資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
9．2.3　總體集中趨勢的估計
學習指導 核心素養
1.結合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢參數 (平均數、中位數、眾數). 2．理解集中趨勢參數的統計含義． 1.數學抽象：辨析眾數、中位數、平均數的含義． 2．數學運算、數據分析：利用樣本的數字特征估計總體的數字特征．
知識點　眾數、中位數和平均數的定義
(1)眾數：一組數據中出現次數最多的數．
(2)中位數：一組數據按大小順序排列后，處于中間位置的數．如果個數是偶數，則取中間兩個數據的平均數．
(3)平均數：一組數據的和除以數據個數所得到的數．
　在一次中學生田徑運動會上，參加男子跳高的17名運動員的成績如下表所示：
成績(單位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人數 2 3 2 3 4 1 1 1
分別求這17名運動員成績的眾數、中位數與平均數．
平均數、眾數、中位數的計算方法
平均數一般是根據公式來計算的；計算眾數、中位數時，可先將這組數據按從小到大或從大到小的順序排列，再根據各自的定義計算．
[提醒]　如果樣本平均數遠大于樣本中位數，說明數據中存在較大的極端值．
1．已知一組數據從小到大排列為－1，0，4，x，6，15，且這組數據的中位數是5，那么這組數據的眾數為(　　)
A．5 B．6
C．4 D．5.5
2．給定一組數據15，17，14，10，12，17，17，16，14，12，設這組數據的平均數為a，中位數為b，眾數為c，則(　　)
A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
考點一　中位數、眾數、平均數的應用
　高二(2)班有男生27名，女生21名，在一次物理測試中，男生的平均分是82分，中位數是75分，女生的平均分是80分，中位數是80分．
(1)求這次測試全班的平均分(精確到0.01)；
(2)估計全班成績在80分以下(含80分)的學生至少有多少名；
(3)男生的平均分與中位數相差較大的主要原因是什么？
利用樣本數字特征進行決策時的兩個關注點
(1)平均數與每一個數據都有關，可以反映更多的總體信息，但受極端值的影響較大；中位數是樣本數據所占頻率的等分線，不受極端值的影響；眾數只能體現數據的最大集中點，無法客觀反映總體特征．
(2)當平均數大于中位數時，說明數據中存在許多較大的極端值；反之，說明數據中存在許多較小的極端值．
某公司為了了解一年內的用水情況，抽取了10天的用水量如表所示：
用水量/t 22 38 40 41 44 50 95
天數/天 1 1 1 2 2 1 2
(1)在這10天中，該公司用水量的平均數是多少？每天用水量的中位數是多少？
(2)你認為應該用平均數和中位數中的哪一個來描述該公司每天的用水量？
考點二　根據頻率分布直方圖求平均數、中位數和眾數
　某校從參加高二年級學業水平測試的學生中抽出80名學生，其數學成績(均為整數)的頻率分布直方圖如圖所示．
(1)求這次測試數學成績的眾數；
(2)求這次測試數學成績的中位數．
用頻率分布直方圖估計眾數、中位數、平均數
(1)眾數：取最高小長方形底邊中點的橫坐標作為眾數．
(2)中位數：在頻率分布直方圖中，把頻率分布直方圖劃分為左右兩個面積相等的部分的分界線與x軸交點的橫坐標稱為中位數．
(3)平均數：平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和．
為了調查某廠工人生產某種產品的能力，隨機抽查了20位工人某天生產該產品的數量得到的頻率分布直方圖如圖，則：
(1)這20名工人中一天生產該產品數量在[55，75)的人數是______；
(2)這20名工人中一天生產該產品數量的平均數為______.
1．一組數據30，29，28，27，26，24，23，22的中位數為(　　)
A．26 B．27
C．26和27 D．26.5
2．一組數據a，0，1，2，3，若該組數據的平均值為1，則a＝(　　)
A．0 B．2
C．1 D．－1
3．某班全體學生參加物理測試成績(單位：分)的頻率分布直方圖如圖所示，則估計該班物理測試的平均成績是(　　)
A．70分 B．75分
C．68分 D．66分
4．某高校有甲、乙兩個數學建模興趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．現分析兩個班的一次考試成績，算得甲班的平均成績是90分，乙班的平均成績是81分，則該校數學建模興趣班的平均成績是________分．
[A　基礎達標]
1．在一次體育測試中，某班的6名同學的成績(單位：分)分別為66，83，87，83，77，96.關于這組數據，下列說法錯誤的是(　　)
A．眾數是83 B．中位數是83
C．極差是30 D．平均數是83
2．某射擊小組有20人，教練將他們某次射擊的數據繪制成如下表格，則這組數據的眾數和中位數分別是(　　)
環數 5 6 7 8 9 10
人數 1 2 7 6 3 1
A．7，7 B．8，7.5
C．7，7.5 D．8，6
3．已知一組數據x1，x2，x3，x4，x5的平均數是2，那么另一組數據2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均數為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
4．從某中學高三年級甲、乙兩個班各選出7名學生參加數學競賽，他們取得的成績(滿分100分)如下：
甲：79　78　80　x　85　92　96
乙：72　81　81　y　91　91　96
其中甲班學生成績的平均分和乙班學生成績的中位數都是85，則x＋y的值為(　　)
A．152 B．168
C．190 D．170
5．一組數據1，10，5，2，x，2，且2＜x＜5，若該數據的眾數是中位數的倍，則該數據的平均數為(　　)
A．3 B．4
C．4.5 D．5
6．(多選)已知一組數據按從小到大排列為0，4，5，x，8，10，12，15，且這組數據的中位數是7，則下列結論正確的是(　　)
A．x＝6 B．該數據的平均數為7.5
C．該數據的25%分位數是4.5 D．該數據的25%分位數是6
7．10名學生開展“1分鐘跳繩比賽”，他們的成績分別為65，67，64，60，65，67，67，66，64，62，其眾數為________．
8．一個樣本按從小到大的順序排列為10，12，13，x，17，19，21，24，其中位數為16，則x＝________．
9．如圖所示是某學校高一(1)班期中考試成績的統計圖．根據該圖可估計，這次考試的平均成績為________分．
10．某小區廣場上有甲、乙兩群市民正在進行晨練，兩群市民的年齡如下(單位：歲).
甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；
乙群：54，3，4，4，5，6，6，6，6，56.
(1)甲群市民年齡的平均數、中位數和眾數各是多少歲？其中哪個統計量能較好地反映甲群市民的年齡特征？
(2)乙群市民年齡的平均數、中位數和眾數各是多少歲？其中哪個統計量能較好地反映乙群市民的年齡特征？
[B　能力提升]
11．2022年2月20日，第24屆冬季奧林匹克運動會閉幕，中國代表團奪得9枚金牌、4枚銀牌、2枚銅牌，下表是本屆冬奧會奪得金牌數前10名的代表團獲得的金牌數、銀牌數、銅牌數、獎牌總數：
排名 代表團 金牌數 銀牌數 銅牌數 獎牌總數
1 挪威 16 8 13 37
2 德國 12 10 5 27
3 中國 9 4 2 15
4 美國 8 10 7 25
5 瑞典 8 5 5 18
6 荷蘭 8 5 4 17
7 奧地利 7 7 4 18
8 瑞士 7 2 5 14
9 俄羅斯奧委會 6 12 14 32
10 法國 5 7 2 14
則對這10個代表團來說，下列結論正確的是(　　)
A．金牌數的眾數是16
B．銀牌數的中位數是7
C．銅牌數的平均數是9
D．獎牌數總數的極差是22
12．如圖，是根據某班學生在一次數學考試中的成績畫出的頻率分布直方圖，記由該直方圖得到的數學考試成績的眾數、中位數和平均數分別為a，b，c則(　　)
A．b＞c＞a B．a＞b＞c
C．＞b D．＞c
13．(多選)某班班主任為了了解該班學生寒假期間做家務勞動的情況，隨機抽取該班15名學生，調查得到這15名學生寒假期間做家務勞動的天數分別是8，18，15，20，16，20，19，18，19，10，6，20，20，23，25，則下列結論正確的是(　　)
A．這組數據的中位數是18
B．這組數據的眾數是20
C．若在記錄數據時，漏掉了一個數據，則新數據的眾數是20
D．若在記錄數據時，漏掉了一個數據，則新數據的中位數是19
14．隨著移動互聯網的發展，與餐飲美食相關的手機app軟件層出不窮．現從某市使用A和B兩款訂餐軟件的商家中分別隨機抽取100個商家，對它們的“平均送達時間”進行統計，得到頻率分布直方圖如下．
(1)試估計該市使用A款訂餐軟件的商家的“平均送達時間”的眾數及平均數(同一組中的數據用該組區間的中點值代表)；
(2)如果以“平均送達時間”的平均數作為決策依據，從A和B兩款訂餐軟件中選擇一款訂餐，你會選擇哪款？
[C　拓展沖刺]
15．為了普及環保知識，增強環保意識，某大學隨機抽取30名學生參加環保知識測試，得分(10分制)如圖所示，假設得分的中位數為m，眾數為n，平均數為，則m，n，的大小關系為________．(用“＜”連接)
16．甲、乙兩人在相同條件下各打靶10次，每次打靶的成績情況如圖所示：
(1)請填寫下表：
平均數 中位數 命中9環以上的次數(含9環)
甲 7
乙
(2)從下列三個不同角度對這次測試結果進行分析：
①從平均數和中位數相結合看，誰的成績好些？
②從平均數和命中9環及9環以上的次數相結合看，誰的成績好些？
③從折線圖中兩人射擊命中環數的走勢看，誰更有潛力？
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)(共65張PPT)
9．2　用樣本估計總體
9．2.3　總體集中趨勢的估計
第九章　統　計
學習指導 核心素養
1.結合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢參數 (平均數、中位數、眾數). 2．理解集中趨勢參數的統計含義． 1.數學抽象：辨析眾數、中位數、平均數的含義．
2．數學運算、數據分析：利用樣本的數字特征估計總體的數字特征．
01
必備知識　落實
知識點　眾數、中位數和平均數的定義
(1)眾數：一組數據中出現次數最多的數．
(2)中位數：一組數據按大小順序排列后，處于中間位置的數．如果個數是偶數，則取中間兩個數據的平均數．
(3)平均數：一組數據的和除以數據個數所得到的數．
　　　在一次中學生田徑運動會上，參加男子跳高的17名運動員的成績如下表所示：


分別求這17名運動員成績的眾數、中位數與平均數．
成績(單位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人數 2 3 2 3 4 1 1 1
平均數、眾數、中位數的計算方法
平均數一般是根據公式來計算的；計算眾數、中位數時，可先將這組數據按從小到大或從大到小的順序排列，再根據各自的定義計算．
[提醒]　如果樣本平均數遠大于樣本中位數，說明數據中存在較大的極端值．
