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10．1.3　古典概型
學習指導 核心素養
1.了解概率的含義． 2．結合具體實例，理解古典概型． 3．能計算古典概型中隨機事件的概率． 1.數學抽象：理解古典概型的概念及其特征． 2．數學運算、數學建模：應用古典概型的概率公式解決實際問題．
知識點一　古典概型
1．事件的概率
對隨機事件發生可能性大小的度量(數值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．
2．古典概型
(1)事件特征
①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；
②等可能性：每個樣本點發生的可能性相等．
(2)定義
將具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．
　判斷下列試驗是否為古典概型：
(1)在適宜的條件下，種下一粒種子觀察它是否發芽；
(2)口袋中有2個紅球，2個白球，每次從中任取一球，觀察顏色后放回，直到取出紅球；
(3)從甲、乙、丙、丁、戊5名同學中任意抽取1名擔任學生代表．
【解】　(1)這個試驗的結果只有兩個：“發芽”與“不發芽”，具備了有限性．而“發芽”與“不發芽”這兩個結果出現的可能性不一定相等，即不一定具備等可能性，因此該試驗不一定是古典概型．
(2)屬于有放回地抽樣，依次摸出的球可以重復，所有可能的結果有無限個，因此該試驗不是古典概型．
(3)從5名同學中任意抽取1名，有5種等可能發生的結果，因此該試驗是古典概型．
古典概型的判斷方法
一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征，即有限性和等可能性，因而并不是所有的試驗都是古典概型．
(多選)下列問題中是古典概型的是(　　)
A．小楊種下一粒種子，求種子能長出果實的概率
B．從甲地到乙地共5條路線，且這5條路線長短各不相同，求某人任選一條路線正好選中最短路線的概率
C．在區間[1，4]上任取一數，求這個數大于2的概率
D．同時擲兩枚質地均勻的骰子，求向上的點數之和是5的概率
解析：選BD．對于A選項，種子長出果實，不長出果實的發生不是等可能的，故A不是古典概型；對于C選項，在區間[1，4]中樣本點的個數是無限多個，故C不是古典概型；對于B和D選項，其中樣本點的發生是等可能的，且是有限個，是古典概型．故選BD．
知識點二　古典概型的計算公式
一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝＝.
其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數．
應用公式的關鍵是分清樣本空間中樣本點的個數及事件A中包含的樣本點的個數．
　一個口袋內裝有大小相等的1個白球和已編有不同號碼的3個黑球，從中摸出2個球. 求：
(1)樣本空間的樣本點的總數n；
(2)事件“摸出2個黑球”包含的樣本點的個數；
(3)摸出2個黑球的概率．
【解】　由于4個球的大小相等，摸出每個球的可能性是均等的，所以是古典概型．
(1)將黑球編號為黑1，黑2，黑3，從裝有4個球的口袋內摸出2個球，樣本空間Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，共有6個樣本點，所以n＝6.
(2)事件“摸出2個黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共有3個樣本點．
(3)樣本點總數n＝6，事件“摸出2個黑球”包含的樣本點個數m＝3，故P＝＝，即摸出2個黑球的概率為.
求古典概型概率的步驟
(1)判斷所給概率模型是否為古典概型；
(2)算出樣本點的總數n；
(3)算出事件A包含的樣本點個數m；
(4)算出事件A的概率，即P(A)＝.
1．有100張卡片(從1號到100號)，從中任取一張卡片，則取得的卡片是7的倍數的概率是(　　)
A． B．
C． D．
解析：選C．因為n＝100，m＝14，
所以P＝＝＝.
2．從1，2，3，4中任取2個不同的數，則取出的2個數之差的絕對值為2的概率是(　　)
A． B．
C． D．
解析：選B． 從1，2，3，4中任取2個不同的數，樣本空間為{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，共有12個樣本點，而事件“2個數之差的絕對值為2”的樣本點只有：(1，3)，(2，4)，(3，1)，(4，2)，共4個，所以取出的2個數之差的絕對值為2的概率為＝.
