資源簡介

　矩　形
1. 如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O.
(1)若四邊形ABCD為平行四邊形，__________(請添加一個條件)，則四邊形ABCD是矩形；
【判定依據】____________________________；
(2)若四邊形ABCD為一般四邊形，且∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝________°，則四邊形ABCD是矩形；
【判定依據】____________________________．
第1題圖
2. 如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，對角線AC和BD相交于點O.
(1)若AC＝4，則BC＝________，OC＝________，BD＝________；
(2)若∠AOB＝60°，則AC＝________；
(3)若BC＝6，則矩形ABCD的面積為________．
第2題圖
知識逐點過
考點1 　矩形的性質及面積
邊 對邊平行且相等
角 四個角都是直角
對角線 矩形的對角線互相平分且相等
對稱性 既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，有①______條對稱軸，對稱中心為兩條②________的交點
面積公式 S＝③________
【溫馨提示】矩形的兩條對角線把矩形分成四個面積相等的等腰三角形
考點2 　矩形的判定
角 1. 有一個角是④________的平行四邊形是矩形； 2. 有三個角是⑤________的四邊形是矩形
對角線 對角線⑥________的平行四邊形是矩形
教材原題到重難考法
與矩形有關的證明與計算
例　
如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點A作BD的垂線，垂足為E.已知∠EAD＝3∠BAE，求∠EAO的度數．
　例題圖
變式題
1. AE垂直平分BO
如圖，四邊形ABCD是矩形，AC，BD相交于點O，AE垂直平分BO，若AE＝2，求OD的長．
　第1題圖
2. 延長AE交BC于點F，連接DF
如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AF垂直平分OB，交BD于點E，交BC于點F，連接DF，若AD＝3，求DF的長．
　第2題圖
真題演練
1. 如圖，在 ABCD中，∠ACB＝90°，過點D作DE⊥BC交BC的延長線于點E，連接AE交CD于點F.
(1)求證：四邊形ACED是矩形；
(2)連接BF，若∠ABC＝60°，CE＝2，求BF的長．
　第1題圖
基礎過關
1. 兩個矩形的位置如圖所示，若∠1＝α，則∠2＝(　　)
A. α－90° B. α－45°
C. 180°－α D. 270°－α
第1題圖　　
2. 如圖，將四根木條用釘子釘成一個矩形框架ABCD，然后向左扭動框架，觀察所得四邊形的變化．下面判斷錯誤的是(　　)
A. 四邊形ABCD由矩形變為平行四邊形 B. 對角線BD的長度減小
C. 四邊形ABCD的面積不變 D. 四邊形ABCD的周長不變
第2題圖
3. 如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O.若∠AOB＝60°，則＝(　　)
A. B. C. D.
第3題圖
4. 如圖，在矩形ABCD中，點E為BA延長線上一點，點F為CE的中點，以B為圓心，BF長為半徑的圓弧過AD與CE的交點G，連接BG.若AB＝4，CE＝10，則AG＝(　　)
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5
第4題圖
5. 如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點M，N分別為BC，OC的中點，若∠ACB＝30°，AB＝10，則MN的長為(　　)
A. 5 B. 5 C. 5 D. 4
第5題圖　　
6. 已知矩形的一邊長為6 cm，一條對角線的長為10 cm，則矩形的面積為________cm2.
7. (2023臺州)如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6.在邊AD上取一點E，使BE＝BC，過點C作CF⊥BE，垂足為點F，則BF的長為__________．
第7題圖
8. 如圖，點E在矩形ABCD的邊CD上，將△ADE沿AE折疊，點D恰好落在邊BC上的點F處，若BC＝10，sin ∠AFB＝，則DE＝__________．
第8題圖
9. 如圖，在 ABCD中，點E，F分別在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF.
