資源簡介

(共63張PPT)
10．1　隨機事件與概率
10.1.2　事件的關系和運算
第十章　概　率
學習指導 核心素養
1.了解隨機事件的并、交與互斥的含義． 2．能結合實例進行隨機事件的并、交運算． 1.數學抽象：明確事件間的關系、事件的并事件和交事件的含義．
2．邏輯推理：事件的運算及事件間關系的判斷．
01
必備知識　落實
知識點一　事件的關系
定義 符號 圖示
包含 關系 一般地，若事件A發生，則事件B______發生，稱事件B______事件A(或事件A包含于事件B) B A(或A B)
一定
包含
定義 符號 圖示
相等 關系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B____A且A____B，則稱事件A與事件B相等 A＝B


　　　在擲骰子試驗中，可以得到以下事件：
A＝{出現1點}；B＝{出現2點}；C＝{出現3點}；D＝{出現4點}；E＝{出現5點}；F＝{出現6點}；G＝{出現的點數不大于1}；H＝{出現的點數小于5}；I＝{出現奇數點}；J＝{出現偶數點}．
請判斷下列兩個事件的關系：
(1)B________H；(2)D________J；(3)E________I；(4)A________G．
【解析】　因為出現的點數小于5包含出現1點，出現2點，出現3點，出現4點四種情況，所以事件B發生時，事件H必然發生，故B H；同理D J，E I；又易知事件A與事件G相等，即A＝G.
(1)B________H；
【答案】　
(2)D________J；
【答案】
(3)E________I；
【答案】
(4)A________G．
【答案】　＝
包含關系、相等關系的判定
(1)事件的包含關系與集合的包含關系相似．
(2)兩事件相等的實質為相同事件，即同時發生或同時不發生．
　　　　　擲一枚質地均勻的硬幣三次，得到如下三個事件：A為“3次正面向上”，B為“只有1次正面向上”，C為“至少有1次正面向上”，試判斷事件A，B，C之間的包含關系．
解：當事件A發生時，事件C一定發生，當事件B發生時，事件C一定發生，因此有A C，B C；當事件A發生時，事件B一定不發生，當事件B發生時，事件A一定不發生，因此事件A與事件B之間不存在包含關系．
綜上，事件A，B，C之間的包含關系為A C，B C.
知識點二　事件的運算
定義 符號 圖示
并事件 (或和事件) 一般地，事件A與事件B______有一個發生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中，我們稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B)
至少
定義 符號 圖示
交事件 (或積事件) 一般地，事件A與事件B______發生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件B中，我們稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) ________ (或______)
同時
A∩B
AB
　　　盒子里有6個紅球，4個白球，現從中任取3個球，設事件A＝{3個球中有1個紅球2個白球}，事件B＝{3個球中有2個紅球1個白球}，事件C＝{3個球中至少有1個紅球}，事件D＝{3個球中既有紅球又有白球}．
求：(1)事件D與A，B是什么樣的運算關系？
【解】　對于事件D，可能的結果為1個紅球2個白球或2個紅球1個白球，故D＝A∪B.
(2)事件C與A的交事件是什么事件？
【解】　對于事件C，可能的結果為1個紅球2個白球或2個紅球1個白球或3個均為紅球，故C∩A＝A.
事件間運算的方法
(1)利用事件間運算的定義．列出同一條件下的試驗所有可能出現的結果，分析并利用這些結果進行事件間的運算．
(2)利用Venn圖．借助集合間運算的思想，分析同一條件下的試驗所有可能出現的結果，把這些結果在圖中列出，進行運算．
　　　　　在投擲骰子的試驗中，根據向上的點數可以定義許多事件，如A＝“出現1點”，B＝“出現3點或4點”，C＝“出現的點數是奇數”，D＝“出現的點數是偶數”．求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C.
解：在投擲骰子的試驗中，根據向上出現的點數有6個樣本點，記作Ai＝{i}(其中i＝1，2，…，6)，則A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.
A∩B＝ ，A∪B＝A1∪A3∪A4＝{1，3，4}，
A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{1，2，4，6}，
B∩D＝A4＝{4}，
B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{1，3，4，5}．
知識點三　互斥事件與對立事件
1．互斥(互不相容)
定義 一般地，如果事件A與事件B______________，也就是說________是一個不可能事件，即A∩B＝ ，則稱事件A與事件B互斥(或互不相容)
含義 A與B不能同時發生
符號表示 ____________
圖形表示
不能同時發生
A∩B
A∩B＝
2.互為對立
定義 一般地，如果事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發生，即A∪B＝Ω，且____________，那么稱事件A與事件B互為對立. 事件A的對立事件記為_____
含義 A與B有且僅有一個發生
符號表示 ___________且A∩B＝
圖形表示
A∩B＝
A∪B＝Ω
　　　某縣城有甲、乙兩種報紙供居民訂閱，記事件A為“只訂甲報”，事件B為“至少訂一種報紙”，事件C為“至多訂一種報紙”，事件D為“不訂甲報”，事件E為“一種報紙也不訂”，判斷下列每組事件是不是互斥事件；如果是，再判斷它們是不是對立事件．
(1)A與C；
【解】　由于事件C “至多訂一種報紙”中包括“只訂甲報”，即事件A與事件C有可能同時發生，故A與C不是互斥事件．
(2)B與E；
【解】　事件B “至少訂一種報紙”與事件E “一種報紙也不訂”是不可能同時發生的，故B與E是互斥事件；由于事件B與事件E必有一個發生，故B與E是對立事件．
(3)B與D；
【解】　事件B “至少訂一種報紙”中包括“只訂乙報”，即有可能“不訂甲報”，也就是說事件B和事件D有可能同時發生，故B與D不是互斥事件．
(4)B與C；
【解】　事件B “至少訂一種報紙”中的可能情況為“只訂甲報”“只訂乙報”“訂甲、乙兩種報”．事件C “至多訂一種報紙”中的可能情況為“一種報紙也不訂”“只訂甲報”“只訂乙報”，也就是說事件B與事件C可能同時發生，故B與C不是互斥事件．
(5)C與E.
