資源簡介

一線三等角模型
一、同側型一線三等角
模型解讀
圖示：
銳角一線三等角
鈍角一線三等角
直角一線三等角
【特點】∠1＝∠2＝∠3
【結論】1.△CAP∽△PBD；
2．當AC＝BP或AP＝BD或CP＝PD時，△CAP≌△PBD
1. 如圖，在等邊△ABC中，D，E分別是邊BC，AC上的點，連接AD，DE，且∠ADE＝60°，若BD＝4，CE＝3，求AB的長．
第1題圖
【變式題】
2. 如圖，在等邊△ABC中，D，E，F分別是邊BC，AC，AB上的點，連接DF，DE，且∠FDE＝60°，若BC＝6，CE＝BD＝2，求BF的長．
　第2題圖
3. 如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，點D，E，F分別在BC，AB，AC邊上，且∠EDF＝45°，若AE＝，BD＝BC，求CF的長．
　第3題圖
二、異側型一線三等角
模型解讀
圖示：
銳角一線三等角
鈍角一線三等角
直角一線三等角
【特點】點P在線段BA的延長線上，∠1＝∠2＝∠3
【結論】1.△CAP∽△PBD；
當AC＝BP或AP＝BD或CP＝PD時，△CAP≌△PBD
4. 如圖，在Rt△ABC中，AC＝2AB，∠BAC＝90°，AE⊥CE于點E，BD⊥AE于點D，若DE＝4AD，求cos ∠ABD的值．
　第4題圖
【變式題】
5. 如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC上一點，連接AD.過點B作BE⊥AD于點E，過點C作CF⊥AD交AD的延長線于點F.若BE＝4，CF＝1，求EF的長．
　第5題圖
6. 如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點，連接AD，E為線段AD上一點，且∠BED＝∠BAC，過點C作CF∥BE交AD的延長線于點F.求證：AE＝CF.
　第6題圖
基礎過關
1. 如圖，等邊三角形ABC的邊長為6 cm，動點P從點A出發以2 cm/s的速度沿AB向點B勻速運動，過點P作PQ⊥AB，交邊AC于點Q，以PQ為邊作等邊三角形PQD，使點A，D在PQ異側，當點D落在BC邊上時，點P需移動__________s.
第1題圖
2. 如圖，CA⊥AD，ED⊥AD，點B是線段AD上的一點，且CB⊥BE.已知AB＝8，AC＝6，DE＝4.
(1)證明：△ABC∽△DEB；
(2)求線段BD的長．
第2題圖
3.如圖①，小紅在學習了三角形相關知識后，對等腰直角三角形進行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB，∠C＝90°，過點B作射線BD⊥AB，垂足為點B，點P在CB上.
(1)【動手操作】
如圖②，若點P在線段CB上，畫出射線PA，并將射線PA繞點P逆時針旋轉90°與BD交于點E，根據題意在圖中畫出圖形，圖中∠PBE的度數為__________度；
(2)【問題探究】
根據(1)所畫圖形，探究線段PA與PE的數量關系，并說明理由；
(3)【拓展延伸】
如圖③，若點P在射線CB上移動，將射線PA繞點P逆時針旋轉90°與BD交于點E，探究線段BA，BP，BE之間的數量關系，并說明理由．
圖①
　
圖②
　
圖③
第3題圖
一線三等角模型
1. 解：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAD＋∠ADB＝120°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠CDE＋∠ADB＝120°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴＝，即＝，
∴AB＝16.
2. 解：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BFD＋∠FDB＝120°，
∵∠FDE＝60°，
∴∠CDE＋∠FDB＝120°，
∴∠BFD＝∠CDE.
在△FBD與△DCE中，
，
∴△FBD≌△DCE(AAS)，
∴BF＝DC＝BC－BD＝4.
3. 解：∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝6，
∴∠B＝∠C＝45°，BC＝6.
∵∠EDF＝45°，
∴∠B＝∠C＝∠EDF，
∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC＝∠B＋∠BED，
∴∠FDC＝∠BED，
∴△BED∽△CDF，
∴＝，
∵AE＝，BD＝BC＝2，
∴BE＝，CD＝4，
∴＝，
∴CF＝.
4. 解：∵∠BAC＝90°，AE⊥CE，BD⊥AE，
∴∠BAD＋∠EAC＝90°，∠EAC＋∠ACE＝90°，
∴∠BAD＝∠ACE，
∵∠BDA＝∠AEC＝90°，
∴△BAD∽△ACE，
∵AC＝2AB，
∴EC＝2AD，
∵DE＝4AD，
∴AE＝DE＋AD＝5AD，
在Rt△AEC中，由勾股定理，得AC＝＝AD，
∴cos ∠ABD＝cos ∠CAE＝＝.