考點　復雜古典概型的概率計算
　先后拋擲兩枚質地均勻的骰子．
(1)求點數之和為7的概率；
(2)求擲出兩個4點的概率；
(3)求點數之和能被3整除的概率．
解：如圖所示，從圖中容易看出樣本點與所描點一一對應，共36個，且每個樣本點出現的可能性相等．
(1)記“點數之和為7”為事件A，從圖中可以看出，事件A包含的樣本點共有6個：(6，1)，(5，2)，(4，3)，(3，4)，(2，5)，(1，6).故P(A)＝＝.
(2)記“擲出兩個4點”為事件B，從圖中可以看出，事件B包含的樣本點只有1個，即(4，4).故P(B)＝.
(3)記“點數之和能被3整除”為事件C，從圖中可以看出，事件C包含的樣本點共12個：(1，2)，(2，1)，(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)，(3，6)，(6，3)，(4，5)，(5，4)，(6，6).故P(C)＝＝.
解古典概型問題時，要牢牢抓住它的兩個特點和其計算公式，但是這類問題的解法多樣，技巧性強，在解決此類題時需要注意以下問題：
(1)試驗必須具有古典概型的兩大特征—有限性和等可能性．
(2)計算樣本點的數目時，要做到不重不漏，常借助坐標系、表格及樹狀圖等列出所有樣本點．
某飲料公司對一名員工進行測試以便確定其考評級別. 公司準備了兩種不同的飲料共5杯，其顏色完全相同，并且其中3杯為A飲料，另外2杯為B飲料. 公司要求此員工一一品嘗后，從5杯飲料中選出3杯A飲料. 若該員工3杯都選對，則評為優秀；若3杯選對2杯，則評為良好；否則評為及格. 假設此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力．
(1)求此人被評為優秀的概率；
(2)求此人被評為良好及以上的概率．
解：將5杯飲料編號為1，2，3，4，5，編號1，2，3表示A飲料，編號4，5表示B飲料，則從5杯飲料中選出3杯的所有可能情況為：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共有10種．
令D表示“此人被評為優秀”的事件，E表示“此人被評為良好及以上”的事件，則
(1)D中含有：(1，2，3)，共1個樣本點，故P(D)＝.
(2)E中共含有：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，共7個樣本點，故P(E)＝.
1．(多選)下列有關古典概型的說法中，正確的是(　　)
A．試驗中樣本點的個數是有限的
B．每個事件出現的可能性相等
C．每個樣本點出現的可能性相等
D．已知樣本空間中的樣本點個數為n，若隨機事件A包含k個樣本點，則事件A發生的概率P(A)＝
解析：選ACD．B中所說的事件不一定是基本事件，所以B不正確；根據古典概型的特點及計算公式可知A，C，D正確．故選ACD．
2．從甲、乙、丙三人中任選兩人擔任課代表，甲被選中的概率為(　　)
A． B．
C． D．1
解析：選C． 從甲、乙、丙三人中任選兩人有：(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，共3種情況，其中，甲被選中的情況有2種，故甲被選中的概率為P＝. 故選C．
3．從1，2，3，4，5中任意取出兩個不同的數，則其和為5的概率是________．
解析：兩數之和等于5有兩種情況(1，4)和(2，3)，總的樣本點有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10個，且每個樣本點出現的可能性相等，所以P＝＝0.2.
答案：0.2
4．擲一顆骰子，觀察擲出的點數．
(1)求擲得點數為3的倍數的概率；
(2)求擲得點數不大于4的概率．
解：樣本空間Ω＝{1，2，3，4，5，6}，樣本點總數為6.
(1)事件A＝“擲得點數為3的倍數”＝{3，6}，含有樣本點的個數為2，所以P(A)＝＝.
(2)事件B＝“擲得點數不大于4”＝{1，2，3，4}，含樣本點的個數為4，所以P(B)＝＝.
[A　基礎達標]
1．下列試驗是古典概型的是(　　)
A．口袋中有2個白球和3個黑球，從中任取一球，樣本點為{取中白球}和{取中黑球}
B．在區間[－1，5]上任取一個實數x，使x2－3x＋2＞0
C．拋一枚質地均勻的硬幣，觀察其出現正面或反面
D．某人射擊中靶或不中靶
解析：選C．A中兩個樣本點不是等可能的；B中樣本點的個數是無限的；D中“中靶”與“不中靶”不是等可能的；C符合古典概型的兩個特征，故選C．
2．甲、乙、丙三名同學站成一排，甲站在中間的概率是(　　)
A． B．
C． D．
解析：選C．甲、乙、丙三名同學站成一排可能的結果為：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6個，甲站在中間的有乙甲丙，丙甲乙共2個可能的結果，所以甲站在中間的概率P＝＝.