1．已知一組數據從小到大排列為－1，0，4，x，6，15，且這組數據的中位數是5，那么這組數據的眾數為(　　)
A．5 B．6
C．4 D．5.5
√
2．給定一組數據15，17，14，10，12，17，17，16，14，12，設這組數據的平均數為a，中位數為b，眾數為c，則(　　)
A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
√
02
關鍵能力　提升
考點一　中位數、眾數、平均數的應用
　　　高二(2)班有男生27名，女生21名，在一次物理測試中，男生的平均分是82分，中位數是75分，女生的平均分是80分，中位數是80分．
(1)求這次測試全班的平均分(精確到0.01)；
(2)估計全班成績在80分以下(含80分)的學生至少有多少名；
【解】　因為男生的中位數是75分，
所以至少有14人得分不超過75分．
又因為女生的中位數是80分，
所以至少有11人得分不超過80分．
所以全班至少有25人成績在80分以下(含80分).
(3)男生的平均分與中位數相差較大的主要原因是什么？
【解】　男生的平均分與中位數的差別較大，說明男生成績兩極分化現象嚴重，高分的和低分的相差較大．
利用樣本數字特征進行決策時的兩個關注點
(1)平均數與每一個數據都有關，可以反映更多的總體信息，但受極端值的影響較大；中位數是樣本數據所占頻率的等分線，不受極端值的影響；眾數只能體現數據的最大集中點，無法客觀反映總體特征．
(2)當平均數大于中位數時，說明數據中存在許多較大的極端值；反之，說明數據中存在許多較小的極端值．
　　　　　某公司為了了解一年內的用水情況，抽取了10天的用水量如表所示：
用水量/t 22 38 40 41 44 50 95
天數/天 1 1 1 2 2 1 2
(1)在這10天中，該公司用水量的平均數是多少？每天用水量的中位數是多少？
(2)你認為應該用平均數和中位數中的哪一個來描述該公司每天的用水量？
解：平均數受數據中的極端值(2個95)影響較大，使平均數在估計總體時可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位數描述每天的用水量更合適．
考點二　根據頻率分布直方圖求平均數、中位數和眾數
　　　某校從參加高二年級學業水平測試的學生中抽出80名學生，其數學成績(均為整數)的頻率分布直方圖如圖所示．

(1)求這次測試數學成績的眾數；
(2)求這次測試數學成績的中位數．
【解】　設中位數為x，由于前三個小矩形的面積之和為(0.005＋0.015＋0.020)×10＝0.4，第四個小矩形的面積為0.030×10＝0.3，0.3＋0.4>0.5，因此中位數位于第四個小矩形內，得0.1＝0.030(x－70)，解得x≈73.3.故這次測試數學成績的中位數為73.3.
用頻率分布直方圖估計眾數、中位數、平均數
(1)眾數：取最高小長方形底邊中點的橫坐標作為眾數．
(2)中位數：在頻率分布直方圖中，把頻率分布直方圖劃分為左右兩個面積相等的部分的分界線與x軸交點的橫坐標稱為中位數．
(3)平均數：平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和．
　　　　　為了調查某廠工人生產某種產品的能力，隨機抽查了20位工人某天生產該產品的數量得到的頻率分布直方圖如圖，則：

(1)這20名工人中一天生產該產品數量在[55，75)的人數是______；
解析：在[55，75)的人數為(0.040×10＋0.025×10)×20＝13.
答案：13　
(2)這20名工人中一天生產該產品數量的平均數為______.
解析：0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.
答案：64
03
課堂鞏固　自測
1．一組數據30，29，28，27，26，24，23，22的中位數為(　　)
A．26 B．27
C．26和27 D．26.5
√
2．一組數據a，0，1，2，3，若該組數據的平均值為1，則a＝(　　)
A．0 B．2
C．1 D．－1
√
3．某班全體學生參加物理測試成績(單位：分)的頻率分布直方圖如圖所示，則估計該班物理測試的平均成績是(　　)

A．70分 B．75分
C．68分 D．66分
解析：平均成績就是頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標的和，即0.005×20×30＋0.010×20×50＋0.020×20×70＋0.015×20×90＝68(分).
