資源簡介

　菱　形
1. 如圖，已知四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O.
第1題圖
(1)若四邊形ABCD為平行四邊形，______________(請添加一個條件)，則四邊形ABCD為菱形；
【判定依據】________________________；
(2)若AB＝BC，AD＝CD，______________(請添加一個條件)，則四邊形ABCD為菱形；
【判定依據】________________________．
2. 如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，已知∠ABC＝60°，AB＝2.
第2題圖
(1)BC＝________，AO＝________，OC＝________，BO＝________；
(2)∠BCD＝________，∠ABD＝________，∠BAO＝________；
(3)菱形ABCD的周長為________，面積為________．
知識逐點過
考點1 　菱形的性質及面積
邊 對邊平行，四條邊①________
角 對角②________
對角線 對角線互相③________，并且每一條對角線④________一組對角(人教獨有)
對稱性 既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，有⑤______條對稱軸，對稱軸為兩條對角線所在的直線，對稱中心是兩條對角線的交點
面積公式 S＝ah＝mn
【溫馨提示】菱形的兩條對角線把菱形分成四個全等的直角三角形
考點2 　菱形的判定
邊 1.有一組⑥________的平行四邊形是菱形(定義)；2．⑦________相等的四邊形是菱形
對角線 對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形
真題演練
命題點 與菱形性質有關的計算
1. 菱形的邊長為5，則它的周長為________．
2. 如圖所示，已知四邊形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD＝∠FAD，∠BAD為銳角．
(1)求證：AD⊥BF；
(2)若BF＝BC，求∠ADC的度數．
　第2題圖
拓展訓練
3. 如圖，在邊長為5的菱形ABCD中，E，F分別為邊AB，BC的中點，連接BD，DE，DF，EF，若BD＝8，則△DEF的面積為________．
第3題圖
教材原題到重難考法
與菱形有關的證明與計算
例　
如圖，在菱形ABCD中，E，F分別是AB和BC上的點，且BE＝BF.
求證：(1)△ADE≌△CDF；
(2)∠DEF＝∠DFE.
　例題圖
變式題
1. 變菱形中所含的三角形頂角為特殊角，滿足120°角含60°角的半角模型
如圖，在菱形ABCD中，點E，F分別在AB，BC上，且∠A＝∠EDF＝60°.若AE＋CF＝6，求菱形ABCD的面積．
　第1題圖
2. 連接對角線，探究線段間的數量關系
如圖，在菱形ABCD中，E，F分別是AB，BC上的動點，AB＝4，AE＝BF，∠A＝60°，連接BD，DE，DF，EF，EF與BD相交于點G.
(1)求證：△AED≌△BFD；
(2)若BF＝1，求的值．
　第2題圖
基礎過關
1.如圖，在菱形ABCD中，連接AC，BD，若∠1＝20°，則∠2的度數為(　　)
A. 20° B. 60° C. 70° D. 80°
第1題圖　　　
2. 如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝4，BC＝6，將線段AB水平向右平移a個單位長度得到線段EF，若四邊形ECDF為菱形時，則a的值為(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第2題圖
3. 如圖，菱形ABCD對角線交點與坐標原點O重合，點A(－2，5)，則點C的坐標是(　　)
A. (5，－2) B. (2，－5) C. (2，5) D. (－2，－5)
第3題圖　
4. 如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，點E為邊BC的中點，連接OE.若AC＝6，BD＝8，則OE＝(　　)
A. 2 B. C. 3 D. 4
第4題圖
5. 如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于點O.請添加一個條件：__________，使四邊形ABCD成為菱形．
第5題圖
6. 若菱形的兩條對角線長分別為6和8，則該菱形的面積為__________．
7. 如圖，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，則AC的長為__________．
第7題圖　　　
8. 在菱形ABCD中，對角線AC與BD之比是3∶4，那么sin ∠BAC＝__________．
第8題圖
9. 如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分別為點B，D，若AB＝6 cm，則EF＝________cm.
第9題圖
10. 如圖，已知點A，D，C，B在同一條直線上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.
(1)求證：AE∥BF；
(2)若DF＝FC，求證：四邊形DECF是菱形．
第10題圖
綜合提升
11. 如圖，在 ABCD中，BC的垂直平分線EO交AD于點E，交BC于點O，連接BE，CE，過點C作CF∥BE，交EO的延長線于點F，連接BF.若AD＝8，CE＝5，則四邊形BFCE的面積為________.　