3．用3種不同的顏色給甲、乙兩個小球隨機涂色，每個小球只涂一種顏色，則兩個小球顏色不同的概率為(　　)
A． B．
C． D．
解析：選C． 三種不同的顏色分別用A，B，C表示，樣本空間所包含的樣本點有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9個，其中表示兩個小球顏色不同的樣本點有6個，則兩個小球顏色不同的概率為P＝＝.
4．從數字1，2，3，4，5中任取兩個不同的數字構成一個兩位數，則這個兩位數大于40的概率是(　　)
A． B．
C． D．
解析：選B．從數字1，2，3，4，5中任取兩個不同的數字，一共能構成20個兩位數：12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，21，31，41，51，32，42，52，43，53，54，其中大于40的有8個，故所求的概率為＝.
5．若連續擲兩次骰子得到的點數分別為m，n，則點P(m，n)在直線y＝4－x上的概率是(　　)
A． B．
C． D．
解析：選D．連續擲兩次骰子出現的結果共有6×6＝36(種)，其中每個結果出現的機會都是等可能的，點P(m，n)在直線y＝4－x上包含的結果有(1，3)，(2，2)，(3，1)，共3種，所以點P(m，n)在直線y＝4－x上的概率是＝.故選D．
6．如果3個正整數可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數為一組勾股數．從1，2，3，4，5中任取3個不同的數，則這3個數構成一組勾股數的概率為(　　)
A． B．
C． D．
解析：選A．從1，2，3，4，5中任取3個不同的數的樣本空間Ω＝{(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)}，共10個樣本點，其中3個數構成一組勾股數的樣本點為(3，4，5)，共1個，所以所求概率為.
7．一枚硬幣連擲兩次，恰好出現一次正面的概率是________________________．
解析：一枚硬幣連擲兩次，出現的結果可能是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4種，恰好出現一次正面的有：(正，反)，(反，正)，共2種，
故所求概率為＝.
答案：
8．從一個放有兩個白球、兩個黑球的罐子中任意摸兩個球，則至少摸到一個黑球的概率是________．
解析：設兩個白球為a1，a2，兩個黑球為b1，b2，則從4個球中任取2個球的樣本點有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，共6種，其中至少摸到一個黑球的樣本點有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，共5種，故至少摸到一個黑球的概率為P＝.
答案：
9．某城市有8個商場A，B，C，D，E，F，G，H和市中心O排成如圖所示的格局，其中每個小方格為正方形，某人從網格中隨機地選擇一條最短路徑，欲從商場A前往商場H，則他經過市中心O的概率為________．
解析：此人從商場A前往商場H的所有最短路徑有A→B→C→E→H，A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，A→D→F→G→H，共6條，其中經過市中心O的有4條，所以所求概率為.
答案：
10．一只口袋內裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一次摸出2只球．
(1)共有多少個樣本點？
(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？
解：(1)分別記白球為1，2，3號，黑球為4，5號，從中摸出2只球，有如下樣本點(摸到1，2號球用(1，2)表示)：　
(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5).
因此，共有10個樣本點．
(2)上述10個樣本點發生的可能性相等，記“摸到兩只白球”為事件A，包括(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3個樣本點，故P(A)＝. 故摸出2只球都是白球的概率為.
[B　能力提升]
11．把一枚質地均勻的骰子投擲兩次，觀察出現的點數，記第一次出現的點數為a，第二次出現的點數為b，則方程組只有一組解的概率為(　　)
A． B．
C． D．
解析：選B．點(a，b)的取值集合共有36個元素. 方程組只有一組解等價于≠，即b≠2a，而滿足b＝2a的有(1，2)，(2，4)，(3，6)，共3個，故方程組只有一組解的概率為＝.