【解】　由(4)的分析，事件E “一種報紙也不訂”是事件C中的一種可能情況，所以事件C與事件E可能同時發生，故C與E不是互斥事件．
辨析互斥事件與對立事件的思路
(1)從事件發生的角度看
①在一次試驗中，兩個互斥事件有可能都不發生，也可能有一個發生，但不可能同時發生．
②兩個對立事件必有一個發生，但不可能同時發生，即兩事件對立，必定互斥，但兩事件互斥，未必對立．對立事件是互斥事件的一個特例．
(2)從事件個數的角度看
互斥的概念適用于兩個或多個事件，但對立的概念只適用于兩個事件．
　　　　　　已知100件產品中有5件次品，從這100件產品中任意取出3件，設E表示事件“3件產品全不是次品”，F表示事件“3件產品全是次品”，G表示事件“3件產品中至少有1件次品”，則下列結論正確的是(　　)
A．F與G互斥 B．E與G互斥但不對立
C．E，F，G任意兩個事件均互斥 D．E與G對立
√
解析： 由題意得事件E與事件F不可能同時發生，是互斥事件；事件E與事件G不可能同時發生，是互斥事件；當事件F發生時，事件G一定發生，所以事件F與事件G不是互斥事件，故A，C不正確；
事件E與事件G中必有一個發生，所以事件E與事件G對立，所以B不正確，D正確．
02
課堂鞏固　自測
1．擲一枚骰子，設事件A＝{出現的點數不小于5}，B＝{出現的點數為偶數}，則事件A與事件B的關系是(　　)
A．A B B．A∩B＝{出現的點數為6}
C．事件A與B互斥 D．事件A與B對立
解析：由題意事件A表示出現的點數是5或6；事件B表示出現的點數是2或4或6.故A∩B＝{出現的點數為6}．
√
2．拋擲一枚骰子，“向上的點數是1或2”為事件A，“向上的點數是2或3”為事件B，則(　　)
A．A B
B．A＝B
C．A＋B表示向上的點數是1或2或3
D．AB表示向上的點數是1或2或3
解析：設A＝{1，2}，B＝{2，3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，所以A＋B表示向上的點數為1或2或3.
√
3．一個人在打靶過程中，連續射擊2次，事件“至少有1次中靶”的對立事件是(　　)
A．至多有1次中靶 B．2次都中靶
C．2次都不中靶 D．只有1次中靶
解析：對立事件的定義是A，B兩件事件不能同時發生，但必須有一件發生，則A，B是對立事件，事件“至少有一次中靶”包括“恰有1次中靶”和“2次都中靶”，所以對立事件是“2次都不中靶”．故選C．
√
(2)在什么條件下有A∩B∩C＝A
解：在“圖書室中所有數學書都是2021年后出版的且為中文版”的條件下才有A∩B∩C＝A.
04
課后達標　檢測
[A　基礎達標]
1．打靶3次，事件Ai表示“擊中i發”，i＝0，1，2，3，那么事件A＝A1∪A2∪A3表示(　　)
A．全部擊中 B．至少擊中1發
C．都未擊中 D．至多擊中1發
解析：A1表示擊中1發，A2表示擊中2發，A3表示擊中3發，則A1∪A2∪A3表示至少擊中1發．故選B．
√
2．拋擲3枚質地均勻的硬幣，記事件A＝{至少1枚正面朝上}，B＝{至多2枚正面朝上}，事件C＝{沒有硬幣正面朝上}，則下列正確的是(　　)
A．C＝A∩B B．C＝A∪B
C．C A D．C B
解析：記事件D＝{1枚硬幣正面朝上}，E＝{2枚硬幣正面朝上}，F＝{3枚硬幣正面朝上}，則A＝D∪E∪F，B＝C∪D∪E，顯然C≠A∩B，C≠A∪B，C B，C不包含于A. 故選D．
√
3．某人在打靶中，連續射擊3次，至多有一次中靶的互斥但不對立事件是(　　)
A．至少有一次中靶 B．三次都不中靶
C．恰有兩次中靶 D．至少兩次中靶
√
解析：至多一次中靶包含沒有中靶和恰有一次中靶，A選項，至少一次中靶，包含恰有一次，兩次，三次中靶三種情況，兩者都包含了恰有一次中靶，故不是互斥事件，A錯誤；
B選項，三次都不中靶也都包含在兩個事件中，故不是互斥事件，B錯誤；
C選項，恰有兩次中靶，與題干事件不可能同時發生，也不對立，屬于互斥不對立事件，C正確；
D選項，為對立事件，故D錯誤．故選C．
4．從1，2，3，4這4個數中，任取2個數求和，那么“這2個數的和大于4”為事件A，“這2個數的和為偶數” 為事件B，則A＋B和AB包含的樣本點數分別為(　　)
A．1，6 B．4，2
C．5，1 D．6，1
√
解析：從1，2，3，4這4個數中，任取2個數求和，則試驗的樣本空間為
Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}．
其中事件A包含的樣本點有：(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共4個．
事件B包含的樣本點有：(1，3)，(2，4)，共2個．
所以事件A＋B包含的樣本點有：(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共5個．
事件AB包含的樣本點有： (2，4)，共1個. 故選C．
√
