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(共66張PPT)
10．2　事件的相互獨(dú)立性
第十章　概　率
學(xué)習(xí)指導(dǎo) 核心素養(yǎng)
1.結(jié)合有限樣本空間，了解兩個(gè)隨機(jī)事件相互獨(dú)立的含義． 2．結(jié)合古典概型，利用獨(dú)立性計(jì)算概率． 1.數(shù)學(xué)抽象：理解相互獨(dú)立事件的含義．
2．邏輯推理、數(shù)學(xué)建模：利用概率的乘法公式判斷事件的獨(dú)立性，并能將古典概型與事件獨(dú)立性相結(jié)合，計(jì)算簡(jiǎn)單問題的概率．
01
必備知識(shí)　落實(shí)
知識(shí)點(diǎn)　相互獨(dú)立事件
P(A)P(B)
B
兩個(gè)事件獨(dú)立與互斥的區(qū)別
兩個(gè)事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生；兩個(gè)事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一事件發(fā)生的概率沒有影響．
一般地，兩個(gè)事件不可能既互斥又相互獨(dú)立，因?yàn)榛コ馐录豢赡芡瑫r(shí)發(fā)生，而相互獨(dú)立事件是以它們能夠同時(shí)發(fā)生為前提．
　　　判斷下列各對(duì)事件哪些是互斥事件，哪些是相互獨(dú)立事件．
(1)擲一枚骰子一次，事件M：“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”；事件N：“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”．
【解】　因?yàn)槎卟豢赡芡瑫r(shí)發(fā)生，所以M與N是互斥事件．
(2)擲一枚骰子一次，事件A：“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”；事件B：“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”．
判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立的兩種方法
(1)定義法：根據(jù)定義，看一個(gè)事件的發(fā)生是否影響另一事件的發(fā)生，若沒有影響，則兩個(gè)事件就是相互獨(dú)立事件．
(2)公式法：通過式子P(AB)＝P(A)P(B)來判斷兩個(gè)事件是否獨(dú)立，若上式成立，則事件A，B相互獨(dú)立，這是定量判斷.
　　　　　從除去大小王的一副撲克牌(52張)中任抽一張，記事件A為“抽到K”，事件B為“抽到紅牌”，事件C為“抽到J”．判斷下列每對(duì)事件是否相互獨(dú)立，并說明理由．
(1)A與B；
(2)C與A.
解：不獨(dú)立．理由：事件A與事件C互斥，因此事件A與事件C不相互獨(dú)立．
02
關(guān)鍵能力　提升
(2)至多1個(gè)人譯出密碼的概率．
　　　　　(變?cè)O(shè)問)在本例條件下，求：
(1)2個(gè)人都譯不出密碼的概率；
(2)恰有1個(gè)人譯出密碼的概率．
用相互獨(dú)立事件的乘法公式解題的步驟
(1)用恰當(dāng)?shù)淖帜副硎绢}中有關(guān)事件；
(2)根據(jù)題設(shè)條件，分析事件間的關(guān)系；
(3)將需要計(jì)算概率的事件表示為所設(shè)事件的乘積或若干個(gè)事件的乘積之和(相互乘積的事件之間必須滿足相互獨(dú)立)；
(4)利用乘法公式計(jì)算概率．
(2)求在該次比賽中甲隊(duì)至少得3分的概率．
(2)若考生填空題得10分與得15分的概率相等，求p的值．
(3)方程思想．利用有關(guān)的概率公式和問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程(組)，通過解方程(組)使問題獲解．
(2)設(shè)ξ為甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和，求P(ξ＝4)和P(ξ＝6)的值．
03
課堂鞏固　自測(cè)
√
√
3．(2021·新高考卷Ⅰ)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則(　　)
A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立
C．乙與丙相互獨(dú)立 D．丙與丁相互獨(dú)立
√
事件丙與事件丁是互斥事件，不是相互獨(dú)立事件，故D錯(cuò)誤．選B．
04
課后達(dá)標(biāo)　檢測(cè)
√
√
√
√
√
√
7．有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.9，在這兩批種子中各取一粒，則恰有一粒種子能發(fā)芽的概率是________．
解析：所求概率P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.
