資源簡介

(共45張PPT)
7．1　復數的概念
7．1.1　數系的擴充和復數的概念
第七章　復　數
學習指導 核心素養
1.通過方程的解，了解引進復數的必要性． 2.理解復數的基本概念及復數相等的充要條件． 1.數學抽象：復數的相關概念及復數的分類．
2.數學運算：能用復數相等求參數的值．
01
必備知識　落實
知識點一　復數的有關概念
(1)定義
形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中i叫做__________，滿足i2＝_____．
(2)表示方法
復數通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做復數z的_____，b叫做復數z的_____．
(3)復數集
全體復數所構成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做復數集．
虛數單位
－1
實部
虛部
√
2．若復數z＝(2a－1)＋(3＋a)i(a∈R)的實部與虛部相等，則a＝________．
解析：由題意知2a－1＝3＋a，解得a＝4.
4
知識點二　復數相等
在復數集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取兩個數a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，規定：a＋bi與c＋di相等當且僅當_______ 且_______．
a＝c
b＝d

已知兩個復數相等求參數的一般步驟
(1)將等式兩邊整理為a＋bi(a，b∈R)的形式．
(2)由復數相等的充要條件得到由實數等式所組成的方程(組).
(3)解方程(組)，求出相應的參數．
[注意]　只有兩個復數為實數時，才能比較大小．
　　 　　 復數z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，則m＝________．
解析：因為m∈R，z1＝z2，
所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.
由復數相等的充要條件得
解得m＝5.
5
(2)復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系
實數
虛數
a＝0
a≠0

利用復數的分類求參數的方法及注意事項
(1)利用復數的分類求參數時，首先應將復數化為標準的代數形式z＝a＋bi(a，b∈R)，得到實部與虛部，再求解．
(2)要注意確定使實部、虛部的式子有意義的條件，再結合實部與虛部的取值求解．
(3)要特別注意復數z＝a＋bi(a，b∈R)為純虛數的充要條件是a＝0且b≠0.
√
－3
02
課堂鞏固　自測
√
1.下列說法中正確的是(　　)
A．復數由實數、虛數、純虛數構成
B．若復數z＝x＋yi(x，y∈R)是虛數，則必有x≠0
C．在復數z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，則復數z一定不是純虛數
D．若a，b∈R且a＞b，則a＋i＞b＋i
1
2
3
4
1
2
3
4
解析：選項A錯，復數由實數與虛數構成，在虛數中又分為純虛數和非純虛數；
選項B錯，若復數z＝x＋yi(x，y∈R)是虛數，則必有y≠0，但可以x＝0；
選項C正確，若復數z＝x＋yi(x，y∈R)是純虛數，必有x＝0，y≠0，因此只要x≠0，復數z一定不是純虛數；
選項D錯，當a，b∈R時，a＋i與b＋i都是虛數，不能比較大小．
√
1
2
3
4
2．若a，b∈R，i是虛數單位，且b＋(a－2)i＝1＋i，則a＋b的值為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由b＋(a－2)i＝1＋i，得b＝1，a＝3，所以a＋b＝4.
√
3．若復數z＝m2－1＋(m2－m－2)i為純虛數，則實數m的值為(　　)
A．－1 B．±1
C．1 D．－2
解析：因為復數z＝m2－1＋(m2－m－2)i為純虛數，所以m2－m－2≠0，且m2－1＝0，解得m＝1.
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
03
課后達標　檢測
6
7
8
9
10
11
1
2
3
4
5
[A　基礎達標]
1．已知復數z1＝1＋3i的實部與復數z2＝－1－ai的虛部相等，則實數a等于(　　)
A．－3 B．3
C．－1 D．1
解析：已知1＋3i的實部為1，－1－ai的虛部為－a，由題意得a＝－1.
