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圓的基本性質(zhì)
1.如圖，在⊙O中，A，B，C，D是⊙O上的點，AD是⊙O的直徑，B是的中點，若∠AOC＝120°，則∠AOB＝________，∠BOC＝________，∠COD＝________，與的大小關(guān)系為________，AB與CD的數(shù)量關(guān)系為________．
第1題圖
2. 如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦．AB與CD交于點E，且AB⊥CD，連接OC.
(1)＝________，＝________；
(2)若CD＝4，AE＝6，則CE＝________，OC＝________．
　
第2題圖
3. 如圖，點A，B，C，D是⊙O上的點，AD是⊙O的直徑，∠CBD＝70°，則∠CAD＝________，∠AOC＝________，∠ABC＝________．
第3題圖　
4. 如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長線上一點．
(1)若∠BAD＝52°，則∠DCE＝________°；
(2)若∠ABC＝100°，則∠ADC＝________°.
第4題圖
5. 如圖，△ABC的外接圓半徑為5，其圓心O恰好在中線CD上，若AB＝CD，則△ABC的面積為________．
第5題圖
6. 如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O.
第6題圖
(1)∠ADB的度數(shù)為________；
(2)若⊙O的直徑為6，則線段BC的長為________．
知識逐點過
考點1 　圓的有關(guān)概念及性質(zhì)
1. 相關(guān)概念
圓 在一個平面內(nèi)，線段繞它固定的一個端點旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點所形成的圖形叫做圓
弦 連接圓上任意兩點的線段叫做弦，如圖中AC，BC
直徑 經(jīng)過①________的弦叫做直徑
弧 圓上任意兩點間的部分叫做圓弧；小于半圓的弧叫做劣弧，如圖中；大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，如圖中
圓周角 在圓中，頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角，如圖中②______
圓心角 頂點在③________的角叫做圓心角，如圖中④________
【溫馨提示】不在同一直線上的三點確定一個圓
2. 性質(zhì)
對稱性 圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任何一條直徑所在的直線；圓也是中心對稱圖形，⑤________是它的對稱中心
旋轉(zhuǎn)不變性 圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能與自身重合
考點2 　垂徑定理及其推論
定理 垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧
推論 平分弦(不是直徑)的直徑⑥________于弦，并且⑦_(dá)_______弦所對的兩條弧
【溫馨提示】根據(jù)圓的對稱性，在以下5個結(jié)論中：①＝；②＝；③AE＝BE(AB不是直徑)；④CD⊥AB；⑤CD是直徑，只要滿足其中兩個結(jié)論，另外三個結(jié)論就一定成立，即“知二推三”
考點3 　弦、弧、圓心角之間的關(guān)系
定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧⑧________，所對的弦也⑨________；如圖，在⊙O中，若∠AOB＝∠COD，則＝⑩______，AB＝ ______
推論 1. 在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角和弦分別 __________；如圖，若＝，則∠AOB＝ ________，AB＝CD；2. 在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角和弧分別 ________；如圖，若AB＝CD，則∠AOB＝∠COD， ________＝
考點4 　圓周角定理及其推論
定理 圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的 ________
推論 1. 同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角 ________；2. 直徑(或半圓)所對的圓周角是 ________，90°的圓周角所對的弦是 ________
常見圖形及結(jié)論 圖① 圖② 圖③
∠APB＝∠AOB
應(yīng)用 如圖①，已知AP是⊙O的直徑，點B是圓上一點，連接AB，則有∠ABP＝90°
【溫馨提示】1. 一條弦對著兩條弧，這兩條弧所對的圓周角互補；2. 一條弧只對著一個圓心角，卻對著無數(shù)個圓周角
考點5 　三角形的外接圓及外心
圓心 外心(三角形三條邊的 ____________的交點)
性質(zhì) 三角形的外心到三角形______________
角度關(guān)系 ∠BOC＝2∠A
【知識拓展】1. 直角三角形外接圓的半徑：R＝c(c為斜邊長)；2. 等邊三角形外接圓的半徑：R＝a(a為邊長)
考點6 圓內(nèi)接四邊形
概念 如果一個四邊形的四個頂點都在同一個圓上，則這個四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形
性質(zhì) 1. 圓內(nèi)接四邊形的對角________，如圖，∠A＋∠BCD＝______，∠B＋∠D＝________；2. 圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的________，如圖，∠DCE＝________
考點7 　正多邊形與圓
中心角 θ＝ 設(shè)正n邊形的邊長為a
邊心距 r＝
周長 C＝na
面積 S＝nar＝lr
真題演練
命題點 與圓周角、圓心角有關(guān)的計算
1. 如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝50°，則∠D＝(　　)
A. 20° B. 40° C. 50° D. 80°
第1題圖
2. 如圖，AB是⊙O的直徑，點C為圓上一點，AC＝3，∠ABC的平分線交AC于點D，CD＝1, 則⊙O的直徑為(　　)
第2題圖
A. B. 2 C. 1 D. 2
3. 同圓中，已知所對的圓心角是100°，則所對的圓周角是________．
教材原題到重難考法
與圓基本性質(zhì)有關(guān)的證明及計算
例　
如圖，A，B，C，D是⊙O上的四點，AC為⊙O的直徑，∠BAD和∠BCD之間有什么關(guān)系？為什么？
　例題圖
變式題
連接BD，結(jié)合角平分線
如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，∠ADB＝∠CDB.