√
4．某高校有甲、乙兩個數學建模興趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．現分析兩個班的一次考試成績，算得甲班的平均成績是90分，乙班的平均成績是81分，則該校數學建模興趣班的平均成績是________分．



答案：85
04
課后達標　檢測
[A　基礎達標]
1．在一次體育測試中，某班的6名同學的成績(單位：分)分別為66，83，87，83，77，96.關于這組數據，下列說法錯誤的是(　　)
A．眾數是83 B．中位數是83
C．極差是30 D．平均數是83
√
解析：由于83出現的次數最多，所以眾數是83，故A說法正確；
把數據66，83，87，83，77，96按從小到大排列為66，77，83，83，87，96，中間兩個數為 83，83，所以中位數是83 ，故B說法正確；
極差是96－66＝30，故C說法正確；
由于平均數為(66＋83＋87＋83＋77＋96)÷6＝82，故D說法錯誤，故選D．
2．某射擊小組有20人，教練將他們某次射擊的數據繪制成如下表格，則這組數據的眾數和中位數分別是(　　)


A．7，7 B．8，7.5
C．7，7.5 D．8，6
環數 5 6 7 8 9 10
人數 1 2 7 6 3 1
√
3．已知一組數據x1，x2，x3，x4，x5的平均數是2，那么另一組數據2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均數為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：因為一組數據x1，x2，x3，x4，x5的平均數是2，所以另一組數據2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均數為2×2－3＝1.故選A．
√
4．從某中學高三年級甲、乙兩個班各選出7名學生參加數學競賽，他們取得的成績(滿分100分)如下：
甲：79　78　80　x　85　92　96
乙：72　81　81　y　91　91　96
其中甲班學生成績的平均分和乙班學生成績的中位數都是85，則x＋y的值為(　　)
A．152 B．168
C．190 D．170
√
解析：由數據知，乙班學生成績的中位數是y＝85.又甲班學生成績的平均分為85，即79＋78＋80＋x＋85＋92＋96＝85×7，解得x＝85，所以x＋y＝170.故選D．
√
6．(多選)已知一組數據按從小到大排列為0，4，5，x，8，10，12，15，且這組數據的中位數是7，則下列結論正確的是(　　)
A．x＝6 B．該數據的平均數為7.5
C．該數據的25%分位數是4.5 D．該數據的25%分位數是6
√
√
√
7．10名學生開展“1分鐘跳繩比賽”，他們的成績分別為65，67，64，60，65，67，67，66，64，62，其眾數為________．
解析：數據65，67，64，60，65，67，67，66，64，62中，出現次數最多的數據是67，即眾數為67.
答案：67
8．一個樣本按從小到大的順序排列為10，12，13，x，17，19，21，24，其中位數為16，則x＝________．


答案：15
9．如圖所示是某學校高一(1)班期中考試成績的統計圖．根據該圖可估計，這次考試的平均成績為________分．
答案：46
10．某小區廣場上有甲、乙兩群市民正在進行晨練，兩群市民的年齡如下(單位：歲).
甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；
乙群：54，3，4，4，5，6，6，6，6，56.
(1)甲群市民年齡的平均數、中位數和眾數各是多少歲？其中哪個統計量能較好地反映甲群市民的年齡特征？
(2)乙群市民年齡的平均數、中位數和眾數各是多少歲？其中哪個統計量能較好地反映乙群市民的年齡特征？
[B　能力提升]
11．2022年2月20日，第24屆冬季奧林匹克運動會閉幕，中國代表團奪得9枚金牌、4枚銀牌、2枚銅牌，下表是本屆冬奧會奪得金牌數前10名的代表團獲得的金牌數、銀牌數、銅牌數、獎牌總數：
排名 代表團 金牌數 銀牌數 銅牌數 獎牌總數
1 挪威 16 8 13 37
2 德國 12 10 5 27
3 中國 9 4 2 15
4 美國 8 10 7 25
排名 代表團 金牌數 銀牌數 銅牌數 獎牌總數
5 瑞典 8 5 5 18
6 荷蘭 8 5 4 17
7 奧地利 7 7 4 18
8 瑞士 7 2 5 14
9 俄羅斯奧委會 6 12 14 32
10 法國 5 7 2 14
則對這10個代表團來說，下列結論正確的是(　　)
A．金牌數的眾數是16
B．銀牌數的中位數是7
C．銅牌數的平均數是9
D．獎牌數總數的極差是22
√
解析：根據眾數的概念可知，金牌數的眾數是8，故A不正確；
獎牌總數的極差為37－14＝23，故D不正確．故選B．
√
13．(多選)某班班主任為了了解該班學生寒假期間做家務勞動的情況，隨機抽取該班15名學生，調查得到這15名學生寒假期間做家務勞動的天數分別是8，18，15，20，16，20，19，18，19，10，6，20，20，23，25，則下列結論正確的是(　　)
A．這組數據的中位數是18
B．這組數據的眾數是20
C．若在記錄數據時，漏掉了一個數據，則新數據的眾數是20
D．若在記錄數據時，漏掉了一個數據，則新數據的中位數是19
√
√
解析：由題意，將這組數據按從小到大的順序排列：6，8，10，15，16，18，18，19，19，20，20，20，20，23，25，根據中位數和眾數的定義，可得數據的中位數和眾數分別是19和20，則A錯誤，B正確；
若漏掉了一個數據后，新數據中出現最多的數仍然是20，則C正確；
若漏掉的數據大于或等于19，則新數據的中位數是18.5，故D錯誤．故選BC．
14．隨著移動互聯網的發展，與餐飲美食相關的手機app軟件層出不窮．現從某市使用A和B兩款訂餐軟件的商家中分別隨機抽取100個商家，對它們的“平均送達時間”進行統計，得到頻率分布直方圖如下．
(1)試估計該市使用A款訂餐軟件的商家的“平均送達時間”的眾數及平均數(同一組中的數據用該組區間的中點值代表)；
解：依題意，可得使用A款訂餐軟件的商家中“平均送達時間”的眾數為55，平均數為15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40.