√
12
√
6
7
8
9
10
11
1
2
3
4
5
12
3．設a，b∈R，i是虛數單位，則“ab＝0”是“復數a－bi為純虛數”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：若復數a－bi為純虛數，則a＝0且b≠0，故ab＝0.而由ab＝0不一定能得到復數a－bi是純虛數，故“ab＝0”是“復數a－bi為純虛數”的必要不充分條件．
√
6
7
8
9
10
11
1
2
3
4
5
12
4．(多選)已知i為虛數單位，下列命題中正確的是(　　)
A．若a≠0，則ai是純虛數
B．虛部為－　 的虛數有無數個
C．實數集是復數集的真子集
D．兩個復數相等的一個必要條件是它們的實部相等
√
6
7
8
9
10
11
1
2
3
4
5
12
√
√
6
7
8
9
10
11
1
2
3
4
5
12
6
7
8
9
10
11
1
2
3
4
5
12
2
±2
6
7
8
9
10
11
1
2
3
4
5
12
－2i
6
7
8
9
10
11
1
2
3
4
5
12
6
7
8
9
10
11
1
2
3
4
5
12
[B　能力提升]
8．已知復數z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的實部大于虛部，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(－1，3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
解析：由已知可得a2＞2a＋3，即a2－2a－3＞0，
解得a＞3或a＜－1，
因此，實數a的取值范圍是(－∞，－1)∪(3，＋∞).
√
6
7
8
9
10
11
1
2
3
4
5
12
9．(多選)已知i為虛數單位，下列命題中正確的是(　　)
A．若x，y∈C，則x＋yi＝1＋i的充要條件是x＝y＝1
B．(a2＋1)i(a∈R)是純虛數
C．－1沒有平方根
D．當m＝4時，復數lg (m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是純虛數
√
6
7
8
9
10
11
1
2
3
4
5
12
√
6
7
8
9
10
11
1
2
3
4
5
12
6
7
8
9
10
11
1
2
3
4
5
12
－1
2
6
7
8
9
10
11
1
2
3
4
5
12
0
6
7
8
9
10
11
1
2
3
4
5
12
6
7
8
9
10
11
1
2
3
4
5
12
6
7
8
9
10
11
1
2
3
4
5
12中小學教育資源及組卷應用平臺
7．1　復數的概念
7．1.1　數系的擴充和復數的概念
學習指導 核心素養
1.通過方程的解，了解引進復數的必要性． 2.理解復數的基本概念及復數相等的充要條件． 1.數學抽象：復數的相關概念及復數的分類． 2.數學運算：能用復數相等求參數的值．
知識點一　復數的有關概念
(1)定義
形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中i叫做虛數單位，滿足i2＝－1．
(2)表示方法
復數通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做復數z的實部，b叫做復數z的虛部．
(3)復數集
全體復數所構成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做復數集．
(1)i2＝－1并不是說i＝±，只是說明i就是－1的一個平方根，即方程x2＝－1的一個根，方程x2＝－1的另一個根是－i.
(2)復數a＋bi(a，b∈R)中，虛部是i的實數系數，不含i，不能說虛部為bi，也不能說虛部系數為b.
1．以3i－的虛部為實部，以－3＋i的實部為虛部的復數是(　　)
A．3－3i B．3＋i
C．－＋i D．＋i
2．若復數z＝(2a－1)＋(3＋a)i(a∈R)的實部與虛部相等，則a＝________．
知識點二　復數相等
在復數集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取兩個數a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，規定：a＋bi與c＋di相等當且僅當a＝c 且b＝d．
　(1)已知x＋y－xyi＝24i－5，其中x，y∈R，求x，y的值；
(2)已知a2＋ma＋2＋(2a＋m)i＝0(m∈R)成立，求實數a的值．
已知兩個復數相等求參數的一般步驟
(1)將等式兩邊整理為a＋bi(a，b∈R)的形式．
(2)由復數相等的充要條件得到由實數等式所組成的方程(組).