答案：0.26
9．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣和一枚質(zhì)地均勻的骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A，“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是3”為事件B，則事件A，B中至少有一件發(fā)生的概率是________．
10．據(jù)某保險(xiǎn)公司統(tǒng)計(jì)，某地車主購(gòu)買車損險(xiǎn)的概率為0.5，購(gòu)買第三者人身安全險(xiǎn)的概率為0.6，購(gòu)買兩種保險(xiǎn)相互獨(dú)立，各車主間相互獨(dú)立．
(1)求一位車主同時(shí)購(gòu)買車損險(xiǎn)與第三者人身安全險(xiǎn)保險(xiǎn)的概率；
(2)求一位車主購(gòu)買第三者人身安全險(xiǎn)但不購(gòu)買車損險(xiǎn)的概率．
√
√
√
解析：對(duì)于A，如果B A，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(B)＝P(A)＝0.4，P(AB)＝P(B)＝0.3，故A正確；
對(duì)于B，如果A與B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.3＝0.7，P(AB)＝0，故B正確；
對(duì)于C，如果A與B相互獨(dú)立，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.4＋0.3－P(AB)＝0.7－P(A)P(B)＝0.7－0.4×0.3＝0.58，P(AB)＝0.4×0.3＝0.12，故C不正確；
√
√
√
14．在一次考試中，某學(xué)生的語、數(shù)、英三科考試成績(jī)排名全班第一的概率分別為0.9，0.8，0.85，問：
(1)三科成績(jī)均未獲得第一名的概率是多少？
(2)恰有一科成績(jī)未獲得第一名的概率是多少？
[C　拓展沖刺]
15．(多選)如圖所示的電路中，5只箱子表示保險(xiǎn)匣，設(shè)5個(gè)盒子分別被斷開為事件A，B，C，D，E.箱中所示數(shù)值表示通電時(shí)保險(xiǎn)絲被切斷的概率，下列結(jié)論正確的是(　　)
√
√
√
16．如圖所示，用A，B，C三類不同的元件連接成兩個(gè)系統(tǒng)N1，N2，當(dāng)元件A，B，C都正常工作時(shí)，系統(tǒng)N1正常工作；當(dāng)元件A正常工作且元件B，C至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)N2正常工作．系統(tǒng)N1，N2正常工作的概率分別為p1，p2.
(1)若元件A，B，C正常工作的概率依次為0.5，0.6，0.8，求p1，p2；
(2)若元件A，B，C正常工作的概率都是p(010．2　事件的相互獨(dú)立性
學(xué)習(xí)指導(dǎo) 核心素養(yǎng)
1.結(jié)合有限樣本空間，了解兩個(gè)隨機(jī)事件相互獨(dú)立的含義． 2．結(jié)合古典概型，利用獨(dú)立性計(jì)算概率． 1.數(shù)學(xué)抽象：理解相互獨(dú)立事件的含義． 2．邏輯推理、數(shù)學(xué)建模：利用概率的乘法公式判斷事件的獨(dú)立性，并能將古典概型與事件獨(dú)立性相結(jié)合，計(jì)算簡(jiǎn)單問題的概率．
知識(shí)點(diǎn)　相互獨(dú)立事件
相互獨(dú) 立事件 相關(guān)內(nèi)容
定義 對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立
性質(zhì) 若事件A與B相互獨(dú)立，那么A與，與B，與也都相互獨(dú)立
兩個(gè)事件獨(dú)立與互斥的區(qū)別
兩個(gè)事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生；兩個(gè)事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一事件發(fā)生的概率沒有影響．
一般地，兩個(gè)事件不可能既互斥又相互獨(dú)立，因?yàn)榛コ馐录豢赡芡瑫r(shí)發(fā)生，而相互獨(dú)立事件是以它們能夠同時(shí)發(fā)生為前提．
　判斷下列各對(duì)事件哪些是互斥事件，哪些是相互獨(dú)立事件．
(1)擲一枚骰子一次，事件M：“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”；事件N：“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”．
(2)擲一枚骰子一次，事件A：“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”；事件B：“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”．
判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立的兩種方法
(1)定義法：根據(jù)定義，看一個(gè)事件的發(fā)生是否影響另一事件的發(fā)生，若沒有影響，則兩個(gè)事件就是相互獨(dú)立事件．
(2)公式法：通過式子P(AB)＝P(A)P(B)來判斷兩個(gè)事件是否獨(dú)立，若上式成立，則事件A，B相互獨(dú)立，這是定量判斷.
從除去大小王的一副撲克牌(52張)中任抽一張，記事件A為“抽到K”，事件B為“抽到紅牌”，事件C為“抽到J”．判斷下列每對(duì)事件是否相互獨(dú)立，并說明理由．
(1)A與B；
(2)C與A.
考點(diǎn)一　相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算
　甲、乙2個(gè)人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能譯出密碼的概率分別為和，求：
(1)2個(gè)人都譯出密碼的概率；
(2)至多1個(gè)人譯出密碼的概率．
　(變?cè)O(shè)問)在本例條件下，求：
(1)2個(gè)人都譯不出密碼的概率；
(2)恰有1個(gè)人譯出密碼的概率．
用相互獨(dú)立事件的乘法公式解題的步驟
(1)用恰當(dāng)?shù)淖帜副硎绢}中有關(guān)事件；
(2)根據(jù)題設(shè)條件，分析事件間的關(guān)系；
(3)將需要計(jì)算概率的事件表示為所設(shè)事件的乘積或若干個(gè)事件的乘積之和(相互乘積的事件之間必須滿足相互獨(dú)立)；
(4)利用乘法公式計(jì)算概率．
在某校運(yùn)動(dòng)會(huì)中，甲、乙、丙三支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽(即每?jī)申?duì)比賽一場(chǎng))，共賽三場(chǎng)，每場(chǎng)比賽勝者得3分，負(fù)者得0分，沒有平局．在每一場(chǎng)比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為.