(2)如果以“平均送達時間”的平均數作為決策依據，從A和B兩款訂餐軟件中選擇一款訂餐，你會選擇哪款？
解：使用B款訂餐軟件的商家中“平均送達時間”的平均數為15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35＜40，所以選B款訂餐軟件．
16．甲、乙兩人在相同條件下各打靶10次，每次打靶的成績情況如圖所示：
(1)請填寫下表：
平均數 中位數 命中9環以上的次數(含9環)
甲 7
乙
解：由題圖可知，甲打靶的成績為2，4，6，8，7，7，8，9，9，10；
乙打靶的成績為9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
甲的平均數是7，中位數是7.5，命中9環及9環以上的次數是3；乙的平均數是7，中位數是7，命中9環及9環以上的次數是1.
(2)從下列三個不同角度對這次測試結果進行分析：
①從平均數和中位數相結合看，誰的成績好些？
②從平均數和命中9環及9環以上的次數相結合看，誰的成績好些？
③從折線圖中兩人射擊命中環數的走勢看，誰更有潛力？
解：由(1)知，甲、乙的平均數相同．
①甲、乙的平均數相同，甲的中位數比乙的中位數大，所以甲成績較好．
②甲、乙的平均數相同，甲命中9環及9環以上的次數比乙多，所以甲成績較好．
③從折線圖中看，在后半部分，甲呈上升趨勢，而乙呈下降趨勢，故甲更有潛力．中小學教育資源及組卷應用平臺
9．2.3　總體集中趨勢的估計
學習指導 核心素養
1.結合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢參數 (平均數、中位數、眾數). 2．理解集中趨勢參數的統計含義． 1.數學抽象：辨析眾數、中位數、平均數的含義． 2．數學運算、數據分析：利用樣本的數字特征估計總體的數字特征．
知識點　眾數、中位數和平均數的定義
(1)眾數：一組數據中出現次數最多的數．
(2)中位數：一組數據按大小順序排列后，處于中間位置的數．如果個數是偶數，則取中間兩個數據的平均數．
(3)平均數：一組數據的和除以數據個數所得到的數．
　在一次中學生田徑運動會上，參加男子跳高的17名運動員的成績如下表所示：
成績(單位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人數 2 3 2 3 4 1 1 1
分別求這17名運動員成績的眾數、中位數與平均數．
【解】　在17個數據中，1.75出現了4次，出現的次數最多，即這組數據的眾數是1.75 m．
題表里的17個數據可看成是按從小到大的順序排列的，其中第9個數據1.70是最中間的一個數據，即這組數據的中位數是1.70 m．
這組數據的平均數＝×(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝≈1.69(m).
故這17名運動員成績的眾數、中位數、平均數依次為1.75 m，1.70 m，1.69 m．
平均數、眾數、中位數的計算方法
平均數一般是根據公式來計算的；計算眾數、中位數時，可先將這組數據按從小到大或從大到小的順序排列，再根據各自的定義計算．
[提醒]　如果樣本平均數遠大于樣本中位數，說明數據中存在較大的極端值．
1．已知一組數據從小到大排列為－1，0，4，x，6，15，且這組數據的中位數是5，那么這組數據的眾數為(　　)
A．5 B．6
C．4 D．5.5
解析：選B．由題意得×(4＋x)＝5，得x＝6，從而這組數據的眾數為6.故選B．
2．給定一組數據15，17，14，10，12，17，17，16，14，12，設這組數據的平均數為a，中位數為b，眾數為c，則(　　)
A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
解析：選B．從小到大排列為10，12，12，14，14，15，16，17，17，17，平均數為
a＝
＝14.4，中位數b＝＝14.5，
眾數c＝17，所以c＞b＞a.故選B．
考點一　中位數、眾數、平均數的應用
　高二(2)班有男生27名，女生21名，在一次物理測試中，男生的平均分是82分，中位數是75分，女生的平均分是80分，中位數是80分．
(1)求這次測試全班的平均分(精確到0.01)；
(2)估計全班成績在80分以下(含80分)的學生至少有多少名；
(3)男生的平均分與中位數相差較大的主要原因是什么？
【解】　(1)由平均數公式得＝×(82×27＋80×21)≈81.13(分).