6．在一次隨機試驗中，A，B，C，D是彼此互斥的事件，且A＋B＋C＋D是必然事件，則下列說法正確的是(　　)
A．A＋B與C是互斥事件，也是對立事件
B．B＋C與D是互斥事件，也是對立事件
C．A＋C與B＋D是互斥事件，但不是對立事件
D．A與B＋C＋D是互斥事件，也是對立事件
√
解析：由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是必然事件，
故四個事件的關系如圖所示．由圖可知，任何一個事件與其余
三個事件的和事件互為對立事件，任何兩個事件的和事件與其
余兩個事件的和事件互為對立事件，故只有D中的說法正確．
7．同時拋擲兩枚均勻的骰子，事件“都不是5點且不是6點”的對立事件為________．(填序號)
①一個是5點，另一個是6點；
②一個是5點，另一個是4點；
③至少有一個是5點或6點；
④至多有一個是5點或6點．
解析：設兩枚骰子分別為甲、乙，同時擲甲、乙兩枚骰子，可能出現的結果共有36個，“都不是5點，且不是6點”包含16個結果，其對立事件是“至少有一個是5點或6點”．
答案：③
答案：出現2，4，6點　出現2，4點
9．擲一枚質地均勻的骰子，下列事件：
A＝{出現奇數點}，B＝{出現偶數點}，C＝{點數小于3}，D＝{點數大于2}，E＝{點數是3的倍數}．
求：(1)A∩B，BC；
解：A∩B＝ ，BC＝{出現2點}．
(2)A∪B，B＋C；
解：A∪B＝{出現1，2，3，4，5或6點}，B＋C＝{出現1，2，4或6點}．
[B　能力提升]
10．(多選)一個口袋內裝有大小、形狀相同的紅球、綠球和藍球各2個，一次任意取出2個小球，則與事件“2個小球都為紅球”互斥而不對立的事件有(　　)
A．2個小球不全為紅球 B．2個小球恰有1個紅球
C．2個小球至少有1個紅球 D．2個小球都為綠球
√
√
解析： 從裝有紅球、綠球和藍球各2個的口袋中，一次任意取出2個小球，這兩個球可能為2個紅球、2個綠球、2個藍球、1個紅球1個藍球、1個紅球1個綠球、1個藍球1個綠球共6種情況．則與事件“2個小球都為紅球”互斥而不對立的事件有B，2個小球恰有1個紅球；D，2個小球都為綠球；而2個小球不全為紅球與事件2個小球都為紅球是對立事件；2個小球至少有1個紅球包括2個紅球、1個紅球1個藍球、1個紅球1個綠球．故選BD .
11．(多選)從1至9這9個自然數中任取兩個，有如下隨機事件：A＝“恰有一個偶數”，B＝“恰有一個奇數”，C＝“至少有一個是奇數”，D＝“兩個數都是偶數”，E＝“至多有一個奇數”．下列結論正確的有(　　)
A．A＝B B．B C
C．D∩E＝ D．C∩D＝ ，C∪D＝Ω
√
√
√
解析：事件A，B都指的是一奇一偶，故A正確；
至少有一個奇數，指兩個數是一奇一偶，或是兩個奇數，所以B C，故B正確；
至多有一個奇數指一奇一偶，或是兩偶，此時事件D，E有公共事件，故C錯誤；
此時C，D是對立事件，所以C∩D＝ ，C∪D＝Ω，故D正確. 故選ABD．
√
√
13．某班要進行一次辯論比賽，現有4名男生和2名女生隨機分成甲、乙兩個辯論小組，每組3人．考慮甲組的人員組成情況，記事件Ak＝“甲組有k名女生”．
(1)事件A1含有多少個樣本點？
解：用1，2，3，4表示4名男生，用a，b表示2名女生，因為事件A1＝“甲組有1名女生”，所以A1＝{(1，2，a)，(1，2，b)，(1，3，a)，(1，3，b)，(1，4，a)，(1，4，b)，(2，3，a)，(2，3，b)，(2，4，a)，(2，4，b)，(3，4，a)，(3，4，b)}，共含有12個樣本點．
(2)若事件B＝“甲組至少有一名女生”，則事件B與事件Ak有怎樣的運算關系？
解：事件B＝“甲組至少有一名女生”，其含義是甲組有一名女生或甲組有兩名女生，所以B＝A1∪A2.
[C　拓展沖刺]
14．某人忘了電話號碼的最后一個數字，因而他隨意撥號，假設撥過的號碼不再重復，若用Ai＝“第i次撥號接通電話”，i＝1，2，3.則事件第3次撥號才接通電話可表示為________，撥號不超過3次而接通電話可表示為__________________．
15．A，B，C，D四個元件組成一個電路，如圖，每個元件可能正常或失效，設事件A＝“A元件正常”，B＝“B元件正常”，C＝“C元件正常”，D＝“D元件正常”．
(1)寫出四個元件工作狀態的樣本空間；
解：用x1，x2，x3，x4分別表示A，B，C，D四個元件的狀態，則可用(x1，x2，x3，x4)表示這個電路的狀態，以1表示元件正常，0表示元件失效，
則樣本空間為Ω＝{(1，1，1，1)，(1，1，1，0)，(1，1，0，1)，(1，1，0，0)，(1，0，1，1)，(1，0，1，0)，(1，0，0，1)，(1，0，0，0)，(0，1，1，1)，(0，1，1，0)，(0，1，0，1)，(0，1，0，0)，(0，0，1，1)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)，(0，0，0，0)}．
(2)用集合的形式表示事件A∩C.