(1)求甲隊(duì)獲第一名且丙隊(duì)獲第二名的概率；
(2)求在該次比賽中甲隊(duì)至少得3分的概率．
考點(diǎn)二　相互獨(dú)立事件的綜合應(yīng)用
　一次數(shù)學(xué)考試的試卷上有4道填空題，共20分，每道題完全答對(duì)得5分，否則得0分．在試卷命題時(shí)，設(shè)計(jì)第一道題使考生都能完全答對(duì)，后3道題能得出正確答案的概率分別為p，，，且每題答對(duì)與否相互獨(dú)立．
(1)當(dāng)p＝時(shí)，求考生填空題得滿分的概率；
(2)若考生填空題得10分與得15分的概率相等，求p的值．
概率問題中的數(shù)學(xué)思想
(1)正難則反．靈活應(yīng)用對(duì)立事件的概率關(guān)系(P(A)＋P()＝1)簡(jiǎn)化問題，是求解概率問題最常用的方法．
(2)化繁為簡(jiǎn)．將復(fù)雜事件的概率轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單事件的概率，即尋找所求事件與已知事件之間的關(guān)系．“所求事件”分幾類(考慮加法公式轉(zhuǎn)化為互斥事件)還是分幾步組成(考慮乘法公式轉(zhuǎn)化為相互獨(dú)立事件).
(3)方程思想．利用有關(guān)的概率公式和問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程(組)，通過解方程(組)使問題獲解．
本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多．某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租用時(shí)間不超過兩小時(shí)免費(fèi)，超過兩小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)2元(不足一小時(shí)的部分按一小時(shí)計(jì)算).有甲、乙兩人單獨(dú)來該租車點(diǎn)租車騎游(各租一車一次).設(shè)甲、乙不超過兩小時(shí)還車的概率分別為，，超過兩小時(shí)但不超過三小時(shí)還車的概率分別為，，兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過四小時(shí)．
(1)求甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率；
(2)設(shè)ξ為甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和，求P(ξ＝4)和P(ξ＝6)的值．
1．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的硬幣，記事件A表示“出現(xiàn)正面”，事件B表示“出現(xiàn)反面”，則(　　)
A．A與B相互獨(dú)立 B．P(AB)＝P(A)P(B)
C．A與不相互獨(dú)立 D．P(AB)＝
2．從高中應(yīng)屆畢業(yè)生中選拔飛行員，已知這批學(xué)生體型合格的概率為，視力合格的概率為，其他標(biāo)準(zhǔn)合格的概率為，從中任選一名學(xué)生，則該學(xué)生三項(xiàng)均合格的概率為(假設(shè)三項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)互不影響)(　　)
A． B．
C． D．
3．(2021·新高考卷Ⅰ)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則(　　)
A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立
C．乙與丙相互獨(dú)立 D．丙與丁相互獨(dú)立
4．已知A，B是相互獨(dú)立事件，且P(A)＝，P(B)＝，則P(A)＝________，P()＝________．
[A　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1．一袋中裝有5只白球，3只黃球，在有放回地摸球中，設(shè)A1＝“第一次摸到白球”，A2＝“第二次摸到白球”，則事件A1與A2是(　　)
A．相互獨(dú)立事件 B．不相互獨(dú)立事件
C．互斥事件 D．對(duì)立事件
2．甲、乙兩班各有36名同學(xué)，甲班有9名三好學(xué)生，乙班有6名三好學(xué)生，兩班各派一名同學(xué)參加演講活動(dòng)，派出的恰好都是三好學(xué)生的概率是(　　)
A． B．
C． D．
3．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，則事件A與B的關(guān)系是(　　)
A．互斥 B．相互獨(dú)立
C．互為對(duì)立 D．無法判斷
4．從甲袋內(nèi)摸出1個(gè)白球的概率為，從乙袋內(nèi)摸出1個(gè)白球的概率是，從兩個(gè)袋內(nèi)各摸1個(gè)球，那么概率為的事件是(　　)
A．2個(gè)球都是白球 B．2個(gè)球都不是白球
C．2個(gè)球不都是白球 D．2個(gè)球恰好有1個(gè)白球
5．甲盒中有200個(gè)螺桿，其中有160個(gè)A型的，乙盒中有240個(gè)螺母，其中有180個(gè)A型的．現(xiàn)從甲、乙兩盒中各任取一個(gè)，則恰好可配成A型螺栓的概率為(　　)
A． B．
C． D．
6．甲騎自行車從A地到B地，途中要經(jīng)過4個(gè)十字路口，已知甲在每個(gè)十字路口遇到紅燈的概率都是，且在每個(gè)路口是否遇到紅燈相互獨(dú)立，那么甲在前兩個(gè)十字路口都沒有遇到紅燈，直到第三個(gè)路口才首次遇到紅燈的概率是(　　)
A． B．
C． D．
7．有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.9，在這兩批種子中各取一粒，則恰有一粒種子能發(fā)芽的概率是________．
8．某籃球隊(duì)員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多命中一次的概率為，則該隊(duì)員每次罰球的命中率為________．