(3)解方程(組)，求出相應的參數．
[注意]　只有兩個復數為實數時，才能比較大小．
復數z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，則m＝________．
知識點三　復數的分類
(1)復數z＝a＋bi(a，b∈R)
(2)復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系
　已知復數z＝(m2－2m)＋i，其中m∈R.試求當m為何值時，
(1)z是實數？(2)z是虛數？(3)z是純虛數？
利用復數的分類求參數的方法及注意事項
(1)利用復數的分類求參數時，首先應將復數化為標準的代數形式z＝a＋bi(a，b∈R)，得到實部與虛部，再求解．
(2)要注意確定使實部、虛部的式子有意義的條件，再結合實部與虛部的取值求解．
(3)要特別注意復數z＝a＋bi(a，b∈R)為純虛數的充要條件是a＝0且b≠0.
1．若復數(a2－3a＋2)＋(a－1)i是純虛數，則實數a的值為(　　)
A．1 B．2
C．1或2 D．－1
2．若復數z＝(m＋1)＋(m2－9)i＜0，則實數m的值為________．
1.下列說法中正確的是(　　)
A．復數由實數、虛數、純虛數構成
B．若復數z＝x＋yi(x，y∈R)是虛數，則必有x≠0
C．在復數z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，則復數z一定不是純虛數
D．若a，b∈R且a＞b，則a＋i＞b＋i
2．若a，b∈R，i是虛數單位，且b＋(a－2)i＝1＋i，則a＋b的值為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
3．若復數z＝m2－1＋(m2－m－2)i為純虛數，則實數m的值為(　　)
A．－1 B．±1
C．1 D．－2
4．當實數m取什么值時，復數z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－8)i是下列數？
(1)純虛數；(2)0.
[A　基礎達標]
1．已知復數z1＝1＋3i的實部與復數z2＝－1－ai的虛部相等，則實數a等于(　　)
A．－3 B．3
C．－1 D．1
2．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，則2x＋2y的值為(　　)
A． B．2
C．0 D．1
3．設a，b∈R，i是虛數單位，則“ab＝0”是“復數a－bi為純虛數”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．(多選)已知i為虛數單位，下列命題中正確的是(　　)
A．若a≠0，則ai是純虛數
B．虛部為－的虛數有無數個
C．實數集是復數集的真子集
D．兩個復數相等的一個必要條件是它們的實部相等
5．已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，則實數m＝________，n＝________．
6．已知a，b∈R，i為虛數單位，復數z＝a＋bi與4－b2＋(4b－8)i均是純虛數，則z＝________．
7．分別求滿足下列條件的實數x，y的值．
(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；
(2)＋(x2－2x－3)i＝0.
[B　能力提升]
8．已知復數z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的實部大于虛部，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(－1，3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
9．(多選)已知i為虛數單位，下列命題中正確的是(　　)
A．若x，y∈C，則x＋yi＝1＋i的充要條件是x＝y＝1
B．(a2＋1)i(a∈R)是純虛數
C．－1沒有平方根
D．當m＝4時，復數lg (m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是純虛數
10．定義運算＝ad－bc，若(x＋y)＋(x＋3)i＝，則實數x＝________，y＝________．
11．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，若z1為純虛數，則a＝________．若z1＞z2，則a的值為________．
12．當實數m為何值時，復數z＝(m2＋m－6)i＋是：
(1)實數？
(2)虛數？
(3)純虛數？
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
7．1　復數的概念
7．1.1　數系的擴充和復數的概念
學習指導 核心素養
1.通過方程的解，了解引進復數的必要性． 2.理解復數的基本概念及復數相等的充要條件． 1.數學抽象：復數的相關概念及復數的分類． 2.數學運算：能用復數相等求參數的值．
知識點一　復數的有關概念
(1)定義
形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中i叫做虛數單位，滿足i2＝－1．
(2)表示方法
復數通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做復數z的實部，b叫做復數z的虛部．
(3)復數集
全體復數所構成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做復數集．
(1)i2＝－1并不是說i＝±，只是說明i就是－1的一個平方根，即方程x2＝－1的一個根，方程x2＝－1的另一個根是－i.
(2)復數a＋bi(a，b∈R)中，虛部是i的實數系數，不含i，不能說虛部為bi，也不能說虛部系數為b.