(1)試判斷△ABC的形狀，并給出證明；
(2)若AB＝，AD＝1，求CD的長度．
　第1題圖
2. 線段AC未經(jīng)過圓心，結(jié)合線段相等
如圖，AD與△ABC的外接圓交于點D，設(shè)DB與AC交于點E，若DA＝DE，∠ADB＝∠BDC，⊙O的半徑為5，BC＝6，求BE的長．
　第2題圖
基礎(chǔ)過關(guān)
1. 如圖，點A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，則∠AOB的度數(shù)為(　　)
A. 95° B. 100° C. 105° D. 110°
第1題圖　　　
2. 如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC，BD為對角線，BD經(jīng)過圓心O.若∠BAC＝40°，則∠DBC的度數(shù)為(　　)
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
第2題圖
3. 我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一道題：“今有圓材，徑二尺五寸，欲為方版，令厚七寸，問廣幾何？”結(jié)合題圖，其大意是：今有圓形材質(zhì)，直徑BD為25寸，要做成方形板材，使其厚度CD達(dá)到7寸，則BC的長是(　　)
A. 寸 B. 25寸 C. 24寸 D. 7寸
第3題圖
4. 如圖，已知點A，B，C在⊙O上，點C為的中點，若∠BAC＝35°，則∠AOB等于(　　)
A. 140° B. 120° C. 110° D. 70°
第4題圖
5. 如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點P.若∠A＝48°，∠APD＝80°，則∠B的度數(shù)為(　　)
A. 32° B. 42° C. 48° D. 52°
第5題圖　　　
6.如圖，AB是⊙O的直徑，D，C是⊙O上的點，∠ADC＝115°，則∠BAC的度數(shù)是(　　)
A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°
第6題圖
7. 如圖，⊙O是△ABC的外接圓，若∠C＝25°，則∠BAO＝(　　)
A. 25° B. 50° C. 60° D. 65°
第7題圖
8. 陜西飲食文化源遠(yuǎn)流長，“老碗面”是陜西地方特色美食之一．圖②是從正面看到的一個“老碗”(圖①)的形狀示意圖，是⊙O的一部分，點D是的中點，連接OD，與弦AB交于點C，連接OA，O B.已知AB＝24 cm，碗深CD＝8 cm，則⊙O的半徑OA為(　　)
A. 13 cm B. 16 cm C. 17 cm D. 26 cm
圖①
　
圖②
第8題圖
9. 如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，連接OC，OD，則∠BAE－∠COD＝(　　)
A. 60° B. 54° C. 48° D. 36°
第9題圖
10. 如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6.
(1)尺規(guī)作圖：過點O作AC的垂線，交劣弧于點D，連接CD(保留作圖痕跡，不寫作法)；
(2)在(1)所作的圖形中，求點O到AC距離及sin ∠ACD的值．
第10題圖
綜合提升
11. 如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB.
(1)求證DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
(2)過點C作CF∥AD交AB的延長線于點F.若AC＝AD，BF＝2，求此圓半徑的長．
第11題圖
12.如圖，某博覽會上有一圓形展示區(qū)，在其圓形邊緣的點P處安裝了一臺監(jiān)視器，它的監(jiān)控角度是55°，為了監(jiān)控整個展區(qū)，最少需要在圓形邊緣上共安裝這樣的監(jiān)視器__________臺．
　第12題圖
　圓的基本性質(zhì)
1. 60°，60°，60°，＝，AB＝CD.