9．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣和一枚質(zhì)地均勻的骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A，“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是3”為事件B，則事件A，B中至少有一件發(fā)生的概率是________．
10．據(jù)某保險(xiǎn)公司統(tǒng)計(jì)，某地車主購(gòu)買車損險(xiǎn)的概率為0.5，購(gòu)買第三者人身安全險(xiǎn)的概率為0.6，購(gòu)買兩種保險(xiǎn)相互獨(dú)立，各車主間相互獨(dú)立．
(1)求一位車主同時(shí)購(gòu)買車損險(xiǎn)與第三者人身安全險(xiǎn)保險(xiǎn)的概率；
(2)求一位車主購(gòu)買第三者人身安全險(xiǎn)但不購(gòu)買車損險(xiǎn)的概率．
[B　能力提升]
11．(多選)已知事件A，B，且P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，則(　　)
A．如果B A，那么P(A∪B)＝0.4，P(AB)＝0.3
B．如果A與B互斥，那么P(A∪B)＝0.7，P(AB)＝0
C．如果A與B相互獨(dú)立，那么P(A∪B)＝0.7，P(AB)＝0.12
D．如果A與B相互獨(dú)立，那么P()＝0.42，P(B)＝0.18
12．(多選)出租車司機(jī)從飯店到火車站途中經(jīng)過三個(gè)交通崗．假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈這一事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是，則(　　)
A．這位司機(jī)遇到紅燈前已經(jīng)通過了兩個(gè)交通崗的概率為
B．這位司機(jī)到達(dá)火車站途中只遇到一次紅燈的概率為
C．這位司機(jī)一路都未遇到紅燈的概率為
D．這位司機(jī)一路遇到且僅遇到兩次紅燈的概率為
13．某工廠師徒二人各加工相同型號(hào)的零件2個(gè)，是否加工出精品均互不影響．已知師傅加工一個(gè)零件是精品的概率為，師徒二人各加工2個(gè)零件都是精品的概率為，則徒弟加工2個(gè)零件都是精品的概率為________．
14．在一次考試中，某學(xué)生的語、數(shù)、英三科考試成績(jī)排名全班第一的概率分別為0.9，0.8，0.85，問：
(1)三科成績(jī)均未獲得第一名的概率是多少？
(2)恰有一科成績(jī)未獲得第一名的概率是多少？
[C　拓展沖刺]
15．(多選)如圖所示的電路中，5只箱子表示保險(xiǎn)匣，設(shè)5個(gè)盒子分別被斷開為事件A，B，C，D，E.箱中所示數(shù)值表示通電時(shí)保險(xiǎn)絲被切斷的概率，下列結(jié)論正確的是(　　)
A．A，B兩個(gè)盒子串聯(lián)后暢通的概率為
B．D，E兩個(gè)盒子并聯(lián)后暢通的概率為
C．A，B，C三個(gè)盒子混聯(lián)后暢通的概率為
D．當(dāng)開關(guān)合上時(shí)，整個(gè)電路暢通的概率為
16．如圖所示，用A，B，C三類不同的元件連接成兩個(gè)系統(tǒng)N1，N2，當(dāng)元件A，B，C都正常工作時(shí)，系統(tǒng)N1正常工作；當(dāng)元件A正常工作且元件B，C至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)N2正常工作．系統(tǒng)N1，N2正常工作的概率分別為p1，p2.
(1)若元件A，B，C正常工作的概率依次為0.5，0.6，0.8，求p1，p2；
(2)若元件A，B，C正常工作的概率都是p(021世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
10．2　事件的相互獨(dú)立性
學(xué)習(xí)指導(dǎo) 核心素養(yǎng)
1.結(jié)合有限樣本空間，了解兩個(gè)隨機(jī)事件相互獨(dú)立的含義． 2．結(jié)合古典概型，利用獨(dú)立性計(jì)算概率． 1.數(shù)學(xué)抽象：理解相互獨(dú)立事件的含義． 2．邏輯推理、數(shù)學(xué)建模：利用概率的乘法公式判斷事件的獨(dú)立性，并能將古典概型與事件獨(dú)立性相結(jié)合，計(jì)算簡(jiǎn)單問題的概率．
知識(shí)點(diǎn)　相互獨(dú)立事件
相互獨(dú) 立事件 相關(guān)內(nèi)容
定義 對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立
性質(zhì) 若事件A與B相互獨(dú)立，那么A與，與B，與也都相互獨(dú)立
兩個(gè)事件獨(dú)立與互斥的區(qū)別
兩個(gè)事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生；兩個(gè)事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一事件發(fā)生的概率沒有影響．
一般地，兩個(gè)事件不可能既互斥又相互獨(dú)立，因?yàn)榛コ馐录豢赡芡瑫r(shí)發(fā)生，而相互獨(dú)立事件是以它們能夠同時(shí)發(fā)生為前提．
　判斷下列各對(duì)事件哪些是互斥事件，哪些是相互獨(dú)立事件．
(1)擲一枚骰子一次，事件M：“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”；事件N：“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”．
(2)擲一枚骰子一次，事件A：“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”；事件B：“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”．
【解】　(1)因?yàn)槎卟豢赡芡瑫r(shí)發(fā)生，所以M與N是互斥事件．
(2)樣本空間為Ω＝{1，2，3，4，5，6}，
事件A＝{2，4，6}，事件B＝{3，6}，事件AB＝{6}．
所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，
P(AB)＝＝×，
即P(AB)＝P(A)P(B).