12．(多選)先后拋擲兩顆質地均勻的骰子，第一次和第二次出現的點數分別記為a，b，則下列結論正確的是(　　)
A．a＋b＝7時的概率為 B．≥2時的概率為
C．ab＝6時的概率為 D．a＋b是6的倍數的概率是
解析：選CD． 先后拋擲兩顆質地均勻的骰子，共有36種不同的情形．
A．a＋b＝7時滿足的情形有(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，故P1＝＝，故A錯誤；B．≥2時滿足的情形有(2，1)，(3，1)，(4，1)，(4，2)，(5，1)，(5，2)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，故P2＝＝，故B錯誤；C．ab＝6時滿足的情形有(1，6)，(2，3)，(3，2)，(6，1)，故P3＝＝，故C正確；D．a＋b是6的倍數的情形有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，6)，故a＋b是6的倍數的概率是P4＝＝，故D正確. 故選CD．
13．先后拋擲兩顆質地均勻的骰子，設出現的點數之和是7，8，9的概率依次是P1，P2，P3，則P1，P2，P3從小到大的順序為________．
解析：先后拋擲兩顆質地均勻的骰子，所有可能的樣本點有6×6＝36種，且每個樣本點都是等可能的．而點數之和為7的樣本點為(1，6)，(6，1)，(2，5)，(5，2)，(3，4)，(4，3)，有6個，點數之和為8的樣本點為(2，6)，(6，2)，(3，5)，(5，3)，(4，4)，有5個，點數之和為9的樣本點為(3，6)，(6，3)，(4，5)，(5，4)，有4個．所以P1＝，P2＝，P3＝，故P3答案：P314．某區有教師6人，分別來自甲、乙、丙、丁四個學校，其中甲校教師記為A1，A2，乙校教師記為B1，B2，丙校教師記為C，丁校教師記為D. 現從這6名教師代表中選出3名教師組成某宣講團，要求甲、乙、丙、丁四個學校中，每校至多選出1名．
(1)請列出此宣講團組成人員的全部樣本點；
(2)求教師A1被選中的概率；
(3)求宣講團中沒有乙校教師代表的概率．
解：(1)從6名教師代表中選出3名教師組成宣講團，組成人員的全部樣本點有12個，分別為：
(A1，B1，C)，(A1，B1，D)，(A1，B2，C)，(A1，B2，D)，(A1，C，D)，(A2，B1，C)，(A2，B1，D)，(A2，B2，C)，(A2，B2，D)，(A2，C，D)，(B1，C，D)，(B2，C，D).
(2)組成人員的全部樣本點中，A1被選中的樣本點有(A1，B1，C)，(A1，B1，D)，(A1，B2，C)，(A1，B2，D)，(A1，C，D)，共5個，
所以教師A1被選中的概率為P＝.
(3)宣講團中沒有乙校教師代表的樣本點有(A1，C，D)，(A2，C，D)，共2個，
所以宣講團中沒有乙校教師代表的概率為P＝＝.
[C　拓展沖刺]
15．一個三位自然數，百位、十位、個位上的數字依次為a，b，c，當且僅當有兩個數字的和等于第三個數字時稱為“有緣數”(如213，134等). 若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，則這個三位自然數為“有緣數”的概率是________．
解析：由1，2，3組成的三位自然數為123，132，213，231，312，321，共6個；同理，由1，2，4組成的三位自然數有6個，由1，3，4組成的三位自然數有6個，由2，3，4組成的三位自然數有6個，所以由a，b，c∈{1，2，3，4}組成的三位自然數共有24個. 由1，2，3或1，3，4組成的三位自然數為“有緣數”，共12個，所以這個三位自然數為“有緣數”的概率為＝.
答案：
16．為緩解交通運行壓力，某市公交系統實施疏堵工程．現調取某路公交車早高峰時段全程運輸時間(單位：分鐘)的數據，從疏堵工程完成前的數據中隨機抽取5個數據，記為A組；從疏堵工程完成后的數據中隨機抽取5個數據，記為B組．
A組：128　100　151　125　120
B組：100　102　97　101　100
(1)該路公交車全程運輸時間不超過100分鐘，稱為“正點運行”，從A，B兩組數據中各隨機抽取一個數據，求這兩個數據對應的兩次運行中至少有一次“正點運行”的概率；
(2)試比較A，B兩組數據方差的大小(不要求計算)，并說明其實際意義．
解：(1)設事件M為“這兩個數據對應的兩次運行中至少有一次‘正點運行’”，從A，B兩組數據中各隨機抽取一個數據，該試驗的樣本空間共有25個樣本點．從A組中取到128，151，125，120時，B組中符合題意的取法為100，97，100，共有12個樣本點；從A組中取到100時，B組中符合題意的取法為100，102，97，101，100，共有5個樣本點．因此事件M所含的樣本點共有12＋5＝17(個)，所以P(M)＝.
