4．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b＝6，c＝6，C＝30°，求a.
解：由正弦定理，得＝，
得sin B＝＝.
因?yàn)閎>c，所以B>C＝30°，
所以B＝60°或B＝120°.
當(dāng)B＝60°時(shí)，A＝90°，a＝＝＝12.
當(dāng)B＝120°時(shí)，A＝30°，a＝＝＝6.
所以a＝6或a＝12.
[A　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1．在△ABC中，a＝2，b＝3，則＝(　　)
A． B．
C． D．3
解析：選B.由正弦定理，得＝，故＝＝.
2．在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若＝，則角B的大小為(　　)
A． B．
C． D．
解析：選B.由正弦定理，得＝及＝，可得sin B＝cos B．又03．在△ABC中，已知AB＝AC，B＝30°，則C＝(　　)
A．45°
B．15°
C．45°或135°
D．15°或105°
解析：選C.因?yàn)锳B＝AC，由正弦定理得＝，
又因?yàn)锽＝30°，所以sin C＝，
又因?yàn)锳B>AC，所以C＝45°或C＝135°.
4．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝2，sin (A＋B)＝，sin A＝，則c＝(　　)
A．4 B．3
C． D．
解析：選C.sin C＝sin (A＋B)＝.由正弦定理得c＝·sin C＝×＝.故選C.
5．在△ABC中，若a＝b sin A，則△ABC一定是(　　)
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰三角形
解析：選B.由題意及正弦定理可知，＝b＝，則sin B＝1，又B∈(0，π)，故B為直角，△ABC是直角三角形．
6．(多選)根據(jù)下列條件，判斷三角形解的情況，其中正確的是(　　)
A．a(chǎn)＝8，b＝16，A＝30°，有一解
B．b＝18，c＝20，B＝60°，有兩解
C．a(chǎn)＝5，c＝2，A＝90°，無(wú)解
D．a(chǎn)＝30，b＝25，A＝150°，有一解
解析：選ABD.A中，因?yàn)椋剑詓in B＝＝1，
所以B＝90°，即只有一解；
B中，因?yàn)閟in C＝＝，且c>b，
所以C>B，故有兩解；
C中，因?yàn)锳＝90°，a＝5，c＝2，
所以b＝＝＝，有解；
D中，因?yàn)椋剑?br/>所以sin B＝＝，又b所以角B只有一解．
7．在△ABC中，cos A＝，a＝4，b＝4，則B＝________．
解析：由cos A＝，得sin A＝，A＝60°，由正弦定理得sin B＝＝.因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和為180°，且a＞b，所以B＝45°.
答案：45°
8．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2a sin C＝c，則A＝________．
解析：設(shè)△ABC的外接圓的半徑為R，由正弦定理，得2×2R sin A sin C＝×2R sin C，因此sin A＝，又因?yàn)?°答案：45°或135°
9．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若A∶B∶C＝1∶1∶4，則a∶b∶c＝________．
解析：在△ABC中，因?yàn)锳∶B∶C＝1∶1∶4，所以內(nèi)角A，B，C分別為30°，30°，120°，所以a∶b∶c＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120°＝1∶1∶.
答案：1∶1∶
10．在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，試求c及△ABC的外接圓半徑R.
解：因?yàn)锳＋B＋C＝180°，
所以A＝180°－75°－60°＝45°.
由正弦定理，得＝＝2R(R為△ABC外接圓的半徑)，
所以c＝＝＝5，
所以2R＝＝＝10，所以R＝5.
[B　能力提升]
11．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若c－a cos B＝(2a－b)cos A，則△ABC的形狀是(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
解析：選D.已知c－a cos B＝(2a－b)cos A，
由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，
所以sin (A＋B)－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A.
化簡(jiǎn)得cos A(sin B－sin A)＝0，
所以cos A＝0或sin B－sin A＝0，則A＝90°或A＝B.