故事件A與B相互獨(dú)立．
當(dāng)“出現(xiàn)6點(diǎn)”時(shí)事件A，B可以同時(shí)發(fā)生，因此，A，B不是互斥事件．
判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立的兩種方法
(1)定義法：根據(jù)定義，看一個(gè)事件的發(fā)生是否影響另一事件的發(fā)生，若沒有影響，則兩個(gè)事件就是相互獨(dú)立事件．
(2)公式法：通過式子P(AB)＝P(A)P(B)來判斷兩個(gè)事件是否獨(dú)立，若上式成立，則事件A，B相互獨(dú)立，這是定量判斷.
從除去大小王的一副撲克牌(52張)中任抽一張，記事件A為“抽到K”，事件B為“抽到紅牌”，事件C為“抽到J”．判斷下列每對(duì)事件是否相互獨(dú)立，并說明理由．
(1)A與B；
(2)C與A.
解：(1)獨(dú)立．理由：P(A)＝＝，P(B)＝＝，
事件AB為“既抽到K又抽到紅牌”，
即“抽到紅桃K或方塊K”，
故P(AB)＝＝，
從而有P(A)P(B)＝P(AB)，
因此事件A與B相互獨(dú)立．
(2)不獨(dú)立．理由：事件A與事件C互斥，因此事件A與事件C不相互獨(dú)立．
考點(diǎn)一　相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算
　甲、乙2個(gè)人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能譯出密碼的概率分別為和，求：
(1)2個(gè)人都譯出密碼的概率；
(2)至多1個(gè)人譯出密碼的概率．
【解】　記“甲獨(dú)立地譯出密碼”為事件A，“乙獨(dú)立地譯出密碼”為事件B，A與B為相互獨(dú)立事件，且P(A)＝，P(B)＝.
(1)“2個(gè)人都譯出密碼”的概率為
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)“至多1個(gè)人譯出密碼”的對(duì)立事件為“2個(gè)人都譯出密碼”，所以至多1個(gè)人譯出密碼的概率為1－P(AB)＝1－＝.
　(變?cè)O(shè)問)在本例條件下，求：
(1)2個(gè)人都譯不出密碼的概率；
(2)恰有1個(gè)人譯出密碼的概率．
解：(1)2個(gè)人都譯不出密碼的概率為
P()＝P()P()＝[1－P(A)]×[1－P(B)]＝×＝.
(2)“恰有1個(gè)人譯出密碼”可以分為兩類，即甲譯出乙未譯出以及甲未譯出乙譯出，且兩個(gè)事件為互斥事件，
所以恰有1個(gè)人譯出密碼的概率為
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.
用相互獨(dú)立事件的乘法公式解題的步驟
(1)用恰當(dāng)?shù)淖帜副硎绢}中有關(guān)事件；
(2)根據(jù)題設(shè)條件，分析事件間的關(guān)系；
(3)將需要計(jì)算概率的事件表示為所設(shè)事件的乘積或若干個(gè)事件的乘積之和(相互乘積的事件之間必須滿足相互獨(dú)立)；
(4)利用乘法公式計(jì)算概率．
在某校運(yùn)動(dòng)會(huì)中，甲、乙、丙三支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽(即每?jī)申?duì)比賽一場(chǎng))，共賽三場(chǎng)，每場(chǎng)比賽勝者得3分，負(fù)者得0分，沒有平局．在每一場(chǎng)比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為.
(1)求甲隊(duì)獲第一名且丙隊(duì)獲第二名的概率；
(2)求在該次比賽中甲隊(duì)至少得3分的概率．
解：(1)設(shè)“甲隊(duì)獲第一名且丙隊(duì)獲第二名”為事件A，則P(A)＝××＝.
(2)甲隊(duì)至少得3分有兩種情況：兩場(chǎng)只勝一場(chǎng)；兩場(chǎng)都勝．設(shè)事件B為“甲兩場(chǎng)只勝一場(chǎng)”，設(shè)事件C為“甲兩場(chǎng)都勝”，則事件“甲隊(duì)至少得3分”為B∪C，
則P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝×＋×＋×＝.
考點(diǎn)二　相互獨(dú)立事件的綜合應(yīng)用
　一次數(shù)學(xué)考試的試卷上有4道填空題，共20分，每道題完全答對(duì)得5分，否則得0分．在試卷命題時(shí)，設(shè)計(jì)第一道題使考生都能完全答對(duì)，后3道題能得出正確答案的概率分別為p，，，且每題答對(duì)與否相互獨(dú)立．
(1)當(dāng)p＝時(shí)，求考生填空題得滿分的概率；
(2)若考生填空題得10分與得15分的概率相等，求p的值．
【解】　設(shè)考生填空題得滿分，15分，10分分別為事件A，B，C.
(1)P(A)＝××＝.
