資源簡(jiǎn)介

平行四邊形與多邊形
1. 如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O.
第1題圖
(1)若AB∥CD，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件________，使四邊形ABCD是平行四邊形；
(2)若∠ABC＝∠ADC，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件________，使四邊形ABCD是平行四邊形；
(3)若AD＝BC，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件________，使四邊形ABCD是平行四邊形；
(4)若AO＝OC，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件________，使四邊形ABCD是平行四邊形．
2. 如圖，在 ABCD中，AB＝4，BD＝10，AC與BD交于點(diǎn)O，F(xiàn)為BC上一點(diǎn)，連接AF，OF.
第2題圖
(1)CD的長(zhǎng)為______，BO的長(zhǎng)為______；
(2)若AF平分∠BAD，∠ABC＝50°，則∠BAF的度數(shù)為________；
(3)若F為BC的中點(diǎn)，則OF的長(zhǎng)為________；
(4)若AC＝6，則 ABCD的面積為________， ABCD的周長(zhǎng)為________．
3. 如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，連接AE，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)G.
第3題圖
(1)∠ABC的度數(shù)為________，∠EDG的度數(shù)為________；
(2)正六邊形ABCDEF的對(duì)角線有________條，對(duì)稱軸有________條；
(3)AE的長(zhǎng)為________．
知識(shí)逐點(diǎn)過(guò)
考點(diǎn)1 平行四邊形的性質(zhì)及面積
邊 兩組對(duì)邊分別平行，兩組對(duì)邊分別①________
角 兩組對(duì)角分別②________
對(duì)角線 對(duì)角線互相③________
對(duì)稱性 是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)(北師獨(dú)有)
面積公式 S＝ah(a表示一條邊長(zhǎng)，h表示此邊上的高)
【溫馨提示】利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算，一般運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段或角度之間的等量關(guān)系：1. 當(dāng)有角平分線的條件時(shí)，可利用“平行＋角平分線 等腰三角形”的結(jié)論得到等角、等邊；2. 當(dāng)有一條線段過(guò)對(duì)角線的交點(diǎn)和一邊的中點(diǎn)時(shí)，可利用三角形中位線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算
考點(diǎn)2 　平行四邊形的判定
邊 1. 兩組對(duì)邊分別④________的四邊形是平行四邊形(定義)；2. 兩組對(duì)邊分別⑤________的四邊形是平行四邊形；3. 一組對(duì)邊⑥________的四邊形是平行四邊形
角 兩組對(duì)角分別⑦_(dá)_______的四邊形是平行四邊形(人教獨(dú)有)
對(duì)角線 對(duì)角線⑧________的四邊形是平行四邊形
考點(diǎn)3 　多邊形及其性質(zhì)
1. 多邊形的性質(zhì)(n≥3，n為整數(shù))
內(nèi)角和定理 n邊形的內(nèi)角和等于⑨________
外角和定理 任意多邊形的外角和等于⑩________
對(duì)角線 過(guò)n邊形一個(gè)頂點(diǎn)可引(n－3)條對(duì)角線，把這個(gè)n邊形分成(n－2)個(gè)三角形，n邊形共有條對(duì)角線
【溫馨提示】n(n＞3)邊形具有不穩(wěn)定性
2. 正多邊形的性質(zhì)(n≥3，n為整數(shù))
邊 正n邊形各條邊 ________
內(nèi)角 各個(gè)內(nèi)角相等，正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為 ________
外角 各個(gè)外角相等，正n邊形的每個(gè)外角為 ________
真題演練
命題點(diǎn)1 與平行四邊形性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算
1. 如圖，在 ABCD中，一定正確的是(　　)
A. AD＝CD B. AC＝BD C. AB＝CD D. CD＝BC
第1題圖　　
2. 如圖，在 ABCD中，AD＝5，AB＝12，sin A＝.過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，則sin ∠BCE＝________．
第2題圖
命題點(diǎn)2 與多邊形有關(guān)的計(jì)算
3. 若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是540°，則該多邊形的邊數(shù)為(　　)
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
拓展訓(xùn)練
4. 如圖，將正五邊形剪掉一個(gè)角(不經(jīng)過(guò)頂點(diǎn))，則∠1＋∠2的度數(shù)為________．
　
第4題圖
教材原題到重難考法
與平行四邊形有關(guān)的證明與計(jì)算
例　
如圖，在 ABCD中，連接AC，BD，并設(shè)它們相交于點(diǎn)O，OA與OC，OB與OD有什么關(guān)系？你能證明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論嗎？
　例題圖
變式題
1. 過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線
如圖，在 ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，DE⊥AB，垂足為E，AD＝3，DO＝2，AB＝5，求DE的長(zhǎng)．
　第1題圖
2. 連接OE，求△ODE的周長(zhǎng)
如圖，在 ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，DE⊥AB，垂足為E，連接OE，AD＝4，AB＝6，∠EDA＝30°，求△ODE的周長(zhǎng)．