(2)因為男生的中位數是75分，
所以至少有14人得分不超過75分．
又因為女生的中位數是80分，
所以至少有11人得分不超過80分．
所以全班至少有25人成績在80分以下(含80分).
(3)男生的平均分與中位數的差別較大，說明男生成績兩極分化現象嚴重，高分的和低分的相差較大．
利用樣本數字特征進行決策時的兩個關注點
(1)平均數與每一個數據都有關，可以反映更多的總體信息，但受極端值的影響較大；中位數是樣本數據所占頻率的等分線，不受極端值的影響；眾數只能體現數據的最大集中點，無法客觀反映總體特征．
(2)當平均數大于中位數時，說明數據中存在許多較大的極端值；反之，說明數據中存在許多較小的極端值．
某公司為了了解一年內的用水情況，抽取了10天的用水量如表所示：
用水量/t 22 38 40 41 44 50 95
天數/天 1 1 1 2 2 1 2
(1)在這10天中，該公司用水量的平均數是多少？每天用水量的中位數是多少？
(2)你認為應該用平均數和中位數中的哪一個來描述該公司每天的用水量？
解：(1)在這10天中，該公司用水量的平均數是＝×(22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×95)＝51(t).
每天用水量的中位數是＝42.5(t).
(2)平均數受數據中的極端值(2個95)影響較大，使平均數在估計總體時可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位數描述每天的用水量更合適．
考點二　根據頻率分布直方圖求平均數、中位數和眾數
　某校從參加高二年級學業水平測試的學生中抽出80名學生，其數學成績(均為整數)的頻率分布直方圖如圖所示．
(1)求這次測試數學成績的眾數；
(2)求這次測試數學成績的中位數．
【解】　(1)由題圖知眾數為＝75.
(2)設中位數為x，由于前三個小矩形的面積之和為(0.005＋0.015＋0.020)×10＝0.4，第四個小矩形的面積為0.030×10＝0.3，0.3＋0.4>0.5，因此中位數位于第四個小矩形內，得0.1＝0.030(x－70)，解得x≈73.3.故這次測試數學成績的中位數為73.3.
用頻率分布直方圖估計眾數、中位數、平均數
(1)眾數：取最高小長方形底邊中點的橫坐標作為眾數．
(2)中位數：在頻率分布直方圖中，把頻率分布直方圖劃分為左右兩個面積相等的部分的分界線與x軸交點的橫坐標稱為中位數．
(3)平均數：平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和．
為了調查某廠工人生產某種產品的能力，隨機抽查了20位工人某天生產該產品的數量得到的頻率分布直方圖如圖，則：
(1)這20名工人中一天生產該產品數量在[55，75)的人數是______；
(2)這20名工人中一天生產該產品數量的平均數為______.
解析：(1)在[55，75)的人數為(0.040×10＋0.025×10)×20＝13.
(2)0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.
答案：(1)13　(2)64
1．一組數據30，29，28，27，26，24，23，22的中位數為(　　)
A．26 B．27
C．26和27 D．26.5
解析：選D．因為數據為30，29，28，27，26，24，23，22，所以中位數為＝26.5.故選D．
2．一組數據a，0，1，2，3，若該組數據的平均值為1，則a＝(　　)
A．0 B．2
C．1 D．－1
解析：選D．＝＝1，解得a＝－1.故選D．
3．某班全體學生參加物理測試成績(單位：分)的頻率分布直方圖如圖所示，則估計該班物理測試的平均成績是(　　)
A．70分 B．75分
C．68分 D．66分
解析：選C．平均成績就是頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標的和，即0.005×20×30＋0.010×20×50＋0.020×20×70＋0.015×20×90＝68(分).
4．某高校有甲、乙兩個數學建模興趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．現分析兩個班的一次考試成績，算得甲班的平均成績是90分，乙班的平均成績是81分，則該校數學建模興趣班的平均成績是________分．
解析：由題意得，該校數學建模興趣班的平均成績是＝85(分).