(2)B組數據的方差小于A組數據的方差．說明疏堵工程完成后，該路公交車全程運輸時間更加穩定，而且“正點運行”率高，運行更加有保障．
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10．1　隨機事件與概率
10.1.3　古典概型
第十章　概　率
學習指導 核心素養
1.了解概率的含義． 2．結合具體實例，理解古典概型． 3．能計算古典概型中隨機事件的概率． 1.數學抽象：理解古典概型的概念及其特征．
2．數學運算、數學建模：應用古典概型的概率公式解決實際問題．
01
必備知識　落實
知識點一　古典概型
1．事件的概率
對隨機事件發生________大小的度量(數值)稱為事件的概率，事件A的概率用________表示．
可能性
P(A)
2．古典概型
(1)事件特征
①有限性：樣本空間的樣本點只有________；
②等可能性：每個樣本點發生的可能性______．
(2)定義
將具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．
有限個
相等
　　　判斷下列試驗是否為古典概型：
(1)在適宜的條件下，種下一粒種子觀察它是否發芽；
【解】　這個試驗的結果只有兩個：“發芽”與“不發芽”，具備了有限性．而“發芽”與“不發芽”這兩個結果出現的可能性不一定相等，即不一定具備等可能性，因此該試驗不一定是古典概型．
(2)口袋中有2個紅球，2個白球，每次從中任取一球，觀察顏色后放回，直到取出紅球；
【解】　屬于有放回地抽樣，依次摸出的球可以重復，所有可能的結果有無限個，因此該試驗不是古典概型．
(3)從甲、乙、丙、丁、戊5名同學中任意抽取1名擔任學生代表．
【解】　從5名同學中任意抽取1名，有5種等可能發生的結果，因此該試驗是古典概型．
古典概型的判斷方法
一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征，即有限性和等可能性，因而并不是所有的試驗都是古典概型．
　　　　　　(多選)下列問題中是古典概型的是(　　)
A．小楊種下一粒種子，求種子能長出果實的概率
B．從甲地到乙地共5條路線，且這5條路線長短各不相同，求某人任選一條路線正好選中最短路線的概率
C．在區間[1，4]上任取一數，求這個數大于2的概率
D．同時擲兩枚質地均勻的骰子，求向上的點數之和是5的概率
√
√
解析：對于A選項，種子長出果實，不長出果實的發生不是等可能的，故A不是古典概型；
對于C選項，在區間[1，4]中樣本點的個數是無限多個，故C不是古典概型；
對于B和D選項，其中樣本點的發生是等可能的，且是有限個，是古典概型．故選BD．
應用公式的關鍵是分清樣本空間中樣本點的個數及事件A中包含的樣本點的個數．
　　　一個口袋內裝有大小相等的1個白球和已編有不同號碼的3個黑球，從中摸出2個球. 求：
(1)樣本空間的樣本點的總數n；
【解】　由于4個球的大小相等，摸出每個球的可能性是均等的，所以是古典概型．
將黑球編號為黑1，黑2，黑3，從裝有4個球的口袋內摸出2個球，樣本空間Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，共有6個樣本點，所以n＝6.
