資源簡介

正方形
1. 如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O.
　第1題圖
(1)若四邊形ABCD是平行四邊形，請添加條件__________，使四邊形ABCD是正方形；
【判定依據】__________________________；
(2)若四邊形ABCD是矩形，請添加一個條件________，使四邊形ABCD是正方形；
【判定依據】__________________________；
(3)若四邊形ABCD是菱形，請添加一個條件________，使四邊形ABCD是正方形；
【判定依據】__________________________．
2. 如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O.
(1)∠ABC＝________，∠BAC＝________，∠COD＝________；
(2)若AB＝3，則BC＝________，CD＝________；
(3)若OA＝2，則AC＝________，BD＝________，AD＝________；
(4)若OA＝4，則正方形ABCD的面積是________，周長是________．
　第2題圖
知識逐點過
考點1 　正方形的性質及面積
邊 四條邊都相等，對邊平行
角 四個角都是直角
對角線 1.對角線相等且互相①________；2．每一條對角線平分一組對角
對稱性 既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有4條對稱軸，對稱中心是兩條②________的交點
面積公式 S＝a2＝l2
【溫馨提示】正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形
考點2 　正方形的判定
邊 1.有一組鄰邊相等，并且有一個角是③________的平行四邊形是正方形(定義)；2．有一組鄰邊④________的矩形是正方形
角 有一個角是⑤________的菱形是正方形
對角線 1.對角線⑥________的矩形是正方形； 2．對角線⑦________的菱形是正方形；3．對角線互相⑧__________的四邊形是正方形
考點3 　平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關系
從邊、角的角度看
從對角線的角度看
考點4 　中點四邊形
概念 依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形
原圖形 任意四邊形 矩形 菱形 正方形 對角線相等的四邊形 對角線垂直的四邊形 對角線垂直且相等的四邊形
中點四邊形形狀 平行四邊形 菱形 矩形 正方形 菱形 矩形 正方形
【溫馨提示】連接特殊四邊形中點的四邊形面積是原圖形的一半
教材原題到重難考法
與正方形有關的證明與計算
例　
如圖，在正方形ABCD中，點F為對角線AC上一點，連接BF，DF.你能找出圖中的全等三角形嗎？選擇其中一對進行證明．
　例題圖
變式題
1. 結合角度求線段長
如圖，正方形ABCD的邊長為4，點F為對角線AC上一點，連接BF，當∠CBF＝22.5°時，求AF的長．
　第1題圖
2. 過點F作AB邊的垂線
如圖，在正方形ABCD中，F是對角線AC上一點，作EF⊥AB于點E，連接DF，若BC＝6，BE＝2，求DF的長．
　第2題圖
3. 過點F分別作AB，BC邊的垂線
如圖，F是正方形ABCD對角線AC上一點，過點F分別作FE⊥AB，FG⊥BC，垂足分別為點E，G，連接DF，EG.
(1)求證：EG＝DF；
(2)若正方形的邊長為3＋，∠BGE＝30°，求DF的長．
　第3題圖
真題演練
命題點 正方形性質的相關計算
1. 如圖，正方形ABCD的邊長為4，延長CB至點E使EB＝2，以EB為邊在上方作正方形EFGB，延長FG交DC于M，連接AM，AF，H為AD的中點，連接FH分別與AB，AM交于點N，K .則下列結論：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN∶S△ADM＝1∶4.其中正確的結論有(　　)
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
第1題圖
2. 邊長分別為10，6，4的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上(如圖)，則圖中陰影部分的面積為________．
　
第2題圖
基礎過關
1. 正方形具有而菱形不具有的性質是(　　)
A. 對角線平分一組對角 B. 對角線相等
C. 對角線互相垂直平分 D. 四條邊相等
2. 若順次連接四邊形ABCD各邊的中點所得的四邊形是正方形，則四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD一定是(　　)
A. 互相平分 B. 互相垂直
C. 互相平分且相等 D. 互相垂直且相等
3.如圖，邊長為3的正方形OBCD兩邊與坐標軸正半軸重合，點C的坐標是(　　)
A. (3，－3) B. (－3，3) C. (3，3) D. (－3，－3)
第3題圖
4. 如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別在BC，CD上，連接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，則∠FEC一定等于(　　)
A. 2α B. 90°－2α C. 45°－α D. 90°－α
第4題圖
5.在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，試添加一個條件_________________________，
使得矩形ABCD為正方形．
6. 如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E在AD上，連接EB，EC，則圖中陰影部分的面積是__________．
第6題圖　
7. 七巧板是我國民間廣為流傳的一種益智玩具，某同學用邊長為4 dm的正方形紙板制作了一副七巧板，如圖所示，由5個等腰直角三角形，1個正方形和1個平行四邊形組成，則圖中陰影部分的面積為__________dm2.