2. (1)，；
(2)2，.【解析】如解圖，連接OD，∵OC＝OD，OE⊥CD，∴點E是CD的中點，∴CE＝DE＝2，設(shè)OC＝r，∴AO＝r，∵AE＝6，∴OE＝6－r，∵AE⊥CD，∴在Rt△OCE中，OC2＝OE2＋EC2，即r2＝22＋(6－r)2，解得r＝.
第2題解圖
3. 70°，40°，20°.【解析】∵＝，∴∠CAD＝∠CBD＝70°，∵AO＝CO，∴∠OAC＝∠OCA＝70°，∴∠AOC＝40°，∵＝，∴∠ABC＝∠AOC＝20°.
4. (1)52；【解析】∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠A＋∠BCD＝180°，∴∠BCD＝128°，∴∠DCE＝180°－∠BCD＝52°.
(2)80.
5. 32　【解析】如解圖，連接OA，則OA＝OC＝5，∵圓心O恰好在中線CD上，∴AB＝2AD，CD⊥AB，設(shè)AD＝x，則CD＝AB＝2x，OD＝CD－OC＝2x－5，在Rt△OAD中，OD2＋AD2＝OA2，∴(2x－5)2＋x2＝52，解得x＝4，∴CD＝AB＝2x＝8，∴S△ABC＝AB·CD＝×8×8＝32.
第5題解圖
6. (1)30°；【解析】如解圖，連接OB，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∠AOB＝＝60°，∴∠ADB＝∠AOB＝×60°＝30°.
第6題解圖
(2)3.【解析】∵AD為⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°，∵∠OAB＝60°，∴∠ADB＝30°，∴AB＝AD＝3，∵六邊形ABCDEF為正六邊形，∴BC＝AB＝3.
廣東近6年真題
1. B　【解析】∵AB是⊙O直徑，∠BAC＝50°，∴∠ACB＝90°，∠B＝180°－50°－90°＝40°，∵＝，∴∠D＝∠B＝40°.
2. B　【解析】如解圖，過點D作DE⊥AB于點E，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵BD平分∠ABC，∴DE＝CD＝1.∵AD＝AC－CD＝3－1＝2，∴在Rt△ADE中，sin A＝＝，∴∠A＝30°，在Rt△ABC中，AB＝＝＝2.
第2題解圖
3. 50°　【解析】∵所對的圓心角是100°，∴所對的圓周角為×100°＝50°.
教材原題到重難考法
例　解：∠BAD＋∠BCD＝180°，理由如下：
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠BAD＋∠BCD＝360°－(∠ABC＋∠ADC)＝180°.
1. 解：(1)△ABC為等腰直角三角形．
證明：∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，
∵∠ADB＝∠CDB，
∴∠ADB＝45°.
∵∠ADB和∠ACB為同弧所對的圓周角，
∴∠ACB＝∠ADB＝45°，
∴△ABC為等腰直角三角形；
(2)由(1)知△ABC為等腰直角三角形，
∵AB＝，
∴AC＝AB＝×＝2，
∵在Rt△ACD中，AD＝1，
∴CD＝＝＝.
2. 解：如解圖，連接OB，OC，設(shè)OB交AC于點F，
∵∠ADB＝∠BDC，
∴＝，
∴OB⊥AC，OB＝OC＝5，
設(shè)OF＝x，則BF＝5－x，
∴CF2＝52－x2＝62－(5－x)2，解得x＝，
∴OF＝，BF＝，
在Rt△OCF中，CF＝＝＝，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA.
∵∠DAC＝∠DBC，∠DEA＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠DBC，
∴EC＝BC＝6，
∴EF＝EC－CF＝6－＝，
在Rt△BEF中，BE＝＝＝.
第2題解圖
知識逐點過
①圓心　②∠ACB　③圓心　④∠AOB　⑤圓心　⑥垂直　⑦平分　⑧相等　⑨相等　⑩
CD　 相等　 ∠COD　 相等
　 一半　 相等　 直角　 直徑　 垂直平分線　各頂點的距離相等　互補　180°　180°　內(nèi)對角　∠A
基礎(chǔ)過關(guān)
1．D　【解析】根據(jù)圓周角定理可得∠AOB＝2∠C＝110°.