　第2題圖
3. AE平分∠BAD如圖，在 ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E，且∠ADC＝60°.
(1)求證：AB＝AE；
(2)若＝，AC＝4，求 ABCD的面積．
　第3題圖
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)
1.如圖①是我國(guó)古建筑墻上采用的八角形空窗，其輪廓是一個(gè)正八邊形，窗外之境如同鑲嵌于一個(gè)畫框之中．如圖②是八角形空窗的示意圖，它的一個(gè)外角∠1＝(　　)
A. 45° B. 60° C. 110° D. 135°
圖①　 圖②
第1題圖
2. 如圖，在四邊形ABCD中，已知AD∥BC.添加下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是(　　)
A. AD＝BC B. AB∥DC C. AB＝DC D. ∠A＝∠C
第2題圖
3. 如圖，在 ABCD中AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，直線EF過(guò)點(diǎn)O，且分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則陰影部分的面積為(　　)
A. 3 B. 3 C. 6 D. 6
第3題圖　　　
4. 如圖， ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠ADC的平分線與邊AB相交于點(diǎn)P，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)，若AD＝4，CD＝6，則EO的長(zhǎng)為(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第4題圖
5.第29屆自貢國(guó)際恐龍燈會(huì)“輝煌新時(shí)代”主題燈組上有一幅不完整的正多邊形圖案，小華量得圖中一邊與對(duì)角線的夾角∠ACB＝15°，算出這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是(　　)
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
第5題圖
6. 如圖，在 ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于點(diǎn)E，若∠C＝70°，則∠BAE＝______°.
　
第6題圖
7. 如圖，在 ABCD中，點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，EF過(guò)點(diǎn)O且分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn).若AE＝10，則CF的長(zhǎng)為__________．
第7題圖　　
8. 如圖，三角形紙片ABC中，AC＝6，BC＝9，分別沿與BC，AC平行的方向，從靠近A的AB邊的三等分點(diǎn)剪去兩個(gè)角，得到的平行四邊形紙片的周長(zhǎng)是__________．
第8題圖
9. 如圖，正八邊形的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線AB，CD相交于點(diǎn)E，則線段BE的長(zhǎng)為__________．
第9題圖
10. 如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線BD上，且BE＝EF＝FD，連接AE，EC，CF，F(xiàn)A.
(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；
(2)若△ABE的面積等于2，求△CFO的面積．
第10題圖
綜合提升
11. 如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，且AM＝9，BD＝12，AD＝10，則sin ∠DBC的值是(　　)
A. B. C. D.
第11題圖　　　　
12.如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接OE，交AB于點(diǎn)F，則四邊形BCOF的面積與△AEF的面積的比值為__________．
第12題圖
平行四邊形與多邊形
1. (1)AD∥BC(答案不唯一)；
(2)∠BAD＝∠BCD(答案不唯一)；
(3)AB＝CD(答案不唯一)；
(4)BO＝OD(答案不唯一).