答案：85
[A　基礎達標]
1．在一次體育測試中，某班的6名同學的成績(單位：分)分別為66，83，87，83，77，96.關于這組數據，下列說法錯誤的是(　　)
A．眾數是83 B．中位數是83
C．極差是30 D．平均數是83
解析：選D．由于83出現的次數最多，所以眾數是83，故A說法正確；把數據66，83，87，83，77，96按從小到大排列為66，77，83，83，87，96，中間兩個數為 83，83，所以中位數是83 ，故B說法正確；極差是96－66＝30，故C說法正確；由于平均數為(66＋83＋87＋83＋77＋96)÷6＝82，故D說法錯誤，故選D．
2．某射擊小組有20人，教練將他們某次射擊的數據繪制成如下表格，則這組數據的眾數和中位數分別是(　　)
環數 5 6 7 8 9 10
人數 1 2 7 6 3 1
A．7，7 B．8，7.5
C．7，7.5 D．8，6
解析：選C．由表格可知，射中7環的有7人，人數最多，所以這組數據的眾數為7；這組數據按照從小到大順序排序，則第10個數據是7，第11個數據是8，所以中位數為＝7.5.故選C．
3．已知一組數據x1，x2，x3，x4，x5的平均數是2，那么另一組數據2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均數為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：選A．因為一組數據x1，x2，x3，x4，x5的平均數是2，所以另一組數據2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均數為2×2－3＝1.故選A．
4．從某中學高三年級甲、乙兩個班各選出7名學生參加數學競賽，他們取得的成績(滿分100分)如下：
甲：79　78　80　x　85　92　96
乙：72　81　81　y　91　91　96
其中甲班學生成績的平均分和乙班學生成績的中位數都是85，則x＋y的值為(　　)
A．152 B．168
C．190 D．170
解析：選D．由數據知，乙班學生成績的中位數是y＝85.又甲班學生成績的平均分為85，即79＋78＋80＋x＋85＋92＋96＝85×7，解得x＝85，所以x＋y＝170.故選D．
5．一組數據1，10，5，2，x，2，且2＜x＜5，若該數據的眾數是中位數的倍，則該數據的平均數為(　　)
A．3 B．4
C．4.5 D．5
解析：選B．因為2＜x＜5，所以由小到大排列為1，2，2，x，5，10，則眾數是2，中位數是(2＋x)，所以2＝×(2＋x)，解得x＝4，則平均數是×(1＋2＋2＋4＋5＋10)＝4.
6．(多選)已知一組數據按從小到大排列為0，4，5，x，8，10，12，15，且這組數據的中位數是7，則下列結論正確的是(　　)
A．x＝6 B．該數據的平均數為7.5
C．該數據的25%分位數是4.5 D．該數據的25%分位數是6
解析：選ABC．因為中位數為7，所以＝7，即x＝6，所以A正確；所以該組數據的平均數為×(0＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15)＝7.5，所以B正確；因為該組數據有8個數，所以8×25%＝2，所以數據的25%分位數是＝4.5，所以C正確，D錯誤．故選ABC．
7．10名學生開展“1分鐘跳繩比賽”，他們的成績分別為65，67，64，60，65，67，67，66，64，62，其眾數為________．
解析：數據65，67，64，60，65，67，67，66，64，62中，出現次數最多的數據是67，即眾數為67.
答案：67
8．一個樣本按從小到大的順序排列為10，12，13，x，17，19，21，24，其中位數為16，則x＝________．
解析：由中位數的定義知＝16，所以x＝15.
答案：15
9．如圖所示是某學校高一(1)班期中考試成績的統計圖．根據該圖可估計，這次考試的平均成績為________分．
解析：根據題中統計圖，可知有4人成績在[0，20)之間，其考試分數之和為4×10＝40；有8人成績在[20，40)之間，其考試分數之和為8×30＝240；有10人成績在[40，60)之間，其考試分數之和為10×50＝500；有6人成績在[60，80)之間，其考試分數之和為6×70＝420；有2人成績在[80，100]之間，其考試分數之和為2×90＝180，由此可知，考生總人數為4＋8＋10＋6＋2＝30，考試總成績為40＋240＋500＋420＋180＝1 380，平均分數為＝46.
答案：46
10．某小區廣場上有甲、乙兩群市民正在進行晨練，兩群市民的年齡如下(單位：歲).
甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；
乙群：54，3，4，4，5，6，6，6，6，56.