第7題圖
8. 如圖，點P是正方形ABCD的對角線AC上的一點，PE⊥AD于點E，PE＝3.則點P到直線AB的距離為__________．
第8題圖　　　
9. 如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，E為BC上一點，CE＝7，點F為DE的中點，若△CEF的周長為32，則OF的長為__________．
第9題圖
10. 如圖，在正方形ABCD中，E為AD上一點，連接BE，BE的垂直平分線交AB于點M，交CD于點N，垂足為O，點F在DC上，且MF∥AD.
(1)求證：△ABE≌△FMN；
(2)若AB＝8，AE＝6，求ON的長．
第10題圖
綜合提升
11. 如圖，點E在正方形ABCD的對角線AC上，EF⊥AB于點F，連接DE并延長，交邊BC于點M，交邊AB的延長線于點G.若AF＝2，FB＝1，則MG＝(　　)
A. 2 B. C. ＋1 D.
第11題圖　　
12. 如圖，在正方形ABCD中，點E為BD上一點，DE＝3BE，連接AE，過點E作AE的垂線，交CD于點F，連接AF交BD于點G.下列結論：①sin ∠BAE＝；②∠EAF＝45°；③點F為CD的中點；④BE＋DG＝GE.其中正確的有(　　)
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
　
第12題圖
13. 第二十四屆國際數學家大會會徽的設計基礎是1700多年前中國古代數學家趙爽的“弦圖”．如圖，在由四個全等的直角三角形(△DAE，△ABF，△BCG，△CDH)和中間一個小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF>∠BAF，連接BE.設∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH與正方形ABCD的面積之比為1∶n，tan α＝tan2β，則n＝(　　)
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
第13題圖
　正方形
1. (1)AC＝BD，且AC⊥BD(答案不唯一)；
【判定依據】對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形(答案不唯一)；
(2)AC⊥BD(答案不唯一)；
【判定依據】對角線互相垂直的矩形是正方形；
(3)∠ABC＝90°(答案不唯一)，
【判定依據】有一個角是直角的菱形是正方形．
2. (1)90°，45°，90°；(2)3，3；(3)4，4，2；(4)32，16.
教材原題到重難考法
例　解：△ABC≌△ADC，△ABF≌△ADF，△CDF≌△CBF，理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA＝45°，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC(SAS)，
在△ABF和△ADF中，
，
∴△ABF≌△ADF(SAS)，
在△DCF和△BCF中，
，
∴△DCF≌△BCF(SAS).(選擇其中任意一對證明即可)
1. 解：在正方形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵∠CBF＝22.5°，
∴∠ABF＝∠ABC－∠CBF＝90°－22.5°＝67.5°，
∴∠AFB＝180°－∠BAC－∠ABF＝180°－45°－67.5°＝67.5°，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝4.
2. 解：如解圖，連接BF，
第2題解圖
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝6，∠EAF＝45°，
∵EF⊥AB，
∴EF＝AE＝AB－BE＝6－2＝4，
∴BF＝＝2，
∵正方形ABCD關于AC對稱，
∴DF＝BF＝2.
3. (1)證明：如解圖，連接FB.
∵四邊形ABCD為正方形，
∴DA＝AB，∠DAC＝∠BAC，
∵AF＝AF，
∴△DAF≌△BAF，
∴DF＝BF，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ABC＝90°，
∵FG⊥BC，FE⊥AB，
∴∠FGB＝∠FEB＝90°，
∴∠FGB＝∠FEB＝∠ABC＝90°，
∴四邊形FEBG是矩形，
∴EG＝FB，
∴EG＝DF；
(2)解：∵正方形的邊長為3＋，∠BGE＝30°，
∴BC＝3＋，
∴BG＝BC－CG＝3＋－CG，
∵∠BGE＝30°，
∴BG＝BE，
∵AC為正方形ABCD的對角線，
∴∠DCF＝∠BCF＝45°，
∵FG⊥BC，
∴∠FGC＝∠FGB＝90°，
∴∠CFG＝45°，
∴FG＝CG，
∵四邊形FEBG是矩形，
∴EB＝FG，
∴FG＝CG＝EB，
設FG＝CG＝EB＝x，
∴GE＝2x，
∴BG＝BE＝x，
∵BG＝BC－CG＝3＋－x，
∴3＋－x＝x，
∴x＝，
∴GE＝2x＝2，
∴DF＝BF＝GE＝2.