2. (1)4，5；【解析】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴對(duì)角線AC，BD互相平分，CD＝AB＝4，∴BO＝BD＝5；
(2)65°；【解析】∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAB.∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°，∵∠ABC＝50°，∴∠BAF＝＝65°；
(3)2；【解析】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴O為AC的中點(diǎn)，∵F為BC的中點(diǎn)，∴OF為△ABC的中位線，∴OF＝AB＝2；
(4)24，8＋4.【解析】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AO＝CO＝3，BO＝DO＝5，∵AB＝4，∴AB2＋AO2＝BO2，∴△OAB為直角三角形，∠OAB＝90°，∴ ABCD的面積為AB·AC＝4×6＝24，由勾股定理得BC＝＝2，∴ ABCD的周長(zhǎng)為2(AB＋BC)＝8＋4.
3. (1)120°，60°；【解析】∵六邊形ABCDEF為正六邊形，∴∠CDE＝∠ABC＝＝120°，∴∠EDG＝180°－∠CDE＝60°；
(2)9，6；【解析】∵六邊形ABCDEF為正六邊形，∴有＝9條對(duì)角線，6條對(duì)稱軸；
(3)2.【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AE于點(diǎn)H，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠AFE＝120°，AF＝EF，∴FH是AE的垂直平分線，∠HAF＝30°，∴AH＝AF·cos 30°＝2×＝，∴AE＝2AH＝2.
第3題解圖
知識(shí)逐點(diǎn)過(guò)
①相等　②相等　③平分　④平行
⑤相等　⑥平行且相等　⑦相等　⑧互相平分　⑨(n－2)·180°　⑩360°　 相等　

真題演練
1. C　【解析】四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等可得C選項(xiàng)正確．
2. 　【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CE于點(diǎn)F，∵DE⊥AB，AD＝5，sin A＝，∴DE＝4，∴AE＝＝3，∴BE＝AB－AE＝9.在Rt△CDE中，CE＝＝4，由等面積可得S△BCE＝BE·DE＝CE·BF，∴BF＝.又∵在 ABCD中，BC＝AD＝5，∴sin ∠BCE＝＝.
第2題解圖
3. B　【解析】設(shè)該多邊形的邊數(shù)是n，則(n－2)×180°＝540°，解得n＝5.
4. 288°　【解析】∵該多邊形為正五邊形，∴∠E＝＝108°，∴∠1＋∠2＝360°－(180°－∠E)＝288°.
教材原題到重難考法
例　解：OA＝OC，OB＝OD.證明如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO(AAS)，
∴OA＝OC，OB＝OD.
1. 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，DO＝2，
∴DB＝2DO＝4，
∵AD＝3，AB＝5，
∴AD2＋DB2＝AB2，
∴△ADB是直角三角形，∠ADB＝90°，
∵S△BAD＝ AD·DB＝AB·DE，
∴ ×3×4＝ ×5DE，
∴DE＝.
2. 解：∵DE⊥AB，∠EDA＝30°，O為BD中點(diǎn)，
∴AE＝AD＝2，OE＝OD＝BD，
∴BE＝AB－AE＝6－2＝4，
在Rt△ADE中，由勾股定理，
得DE＝＝＝2，
在Rt△BDE中，由勾股定理，得BD＝＝＝2，
∴OD＝OE＝，
∴△ODE的周長(zhǎng)為OD＋OE＋DE＝2＋2.
3. (1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∴AB＝AE；
(2)解：∵＝，
∴AB＝BC，
由(1)知，△ABE是等邊三角形，
∴AE＝BE＝BC，
∴AE＝CE，
∴∠AEB＝∠BAE＝60°，
∴∠ACE＝∠CAE＝30°，
∴∠BAC＝90°，
∴AB＝AC·tan 30°＝4，
∴S ABCD＝AB·AC＝4×4＝16.
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)
1. A　【解析】∵正多邊形的外角和為360°，∴正八邊形每個(gè)外角的度數(shù)為360°÷8＝45°，∴∠1＝45°.
2. C　【解析】此題考查了平行四邊形的判定. 當(dāng)AD∥BC，AD＝BC時(shí)，依據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故A選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)AB∥DC，AD∥BC時(shí)，依據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故B選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)AD∥BC，AB＝DC時(shí)，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故C選項(xiàng)符合題意；當(dāng)AD∥BC，∠A＝∠C時(shí)，可推出AB∥DC，依據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故D選項(xiàng)不符合題意．
3. B　【解析】 在 ABCD中，OB＝OD，AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO.∵∠EOD＝∠FOB，∴△EOD≌△FOB(ASA)，∴S△EOD＝S△FOB.如解圖，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G.