5. 解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠CFA＝90°，
∴∠ABE＋∠BAE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAF＋∠BAE＝90°，
∴∠ABE＝∠CAF，
又∵AB＝AC，
∴△ABE≌△CAF(AAS)，
∴AE＝CF＝1，AF＝BE＝4，
∴EF＝AF－AE＝4－1＝3.
6. 證明：如解圖，延長AF至點J，使得AJ＝BE，連接CJ，
由題意得∠BED＝∠ABE＋∠BAE，∠BAC＝∠BAE＋∠CAJ，
∵∠BED＝∠BAC，
∴∠ABE＝∠CAJ，
在△ABE和△CAJ中，
∴△ABE≌△CAJ(SAS)，
∴AE＝CJ，∠AEB＝∠CJA，
∵BE∥CF，
∴∠BED＝∠CFA，
∵∠AEB＋∠BED＝∠CFA＋∠CFJ＝180°，
∴∠AEB＝∠CFJ，
∴∠CFJ＝∠CJA，
∴CJ＝CF，
∴AE＝CF.
第6題解圖
基礎過關
1.【解析】如解圖，點D落在BC邊上，設點P的運動時間為x s．由題意得AP＝2x cm，BP＝AB－AP＝(6－2x)cm.∵PQ⊥AB，∴∠QPA＝90°.∵△PQD和△ABC都是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠DPQ＝60°，PQ＝PD，∴∠BPD＝30°，∴∠PDB＝90°，∴PD⊥BC，∴△APQ≌△BDP(AAS)，∴BD＝AP＝2x cm.∵BP＝2BD，∴6－2x＝4x，解得x＝1.
第1題解圖
2. (1)證明：∵AC⊥AD，ED⊥AD，
∴∠A＝∠D＝90°，∠C＋∠ABC＝90°.
∵CB⊥BE，
∴∠ABC＋∠EBD＝90°，
∴∠C＝∠EBD，
∴△ABC∽△DEB；
(2)解：由(1)得△ABC∽△DEB，
∴＝.
∵AB＝8，AC＝6，DE＝4，
∴＝，∴BD＝3.
3. 解：(1)畫出圖形如解圖①，135；
圖①
　
圖②
第3題解圖
【解法提示】∵CA＝CB，∠C＝90°，∴∠ABC＝×(180°－90°)＝45°.又∵BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∴∠PBE＝∠ABC＋∠ABD＝135°.
(2)PA＝PE.理由如下：
如解圖②，過點P作PG∥AB交AC于點G.
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴△CPG為等腰直角三角形，
∴CG＝CP，∠AGP＝∠C＋∠CPG＝135°.
∴∠PBE＝∠AGP.
又∵AC＝BC，∴AC－CG＝BC－CP，
即GA＝PB.
∵∠APE＝90°，
∴∠BPE＋∠APC＝90°.
∵∠C＝90°，
∴∠APC＋∠CAP＝90°，
∴∠BPE＝∠CAP.
在△PBE和△AGP中，
，
∴△PBE≌△AGP(ASA)，
∴PA＝PE；
【一題多解】 如解圖③，連接AE.∵∠ABE＝∠APE＝90°，
∴A，P，B，E四點在以AE為直徑的圓上．
∵＝，
∴∠BAE＝∠BPE.
又∵∠APE＝90°，
∴∠BPE＋∠APC＝90°.
∵∠C＝90°，
∴∠APC＋∠CAP＝90°，
∴∠BPE＝∠CAP＝∠BAE.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠CAP＝45°，
∴∠BAE＋∠BAP＝45°，
即∠EAP＝45°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴PA＝PE.
第3題解圖③
(3)BA＝BP＋BE或BA＝BE－BP.
理由如下：
∵點P在射線CB上移動，∴分情況討論：
①當點P在線段CB上時，
如解圖④，過點E作EH⊥CB交射線CB于點H.
∵∠ABC＝45°，∠ABD＝90°，
∴∠EBH＝45°，即BE＝HE.
由(2)可知，∠CAP＝∠BPE，PA＝PE，
在△PAC和△EPH中，
，
∴△PAC≌△EPH(AAS)，
∴CP＝HE，
即BE＝CP，
∴CP＝BE.
又∵BA＝BC，
∴BA＝(BP＋CP)＝(BP＋BE)＝BP＋BE.
圖④
圖⑤
第3題解圖
②當點P在CB的延長線上時，
如解圖⑤，過點E作EI⊥CB交射線CB于點I.
∵∠ABC＝45°，∠ABD＝90°，
∴∠EBI＝45°，
即BE＝IE.
同理可證，△PAC≌△EPI，
∴CP＝IE，
即BE＝CP，
∴CP＝BE.
又∵BA＝BC，
∴BA＝(CP－BP)＝(BE－BP)＝BE－BP.
綜上所述，BA，BP，BE之間的數量關系為BA＝BP＋BE或BA＝BE－BP.

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