(2)事件“摸出2個黑球”包含的樣本點的個數；
【解】　事件“摸出2個黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共有3個樣本點．
(3)摸出2個黑球的概率．
√
√
02
關鍵能力　提升
考點　復雜古典概型的概率計算
　　　先后拋擲兩枚質地均勻的骰子．
(1)求點數之和為7的概率；
解：如圖所示，從圖中容易看出樣本點與所描點一一對應，共36個，且每個樣本點出現的可能性相等．
(2)求擲出兩個4點的概率；
(3)求點數之和能被3整除的概率．
解古典概型問題時，要牢牢抓住它的兩個特點和其計算公式，但是這類問題的解法多樣，技巧性強，在解決此類題時需要注意以下問題：
(1)試驗必須具有古典概型的兩大特征—有限性和等可能性．
(2)計算樣本點的數目時，要做到不重不漏，常借助坐標系、表格及樹狀圖等列出所有樣本點．
　　　　　　某飲料公司對一名員工進行測試以便確定其考評級別. 公司準備了兩種不同的飲料共5杯，其顏色完全相同，并且其中3杯為A飲料，另外2杯為B飲料. 公司要求此員工一一品嘗后，從5杯飲料中選出3杯A飲料. 若該員工3杯都選對，則評為優秀；若3杯選對2杯，則評為良好；否則評為及格. 假設此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力．
(1)求此人被評為優秀的概率；
(2)求此人被評為良好及以上的概率．
03
課堂鞏固　自測
解析：B中所說的事件不一定是基本事件，所以B不正確；
根據古典概型的特點及計算公式可知A，C，D正確．故選ACD．
√
√
√
√
3．從1，2，3，4，5中任意取出兩個不同的數，則其和為5的概率是________．




答案：0.2
4．擲一顆骰子，觀察擲出的點數．
(1)求擲得點數為3的倍數的概率；
(2)求擲得點數不大于4的概率．
04
課后達標　檢測
[A　基礎達標]
1．下列試驗是古典概型的是(　　)
A．口袋中有2個白球和3個黑球，從中任取一球，樣本點為{取中白球}和{取中黑球}
B．在區間[-1，5]上任取一個實數x，使x2-3x＋2＞0
C．拋一枚質地均勻的硬幣，觀察其出現正面或反面
D．某人射擊中靶或不中靶
√
解析：A中兩個樣本點不是等可能的；
B中樣本點的個數是無限的；
D中“中靶”與“不中靶”不是等可能的；
C符合古典概型的兩個特征，故選C．
√
√
√
√
√
7．一枚硬幣連擲兩次，恰好出現一次正面的概率是_________________．
8．從一個放有兩個白球、兩個黑球的罐子中任意摸兩個球，則至少摸到一個黑球的概率是________．
9．某城市有8個商場A，B，C，D，E，F，G，H和市中
心O排成如圖所示的格局，其中每個小方格為正方形，某
人從網格中隨機地選擇一條最短路徑，欲從商場A前往商場
H，則他經過市中心O的概率為________．
10．一只口袋內裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一次摸出2只球．
(1)共有多少個樣本點？
解：分別記白球為1，2，3號，黑球為4，5號，從中摸出2只球，有如下樣本點(摸到1，2號球用(1，2)表示)：　
(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5).
因此，共有10個樣本點．
(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？
√
√
√
13．先后拋擲兩顆質地均勻的骰子，設出現的點數之和是7，8，9的概率依次是P1，P2，P3，則P1，P2，P3從小到大的順序為________．






答案：P314．某區有教師6人，分別來自甲、乙、丙、丁四個學校，其中甲校教師記為A1，A2，乙校教師記為B1，B2，丙校教師記為C，丁校教師記為D. 現從這6名教師代表中選出3名教師組成某宣講團，要求甲、乙、丙、丁四個學校中，每校至多選出1名．
(1)請列出此宣講團組成人員的全部樣本點；
解：從6名教師代表中選出3名教師組成宣講團，組成人員的全部樣本點有12個，分別為：
(A1，B1，C)，(A1，B1，D)，(A1，B2，C)，(A1，B2，D)，(A1，C，D)，(A2，B1，C)，(A2，B1，D)，(A2，B2，C)，(A2，B2，D)，(A2，C，D)，(B1，C，D)，(B2，C，D).