第3題解圖
知識逐點過
①垂直平分　②對角線　③直角　④相等　⑤直角　⑥互相垂直　⑦相等　⑧垂直平分且相等
真題演練
1. C　【解析】∵四邊形EFGB是正方形，EB＝2，∴FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，H為AD的中點，∴AD＝4，AH＝2，∠BAD＝90°，∴∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，∵∠ANH＝∠GNF，∴△ANH≌△GNF(AAS)，故①正確；∴∠AHN＝∠HFG，∵AG＝FG＝2＝AH，∴AF＝FG＝AH，∴∠AFH≠∠AHF，∵AD∥FG，∴∠AHF＝∠HFG，∴∠AFN≠∠HFG，故②錯誤；∵△ANH≌△GNF，∴AN＝ AG＝1，∵GM＝BC＝4，∴＝＝2，∵∠HAN＝∠AGM＝90°，∴△AHN∽△GMA，∴∠AHN＝∠AMG，∠MAG＝∠HNA，∴AK＝NK，∵AD∥GM，∴∠HAK＝∠AMG，∴∠AHK＝∠HAK，∴AK＝HK，∴AK＝HK＝NK，∵FN＝HN，∴FN＝2NK；故③正確；∵延長FG交DC于M，∴四邊形ADMG是矩形，∴DM＝AG＝2，∵S△AFN＝ AN·FG＝×2×1＝1，S△ADM＝ AD·DM＝ ×4×2＝4，∴S△AFN∶S△ADM＝1∶4，故④正確．
2. 15　【解析】如解圖，∵四邊形ABCD，ECGF，IGHK均為正方形，∴CD＝AD＝10，CE＝FG＝CG＝EF＝6，∠CEF＝∠F＝90°，GH＝IK＝4，∴CH＝CG＋GH＝10，∴CH＝AD，∵∠D＝∠DCH＝90°，∠AJD＝∠HJC，∴△ADJ≌△HCJ(AAS)，∴CJ＝DJ＝5，∴EJ＝1，∵GL∥CJ，∴△HGL∽△HCJ，∴＝＝，∴GL＝2，∴FL＝4，∴S陰影＝S梯形EJLF＝(EJ＋FL)·EF＝(1＋4)×6＝15.
第2題解圖
基礎過關
1. B
2. D　【解析】如解圖，點E，F，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點，則EH∥DB∥GF，HG∥AC∥EF，EF＝AC，FG＝BD，∴四邊形EFGH為平行四邊形．要使其為正方形，即EF⊥FG，FE＝FG，則AC⊥BD，AC＝BD，即對角線一定互相垂直且相等．
第2題解圖
3. C　【解析】 ∵邊長為3的正方形OBCD兩邊與坐標軸正半軸重合，∴OB＝BC＝3，∴C(3，3).
4. A　【解析】如解圖，將△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABG，則AF＝AG，∠DAF＝∠BAG.∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠GAE＝∠EAF＝45°.在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE(SAS)，∴∠AEF＝∠AEG.∵∠BAE＝α，∴∠AEB＝90°－α，∴∠AEF＝∠AEB＝90°－α，∴∠FEC＝180°－∠AEF－∠AEB＝180°－2(90°－α)＝2α.
第4題解圖
5. AB＝BC(答案不唯一，符合條件即可，如：AC⊥BD)　【解析】∵鄰邊相等的矩形是正方形，∴可添加條件AB＝BC；∵對角線互相垂直的矩形是正方形，∴還可以添加條件AC⊥BD.
6. 2　【解析】如解圖，過點E作EF⊥BC于點F.∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝2，AD∥BC，∴EF＝AB＝2，∴S△BCE＝BC·EF＝×2×2＝2.∵S正方形ABCD＝BC2＝22＝4，∴S陰影＝S正方形ABCD－S△BCE＝4－2＝2.
第6題解圖
7. 2　【解析】如解圖，依題意得OD＝AD＝2，OE＝OD＝，∴圖中陰影部分的面積為OE2＝()2＝2(dm2).