12．(多選)下列說(shuō)法中正確的是(　　)
A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，則A＝B
C．在△ABC中，若sin A>sin B，則A>B；若A>B，則sin A>sin B
D．在△ABC中，＝
解析：選ACD.對(duì)于A，由正弦定理＝＝＝2R，可得a∶b∶c＝2R sin A∶2R sin B∶2R sin C＝sin A∶sin B∶sin C，故A正確；
對(duì)于B，由sin 2A＝sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，在△ABC中，由正弦定理可得，sin A>sin B a>b A>B，因此A>B是sin A>sin B的充要條件，故C正確；
對(duì)于D，由正弦定理＝＝＝2R，
可得右邊＝＝＝2R＝＝左邊，故D正確．
13．在△ABC中，sin B＝2sin A，a＋c＝3，且cos C＝，則a＝________．
解析：因?yàn)閟in B＝2sin A，所以b＝2a，
又a＋c＝3，所以c＝3－a，
所以由余弦定理得
cos C＝＝＝，
整理，得a2＋2a－3＝0，解得a＝1(a＝－3舍去).
答案：1
14．已知△ABC中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a cos C＋c＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝1，b＝，求c的值．
解：(1)由a cos C＋c＝b，
得sin A cos C＋sin C＝sin B.
因?yàn)閟in B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos Asin C，
所以sin C＝cos A sin C.
因?yàn)閟in C≠0，所以cos A＝.
因?yàn)?(2)由正弦定理，得sin B＝＝.
又b>a，所以B>A，所以B＝或B＝.
①當(dāng)B＝時(shí)，由A＝，得C＝，
所以c＝＝2.
②當(dāng)B＝時(shí)，由A＝，得C＝.
所以c＝a＝1.綜上可得c＝1或c＝2.
[C　拓展沖刺]
15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若2sin A sin B cos C＝sin2C，則＝________，角C的最大值為_(kāi)_______．
解析：因?yàn)?sinA sin B cos C＝sin2C，
所以2ab cosC＝c2 a2＋b2－c2＝c2 ＝2，
所以cos C＝＝≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．因?yàn)?答案：2　
16．在①ac＝，②c sin A＝3，③c＝b這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求c的值；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由．
問(wèn)題：是否存在△ABC，它的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
解：方案一：選條件①.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c.
由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1.
因此，選條件①時(shí)問(wèn)題中的三角形存在，此時(shí)c＝1.
方案二：選條件②.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c，
則B＝C＝，A＝.
由②c sin A＝3，所以c＝b＝2，a＝6.
因此，選條件②時(shí)問(wèn)題中的三角形存在，此時(shí)c＝2.
方案三：選條件③.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c.
由③c＝b與b＝c矛盾．
因此，選條件③時(shí)問(wèn)題中的三角形不存在．
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第2課時(shí)　正弦定理
知識(shí)點(diǎn)　正弦定理
文字語(yǔ)言 在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等
符號(hào)語(yǔ)言 在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則＝＝
(1)正弦定理的特點(diǎn)
①適用范圍：正弦定理對(duì)任意的三角形都成立．
②表達(dá)形式：分子為三角形的邊長(zhǎng)，分母為相應(yīng)邊所對(duì)角的正弦的連等式．
(2)正弦定理的變形
①a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A；
②sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
③a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；
④sin A＝，sin B＝，sin C＝；
⑤＝2R.