2. B　【解析】 ∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD經(jīng)過圓心O，∴∠BCD＝90°.∵∠BDC＝∠BAC＝40°，∴∠DBC＝90°－∠BDC＝50°.
3. C　【解析】 ∵BD是圓的直徑，∴∠BCD＝90°.∵BD＝25，CD＝7，∴在Rt△BCD中，由勾股定理得BC＝＝24(寸).
4. A　【解析】如解圖，連接OC.∵∠BAC＝35°，∴∠BOC＝70°.∵點C是的中點，∴∠AOC＝∠BOC＝70°，∴∠AOB＝140°.
第4題解圖
5. A　【解析】∵∠A＝48°，∠APD＝80°，∴∠C＝80°－48°＝32°，∴∠B＝∠C＝32°.
6. A　【解析】 ∵四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，AB是⊙O的直徑，∠ADC＝115°，∴∠ABC＝180°－∠ADC＝65°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°－65°＝25°.
【一題多解】 如解圖，連接OC.∵∠ADC＝115°，∴所對的圓心角為2×115°＝230°，∴∠BOC＝230°－180°＝50°，∴∠BAC＝∠BOC＝25°.
第6題解圖
7. D　【解析】 如解圖，連接OB.∵＝，∠C＝25°，∴∠AOB＝2∠C＝50°.∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝×(180°－∠AOB)＝65°.
第7題解圖
8. A　【解析】∵點D是的中點，OD是⊙O的半徑，∴OD垂直平分AB，∵AB＝24，∴AC＝AB＝12 cm.設(shè)OA＝r cm，則OC＝(r－8)cm，在Rt△AOC中，由勾股定理得r2＝122＋(r－8)2，解得r＝13，即半徑OA的長為13 cm.
9. D　【解析】由題意得∠BAE＝＝108°，∠COD＝＝72°，∴∠BAE－∠COD＝108°－72°＝36°.
10. 解：(1)作AC的垂線如解圖所示；
【作法提示】 分別以點A，C為圓心，大于AC為半徑畫弧，在AC的兩側(cè)分別相交于P，Q兩點，畫直線PQ交劣弧于點D，交AC于點E，即作線段AC的垂直平分線，由垂徑定理可知，直線PQ一定過點O.
(2)如解圖，連接OC.
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°.
在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10.
∵OD⊥AC，OA＝OC，
∴AE＝CE＝AC＝4.
∵OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位線，
∴OE＝BC＝3.
由于PQ過圓心O，且PQ⊥AC，即點O到AC的距離為3.
在Rt△CDE中，∵DE＝OD－OE＝5－3＝2，CE＝4，
∴CD＝＝＝2，
∴sin ∠ACD＝＝＝.
第10題解圖
11. 解：(1)∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴AD＝CD.
∵＝，
∴∠BAC＝∠BDC.
∵∠BAC＝∠ADB，
∴∠BDC＝∠ADB，
∴DB平分∠ADC，DE⊥AC，
∴∠ADB＋∠DAE＝90°，
∴∠BAC＋∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝90°；
【一題多解】 ∵＝，
∴∠BAC＝∠BDC.
∵∠BAC＝∠ADB，
∴∠BDC＝∠ADB，
∴DB平分∠ADC.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，
∴∠ABD＋∠ADB＝(∠ABC＋∠ADC)＝90°，
∴∠BAD＝90°；
(2)∵AC＝AD，且由(1)得AD＝CD，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠ADC＝60°，
∴∠BDC＝∠ADC＝30°，∠ABC＝180°－∠ADC＝120°，
∴∠CBF＝60°.
∵∠BAD＝90°，
∴BD是此圓的直徑，
∴∠BCD＝90°.
∵CF∥AD，
∴∠F＝180°－∠BAD＝90°，
∴∠BCF＝90°－∠CBF＝30°.
∵BF＝2，
∴BC＝2BF＝4，
∴BD＝2BC＝8，
即此圓的直徑是8，
∴此圓的半徑是4.
12. 4　【解析】∵同弧所對的圓周角度數(shù)等于圓心角度數(shù)的一半，∴要覆蓋整個展區(qū)所需的監(jiān)控角度之和要不少于180°，則最少需要4臺監(jiān)視器．

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