解：因為C＝{(1，1，1，1)，(1，1，1，0)，(1，0，1，1)，(0，1，1，1)，(1，0，1，0)，(0，1，1，0)，(0，0，1，1)，(0，0，1，0)}，
A＝{(1，1，1，1)，(1，1，1，0)，(1，1，0，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，0)，(1，0，1，0)，(1，0，0，1)，(1，0，0，0)}．
用集合的形式表示事件A∩C＝{(1，1，1，1)，(1，1，1，0)，(1，0，1，1)，(1，0，1，0)}．中小學教育資源及組卷應用平臺
10．1.2　事件的關系和運算
學習指導 核心素養
1.了解隨機事件的并、交與互斥的含義． 2．能結合實例進行隨機事件的并、交運算． 1.數學抽象：明確事件間的關系、事件的并事件和交事件的含義． 2．邏輯推理：事件的運算及事件間關系的判斷．
知識點一　事件的關系
定義 符號 圖示
包含 關系 一般地，若事件A發生，則事件B一定發生，稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B A(或A B)
相等 關系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B A且A B，則稱事件A與事件B相等 A＝B
　在擲骰子試驗中，可以得到以下事件：
A＝{出現1點}；B＝{出現2點}；C＝{出現3點}；D＝{出現4點}；E＝{出現5點}；F＝{出現6點}；G＝{出現的點數不大于1}；H＝{出現的點數小于5}；I＝{出現奇數點}；J＝{出現偶數點}．
請判斷下列兩個事件的關系：
(1)B________H；(2)D________J；(3)E________I；(4)A________G．
【解析】　因為出現的點數小于5包含出現1點，出現2點，出現3點，出現4點四種情況，所以事件B發生時，事件H必然發生，故B H；同理D J，E I；又易知事件A與事件G相等，即A＝G.
【答案】　(1) 　(2) 　(3) 　(4)＝
包含關系、相等關系的判定
(1)事件的包含關系與集合的包含關系相似．
(2)兩事件相等的實質為相同事件，即同時發生或同時不發生．
擲一枚質地均勻的硬幣三次，得到如下三個事件：A為“3次正面向上”，B為“只有1次正面向上”，C為“至少有1次正面向上”，試判斷事件A，B，C之間的包含關系．
解：當事件A發生時，事件C一定發生，當事件B發生時，事件C一定發生，因此有A C，B C；當事件A發生時，事件B一定不發生，當事件B發生時，事件A一定不發生，因此事件A與事件B之間不存在包含關系．
綜上，事件A，B，C之間的包含關系為A C，B C.
知識點二　事件的運算
定義 符號 圖示
并事件 (或和事件) 一般地，事件A與事件B至少有一個發生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中，我們稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B)
交事件 (或積事件) 一般地，事件A與事件B同時發生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件B中，我們稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) A∩B (或AB)
　盒子里有6個紅球，4個白球，現從中任取3個球，設事件A＝{3個球中有1個紅球2個白球}，事件B＝{3個球中有2個紅球1個白球}，事件C＝{3個球中至少有1個紅球}，事件D＝{3個球中既有紅球又有白球}．
求：(1)事件D與A，B是什么樣的運算關系？
(2)事件C與A的交事件是什么事件？
【解】　(1)對于事件D，可能的結果為1個紅球2個白球或2個紅球1個白球，故D＝A∪B.
(2)對于事件C，可能的結果為1個紅球2個白球或2個紅球1個白球或3個均為紅球，故C∩A＝A.
事件間運算的方法
(1)利用事件間運算的定義．列出同一條件下的試驗所有可能出現的結果，分析并利用這些結果進行事件間的運算．
(2)利用Venn圖．借助集合間運算的思想，分析同一條件下的試驗所有可能出現的結果，把這些結果在圖中列出，進行運算．
在投擲骰子的試驗中，根據向上的點數可以定義許多事件，如A＝“出現1點”，B＝“出現3點或4點”，C＝“出現的點數是奇數”，D＝“出現的點數是偶數”．求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C.
解：在投擲骰子的試驗中，根據向上出現的點數有6個樣本點，記作Ai＝{i}(其中i＝1，2，…，6)，則A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.
A∩B＝ ，A∪B＝A1∪A3∪A4＝{1，3，4}，
A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{1，2，4，6}，
B∩D＝A4＝{4}，
B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{1，3，4，5}．
知識點三　互斥事件與對立事件
1．互斥(互不相容)
定義 一般地，如果事件A與事件B不能同時發生，也就是說A∩B是一個不可能事件，即A∩B＝ ，則稱事件A與事件B互斥(或互不相容)
含義 A與B不能同時發生
符號表示 A∩B＝
圖形表示
2.互為對立
定義 一般地，如果事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝ ，那么稱事件A與事件B互為對立. 事件A的對立事件記為
含義 A與B有且僅有一個發生
符號表示 A∪B＝Ω且A∩B＝
圖形表示
　某縣城有甲、乙兩種報紙供居民訂閱，記事件A為“只訂甲報”，事件B為“至少訂一種報紙”，事件C為“至多訂一種報紙”，事件D為“不訂甲報”，事件E為“一種報紙也不訂”，判斷下列每組事件是不是互斥事件；如果是，再判斷它們是不是對立事件．
(1)A與C；(2)B與E；(3)B與D；(4)B與C；(5)C與E.