(2)P(B)＝p××＋p××＋(1－p)××＝＋，
P(C)＝p××＋(1－p)××＋(1－p)××＝－，
因?yàn)镻(B)＝P(C)，
所以＋＝－，解得p＝.
概率問題中的數(shù)學(xué)思想
(1)正難則反．靈活應(yīng)用對(duì)立事件的概率關(guān)系(P(A)＋P()＝1)簡(jiǎn)化問題，是求解概率問題最常用的方法．
(2)化繁為簡(jiǎn)．將復(fù)雜事件的概率轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單事件的概率，即尋找所求事件與已知事件之間的關(guān)系．“所求事件”分幾類(考慮加法公式轉(zhuǎn)化為互斥事件)還是分幾步組成(考慮乘法公式轉(zhuǎn)化為相互獨(dú)立事件).
(3)方程思想．利用有關(guān)的概率公式和問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程(組)，通過解方程(組)使問題獲解．
本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多．某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租用時(shí)間不超過兩小時(shí)免費(fèi)，超過兩小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)2元(不足一小時(shí)的部分按一小時(shí)計(jì)算).有甲、乙兩人單獨(dú)來該租車點(diǎn)租車騎游(各租一車一次).設(shè)甲、乙不超過兩小時(shí)還車的概率分別為，，超過兩小時(shí)但不超過三小時(shí)還車的概率分別為，，兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過四小時(shí)．
(1)求甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率；
(2)設(shè)ξ為甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和，求P(ξ＝4)和P(ξ＝6)的值．
解：(1)由題意可得甲、乙兩人超過三小時(shí)但不超過四小時(shí)還車的概率分別為，.
記“甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同”為事件A，
則P(A)＝×＋×＋×＝.
所以甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率為.
(2)P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝6)＝×＋×＝.
1．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的硬幣，記事件A表示“出現(xiàn)正面”，事件B表示“出現(xiàn)反面”，則(　　)
A．A與B相互獨(dú)立 B．P(AB)＝P(A)P(B)
C．A與不相互獨(dú)立 D．P(AB)＝
解析：選C．由題得P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝0，故A與不相互獨(dú)立，A，B，D不正確．故選C．
2．從高中應(yīng)屆畢業(yè)生中選拔飛行員，已知這批學(xué)生體型合格的概率為，視力合格的概率為，其他標(biāo)準(zhǔn)合格的概率為，從中任選一名學(xué)生，則該學(xué)生三項(xiàng)均合格的概率為(假設(shè)三項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)互不影響)(　　)
A． B．
C． D．
解析：選D．根據(jù)題意可得該學(xué)生三項(xiàng)均合格的概率為××＝.故選D．
3．(2021·新高考卷Ⅰ)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則(　　)
A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立
C．乙與丙相互獨(dú)立 D．丙與丁相互獨(dú)立
解析：選B．事件甲發(fā)生的概率 P(甲)＝，事件乙發(fā)生的概率P(乙)＝，事件丙發(fā)生的概率P(丙)＝＝，事件丁發(fā)生的概率P(丁)＝＝.事件甲與事件丙同時(shí)發(fā)生的概率為0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A錯(cuò)誤；事件甲與事件丁同時(shí)發(fā)生的概率為＝，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正確；事件乙與事件丙同時(shí)發(fā)生的概率為＝，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C錯(cuò)誤；事件丙與事件丁是互斥事件，不是相互獨(dú)立事件，故D錯(cuò)誤．選B．
4．已知A，B是相互獨(dú)立事件，且P(A)＝，P(B)＝，則P(A)＝________，P()＝________．
解析：因?yàn)镻(A)＝，P(B)＝.
所以P()＝，P()＝.
所以P(A )＝P(A)P()＝×＝，
P( )＝P()P()＝×＝.
答案：　
[A　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1．一袋中裝有5只白球，3只黃球，在有放回地摸球中，設(shè)A1＝“第一次摸到白球”，A2＝“第二次摸到白球”，則事件A1與A2是(　　)
A．相互獨(dú)立事件 B．不相互獨(dú)立事件
C．互斥事件 D．對(duì)立事件
解析：選A．由題意知A2＝“第二次摸到的不是白球”，即A2＝“第二次摸到的是黃球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黃球或白球互不影響，故事件A1與A2是相互獨(dú)立事件．
2．甲、乙兩班各有36名同學(xué)，甲班有9名三好學(xué)生，乙班有6名三好學(xué)生，兩班各派一名同學(xué)參加演講活動(dòng)，派出的恰好都是三好學(xué)生的概率是(　　)
A． B．
C． D．
解析：選C．兩班各自派出代表是相互獨(dú)立事件，設(shè)事件A，B分別為甲班、乙班派出的是三好學(xué)生，則事件AB為兩班派出的都是三好學(xué)生，則P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
3．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，則事件A與B的關(guān)系是(　　)
A．互斥 B．相互獨(dú)立
C．互為對(duì)立 D．無法判斷
解析：選B．因?yàn)镻()＝，所以P(A)＝，又P(B)＝，所以事件A與事件B不對(duì)立，又因?yàn)镻(AB)＝，所以有P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A與B相互獨(dú)立但不一定互斥．故選B．
4．從甲袋內(nèi)摸出1個(gè)白球的概率為，從乙袋內(nèi)摸出1個(gè)白球的概率是，從兩個(gè)袋內(nèi)各摸1個(gè)球，那么概率為的事件是(　　)
A．2個(gè)球都是白球 B．2個(gè)球都不是白球
C．2個(gè)球不都是白球 D．2個(gè)球恰好有1個(gè)白球
解析：選C．從甲袋內(nèi)摸出白球與從乙袋內(nèi)摸出白球兩事件相互獨(dú)立，故兩個(gè)球都是白球的概率為P1＝×＝，所以兩個(gè)球不都是白球的概率為P＝1－P1＝.