在 ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∴BG＝AB＝2，∴AG＝BG＝2，∴S ABCD＝BC·AG＝6×2＝12，∴S陰影＝S△EOD＋S△COF＝S△FOB＋S△COF＝S△BOC＝×S ABCD＝×12＝3.
第3題解圖
4. A　【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，CD＝6，∴AB∥CD，AB＝CD＝6，DO＝BO，∴∠CDP＝∠APD.∵DP平分∠ADC，∴∠ADP＝∠CDP，∴∠ADP＝∠APD，∵AD＝4，∴AP＝AD＝4，∴BP＝AB－AP＝6－4＝2.∵點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)，∴OE是△DPB的中位線，∴OE＝BP＝1.
5. D　【解析】由題意可知，AB＝BC，∠ACB＝15°，∴∠BAC＝15°，∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠BAC＝150°，∴這個(gè)正多邊形的一個(gè)外角為180°－150°＝30°，∴這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為＝12.
6. 50　【解析】∵BD＝CD，∠C＝70°，∴∠DBC＝∠C＝70°，∴∠BDC＝180°－∠DBC－∠C＝40°.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC＝40°.∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE＝90°－40°＝50°.
7. 10　【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO.∵點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，∴OD＝OB，∴△DOF≌△BOE(AAS)，∴DF＝BE，∴CD－DF＝AB－BE，∴CF＝AE＝10.
8. 14　【解析】如解圖，∵點(diǎn)D是AB邊上靠近A的三等分點(diǎn)，∴AB＝3AD，AB＝BD.∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴＝，∵BC＝9，∴＝，∴DF＝3.∵DE∥AC ，∴△BDE∽△BAC，∴＝，∵AC＝6，∴＝，∴DE＝4.由題意知四邊形DFCE為平行四邊形，∴CE＝DF＝3，CF＝DE＝4，∴得到的平行四邊形紙片的周長(zhǎng)為2(DF＋DE)＝14.
第8題解圖
9. 2＋　【解析】如解圖，由正八邊形的性質(zhì)可得CF∥AB，且正八邊形的每個(gè)外角為45°，∴∠CAB＝45°，同理可得∠ACD＝45°，∴AB⊥CD.過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，則四邊形CFGE為矩形，F(xiàn)G＝GB＝AE＝AC＝，EG＝CF＝2，∴BE＝EG＋BG＝2＋.
第9題解圖
10. (1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵BE＝DF，
∴OB－BE＝OD－DF，
∴OE＝OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形；
(2)解：設(shè)△ABE的面積為S1，△AEO的面積為S2，
由(1)，得OE＝OF，
∵BE＝EF，∴BE＝2OE，
∴＝＝2.
又∵S1＝2，∴S2＝1.
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO(SAS)，
∴△CFO的面積等于△AEO的面積，
∴△CFO的面積等于1.
11. A　【解析】 如解圖，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AM，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則四邊形ADEM是平行四邊形，∴DE＝AM＝9，ME＝AD＝10.∵點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，∴BM＝BC＝AD＝5，∴BE＝15.在△BDE中，∵BD2＋DE2＝BE2，∴△BDE是直角三角形，且∠BDE＝90°，∴sin ∠DBC＝＝＝.
第11題解圖
12. 　【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵BE∥AC，∴△AOF∽△BEF，△DAO∽△DEB，∴＝＝＝＝，∴BF＝2AF，EF＝2OF，∴S△OBF＝2S△AOF，S△AEF＝2S△AOF，S△BOC＝S△AOB，∴S四邊形BCOF＝S△BOC＋S△BOF＝S△AOB＋S△BOF＝5S△AOF，∴＝＝.

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