【解】　(1)由于事件C “至多訂一種報紙”中包括“只訂甲報”，即事件A與事件C有可能同時發生，故A與C不是互斥事件．
(2)事件B “至少訂一種報紙”與事件E “一種報紙也不訂”是不可能同時發生的，故B與E是互斥事件；由于事件B與事件E必有一個發生，故B與E是對立事件．
(3)事件B “至少訂一種報紙”中包括“只訂乙報”，即有可能“不訂甲報”，也就是說事件B和事件D有可能同時發生，故B與D不是互斥事件．
(4)事件B “至少訂一種報紙”中的可能情況為“只訂甲報”“只訂乙報”“訂甲、乙兩種報”．事件C “至多訂一種報紙”中的可能情況為“一種報紙也不訂”“只訂甲報”“只訂乙報”，也就是說事件B與事件C可能同時發生，故B與C不是互斥事件．
(5)由(4)的分析，事件E “一種報紙也不訂”是事件C中的一種可能情況，所以事件C與事件E可能同時發生，故C與E不是互斥事件．
辨析互斥事件與對立事件的思路
(1)從事件發生的角度看
①在一次試驗中，兩個互斥事件有可能都不發生，也可能有一個發生，但不可能同時發生．
②兩個對立事件必有一個發生，但不可能同時發生，即兩事件對立，必定互斥，但兩事件互斥，未必對立．對立事件是互斥事件的一個特例．
(2)從事件個數的角度看
互斥的概念適用于兩個或多個事件，但對立的概念只適用于兩個事件．
已知100件產品中有5件次品，從這100件產品中任意取出3件，設E表示事件“3件產品全不是次品”，F表示事件“3件產品全是次品”，G表示事件“3件產品中至少有1件次品”，則下列結論正確的是(　　)
A．F與G互斥
B．E與G互斥但不對立
C．E，F，G任意兩個事件均互斥
D．E與G對立
解析：選D． 由題意得事件E與事件F不可能同時發生，是互斥事件；事件E與事件G不可能同時發生，是互斥事件；當事件F發生時，事件G一定發生，所以事件F與事件G不是互斥事件，故A，C不正確；事件E與事件G中必有一個發生，所以事件E與事件G對立，所以B不正確，D正確．
1．擲一枚骰子，設事件A＝{出現的點數不小于5}，B＝{出現的點數為偶數}，則事件A與事件B的關系是(　　)
A．A B B．A∩B＝{出現的點數為6}
C．事件A與B互斥 D．事件A與B對立
解析：選B．由題意事件A表示出現的點數是5或6；事件B表示出現的點數是2或4或6.故A∩B＝{出現的點數為6}．
2．拋擲一枚骰子，“向上的點數是1或2”為事件A，“向上的點數是2或3”為事件B，則(　　)
A．A B B．A＝B
C．A＋B表示向上的點數是1或2或3 D．AB表示向上的點數是1或2或3
解析：選C．設A＝{1，2}，B＝{2，3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，所以A＋B表示向上的點數為1或2或3.
3．一個人在打靶過程中，連續射擊2次，事件“至少有1次中靶”的對立事件是(　　)
A．至多有1次中靶 B．2次都中靶
C．2次都不中靶 D．只有1次中靶
解析：選C．對立事件的定義是A，B兩件事件不能同時發生，但必須有一件發生，則A，B是對立事件，事件“至少有一次中靶”包括“恰有1次中靶”和“2次都中靶”，所以對立事件是“2次都不中靶”．故選C．
4．從某大學數學系圖書室中任選一本書，設A＝{數學書}；B＝{中文版的書}；C＝{2021年后出版的書}. 問：
(1)A∩B∩表示什么事件？
(2)在什么條件下有A∩B∩C＝A
(3) B表示什么意思？
解：(1)A∩B∩＝{2021年或2021年前出版的中文版的數學書}．
(2)在“圖書室中所有數學書都是2021年后出版的且為中文版”的條件下才有A∩B∩C＝A.
(3) B表示2021年或2021年前出版的書全是中文版的．
[A　基礎達標]
1．打靶3次，事件Ai表示“擊中i發”，i＝0，1，2，3，那么事件A＝A1∪A2∪A3表示(　　)
A．全部擊中 B．至少擊中1發
C．都未擊中 D．至多擊中1發
解析：選B．A1表示擊中1發，A2表示擊中2發，A3表示擊中3發，則A1∪A2∪A3表示至少擊中1發．故選B．
2．拋擲3枚質地均勻的硬幣，記事件A＝{至少1枚正面朝上}，B＝{至多2枚正面朝上}，事件C＝{沒有硬幣正面朝上}，則下列正確的是(　　)
A．C＝A∩B B．C＝A∪B
C．C A D．C B
解析：選D． 記事件D＝{1枚硬幣正面朝上}，E＝{2枚硬幣正面朝上}，F＝{3枚硬幣正面朝上}，則A＝D∪E∪F，B＝C∪D∪E，顯然C≠A∩B，C≠A∪B，C B，C不包含于A. 故選D．
3．某人在打靶中，連續射擊3次，至多有一次中靶的互斥但不對立事件是(　　)
A．至少有一次中靶 B．三次都不中靶
C．恰有兩次中靶 D．至少兩次中靶
解析：選C．至多一次中靶包含沒有中靶和恰有一次中靶，A選項，至少一次中靶，包含恰有一次，兩次，三次中靶三種情況，兩者都包含了恰有一次中靶，故不是互斥事件，A錯誤；B選項，三次都不中靶也都包含在兩個事件中，故不是互斥事件，B錯誤；C選項，恰有兩次中靶，與題干事件不可能同時發生，也不對立，屬于互斥不對立事件，C正確；D選項，為對立事件，故D錯誤．故選C．
4．從1，2，3，4這4個數中，任取2個數求和，那么“這2個數的和大于4”為事件A，“這2個數的和為偶數” 為事件B，則A＋B和AB包含的樣本點數分別為(　　)
A．1，6 B．4，2
C．5，1 D．6，1
解析：選C．從1，2，3，4這4個數中，任取2個數求和，則試驗的樣本空間為
Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}．
其中事件A包含的樣本點有：(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共4個．
事件B包含的樣本點有：(1，3)，(2，4)，共2個．
所以事件A＋B包含的樣本點有：(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共5個．
事件AB包含的樣本點有： (2，4)，共1個. 故選C．
5．如果事件A，B互斥，那么(　　)
A．A∪B是必然事件
B．∪是必然事件
C．與一定互斥
D．與一定不互斥
解析：選B．如圖所示，
因為事件A，B互斥，
所以∪＝I是必然事件，故選B．
6．在一次隨機試驗中，A，B，C，D是彼此互斥的事件，且A＋B＋C＋D是必然事件，則下列說法正確的是(　　)
A．A＋B與C是互斥事件，也是對立事件
B．B＋C與D是互斥事件，也是對立事件
C．A＋C與B＋D是互斥事件，但不是對立事件
D．A與B＋C＋D是互斥事件，也是對立事件
解析：選D．由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是必然事件，故四個事件的關系如圖所示．由圖可知，任何一個事件與其余三個事件的和事件互為對立事件，任何兩個事件的和事件與其余兩個事件的和事件互為對立事件，故只有D中的說法正確．
7．同時拋擲兩枚均勻的骰子，事件“都不是5點且不是6點”的對立事件為________．(填序號)
①一個是5點，另一個是6點；
②一個是5點，另一個是4點；
③至少有一個是5點或6點；
④至多有一個是5點或6點．
解析：設兩枚骰子分別為甲、乙，同時擲甲、乙兩枚骰子，可能出現的結果共有36個，“都不是5點，且不是6點”包含16個結果，其對立事件是“至少有一個是5點或6點”．
答案：③
8．在隨機拋擲一枚質地均勻的骰子的試驗中，設事件A＝“出現不大于4的偶數點”，事件B＝“出現小于6的點數”，則事件A∪的含義為__________________，事件A∩B的含義為____________________．
解析：易知＝“出現6點”，則A∪＝“出現2，4，6點”，A∩B＝“出現2，4點”．
答案：出現2，4，6點　出現2，4點
9．擲一枚質地均勻的骰子，下列事件：
A＝{出現奇數點}，B＝{出現偶數點}，C＝{點數小于3}，D＝{點數大于2}，E＝{點數是3的倍數}．
求：(1)A∩B，BC；
(2)A∪B，B＋C；
(3)，C，∪C，＋.