[提醒]　R為△ABC外接圓的半徑．
角度1　已知兩角及一邊解三角形
　在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．
已知兩角及一邊解三角形的一般步驟
1．在△ABC中，A＝45°，B＝30°，a＝10，則b＝(　　)
A．5 B．10
C．10 D．5
2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b的值．
角度2　已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形
　在△ABC中，已知a＝2，c＝，C＝，解三角形．
1．(變條件)若本例條件“c＝”改為“c＝”，其他條件不變，解三角形．
2．(變條件)若本例條件“c＝，C＝”改為“c＝，C＝”，其他條件不變，解三角形．
已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形的思路
(1)首先由正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦值；
(2)如果已知的角為大邊所對(duì)的角時(shí)，由三角形中大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊的法則能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，由正弦值可求銳角；
(3)如果已知的角為小邊所對(duì)的角，不能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角時(shí)，這時(shí)要根據(jù)正弦值分類討論．
在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，則cos C等于(　　)
A． B．
C． D．±
考點(diǎn)一　判斷三角形的形狀
　已知在△ABC中，角A，B所對(duì)的邊分別是a和b，若a cosB＝b cos A，則△ABC一定是(　　)
A．等腰三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
判斷三角形形狀的兩種途徑
[提醒]　在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解．
在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc，若sin B sin C＝sin2A，則△ABC是(　　)
A．等腰且非等邊三角形 B．直角三角形
C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
考點(diǎn)二　正弦、余弦定理的綜合應(yīng)用
　設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b sin A＝a cos B.
(1)求B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
利用正弦、余弦定理解三角形的注意點(diǎn)
正、余弦定理都是用來(lái)解三角形的，但在解題過(guò)程中要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更合適，或是兩個(gè)定理都要用，應(yīng)抓住兩個(gè)定理的特點(diǎn)：正弦定理“邊對(duì)角”，余弦定理“邊夾角”，正確選擇定理是解決此類題目的關(guān)鍵．
設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a sin A＋c sin C－a sin C＝b sin B.
(1)求B的大小；
(2)若A＝75°，b＝2，求a的值．
1.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.下列等式正確的是(　　)
A．a(chǎn)∶b＝A∶B B．a(chǎn)∶b＝sin A∶sin B
C．a(chǎn)∶b＝sin B∶sin A D．a(chǎn) sin A＝b sin B
2．一個(gè)三角形中的兩個(gè)角分別等于120°和45°，若45°角所對(duì)的邊長(zhǎng)是4，那么120°角所對(duì)的邊長(zhǎng)是(　　)
A．4 B．12
C．4 D．12
3．(多選)在△ABC中，若a＝2b sin A，則B等于(　　)
A． B．
C． D．
4．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b＝6，c＝6，C＝30°，求a.
[A　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1．在△ABC中，a＝2，b＝3，則＝(　　)
A． B．
C． D．3
2．在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若＝，則角B的大小為(　　)
A． B．
C． D．
3．在△ABC中，已知AB＝AC，B＝30°，則C＝(　　)
A．45°
B．15°
C．45°或135°
D．15°或105°
4．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝2，sin (A＋B)＝，sin A＝，則c＝(　　)
A．4 B．3
C． D．
5．在△ABC中，若a＝b sin A，則△ABC一定是(　　)
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰三角形
6．(多選)根據(jù)下列條件，判斷三角形解的情況，其中正確的是(　　)
A．a(chǎn)＝8，b＝16，A＝30°，有一解
B．b＝18，c＝20，B＝60°，有兩解
C．a(chǎn)＝5，c＝2，A＝90°，無(wú)解
D．a(chǎn)＝30，b＝25，A＝150°，有一解
7．在△ABC中，cos A＝，a＝4，b＝4，則B＝________．
8．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2a sin C＝c，則A＝________．
9．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若A∶B∶C＝1∶1∶4，則a∶b∶c＝________．
10．在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，試求c及△ABC的外接圓半徑R.
[B　能力提升]
11．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若c－a cos B＝(2a－b)cos A，則△ABC的形狀是(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
12．(多選)下列說(shuō)法中正確的是(　　)
A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，則A＝B
C．在△ABC中，若sin A>sin B，則A>B；若A>B，則sin A>sin B
D．在△ABC中，＝
13．在△ABC中，sin B＝2sin A，a＋c＝3，且cos C＝，則a＝________．
14．已知△ABC中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a cos C＋c＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝1，b＝，求c的值．
[C　拓展沖刺]
15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若2sin A sin B cos C＝sin2C，則＝________，角C的最大值為_(kāi)_______．
16．在①ac＝，②c sin A＝3，③c＝b這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求c的值；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由．
問(wèn)題：是否存在△ABC，它的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
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