第11題圖
新考法推薦
12.(注重教材定理的證明)
思考我們知道，菱形的對角線互相垂直．反過來，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？可以發現并證明菱形的一個判定定理：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．
定理證明
(1)為了證明該定理，小明同學畫出了圖形(如圖①)，并寫出了“已知”和“求證”，請你完成證明過程．
已知：在 ABCD中，對角線BD⊥AC，垂足為點O.求證： ABCD是菱形．
知識應用
(2)如圖②，在 ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，AD＝5，AC＝8，BD＝6.
①求證： ABCD是菱形；
②延長BC至點E，連接OE交CD于點F，若∠E＝∠ACD，求的值．
圖①　圖②
第12題圖
　菱　形
1. (1)AC⊥BD(答案不唯一)
【判定依據】對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；
(2)AB＝AD(答案不唯一)
【判定依據】四條邊都相等的四邊形是菱形．
(1)2，1，1，；(2)120°，30°，60°；(3)8，2.
知識逐點過
①相等　②相等　③垂直且平分　④平分　⑤兩　⑥鄰邊相等　⑦四條邊
真題演練
1. 20　【解析】∵菱形的四條邊都相等，且邊長為5，∴菱形的周長為20.
2. (1)證明：∵四邊形ABCD，ADEF都是菱形，
∴AB＝AD＝AF，
∴△ABF是等腰三角形，
又∵∠BAD＝∠FAD，
∴AD⊥BF；(3分)
(2)解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AB∥CD，
由(1)知AB＝AD＝AF，
∴AB＝AF＝BF，
∴△ABF是等邊三角形，
∴∠BAF＝60°，(5分)
∵∠BAD＝∠FAD，
∴∠BAD＝30°，
又∵AB∥CD，
∴∠ADC＋∠BAD＝180°，
∴∠ADC＝180°－∠BAD ＝150°.(7分)
3. 9　【解析】如解圖，連接AC交BD于點O，記EF交BD于點G，∵四邊形ABCD為菱形，∴BD⊥AC，且AO＝CO，BO＝DO＝BD＝4，在Rt△ABO中，AB＝5，BO＝4，∴AO＝3，∴AC＝6，∵E，F分別為邊AB，BC的中點，∴EF為△ABC的中位線，∴EF＝3，GO＝BO＝2，∵DO＝4，∴DG＝6，∴S△DEF＝EF·DG＝×3×6＝9.
第3題解圖
教材原題到重難考法
例　證明：(1)∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠C，AB＝CB，AD＝CD，
∵BE＝BF，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF(SAS)；
(2)由(1)知△ADE≌△CDF，
∴DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE.
1. 解：如解圖，連接BD，
∵四邊形ABCD為菱形，∠A＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∴△ABD和△BCD均為等邊三角形，
∴CD＝BD，∠C＝∠DBE＝∠BDC＝60°，
∵∠EDF＝60°，
∴∠EDB＋∠BDF＝∠BDF＋∠FDC＝60°，
∴∠EDB＝∠FDC，
∴△DBE≌△DCF，
∴BE＝CF，
∵AE＋CF＝6，
∴AE＋BE＝6＝AB，
∴S菱形ABCD＝2S△ABD＝2×AB2＝18.
第1題解圖
2. (1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠C，
又∵∠A＝60°，
∴∠C＝60°，
∴△ABD和△BCD是等邊三角形，
∴∠A＝∠DBF＝60°，AD＝BD.
在△AED和△BFD中，
，
∴△AED≌△BFD(SAS)；
(2)解：如解圖，過點E作EM∥AD交BD于點M，
第2題解圖
由(1)知△ABD為等邊三角形，
∴∠A＝∠ABD＝60°，
∵EM∥AD，
∴∠BEM＝∠A＝∠ABD＝60°，
∴△BEM為等邊三角形，
∵AB＝4，BF＝1，
∴EM＝BE＝AB－AE＝AB－BF＝3，
∵EM∥AD，BF∥AD，
∴BF∥EM，
∴△BGF∽△MGE，
∴＝＝.
基礎過關
1. C　【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB∥CD，∴∠1＝∠ACD，∠ACD＋∠2＝90°.∵∠1＝20°，∴∠2＝90°－20°＝70°.
2. B　【解析】 ∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝4，∴AB∥CD，CE∥FD，CD＝AB＝4.∵將線段AB水平向右平移得到線段EF，∴AB∥EF∥CD，∴四邊形ECDF為平行四邊形．當CD＝CE＝4時，四邊形ECDF為菱形，此時a＝BE＝BC－CE＝6－4＝2.