解：(1)A∩B＝ ，BC＝{出現2點}．
(2)A∪B＝{出現1，2，3，4，5或6點}，B＋C＝{出現1，2，4或6點}．
(3)＝{點數小于或等于2}＝{出現1或2點}，
C＝BC＝{出現2點}，
∪C＝A∪C＝{出現1，2，3或5點}，
＋＝{出現1，2，4或5點}．
[B　能力提升]
10．(多選)一個口袋內裝有大小、形狀相同的紅球、綠球和藍球各2個，一次任意取出2個小球，則與事件“2個小球都為紅球”互斥而不對立的事件有(　　)
A．2個小球不全為紅球 B．2個小球恰有1個紅球
C．2個小球至少有1個紅球 D．2個小球都為綠球
解析：選BD． 從裝有紅球、綠球和藍球各2個的口袋中，一次任意取出2個小球，這兩個球可能為2個紅球、2個綠球、2個藍球、1個紅球1個藍球、1個紅球1個綠球、1個藍球1個綠球共6種情況．則與事件“2個小球都為紅球”互斥而不對立的事件有B，2個小球恰有1個紅球；D，2個小球都為綠球；而2個小球不全為紅球與事件2個小球都為紅球是對立事件；2個小球至少有1個紅球包括2個紅球、1個紅球1個藍球、1個紅球1個綠球．故選BD .
11．(多選)從1至9這9個自然數中任取兩個，有如下隨機事件：A＝“恰有一個偶數”，B＝“恰有一個奇數”，C＝“至少有一個是奇數”，D＝“兩個數都是偶數”，E＝“至多有一個奇數”．下列結論正確的有(　　)
A．A＝B B．B C
C．D∩E＝ D．C∩D＝ ，C∪D＝Ω
解析：選ABD．事件A，B都指的是一奇一偶，故A正確；至少有一個奇數，指兩個數是一奇一偶，或是兩個奇數，所以B C，故B正確；至多有一個奇數指一奇一偶，或是兩偶，此時事件D，E有公共事件，故C錯誤；此時C，D是對立事件，所以C∩D＝ ，C∪D＝Ω，故D正確. 故選ABD．
12．(多選)將一枚骰子向上拋擲一次，設事件A＝{向上的一面出現奇數點}，事件B＝{向上的一面出現的點數不超過2}，事件C＝{向上的一面出現的點數不小于4}，則下列說法中正確的有(　　)
A．B＝
B．C＝{向上的一面出現的點數大于3}
C．A＋C＝{向上的一面出現的點數不小于3}
D．＝{向上的一面出現的點數為2}
解析：選BC．由題意知事件A包含的樣本點為向上的一面出現的點數為1，3，5；
事件B包含的樣本點為向上的一面出現的點數為1，2；
事件C包含的樣本點為向上的一面出現的點數為4，5，6.
所以B＝{向上的一面出現的點數為2}，故A錯誤； C＝{向上的一面出現的點數為4或5或6}，故B正確；A＋ C＝{向上的一面出現的點數為3或4或5或6}，故C正確；＝ ，故D錯誤，故選BC．
13．某班要進行一次辯論比賽，現有4名男生和2名女生隨機分成甲、乙兩個辯論小組，每組3人．考慮甲組的人員組成情況，記事件Ak＝“甲組有k名女生”．
(1)事件A1含有多少個樣本點？
(2)若事件B＝“甲組至少有一名女生”，則事件B與事件Ak有怎樣的運算關系？
(3)判斷事件A2與事件2∪A0是什么關系？
解：(1)用1，2，3，4表示4名男生，用a，b表示2名女生，因為事件A1＝“甲組有1名女生”，所以A1＝{(1，2，a)，(1，2，b)，(1，3，a)，(1，3，b)，(1，4，a)，(1，4，b)，(2，3，a)，(2，3，b)，(2，4，a)，(2，4，b)，(3，4，a)，(3，4，b)}，共含有12個樣本點．
(2)事件B＝“甲組至少有一名女生”，其含義是甲組有一名女生或甲組有兩名女生，所以B＝A1∪A2.
(3)因為A2與A0∪A1是對立事件，所以2＝A0∪A1，所以2∪A0＝A0∪A1，所以事件A2與事件2∪A0是對立事件．
[C　拓展沖刺]
14．某人忘了電話號碼的最后一個數字，因而他隨意撥號，假設撥過的號碼不再重復，若用Ai＝“第i次撥號接通電話”，i＝1，2，3.則事件第3次撥號才接通電話可表示為________，撥號不超過3次而接通電話可表示為__________________．
解析：事件第3次撥號才接通電話代表第1次第2次都沒接通，分別為1，2，第3次接通表示為A3，故事件第3次撥號才接通電話表示為12A3；
不超過3次接通代表第1次接通或第1次沒有接通第2次接通或第1次、第2次沒接通第3次接通，分別表示為A1，1A2，12A3，故撥號不超過3次接通可表示為A1∪1A2∪12A3.