1．以3i－的虛部為實部，以－3＋i的實部為虛部的復數是(　　)
A．3－3i B．3＋i
C．－＋i D．＋i
解析：選A.3i－的虛部為3，－3＋i的實部為－3.所以所求的復數z＝3－3i.
2．若復數z＝(2a－1)＋(3＋a)i(a∈R)的實部與虛部相等，則a＝________．
解析：由題意知2a－1＝3＋a，解得a＝4.
答案：4
知識點二　復數相等
在復數集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取兩個數a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，規定：a＋bi與c＋di相等當且僅當a＝c 且b＝d．
　(1)已知x＋y－xyi＝24i－5，其中x，y∈R，求x，y的值；
(2)已知a2＋ma＋2＋(2a＋m)i＝0(m∈R)成立，求實數a的值．
【解】　(1)因為x，y∈R，所以x＋y∈R，xy∈R，
依題意，得
解得或
(2)由兩個復數相等的充要條件，
得
解得或
故實數a的值為或－.
已知兩個復數相等求參數的一般步驟
(1)將等式兩邊整理為a＋bi(a，b∈R)的形式．
(2)由復數相等的充要條件得到由實數等式所組成的方程(組).
(3)解方程(組)，求出相應的參數．
[注意]　只有兩個復數為實數時，才能比較大?。?br/>復數z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，則m＝________．
解析：因為m∈R，z1＝z2，
所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.
由復數相等的充要條件得
解得m＝5.
答案：5
知識點三　復數的分類
(1)復數z＝a＋bi(a，b∈R)
(2)復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系
　已知復數z＝(m2－2m)＋i，其中m∈R.試求當m為何值時，
(1)z是實數？(2)z是虛數？(3)z是純虛數？
【解】　(1)當z是實數時，應滿足＝0，
即解得m＝4或m＝－2.
(2)當z是虛數時，應滿足≠0，
即因此m≠4且m≠－2且m≠0.
(3)當z是純虛數時，應滿足
解得m＝2.
利用復數的分類求參數的方法及注意事項
(1)利用復數的分類求參數時，首先應將復數化為標準的代數形式z＝a＋bi(a，b∈R)，得到實部與虛部，再求解．
(2)要注意確定使實部、虛部的式子有意義的條件，再結合實部與虛部的取值求解．
(3)要特別注意復數z＝a＋bi(a，b∈R)為純虛數的充要條件是a＝0且b≠0.
1．若復數(a2－3a＋2)＋(a－1)i是純虛數，則實數a的值為(　　)
A．1 B．2
C．1或2 D．－1
解析：選B.根據復數的分類知，需滿足
解得
即a＝2.
2．若復數z＝(m＋1)＋(m2－9)i＜0，則實數m的值為________．
解析：因為z＜0，所以
解得m＝－3.
答案：－3
1.下列說法中正確的是(　　)
A．復數由實數、虛數、純虛數構成
B．若復數z＝x＋yi(x，y∈R)是虛數，則必有x≠0
C．在復數z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，則復數z一定不是純虛數
D．若a，b∈R且a＞b，則a＋i＞b＋i
解析：選C.選項A錯，復數由實數與虛數構成，在虛數中又分為純虛數和非純虛數；選項B錯，若復數z＝x＋yi(x，y∈R)是虛數，則必有y≠0，但可以x＝0；選項C正確，若復數z＝x＋yi(x，y∈R)是純虛數，必有x＝0，y≠0，因此只要x≠0，復數z一定不是純虛數；選項D錯，當a，b∈R時，a＋i與b＋i都是虛數，不能比較大?。?br/>2．若a，b∈R，i是虛數單位，且b＋(a－2)i＝1＋i，則a＋b的值為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：選D.由b＋(a－2)i＝1＋i，得b＝1，a＝3，所以a＋b＝4.
3．若復數z＝m2－1＋(m2－m－2)i為純虛數，則實數m的值為(　　)
A．－1 B．±1
C．1 D．－2
解析：選C.因為復數z＝m2－1＋(m2－m－2)i為純虛數，所以m2－m－2≠0，且m2－1＝0，解得m＝1.
4．當實數m取什么值時，復數z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－8)i是下列數？
(1)純虛數；(2)0.