5．甲盒中有200個(gè)螺桿，其中有160個(gè)A型的，乙盒中有240個(gè)螺母，其中有180個(gè)A型的．現(xiàn)從甲、乙兩盒中各任取一個(gè)，則恰好可配成A型螺栓的概率為(　　)
A． B．
C． D．
解析：選C．設(shè)“從甲盒中任取一螺桿為A型螺桿”為事件M，“從乙盒中任取一螺母為A型螺母”為事件N，則M與N相互獨(dú)立，P(M)＝＝，P(N)＝＝，則從甲、乙兩盒中各任取一個(gè)，恰好可配成A型螺栓的概率為P(MN)＝P(M)P(N)＝×＝.
6．甲騎自行車從A地到B地，途中要經(jīng)過4個(gè)十字路口，已知甲在每個(gè)十字路口遇到紅燈的概率都是，且在每個(gè)路口是否遇到紅燈相互獨(dú)立，那么甲在前兩個(gè)十字路口都沒有遇到紅燈，直到第三個(gè)路口才首次遇到紅燈的概率是(　　)
A． B．
C． D．
解析：選B．由題意知，甲在前兩個(gè)十字路口沒有遇到紅燈，直到第三個(gè)路口才首次遇到紅燈的概率為P＝××＝.故選B．
7．有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.9，在這兩批種子中各取一粒，則恰有一粒種子能發(fā)芽的概率是________．
解析：所求概率P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.
答案：0.26
8．某籃球隊(duì)員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多命中一次的概率為，則該隊(duì)員每次罰球的命中率為________．
解析：設(shè)此隊(duì)員每次罰球的命中率為P，
則1－P2＝，所以P＝.
答案：
9．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣和一枚質(zhì)地均勻的骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A，“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是3”為事件B，則事件A，B中至少有一件發(fā)生的概率是________．
解析：因?yàn)镻(A)＝，P(B)＝，
所以P()＝，P()＝.
又A，B為相互獨(dú)立事件，
所以P()＝P()P()＝×＝.
所以A，B中至少有一件發(fā)生的概率為1－P()＝1－＝.
答案：
10．據(jù)某保險(xiǎn)公司統(tǒng)計(jì)，某地車主購(gòu)買車損險(xiǎn)的概率為0.5，購(gòu)買第三者人身安全險(xiǎn)的概率為0.6，購(gòu)買兩種保險(xiǎn)相互獨(dú)立，各車主間相互獨(dú)立．
(1)求一位車主同時(shí)購(gòu)買車損險(xiǎn)與第三者人身安全險(xiǎn)保險(xiǎn)的概率；
(2)求一位車主購(gòu)買第三者人身安全險(xiǎn)但不購(gòu)買車損險(xiǎn)的概率．
解：記事件A表示“購(gòu)買車損險(xiǎn)”，事件B表示“購(gòu)買第三者人身安全險(xiǎn)”，則由題意得A與B，A與，與B，與都是相互獨(dú)立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.
(1)記C表示事件“同時(shí)購(gòu)買兩種保險(xiǎn)”，則C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)記D表示事件“購(gòu)買第三者人身安全險(xiǎn)但不購(gòu)買車損險(xiǎn)”，則D＝B，所以P(D)＝P(B)＝P()P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3.
