資源簡介

銳角三角函數及其實際應用
1. 如圖為東西流向且河岸平行的一段河道，A，B分別為兩岸上一點，且點B在點A的正北方向，由點A向正東方向走a米到達點C，此時測得點B在點C的北偏西55°方向上，則河道AB的寬為(　　)
A. a tan 55°米 B. 米 C. 米 D. 米
第1題圖
　　　　
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)若∠A＝30°，則sin A＝________，cos A＝________；
(2)若sin B＝，則∠A＝________；
(3)若AC＝12，BC＝5，則tan A＝________；
(4)若sin A＝，BC＝3，則AB的長為________．
3. 為方便行人橫過馬路，打算修建一座高6 m的過街天橋．如圖所示，已知天橋的斜面AB的坡度為1∶1.5，則斜坡AB的長度為________m．(結果保留根號)
第3題圖
知識逐點過
考點1 　銳角三角函數
圖示 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A為△ABC中的一個銳角
正弦 sin A＝①________
余弦 cos A＝②________
正切 tan A＝③________
考點2 　特殊角的三角函數值
30° 45° 60° 　　　
sin α ④____ ⑤____
cos α ⑥____ ⑦____
tan α ⑧____ 1
考點3 　解直角三角形
概念 在直角三角形中，除直角外，一共有5個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形
直角三角形的邊、角關系 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A為△ABC中的一銳角，三邊長分別為a，b，c.1. 兩銳角關系：∠A＋∠B＝⑨________°；2. 三邊關系：a2＋b2＝c2(勾股定理)；3. 邊角關系：sin A＝cos B＝⑩______，cos A＝sin B＝ ______，tan A＝ ______，tan B＝ ______
考點4 　銳角三角函數的實際應用
仰角、俯角 在視線與水平線所成的銳角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角，如圖
坡度(坡比)、坡角 坡面的鉛直高度h與水平寬度l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示；坡面與水平面的夾角α叫坡角，i＝tan α＝，如圖
方向角 一般指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉到目標方向線所成的角(一般指銳角)，通常表達為北(南)偏東(西)x度，如圖，A點位于O點的 ________，B點位于O點的 ________，C點位于O點的北偏西45°方向(或西北方向)
真題演練
命題點1 特殊角的三角函數值
1.sin 30°＝________．
命題點2 銳角三角函數的實際應用
2. 如圖，某校教學樓AC與實驗樓BD的水平間距CD＝15米，在實驗樓頂部B點測得教學樓頂部A點的仰角是30°，底部C點的俯角是45°，則教學樓AC的高度是________米(結果保留根號)．
第2題圖
3. 2023年5月30日，神舟十六號載人飛船發射取得圓滿成功，3名航天員順利進駐中國空間站．如圖中的照片展示了中國空間站上機械臂的一種工作狀態．當兩臂AC＝BC＝10 m，兩臂夾角∠ACB＝100°時，求A，B兩點間的距離．(結果精確到0.1 m，參考數據：sin 50°≈0.766，cos 50°≈0.643，tan 50°≈1.192)
　第3題圖
拓展訓練
4. 某綜合實踐研究小組為了測量觀察目標時的仰角和俯角，利用量角器和鉛錘自制了一個簡易測角儀，如圖①所示．
(1)如圖②，在P點觀察所測物體最高點C，當量角器零刻度線上A，B兩點均在視線PC上時，測得視線與鉛垂線所夾的銳角為α，設仰角為β，請直接用含α的代數式表示β；
(2)如圖③，為了測量廣場上空氣球A離地面的高度，該小組利用自制簡易測角儀在點B，C分別測得氣球A的仰角∠ABD為37°，∠ACD為45°，地面上點B，C，D在同一水平直線上，BC＝20 m，求氣球A離地面的高度AD.(參考數據：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
　第4題圖
基礎過關
1. sin 45°＋的值等于(　　)
A. 1 B. C. D. 2
2. 淇淇一家要到革命圣地西柏坡參觀．如圖，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，則淇淇家位于西柏坡的(　　)
A. 南偏西70°方向 B. 南偏東20°方向 C. 北偏西20°方向 D. 北偏東70°方向
第2題圖
3.如圖，某施工隊準備改造某路段的坡度，原坡長AC為40米，原坡度為1∶2，改造后的坡角∠D＝20°，則改造后的坡長AD為(　　)
A. 米 B. 40sin 20°米 C. 米 D. 40sin 20°米