(1)求證：四邊形AECF是矩形；
(2)若AE＝BE，AB＝2，tan ∠ACB＝，求BC的長．
第9題圖
綜合提升
10. 在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，下列說法能使四邊形ABCD為矩形的是(　　)
A. AB∥CD B. AD＝BC C. ∠A＝∠B D. ∠A＝∠D
11. 出入相補原理是我國古代數學的重要成就之一，最早是由三國時期數學家劉徽創建．“將一個幾何圖形，任意切成多塊小圖形，幾何圖形的總面積保持不變，等于所分割成的小圖形的面積之和”是該原理的重要內容之一．如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，對角線AC與BD交于點O，點E為BC邊上的一個動點，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分別為點F，G，則EF＋EG＝__________．
第11題圖
12. 如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延長CB至點D，使得BD＝CB，過點A，D分別作AE∥BD，DE∥BA，AE與DE相交于點E.下面是兩位同學的對話：
　第12題圖
(1)請你選擇一位同學的說法，并進行證明；
(2)連接AD，若AD＝5，＝，求AC的長．
矩　形
1. (1)∠ABC＝90°(答案不唯一)，
【判定依據】有一個角是直角的平行四邊形是矩形；
(2)90，
【判定依據】有三個角是直角的四邊形是矩形．
2. (1)2，2，4；(2)4；(3)12.
教材原題到重難考法
例　解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠BAD＝90°，OA＝OB，
∵∠EAD＝3∠BAE，
∴4∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝22.5°，
∵AE⊥BD，
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝67.5°，
∴∠BAO＝67.5°，
∴∠EAO＝∠BAO－∠BAE＝67.5°－22.5°＝45°.
1. 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB＝2OE，
∵AE＝2，
在Rt△AEO中，由勾股定理可得，OA2－OE2＝(2)2，即4OE2－OE2＝12，
∴OE＝2(負值已舍去)，
∴OD＝OB＝2OE＝4.
2. 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝3，OA＝OB＝OC＝OD，
∵AF垂直平分OB，
∴AB＝AO，
∴△OAB是等邊三角形，
設AB＝x，則BD＝2x，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得，AD2＋AB2＝BD2，即32＋x2＝(2x)2，
解得x＝(負值已舍去)，
∴AB＝，BD＝2，
∴CD＝，
∵△OAB是等邊三角形，AF⊥OB，
∴∠BAE＝ ∠BAO＝30°，
設BF＝y，則AF＝2y，
在Rt△ABF中，由勾股定理可得，BF2＋AB2＝AF2，即y2＋()2＝(2y)2，
解得y＝1(負值已舍去)，
∴BF＝1，CF＝2，
在Rt△CDF中，由勾股定理可得，CD2＋CF2＝DF2，即()2＋22＝DF2，解得DF＝，(負值已舍去)
∴DF＝.
知識逐點過
①兩?、趯蔷€　③ab?、苤苯恰、葜苯恰、尴嗟?br/>真題演練
1. (1)證明：∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥BC，
∴AC∥DE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，點E在BC的延長線上，
∴AD∥CE，
∴四邊形ACED是平行四邊形，
∵∠ACE＝90°，
∴四邊形ACED是矩形；
(2)解：∵四邊形ACED是矩形，四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AE＝CD＝AB，AF＝EF，AD＝CE＝CB＝2，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∴BF⊥AE，AB＝AE＝BE＝2CE＝2×2＝4，
∴∠AFB＝90°，AF＝AE＝×4＝2，
∴BF＝＝＝2，
∴BF的長為2.
基礎過關
1. C　【解析】如解圖，根據矩形的性質知，∠2＋∠4＝90°，∠3＋∠4＝90°，∴∠2＝∠3.∵∠1＋∠3＝180°，∴∠1＋∠2＝180°，∴∠2＝180°－α.
第1題解圖
2. C　【解析】將四根木條用釘子釘成一個矩形框架ABCD，然后向左扭動框架，∵兩組對邊的長度分別相等，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故A正確；∵向左扭動框架，∴BD的長度減小，故B正確；∵平行四邊形ABCD的底不變，高變小了，∴平行四邊形ABCD的面積變小，故C錯誤；∵平行四邊形ABCD的四條邊長度不變，∴四邊形ABCD的周長不變，故D正確．
3. D　【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∠ABC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB.∵∠AOB＝60°，∴∠ACB＝∠AOB＝30°，∴＝tan ∠ACB＝tan 30°＝.