[B　能力提升]
11．(多選)已知事件A，B，且P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，則(　　)
A．如果B A，那么P(A∪B)＝0.4，P(AB)＝0.3
B．如果A與B互斥，那么P(A∪B)＝0.7，P(AB)＝0
C．如果A與B相互獨(dú)立，那么P(A∪B)＝0.7，P(AB)＝0.12
D．如果A與B相互獨(dú)立，那么P()＝0.42，P(B)＝0.18
解析：選ABD．對(duì)于A，如果B A，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(B)＝P(A)＝0.4，P(AB)＝P(B)＝0.3，故A正確；對(duì)于B，如果A與B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.3＝0.7，P(AB)＝0，故B正確；對(duì)于C，如果A與B相互獨(dú)立，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.4＋0.3－P(AB)＝0.7－P(A)P(B)＝0.7－0.4×0.3＝0.58，P(AB)＝0.4×0.3＝0.12，故C不正確；對(duì)于D，如果A與B相互獨(dú)立，則P(B)＝P()P(B)＝(1－P(A))P(B)＝(1－0.4)×0.3＝0.18，P()＝P()P()＝(1－P(A))(1－P(B))＝(1－0.4)×(1－0.3)＝0.42.故D正確．故選ABD．
12．(多選)出租車司機(jī)從飯店到火車站途中經(jīng)過三個(gè)交通崗．假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈這一事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是，則(　　)
A．這位司機(jī)遇到紅燈前已經(jīng)通過了兩個(gè)交通崗的概率為
B．這位司機(jī)到達(dá)火車站途中只遇到一次紅燈的概率為
C．這位司機(jī)一路都未遇到紅燈的概率為
D．這位司機(jī)一路遇到且僅遇到兩次紅燈的概率為
解析：選ACD．對(duì)于A，概率P1＝××＝，故A正確．
對(duì)于B，概率P2＝××＋××＋××＝，故B錯(cuò)誤．
對(duì)于C，概率P3＝××＝，故C正確．
對(duì)于D，概率P4＝××＋××＋××＝，故D正確．
13．某工廠師徒二人各加工相同型號(hào)的零件2個(gè)，是否加工出精品均互不影響．已知師傅加工一個(gè)零件是精品的概率為，師徒二人各加工2個(gè)零件都是精品的概率為，則徒弟加工2個(gè)零件都是精品的概率為________．
解析：記師傅加工兩個(gè)零件都是精品的概率為P(A)，則P(A)＝×＝，徒弟加工兩個(gè)零件都是精品的概率為P(B)，則師徒二人各加工兩個(gè)零件都是精品的概率為P(AB)＝P(A)·P(B)＝，求得P(B)＝，故徒弟加工兩個(gè)零件都是精品的概率為.
答案：
14．在一次考試中，某學(xué)生的語、數(shù)、英三科考試成績(jī)排名全班第一的概率分別為0.9，0.8，0.85，問：
(1)三科成績(jī)均未獲得第一名的概率是多少？
(2)恰有一科成績(jī)未獲得第一名的概率是多少？
解：分別記該學(xué)生語、數(shù)、英考試成績(jī)排名全班第一的事件為A，B，C，則A，B，C兩兩相互獨(dú)立，且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.
(1)“三科成績(jī)均未獲得第一名”可以用表示，則P()＝P()P()P()＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C))＝(1－0.9)×(1－0.8)×(1－0.85)＝0.003.
(2)“恰有一科成績(jī)未獲得第一名”可以用(BC)∪(AC)∪(AB)表示．
由于事件BC，AC和AB兩兩互斥，
則P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋
P(A)P(B)P()
＝(1－P(A))P(B)P(C)＋P(A)(1－P(B))P(C)＋P(A)P(B)(1－P(C))
＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329.
[C　拓展沖刺]
15．(多選)如圖所示的電路中，5只箱子表示保險(xiǎn)匣，設(shè)5個(gè)盒子分別被斷開為事件A，B，C，D，E.箱中所示數(shù)值表示通電時(shí)保險(xiǎn)絲被切斷的概率，下列結(jié)論正確的是(　　)
A．A，B兩個(gè)盒子串聯(lián)后暢通的概率為
B．D，E兩個(gè)盒子并聯(lián)后暢通的概率為
C．A，B，C三個(gè)盒子混聯(lián)后暢通的概率為
D．當(dāng)開關(guān)合上時(shí)，整個(gè)電路暢通的概率為
解析：選ACD．由題意知，P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，P(E)＝，所以A，B兩個(gè)盒子串聯(lián)后暢通的概率為×＝，因此A正確；
D，E兩個(gè)盒子并聯(lián)后暢通的概率為1－×＝1－＝，因此B錯(cuò)誤；A，B，C三個(gè)盒子混聯(lián)后暢通的概率為1－×＝1－＝，因此C正確；當(dāng)開關(guān)合上時(shí)，電路暢通的概率為×＝，因此D正確．
16．如圖所示，用A，B，C三類不同的元件連接成兩個(gè)系統(tǒng)N1，N2，當(dāng)元件A，B，C都正常工作時(shí)，系統(tǒng)N1正常工作；當(dāng)元件A正常工作且元件B，C至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)N2正常工作．系統(tǒng)N1，N2正常工作的概率分別為p1，p2.
(1)若元件A，B，C正常工作的概率依次為0.5，0.6，0.8，求p1，p2；
(2)若元件A，B，C正常工作的概率都是p(0解：(1)設(shè)元件A，B，C正常工作分別為事件A，B，C，則事件A，B，C相互獨(dú)立，P(A)＝0.5，P(B)＝0.6，P(C)＝0.8，
故p1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝0.5×0.6×0.8＝0.24.
p2＝P(A)P(B∪C)＝P(A)(1－P())
＝P(A)[1－(1－P(B))(1－P(C))]
＝0.5×(1－0.4×0.2)＝0.46.
(2)由題知P(A)＝P(B)＝P(C)＝p，p1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝p3，
p2＝P(A)P(B∪C)＝P(A)(1－P())＝p[1－(1－p)2]，
p1－p2＝p3－p[1－(1－p)2]＝2p3－2p2＝2p2(p－1).
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