第3題圖
4. 如圖，在網格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A，B，C三點都在格點上，則sin ∠ABC＝__________．
第4題圖
5. 如圖，焊接一個鋼架，包括底角為37°的等腰三角形外框和3 m高的支柱，則共需鋼材約__________m(結果取整數).(參考數據：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
第5題圖
6. 如圖①是我國第一個以“龍”為主題的主題公園——“蘭州龍源”．“蘭州龍源”的“龍”字主題雕塑以紫銅鑄造，如巨龍騰空，氣勢如虹，屹立在黃河北岸．某數學興趣小組開展了測量“龍”字雕塑CD高度的實踐活動．具體過程如下：如圖②，“龍”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A處測得∠BAC＝38°，∠BAD＝53°，AB＝18 m．求“龍”字雕塑CD的高度．(B，C，D三點共線，BD⊥AB.結果精確到0.1 m)(參考數據：sin 38°≈0.62，cos 38°≈0.79，tan 38°≈0.78，sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)
圖①
　　
圖②
第6題圖
綜合提升
7. 為建設美好公園社區，增強民眾生活幸福感，某社區服務中心在文化活動室墻外安裝遮陽篷，便于社區居民休憩．如圖，在側面示意圖中，遮陽篷AB長為5 m，與水平面的夾角為16°，且靠墻端離地高BC為4 m，當太陽光線AD與地面CE的夾角為45°時，求陰影CD的長．(結果精確到0.1 m；參考數據：sin 16°≈0.28，cos 16°≈0.96，tan 16°≈0.29)
　
第7題圖
8. 圖①是某住宅單元樓的人臉識別系統(整個頭部需在攝像頭視角范圍內才能被識別)，其示意圖如圖②，攝像頭A的仰角、俯角均為15°，攝像頭高度OA＝160 cm，識別的最遠水平距離OB＝150 cm.
(1)身高208 cm的小杜，頭部高度為26 cm，他站在離攝像頭水平距離130 cm的點C處，請問小杜最少需要下蹲多少厘米才能被識別；
(2)身高120 cm的小若，頭部高度為15 cm，踮起腳尖可以增高3 cm，但仍無法被識別，社區及時將攝像頭的仰角、俯角都調整為20°(如圖③)，此時小若能被識別嗎？請計算說明．(精確到0.1 cm，參考數據：sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97，tan 15°≈0.27，sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36)
圖①
　　
圖②
　　
圖③
第8題圖
銳角三角函數及其實際應用
1. D　【解析】如解圖，連接AB，BC，由題意得，∠BAC＝90°，∠ABC＝55°，AC＝a米，∴tan ∠ABC＝tan 55°＝，∴AB＝＝米．
第1題解圖
2. (1)，；【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴sin A＝sin 30°＝，cos A＝cos 30°＝.
(2)45°；【解析】∵∠C＝90°，sin B＝，∴∠B＝45°，∴∠A＝90°－45°＝45°.
(3)；【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴tan A＝＝.
(4)5.【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵sin A＝＝，BC＝3，∴AB＝5.
3. 3　【解析】如解圖，過點B作地面的垂線，垂足為C，∵i＝1∶1.5，BC＝6 m，∴＝，∴AC＝9 m，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝＝3 m，故斜坡AB的長度為3 m.
第3題解圖
知識逐點過
①?、凇、邸、堋、?br/>⑥?、摺、唷、?0?、?br/> 　 　 　 北偏東30°方向　 南偏東60°方向
真題演練
1.
2. (15＋15)　【解析】如解圖，過點B作BE⊥AC于點E，在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15米，可得CE＝BE·tan 45°＝15米．在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15米，可得AE＝BE·tan 30°＝15米．故教學樓AC的高度為(15＋15)米．
第2題解圖
3. 解：如解圖，連接AB，過點C作CD⊥AB于點D，
∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴CD是AB邊上的中線，也是∠ACB的平分線，
∴AB＝2AD，∠ACD＝∠ACB＝50°，
在Rt△ACD中，AC＝10 m，∠ACD＝50°，sin ∠ACD＝，
∴sin 50°＝，
∴AD＝10sin 50°≈10×0.766＝7.66，
∴AB＝2AD＝2×7.66≈15.3.