答案：12A3　A1∪1A2∪12A3
15．A，B，C，D四個元件組成一個電路，如圖，每個元件可能正常或失效，設事件A＝“A元件正常”，B＝“B元件正常”，C＝“C元件正常”，D＝“D元件正常”．
(1)寫出四個元件工作狀態的樣本空間；
(2)用集合的形式表示事件A∩C.
解：(1)用x1，x2，x3，x4分別表示A，B，C，D四個元件的狀態，則可用(x1，x2，x3，x4)表示這個電路的狀態，以1表示元件正常，0表示元件失效，
則樣本空間為Ω＝{(1，1，1，1)，(1，1，1，0)，(1，1，0，1)，(1，1，0，0)，(1，0，1，1)，(1，0，1，0)，(1，0，0，1)，(1，0，0，0)，(0，1，1，1)，(0，1，1，0)，(0，1，0，1)，(0，1，0，0)，(0，0，1，1)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)，(0，0，0，0)}．
(2)因為C＝{(1，1，1，1)，(1，1，1，0)，(1，0，1，1)，(0，1，1，1)，(1，0，1，0)，(0，1，1，0)，(0，0，1，1)，(0，0，1，0)}，
A＝{(1，1，1，1)，(1，1，1，0)，(1，1，0，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，0)，(1，0，1，0)，(1，0，0，1)，(1，0，0，0)}．
用集合的形式表示事件A∩C＝{(1，1，1，1)，(1，1，1，0)，(1，0，1，1)，(1，0，1，0)}．
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10．1.2　事件的關系和運算
學習指導 核心素養
1.了解隨機事件的并、交與互斥的含義． 2．能結合實例進行隨機事件的并、交運算． 1.數學抽象：明確事件間的關系、事件的并事件和交事件的含義． 2．邏輯推理：事件的運算及事件間關系的判斷．
知識點一　事件的關系
定義 符號 圖示
包含 關系 一般地，若事件A發生，則事件B一定發生，稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B A(或A B)
相等 關系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B A且A B，則稱事件A與事件B相等 A＝B
　在擲骰子試驗中，可以得到以下事件：
A＝{出現1點}；B＝{出現2點}；C＝{出現3點}；D＝{出現4點}；E＝{出現5點}；F＝{出現6點}；G＝{出現的點數不大于1}；H＝{出現的點數小于5}；I＝{出現奇數點}；J＝{出現偶數點}．
請判斷下列兩個事件的關系：
(1)B________H；(2)D________J；(3)E________I；(4)A________G．
包含關系、相等關系的判定
(1)事件的包含關系與集合的包含關系相似．
(2)兩事件相等的實質為相同事件，即同時發生或同時不發生．
擲一枚質地均勻的硬幣三次，得到如下三個事件：A為“3次正面向上”，B為“只有1次正面向上”，C為“至少有1次正面向上”，試判斷事件A，B，C之間的包含關系．
知識點二　事件的運算
定義 符號 圖示
并事件 (或和事件) 一般地，事件A與事件B至少有一個發生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中，我們稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B)
交事件 (或積事件) 一般地，事件A與事件B同時發生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件B中，我們稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) A∩B (或AB)
　盒子里有6個紅球，4個白球，現從中任取3個球，設事件A＝{3個球中有1個紅球2個白球}，事件B＝{3個球中有2個紅球1個白球}，事件C＝{3個球中至少有1個紅球}，事件D＝{3個球中既有紅球又有白球}．
求：(1)事件D與A，B是什么樣的運算關系？
(2)事件C與A的交事件是什么事件？
事件間運算的方法
(1)利用事件間運算的定義．列出同一條件下的試驗所有可能出現的結果，分析并利用這些結果進行事件間的運算．
(2)利用Venn圖．借助集合間運算的思想，分析同一條件下的試驗所有可能出現的結果，把這些結果在圖中列出，進行運算．
在投擲骰子的試驗中，根據向上的點數可以定義許多事件，如A＝“出現1點”，B＝“出現3點或4點”，C＝“出現的點數是奇數”，D＝“出現的點數是偶數”．求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C.
知識點三　互斥事件與對立事件
1．互斥(互不相容)
定義 一般地，如果事件A與事件B不能同時發生，也就是說A∩B是一個不可能事件，即A∩B＝ ，則稱事件A與事件B互斥(或互不相容)
含義 A與B不能同時發生
符號表示 A∩B＝
圖形表示
2.互為對立
定義 一般地，如果事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝ ，那么稱事件A與事件B互為對立. 事件A的對立事件記為
含義 A與B有且僅有一個發生
符號表示 A∪B＝Ω且A∩B＝
圖形表示
　某縣城有甲、乙兩種報紙供居民訂閱，記事件A為“只訂甲報”，事件B為“至少訂一種報紙”，事件C為“至多訂一種報紙”，事件D為“不訂甲報”，事件E為“一種報紙也不訂”，判斷下列每組事件是不是互斥事件；如果是，再判斷它們是不是對立事件．
(1)A與C；(2)B與E；(3)B與D；(4)B與C；(5)C與E.