第7題解圖
8. 3　【解析】如解圖，過點P作PF⊥AB于點F.∵四邊形ABCD是正方形，AC是對角線，∴∠DAC＝∠BAC.∵PE⊥AD，PF⊥AB，∴PE＝PF.∵PE＝3，∴點P到直線AB的距離為PF＝3.
第8題解圖
9. 　【解析】∵CE＝7，△CEF的周長為32，∴CF＋EF＝32－7＝25.∵點F為DE的中點，∴DF＝EF.∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BCD＝90°，BC＝CD，∴CF＝EF＝DF＝，∴DE＝25，∴在Rt△DCE中，CD＝＝24，∴BC＝CD＝24.∵點O為BD的中點，∴OF是△BDE的中位線，∴OF＝(BC－CE)＝(24－7)＝.
10. (1)證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB＝AD，∠A＝∠D＝90°.
∵MF∥AD，
∴∠DFM＝90°，
∴四邊形ADFM為矩形，
∴MF＝AD＝AB.
∵MN垂直平分BE，
∴∠BOM＝90°，
∴∠ABE＋∠BMO＝90°.
∵∠FMN＋∠BMO＝90°，
∴∠ABE＝∠FMN.
在△ABE和△FMN中，
，
∴△ABE≌△FMN(ASA)；
(2)解：如解圖，連接ME.
∵MN垂直平分BE，
∴ME＝BM.
設BM＝x，則AM＝8－x，ME＝x.
在Rt△AME中，由勾股定理得ME2＝AE2＋AM2，即x2＝62＋(8－x)2.
解得x＝，即BM＝.
在Rt△ABE中，由勾股定理得BE＝＝10.
∵∠MBO＝∠EBA，∠MOB＝∠A，
∴△BOM∽△BAE，
∴＝，
∴OM＝＝＝.
由(1)知△ABE≌△FMN，
∴MN＝BE＝10，
∴ON＝MN－OM＝10－＝.
第10題解圖
11. B　【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴BC⊥AB，CD∥AB，CD＝AB.∵EF⊥AB，∴EF∥BC，∴＝.∵AF＝2，FB＝1，∴＝.∵CD∥AB，∴CD∥AG，∴∠DCE＝∠GAE，∠CDE＝∠AGE，∴△DCE∽△GAE，∴＝＝，∴AG＝2CD，∴CD＝AB＝BG.∵∠DCM＝∠GBM＝90°，∠DMC＝∠GMB，∴△DCM≌△GBM(AAS)，∴DM＝GM＝DG.∵AF＝2，FB＝1，∴AB＝3.∵AD＝AB＝3，∴AG＝6，∴在Rt△DAG中，DG＝＝3，∴MG＝.
12. B　【解析】 如解圖，延長AE交BC于點H.∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，AD∥BC，∴△ADE∽△HBE，∴＝，∵DE＝3BE，∴AD＝3HB，∴AB＝3HB，在Rt△ABH中，由勾股定理得AH＝＝HB，∴sin ∠BAE＝＝，①錯誤；如解圖，過點E分別作AB，CD的垂線，交AB，CD于點M，N，∴∠AME＝∠ENF＝90°，∴∠AEM＋∠MAE＝90°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEM＋∠NEF＝90°，∴∠MAE＝∠NEF，∵∠MBE＝45°，∴MB＝ME，∵AB＝MN，∴AM＝EN，∴△AME≌△ENF，∴AE＝EF，∵∠AEF＝90°，∴∠EAF＝45°，②正確；∵△AME≌△ENF，∴ME＝NF＝MB，∵BE＝ME，∴CF＝2ME＝BE，∵DE＝3BE，∴BD＝4BE，∴CD＝BD＝2BE，∴CD＝2CF，∴點F為CD的中點，③正確；∵點F為CD的中點，∴DF＝CD＝AB，∵AB∥CD，∴△FDG∽△ABG，∴＝＝，∴DG＝BD，GB＝BD，設BE＝x，則DE＝3x，BD＝4x，∴DG＝x，GB＝x，∴GE＝GB－BE＝x，∴BE＋DG＝x≠GE，④錯誤．
第12題解圖
C　【解析】設BF＝a，AF＝b，則AB＝，EF＝b－a，∴tan α＝tan ∠BAF＝＝，tan β＝tan ∠BEF＝＝.∵正方形EFGH∽正方形ABCD，∴＝()2＝＝＝.∵tan α＝tan2β，∴＝.∴(b－a)2＝ab，b2＋a2－2ab＝ab，∴a2＋b2＝3ab，∴n＝＝＝＝3.

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