4. C　【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.∵點F是CE的中點，∴BF＝CF＝EF＝CE＝5.由題意得BG＝BF＝5，∴AG＝＝＝3.
5. B　【解析】 ∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝BO＝OC，∵∠ACB＝30°，∴∠DBC＝∠ACB＝30°，∴∠AOB＝∠ACB＋∠OBC＝30°＋30°＝60°，∴△ABO是等邊三角形，∵AB＝10，∴OB＝AB＝10.∵點M，N分別為BC，OC的中點，∴MN是△BOC的中位線，∴MN＝OB＝5.
6. 48　【解析】∵矩形的一邊長為6 cm，一條對角線的長為10 cm，由勾股定理可得矩形的另一邊長為8 cm，∴矩形的面積為6×8＝48(cm2).
7. 2　【解析】∵四邊形ABCD是矩形，AD＝6，∴∠A＝90°，BC＝AD＝6，AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBC.∵CF⊥BE，∴∠A＝∠BFC，∵BE＝CB，∴△ABE≌△FCB(AAS)，∴AE＝BF.∵BC＝6，∴BE＝6，∵AB＝4，∴在Rt△BAE中，AE＝＝＝2，∴BF＝2.
8. 5　【解析】 ∵四邊形ABCD是矩形，BC＝10，∴AD＝BC＝10，AB＝CD，∠B＝∠C＝∠D＝90°.由折疊的性質可知，AF＝AD＝10，EF＝DE，∵sin ∠AFB＝，∴在Rt△ABF中，AB＝AF·sin ∠AFB＝8，∴BF＝＝6，CF＝BC－BF＝4.設EF＝DE＝a，CE＝CD－DE＝8－a.在Rt△FCE中，EF2＝CE2＋CF2，即a2＝(8－a)2＋42，解得a＝5，∴DE＝5.
9. (1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵點E，F分別在BC，AD上，BE＝DF，
∴AF＝CE，AF∥CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
又∵AC＝EF，
∴四邊形AECF是矩形；
(2)解：∵四邊形AECF是矩形，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∴在Rt△AEB中，AE2＋BE2＝AB2.
∵AE＝BE，AB＝2，
∴2AE2＝4，
∴AE＝BE＝.
∵tan ∠ACB＝，
∴＝，∴CE＝2，
∴BC＝BE＋CE＝＋2＝3.
10. C　【解析】 A．∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，由AB＝CD，不能判定四邊形ABCD為矩形，故選項A不符合題意；B.∵AD＝BC，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，由AB＝CD，不能判定四邊形ABCD為矩形，故選項B不符合題意；C.∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴AB的長為AD與BC間的距離，∵AB＝CD，∴CD⊥AD，CD⊥BC，∴∠C＝∠D＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，故選項C符合題意；D.∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，∠D＋∠C＝180°，∵∠A＝∠D，∴∠B＝∠C，∵AB＝CD，∴四邊形ABCD是等腰梯形，故選項D不符合題意．
11. 　【解析】如解圖，連接OE.∵四邊形ABCD是矩形，AB＝5，AD＝12，∴∠BAD＝90°，AB＝CD＝5，AD＝BC＝12，AC＝BD.在Rt△ABD中，BD＝＝13，∴AC＝BD＝13.∵對角線AC與BD交于點O，∴AO＝CO＝ BO＝DO＝.∵S△BCO＝S矩形ABCD＝×12×5＝15，∴S△BCO＝S△BEO＋S△CEO＝BO·EG＋CO·EF＝×(EG＋EF)＝15，∴EF＋EG＝15×＝.
第11題解圖
12. 解：(1)任選擇一位同學證明即可.
選擇小星的說法．
證明如下：如解圖，連接BE，
∵AE∥BD，AB∥DE，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AE＝BD.
又∵BC＝BD，∴AE＝BC，
∴四邊形ACBE是平行四邊形．
又∵∠C＝90°，
∴四邊形ACBE是矩形，
∴BE⊥CD；
第12題解圖
(2)如解圖，設CB＝2x，則AC＝3x，
∴BD＝BC＝2x，
∴CD＝4x.
在Rt△ACD中，∵∠C＝90°，
∴AD＝＝5x.
又∵AD＝5，
∴5x＝5，解得x＝，
∴AC＝3.

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