(2)求教師A1被選中的概率；
(3)求宣講團中沒有乙校教師代表的概率．
[C　拓展沖刺]
15．一個三位自然數，百位、十位、個位上的數字依次為a，b，c，當且僅當有兩個數字的和等于第三個數字時稱為“有緣數”(如213，134等). 若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，則這個三位自然數為“有緣數”的概率是________．
16．為緩解交通運行壓力，某市公交系統實施疏堵工程．現調取某路公交車早高峰時段全程運輸時間(單位：分鐘)的數據，從疏堵工程完成前的數據中隨機抽取5個數據，記為A組；從疏堵工程完成后的數據中隨機抽取5個數據，記為B組．
A組：128　100　151　125　120
B組：100　102　97　101　100
(1)該路公交車全程運輸時間不超過100分鐘，稱為“正點運行”，從A，B兩組數據中各隨機抽取一個數據，求這兩個數據對應的兩次運行中至少有一次“正點運行”的概率；
(2)試比較A，B兩組數據方差的大小(不要求計算)，并說明其實際意義．
解：B組數據的方差小于A組數據的方差．說明疏堵工程完成后，該路公交車全程運輸時間更加穩定，而且“正點運行”率高，運行更加有保障．中小學教育資源及組卷應用平臺
10．1.3　古典概型
學習指導 核心素養
1.了解概率的含義． 2．結合具體實例，理解古典概型． 3．能計算古典概型中隨機事件的概率． 1.數學抽象：理解古典概型的概念及其特征． 2．數學運算、數學建模：應用古典概型的概率公式解決實際問題．
知識點一　古典概型
1．事件的概率
對隨機事件發生可能性大小的度量(數值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．
2．古典概型
(1)事件特征
①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；
②等可能性：每個樣本點發生的可能性相等．
(2)定義
將具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．
　判斷下列試驗是否為古典概型：
(1)在適宜的條件下，種下一粒種子觀察它是否發芽；
(2)口袋中有2個紅球，2個白球，每次從中任取一球，觀察顏色后放回，直到取出紅球；
(3)從甲、乙、丙、丁、戊5名同學中任意抽取1名擔任學生代表．
古典概型的判斷方法
一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征，即有限性和等可能性，因而并不是所有的試驗都是古典概型．
(多選)下列問題中是古典概型的是(　　)
A．小楊種下一粒種子，求種子能長出果實的概率
B．從甲地到乙地共5條路線，且這5條路線長短各不相同，求某人任選一條路線正好選中最短路線的概率
C．在區間[1，4]上任取一數，求這個數大于2的概率
D．同時擲兩枚質地均勻的骰子，求向上的點數之和是5的概率
知識點二　古典概型的計算公式
一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝＝.
其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數．
應用公式的關鍵是分清樣本空間中樣本點的個數及事件A中包含的樣本點的個數．
　一個口袋內裝有大小相等的1個白球和已編有不同號碼的3個黑球，從中摸出2個球. 求：
(1)樣本空間的樣本點的總數n；
(2)事件“摸出2個黑球”包含的樣本點的個數；
(3)摸出2個黑球的概率．
求古典概型概率的步驟
(1)判斷所給概率模型是否為古典概型；
(2)算出樣本點的總數n；
(3)算出事件A包含的樣本點個數m；
(4)算出事件A的概率，即P(A)＝.
1．有100張卡片(從1號到100號)，從中任取一張卡片，則取得的卡片是7的倍數的概率是(　　)
A． B．
C． D．
2．從1，2，3，4中任取2個不同的數，則取出的2個數之差的絕對值為2的概率是(　　)
A． B．
C． D．
考點　復雜古典概型的概率計算
　先后拋擲兩枚質地均勻的骰子．
(1)求點數之和為7的概率；
(2)求擲出兩個4點的概率；
(3)求點數之和能被3整除的概率．
解古典概型問題時，要牢牢抓住它的兩個特點和其計算公式，但是這類問題的解法多樣，技巧性強，在解決此類題時需要注意以下問題：
(1)試驗必須具有古典概型的兩大特征—有限性和等可能性．
(2)計算樣本點的數目時，要做到不重不漏，常借助坐標系、表格及樹狀圖等列出所有樣本點．
某飲料公司對一名員工進行測試以便確定其考評級別. 公司準備了兩種不同的飲料共5杯，其顏色完全相同，并且其中3杯為A飲料，另外2杯為B飲料. 公司要求此員工一一品嘗后，從5杯飲料中選出3杯A飲料. 若該員工3杯都選對，則評為優秀；若3杯選對2杯，則評為良好；否則評為及格. 假設此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力．