解：(1)當時，
復數z是純虛數，
所以m＝－3.
(2)當時，復數z＝0，
所以m＝－2.
[A　基礎達標]
1．已知復數z1＝1＋3i的實部與復數z2＝－1－ai的虛部相等，則實數a等于(　　)
A．－3 B．3
C．－1 D．1
解析：選C.已知1＋3i的實部為1，－1－ai的虛部為－a，由題意得a＝－1.
2．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，則2x＋2y的值為(　　)
A． B．2
C．0 D．1
解析：選A.由復數相等的充要條件知，解得所以x＋2y＝－1，所以2x＋2y＝2－1＝.
3．設a，b∈R，i是虛數單位，則“ab＝0”是“復數a－bi為純虛數”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選B.若復數a－bi為純虛數，則a＝0且b≠0，故ab＝0.而由ab＝0不一定能得到復數a－bi是純虛數，故“ab＝0”是“復數a－bi為純虛數”的必要不充分條件．
4．(多選)已知i為虛數單位，下列命題中正確的是(　　)
A．若a≠0，則ai是純虛數
B．虛部為－的虛數有無數個
C．實數集是復數集的真子集
D．兩個復數相等的一個必要條件是它們的實部相等
解析：選BCD.對于A，若a＝i，則ai＝i2＝－1，不是純虛數，故A錯誤；對于B，虛部為－的虛數可以表示為m－i(m∈R)，有無數個，故B正確；顯然，C正確；兩個復數相等一定能推出實部相等，必要性成立，但兩個復數的實部相等推不出兩個復數相等，充分性不成立，故D正確．故選BCD.
5．已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，則實數m＝________，n＝________．
解析：由復數相等的充要條件知
解得
答案：2　±2
6．已知a，b∈R，i為虛數單位，復數z＝a＋bi與4－b2＋(4b－8)i均是純虛數，則z＝________．
解析：由題意知且所以
所以z＝－2i.
答案：－2i
7．分別求滿足下列條件的實數x，y的值．
(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；
(2)＋(x2－2x－3)i＝0.
解：(1)因為x，y∈R，所以由復數相等的充要條件得解得
(2)因為x∈R ，所以由復數相等的充要條件得即所以x＝3.
[B　能力提升]
8．已知復數z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的實部大于虛部，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(－1，3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
解析：選B.由已知可得a2＞2a＋3，即a2－2a－3＞0，
解得a＞3或a＜－1，
因此，實數a的取值范圍是(－∞，－1)∪(3，＋∞).
9．(多選)已知i為虛數單位，下列命題中正確的是(　　)
A．若x，y∈C，則x＋yi＝1＋i的充要條件是x＝y＝1
B．(a2＋1)i(a∈R)是純虛數
C．－1沒有平方根
D．當m＝4時，復數lg (m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是純虛數
解析：選BD.取x＝i，y＝－i，則x＋yi＝1＋i，但不滿足x＝y＝1，故A錯誤； a∈R，a2＋1＞0恒成立，所以(a2＋1)i是純虛數，故B正確；－1的平方根為±i，故C錯誤；復數lg (m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是純虛數等價于解得m＝4，故D正確．故選BD.
10．定義運算＝ad－bc，若(x＋y)＋(x＋3)i＝，則實數x＝________，y＝________．
解析：由定義得＝3x＋2y＋yi，
所以(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
因為x，y為實數，所以
即解得
答案：－1　2
11．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，若z1為純虛數，則a＝________．若z1＞z2，則a的值為________．
解析：由z1為純虛數，得解得a＝.
由z1＞z2，得解得a＝0.
答案：　0
12．當實數m為何值時，復數z＝(m2＋m－6)i＋是：
(1)實數？
(2)虛數？
(3)純虛數？
解：(1)由得m＝2.
所以當m＝2時，z是實數．
(2)由得
即m≠2且m≠－3.
所以當m≠2且m≠－3時，z是虛數．
(3)由得
即m＝3或m＝4.
所以當m＝3或m＝4時，z是純虛數．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