(1)甲群市民年齡的平均數、中位數和眾數各是多少歲？其中哪個統計量能較好地反映甲群市民的年齡特征？
(2)乙群市民年齡的平均數、中位數和眾數各是多少歲？其中哪個統計量能較好地反映乙群市民的年齡特征？
解：(1)甲群市民年齡的平均數為
＝15(歲)，
中位數為15歲，眾數為15歲．
平均數、中位數和眾數相等，因此它們都能較好地反映甲群市民的年齡特征．
(2)乙群市民年齡的平均數為
＝15(歲)，
中位數為6歲，眾數為6歲．
由于乙群市民大多數是兒童，所以中位數和眾數能較好地反映乙群市民的年齡特征，而平均數的可靠性較差．
[B　能力提升]
11．2022年2月20日，第24屆冬季奧林匹克運動會閉幕，中國代表團奪得9枚金牌、4枚銀牌、2枚銅牌，下表是本屆冬奧會奪得金牌數前10名的代表團獲得的金牌數、銀牌數、銅牌數、獎牌總數：
排名 代表團 金牌數 銀牌數 銅牌數 獎牌總數
1 挪威 16 8 13 37
2 德國 12 10 5 27
3 中國 9 4 2 15
4 美國 8 10 7 25
5 瑞典 8 5 5 18
6 荷蘭 8 5 4 17
7 奧地利 7 7 4 18
8 瑞士 7 2 5 14
9 俄羅斯奧委會 6 12 14 32
10 法國 5 7 2 14
則對這10個代表團來說，下列結論正確的是(　　)
A．金牌數的眾數是16
B．銀牌數的中位數是7
C．銅牌數的平均數是9
D．獎牌數總數的極差是22
解析：選B．根據眾數的概念可知，金牌數的眾數是8，故A不正確；將銀牌數從左向右按由小到大的順序排列如下：2，4，5，5，7，7，8，10，10，12，所以銀牌數的中位數是＝7，故B正確；銅牌的平均數為
≈6，故C不正確；獎牌總數的極差為37－14＝23，故D不正確．故選B．
12．如圖，是根據某班學生在一次數學考試中的成績畫出的頻率分布直方圖，記由該直方圖得到的數學考試成績的眾數、中位數和平均數分別為a，b，c則(　　)
A．b＞c＞a B．a＞b＞c
C．＞b D．＞c
解析：選A．由頻率分布直方圖可知：
眾數a＝＝75；
中位數應落在[70，80)內，
則有0.004×10＋0.018×10＋0.040×(b－70)＝0.5，解得b＝77；
平均數c＝0.004×10×＋0.018×10×＋0.040×10×＋0.032×10×＋0.006×10×＝2.2＋11.7＋30＋27.2＋5.7＝76.8，
所以b＞c＞a.故選A．
13．(多選)某班班主任為了了解該班學生寒假期間做家務勞動的情況，隨機抽取該班15名學生，調查得到這15名學生寒假期間做家務勞動的天數分別是8，18，15，20，16，20，19，18，19，10，6，20，20，23，25，則下列結論正確的是(　　)
A．這組數據的中位數是18
B．這組數據的眾數是20
C．若在記錄數據時，漏掉了一個數據，則新數據的眾數是20
D．若在記錄數據時，漏掉了一個數據，則新數據的中位數是19
解析：選BC．由題意，將這組數據按從小到大的順序排列：6，8，10，15，16，18，18，19，19，20，20，20，20，23，25，根據中位數和眾數的定義，可得數據的中位數和眾數分別是19和20，則A錯誤，B正確；若漏掉了一個數據后，新數據中出現最多的數仍然是20，則C正確；若漏掉的數據大于或等于19，則新數據的中位數是18.5，故D錯誤．故選BC．
14．隨著移動互聯網的發展，與餐飲美食相關的手機app軟件層出不窮．現從某市使用A和B兩款訂餐軟件的商家中分別隨機抽取100個商家，對它們的“平均送達時間”進行統計，得到頻率分布直方圖如下．
(1)試估計該市使用A款訂餐軟件的商家的“平均送達時間”的眾數及平均數(同一組中的數據用該組區間的中點值代表)；
(2)如果以“平均送達時間”的平均數作為決策依據，從A和B兩款訂餐軟件中選擇一款訂餐，你會選擇哪款？
解：(1)依題意，可得使用A款訂餐軟件的商家中“平均送達時間”的眾數為55，平均數為15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40.
(2)使用B款訂餐軟件的商家中“平均送達時間”的平均數為15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35＜40，所以選B款訂餐軟件．
[C　拓展沖刺]
15．為了普及環保知識，增強環保意識，某大學隨機抽取30名學生參加環保知識測試，得分(10分制)如圖所示，假設得分的中位數為m，眾數為n，平均數為，則m，n，的大小關系為________．(用“＜”連接)
解析：由題圖可知，30名學生得分的中位數為第15個數和第16個數(分別為5，6)的平均數，即m＝5.5；又5出現次數最多，故n＝5；＝
≈5.97.故n＜m＜.
答案：n＜m＜
16．甲、乙兩人在相同條件下各打靶10次，每次打靶的成績情況如圖所示：
(1)請填寫下表：
平均數 中位數 命中9環以上的次數(含9環)
甲 7
乙
(2)從下列三個不同角度對這次測試結果進行分析：
①從平均數和中位數相結合看，誰的成績好些？
②從平均數和命中9環及9環以上的次數相結合看，誰的成績好些？
③從折線圖中兩人射擊命中環數的走勢看，誰更有潛力？
解：(1)由題圖可知，甲打靶的成績為2，4，6，8，7，7，8，9，9，10；
乙打靶的成績為9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
甲的平均數是7，中位數是7.5，命中9環及9環以上的次數是3；乙的平均數是7，中位數是7，命中9環及9環以上的次數是1.
(2)由(1)知，甲、乙的平均數相同．
①甲、乙的平均數相同，甲的中位數比乙的中位數大，所以甲成績較好．
②甲、乙的平均數相同，甲命中9環及9環以上的次數比乙多，所以甲成績較好．
③從折線圖中看，在后半部分，甲呈上升趨勢，而乙呈下降趨勢，故甲更有潛力．
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