3. B　【解析】∵四邊形ABCD是菱形且對角線交點與坐標原點O重合，∴OA＝OC，且點A與點C關于原點對稱．∵點A(－2，5)，∴點C的坐標是(2，－5).
4. B　【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC.∵BD＝8，AC＝6，∴OB＝4，OC＝3，∴BC＝＝＝5.在Rt△OBC中，∵∠BOC＝90°，點E是BC的中點，∴OE＝BC＝.
5. AD∥BC(或AB＝CD或OB＝OD 或∠ADB＝∠CBD等)　【解析】 當添加AD∥BC時，∵AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形；當添加AB＝CD時，∵AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形；當添加OB＝OD時，∵AD＝BC，AC⊥BD，∴Rt△ADO≌Rt△CBO(HL)，∴AO＝CO，DO＝BO，∴四邊形ABCD是菱形；當添加∠ADB＝∠CBD時，∴AD∥BC，∵AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形.
6. 24　【解析】 根據菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半可得，該菱形的面積為×6×8＝24.
7. 10　【解析】 ∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝BC.∵∠B＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∵AB＝10，∴AC＝AB＝10.
8. 　【解析】 由題意可設AC＝6x，BD＝8x，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝3x，OB＝4x，∴AB＝＝5x.在Rt△BAO中，sin ∠BAC＝＝＝.
9. 2　【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵∠DAB＝60°，∴∠EAB＝∠DCF＝30°，∠ADC＝120°，∴∠FDA＝∠FAD＝30°，∴AF＝DF，AB＝CD.∵BE⊥AB，DF⊥CD，∴∠ABE＝∠CDF＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△CDF(ASA)，∴BE＝DF.∴BE＝AF，在Rt△ABE中，設BE＝AF＝x，則AE＝2x，即x2＋62＝(2x)2，解得x＝2，∴EF＝AE－AF＝2.
10. 證明：(1)∵AD＝BC，
∴AD＋DC＝BC＋DC，
即AC＝BD.
在△AEC和△BFD中，
，
∴△AEC≌△BFD(SSS)，
∴∠A＝∠B，
∴AE∥BF；
(2)方法一：由(1)知，∠A＝∠B，
在△ADE和△BCF中，
∴△ADE≌△BCF(SAS)，
∴DE＝CF.
又∵EC＝DF，
∴四邊形DECF是平行四邊形．
∵DF＝FC，
∴四邊形DECF是菱形．
方法二：由(1)知，△AEC≌△BFD，
∴∠ECA＝∠FDB，
∴EC∥DF.
又∵EC＝DF，
∴四邊形DECF是平行四邊形．
∵DF＝FC，
∴四邊形DECF是菱形．
11. 24　【解析】∵CF∥BE，∴∠BEO＝∠CFO.∵BC的垂直平分線EO交AD于點E，∴BO＝CO，∠BOE＝∠COF＝90°，∴△BOE≌△COF(AAS)，∴BE＝CF，OE＝OF，∴四邊形BFCE為平行四邊形．∵EF⊥BC，∴ BFCE為菱形．∵在 ABCD中，AD＝8，∴BC＝8，∴OC＝BC＝4.∵CE＝5，∴在Rt△EOC中，OE＝＝＝3，∴S菱形BFCE＝BC·EF＝BC·2EO＝×8×2×3＝24.
12. (1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO＝CO，BO＝DO.
∵AC⊥BD，垂足為點O，
∴AC與BD相互垂直平分，
∴AB＝AD，
∴ ABCD是菱形；
(2)①證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，DO＝3.
∵AD＝5，
∴AD2＝AO2＋DO2，
∴△AOD是直角三角形且∠AOD＝90°，
∴AC⊥BD.
又∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴ ABCD為菱形；
②解：如解圖，過點O作OG∥BC交CD于點G.
由題意及(2)①易知菱形ABCD 中，AC⊥BD ，BO＝3，CO＝4，BC＝5，CA平分∠BCD，
∴∠BCO＝∠OCD＝∠BCD.
∵∠E＝∠ACD＝∠OCD，∠BCO＝∠E＋∠COE，
∴∠BCO＝2∠E，
∴∠COE＝∠E，
∴CE＝OC＝4.
∵OG∥BC，O為BD的中點，
∴OG為△BDC的中位線，
∴OG＝BC＝，△OFG∽△EFC，
∴＝ ，
∴＝ ，
∴＝.
第12題解圖

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