辨析互斥事件與對立事件的思路
(1)從事件發生的角度看
①在一次試驗中，兩個互斥事件有可能都不發生，也可能有一個發生，但不可能同時發生．
②兩個對立事件必有一個發生，但不可能同時發生，即兩事件對立，必定互斥，但兩事件互斥，未必對立．對立事件是互斥事件的一個特例．
(2)從事件個數的角度看
互斥的概念適用于兩個或多個事件，但對立的概念只適用于兩個事件．
已知100件產品中有5件次品，從這100件產品中任意取出3件，設E表示事件“3件產品全不是次品”，F表示事件“3件產品全是次品”，G表示事件“3件產品中至少有1件次品”，則下列結論正確的是(　　)
A．F與G互斥
B．E與G互斥但不對立
C．E，F，G任意兩個事件均互斥
D．E與G對立
1．擲一枚骰子，設事件A＝{出現的點數不小于5}，B＝{出現的點數為偶數}，則事件A與事件B的關系是(　　)
A．A B B．A∩B＝{出現的點數為6}
C．事件A與B互斥 D．事件A與B對立
2．拋擲一枚骰子，“向上的點數是1或2”為事件A，“向上的點數是2或3”為事件B，則(　　)
A．A B B．A＝B
C．A＋B表示向上的點數是1或2或3 D．AB表示向上的點數是1或2或3
3．一個人在打靶過程中，連續射擊2次，事件“至少有1次中靶”的對立事件是(　　)
A．至多有1次中靶 B．2次都中靶
C．2次都不中靶 D．只有1次中靶
4．從某大學數學系圖書室中任選一本書，設A＝{數學書}；B＝{中文版的書}；C＝{2021年后出版的書}. 問：
(1)A∩B∩表示什么事件？
(2)在什么條件下有A∩B∩C＝A
(3) B表示什么意思？
[A　基礎達標]
1．打靶3次，事件Ai表示“擊中i發”，i＝0，1，2，3，那么事件A＝A1∪A2∪A3表示(　　)
A．全部擊中 B．至少擊中1發
C．都未擊中 D．至多擊中1發
2．拋擲3枚質地均勻的硬幣，記事件A＝{至少1枚正面朝上}，B＝{至多2枚正面朝上}，事件C＝{沒有硬幣正面朝上}，則下列正確的是(　　)
A．C＝A∩B B．C＝A∪B
C．C A D．C B
3．某人在打靶中，連續射擊3次，至多有一次中靶的互斥但不對立事件是(　　)
A．至少有一次中靶 B．三次都不中靶
C．恰有兩次中靶 D．至少兩次中靶
4．從1，2，3，4這4個數中，任取2個數求和，那么“這2個數的和大于4”為事件A，“這2個數的和為偶數” 為事件B，則A＋B和AB包含的樣本點數分別為(　　)
A．1，6 B．4，2
C．5，1 D．6，1
5．如果事件A，B互斥，那么(　　)
A．A∪B是必然事件
B．∪是必然事件
C．與一定互斥
D．與一定不互斥
6．在一次隨機試驗中，A，B，C，D是彼此互斥的事件，且A＋B＋C＋D是必然事件，則下列說法正確的是(　　)
A．A＋B與C是互斥事件，也是對立事件
B．B＋C與D是互斥事件，也是對立事件
C．A＋C與B＋D是互斥事件，但不是對立事件
D．A與B＋C＋D是互斥事件，也是對立事件
7．同時拋擲兩枚均勻的骰子，事件“都不是5點且不是6點”的對立事件為________．(填序號)
①一個是5點，另一個是6點；
②一個是5點，另一個是4點；
③至少有一個是5點或6點；
④至多有一個是5點或6點．
8．在隨機拋擲一枚質地均勻的骰子的試驗中，設事件A＝“出現不大于4的偶數點”，事件B＝“出現小于6的點數”，則事件A∪的含義為__________________，事件A∩B的含義為____________________．
9．擲一枚質地均勻的骰子，下列事件：
A＝{出現奇數點}，B＝{出現偶數點}，C＝{點數小于3}，D＝{點數大于2}，E＝{點數是3的倍數}．
求：(1)A∩B，BC；
(2)A∪B，B＋C；
(3)，C，∪C，＋.
[B　能力提升]
10．(多選)一個口袋內裝有大小、形狀相同的紅球、綠球和藍球各2個，一次任意取出2個小球，則與事件“2個小球都為紅球”互斥而不對立的事件有(　　)
A．2個小球不全為紅球 B．2個小球恰有1個紅球
C．2個小球至少有1個紅球 D．2個小球都為綠球
11．(多選)從1至9這9個自然數中任取兩個，有如下隨機事件：A＝“恰有一個偶數”，B＝“恰有一個奇數”，C＝“至少有一個是奇數”，D＝“兩個數都是偶數”，E＝“至多有一個奇數”．下列結論正確的有(　　)
A．A＝B B．B C
C．D∩E＝ D．C∩D＝ ，C∪D＝Ω
12．(多選)將一枚骰子向上拋擲一次，設事件A＝{向上的一面出現奇數點}，事件B＝{向上的一面出現的點數不超過2}，事件C＝{向上的一面出現的點數不小于4}，則下列說法中正確的有(　　)
A．B＝
B．C＝{向上的一面出現的點數大于3}
C．A＋C＝{向上的一面出現的點數不小于3}
D．＝{向上的一面出現的點數為2}
13．某班要進行一次辯論比賽，現有4名男生和2名女生隨機分成甲、乙兩個辯論小組，每組3人．考慮甲組的人員組成情況，記事件Ak＝“甲組有k名女生”．
(1)事件A1含有多少個樣本點？
(2)若事件B＝“甲組至少有一名女生”，則事件B與事件Ak有怎樣的運算關系？
(3)判斷事件A2與事件2∪A0是什么關系？
[C　拓展沖刺]
14．某人忘了電話號碼的最后一個數字，因而他隨意撥號，假設撥過的號碼不再重復，若用Ai＝“第i次撥號接通電話”，i＝1，2，3.則事件第3次撥號才接通電話可表示為________，撥號不超過3次而接通電話可表示為__________________．
15．A，B，C，D四個元件組成一個電路，如圖，每個元件可能正常或失效，設事件A＝“A元件正常”，B＝“B元件正常”，C＝“C元件正常”，D＝“D元件正常”．
(1)寫出四個元件工作狀態的樣本空間；
(2)用集合的形式表示事件A∩C.
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