(1)求此人被評為優秀的概率；
(2)求此人被評為良好及以上的概率．
1．(多選)下列有關古典概型的說法中，正確的是(　　)
A．試驗中樣本點的個數是有限的
B．每個事件出現的可能性相等
C．每個樣本點出現的可能性相等
D．已知樣本空間中的樣本點個數為n，若隨機事件A包含k個樣本點，則事件A發生的概率P(A)＝
2．從甲、乙、丙三人中任選兩人擔任課代表，甲被選中的概率為(　　)
A． B．
C． D．1
3．從1，2，3，4，5中任意取出兩個不同的數，則其和為5的概率是________．
4．擲一顆骰子，觀察擲出的點數．
(1)求擲得點數為3的倍數的概率；
(2)求擲得點數不大于4的概率．
[A　基礎達標]
1．下列試驗是古典概型的是(　　)
A．口袋中有2個白球和3個黑球，從中任取一球，樣本點為{取中白球}和{取中黑球}
B．在區間[－1，5]上任取一個實數x，使x2－3x＋2＞0
C．拋一枚質地均勻的硬幣，觀察其出現正面或反面
D．某人射擊中靶或不中靶
2．甲、乙、丙三名同學站成一排，甲站在中間的概率是(　　)
A． B．
C． D．
3．用3種不同的顏色給甲、乙兩個小球隨機涂色，每個小球只涂一種顏色，則兩個小球顏色不同的概率為(　　)
A． B．
C． D．
4．從數字1，2，3，4，5中任取兩個不同的數字構成一個兩位數，則這個兩位數大于40的概率是(　　)
A． B．
C． D．
5．若連續擲兩次骰子得到的點數分別為m，n，則點P(m，n)在直線y＝4－x上的概率是(　　)
A． B．
C． D．
6．如果3個正整數可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數為一組勾股數．從1，2，3，4，5中任取3個不同的數，則這3個數構成一組勾股數的概率為(　　)
A． B．
C． D．
7．一枚硬幣連擲兩次，恰好出現一次正面的概率是________________________．
8．從一個放有兩個白球、兩個黑球的罐子中任意摸兩個球，則至少摸到一個黑球的概率是________．
9．某城市有8個商場A，B，C，D，E，F，G，H和市中心O排成如圖所示的格局，其中每個小方格為正方形，某人從網格中隨機地選擇一條最短路徑，欲從商場A前往商場H，則他經過市中心O的概率為________．
10．一只口袋內裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一次摸出2只球．
(1)共有多少個樣本點？
(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？
[B　能力提升]
11．把一枚質地均勻的骰子投擲兩次，觀察出現的點數，記第一次出現的點數為a，第二次出現的點數為b，則方程組只有一組解的概率為(　　)
A． B．
C． D．
12．(多選)先后拋擲兩顆質地均勻的骰子，第一次和第二次出現的點數分別記為a，b，則下列結論正確的是(　　)
A．a＋b＝7時的概率為 B．≥2時的概率為
C．ab＝6時的概率為 D．a＋b是6的倍數的概率是
13．先后拋擲兩顆質地均勻的骰子，設出現的點數之和是7，8，9的概率依次是P1，P2，P3，則P1，P2，P3從小到大的順序為________．
14．某區有教師6人，分別來自甲、乙、丙、丁四個學校，其中甲校教師記為A1，A2，乙校教師記為B1，B2，丙校教師記為C，丁校教師記為D. 現從這6名教師代表中選出3名教師組成某宣講團，要求甲、乙、丙、丁四個學校中，每校至多選出1名．
(1)請列出此宣講團組成人員的全部樣本點；
(2)求教師A1被選中的概率；
(3)求宣講團中沒有乙校教師代表的概率．
[C　拓展沖刺]
15．一個三位自然數，百位、十位、個位上的數字依次為a，b，c，當且僅當有兩個數字的和等于第三個數字時稱為“有緣數”(如213，134等). 若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，則這個三位自然數為“有緣數”的概率是________．
16．為緩解交通運行壓力，某市公交系統實施疏堵工程．現調取某路公交車早高峰時段全程運輸時間(單位：分鐘)的數據，從疏堵工程完成前的數據中隨機抽取5個數據，記為A組；從疏堵工程完成后的數據中隨機抽取5個數據，記為B組．
A組：128　100　151　125　120
B組：100　102　97　101　100
(1)該路公交車全程運輸時間不超過100分鐘，稱為“正點運行”，從A，B兩組數據中各隨機抽取一個數據，求這兩個數據對應的兩次運行中至少有一次“正點運行”的概率；
(2)試比較A，B兩組數據方差的大小(不要求計算)，并說明其實際意義．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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