答：A，B兩點間的距離約為15.3 m．
　第3題解圖
4. 解：(1)β＝90°－α；
【解法提示】由題意知，α與β是直角三角形的兩個銳角，∴β＝90°－α.
(2)設氣球A離地面的高度是h米，
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
∴∠CAD＝45°＝∠ACD，
則DC＝AD＝h,
在Rt△ABD中，∠ABD＝37°，tan ∠ABD＝，
∴BD＝≈＝h.
∴BC＝BD－CD＝h－h＝20，解得h＝60(m).
答：氣球A離地面的高度AD約為60 m.
基礎過關
1. B　【解析】 sin 45°＋＝＋＝.
2. D　【解析】∵分別以淇淇家和西柏坡為中心的南北方向是平行的，∴淇淇家位于西柏坡的北偏東70°方向．
3. A　【解析】 在Rt△ABC中，AC＝40米，＝，則AB2＋BC2＝AC2，即AB2＋(2AB)2＝AC2，∴AB＝40米．在Rt△ABD中，∠D＝20°，則sin D＝sin 20°＝＝，∴AD＝米．
4. 　【解析】 如解圖，連接AC.由勾股定理得AB2＝22＋42＝20，BC2＝12＋32＝10，AC2＝12＋32＝10，則BC2＋AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴sin ∠ABC＝＝＝.
第4題解圖
5. 21　【解析】在Rt△ACD中，∠ADC＝90° , CD＝3 m，∠CAD＝37°，得sin 37°＝＝≈0.6，tan 37°＝＝≈0.75，∴AC≈5 m，AD≈4 m，∴共需鋼材約5×2＋4×2＋3＝21(m).
6. 解：在Rt△ABC中，∠BAC＝38°，∴tan ∠BAC＝，
∴BC＝AB·tan 38°≈18×0.78＝14.04 m.
在Rt△ABD中，∠BAD＝53°，
∴tan ∠BAD＝，
∴BD＝AB·tan 53°≈18×1.33＝23.94 m.
∴CD＝BD－BC＝23.94－14.04＝9.9 m.
答：“龍”字雕塑CD的高度約為9.9 m.
7. 解：如解圖，過點A作AG⊥BC于點G，AF⊥CE于點F，則四邊形AFCG是矩形．
由題可知，∠BAG＝16°，AB＝5 m，在Rt△ABG中，GB＝AB·sin ∠BAG＝5·sin 16°≈5×0.28＝1.4(m)，AG＝AB·cos 16°≈5×0.96＝4.8(m)，則CF＝AG≈4.8 m.
∵BC＝4 m，
∴AF＝CG＝BC－BG≈4－1.4＝2.6 m．
在Rt△ADF中，
∵∠ADF＝45°，
∴DF＝AF≈2.6 m，
∴CD＝CF－DF≈4.8－2.6＝2.2 m．
答：陰影CD的長約為2.2 m.
第7題解圖
8. 解：(1)如解圖①，過點C作OB的垂線分別交仰角、俯角線于點E，D，交水平線于點F，
第8題解圖①
在Rt△AEF中，tan ∠EAF＝，
∴EF＝AF·tan 15°≈130×0.27＝35.1(cm).
∵AF＝AF，∠EAF＝∠DAF，∠AFE＝∠AFD＝90°，
∴△ADF≌△AEF.
∴EF＝DF≈35.1(cm).
∴CE＝CF＋EF≈160＋35.1＝195.1(cm)，
ED＝2EF≈35.1×2＝70.2 cm>26 cm，
∴小杜下蹲的最小距離為208－195.1＝12.9(cm).
(2)能，理由如下：
如解圖②，過點B作OB的垂線分別交仰角、俯角線于點M，N，交水平線于點P.
第8題解圖②
在Rt△APM中，tan ∠MAP＝，
∴MP＝AP·tan 20°≈150×0.36＝54.0(cm)，
∵AP＝AP，∠MAP＝∠NAP，∠APM＝∠APN＝90°，
∴△AMP≌△ANP.
∴PN＝MP≈54.0(cm)，
∴BN＝BP－PN≈160－54.0＝106.0(cm).
∴小若踮起腳尖后頭頂的高度為120＋3＝123(cm).
∴小若頭頂超出點N的高度123－106.0＝17.0(cm)>15(cm).
∴小若踮起腳尖后能被識別．

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