資源簡介

與圓有關(guān)的位置關(guān)系
1. 如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，若AB＝10，BO＝8，以點O為圓心，r為半徑作圓．
(1)若r＝4.8，則點A與⊙O的位置關(guān)系是________，直線AB與⊙O的位置關(guān)系是________；
(2)若r＝6，則點A與⊙O的位置關(guān)系是________，直線AB與⊙O的位置關(guān)系是________；
(3)若r＝4，則點A與⊙O的位置關(guān)系是________，直線AB與⊙O的位置關(guān)系是________．
第1題圖　　
2. 如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，過點C的切線交AB的延長線于點D，過點A作AE⊥CD，交DC的延長線于點E.
第2題圖
(1)若AC＝8，BC＝6，則⊙O的半徑為________；
(2)若∠CAB＝30°，則∠CAE＝________，∠BCD＝________；
(3)若BD＝2，CD＝4，則⊙O的半徑為________；
(4)若tan ∠BAC＝，CD＝4，則BD的長為________．
3. 如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，連接AB，OA，OB，PO，PO交⊙O于點C，交AB于點D，∠OAB＝30°.
第3題圖
(1)∠APB的度數(shù)為________；
(2)若OA＝4，則OP的長為________．
4. 如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點D，E，F(xiàn).
第4題圖
(1)連接DE，EF，若∠A＝60°，則∠DEF的度數(shù)為________；
(2)若AD＝2，△ABC的周長為14，則BC的長為________．
知識逐點過
考點1 　點、直線與圓的位置關(guān)系
1. 點與圓的位置(r為⊙O的半徑，d為點到圓心的距離)
點在圓外 d＝OA①________r
點在圓上 d＝OB②________r
點在圓內(nèi) d＝OC③________r
2. 直線與圓的位置關(guān)系(r為⊙O的半徑，d為圓心到直線的距離)
位置關(guān)系 相離 相切 相交
d與r的關(guān)系 d④______r d⑤______r d⑥______r
交點的個數(shù) 沒有公共點 有且只有一個公共點 有兩個公共點
示意圖
考點2 　切線的性質(zhì)及判定
概念 直線和圓只有一個公共點，這時我們說這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點
性質(zhì) 圓的切線⑦________于過切點的半徑
判定 1. 與圓只有一個交點的直線是圓的切線(定義)；2. 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線(定理)；3. 圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線
考點3 　切線長及切線長定理
圖示
切線長 在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點與⑧________之間的線段的長度，叫做這點到圓的切線長
切線長定理 從圓外一點可以引圓的⑨______條切線，它們的切線長⑩________，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．如圖，PA，PB分別切⊙O于A，B兩點，則有PA＝PB，∠APO＝∠BPO＝∠APB(探索并證明切線長定理※選學(xué))
考點4 　三角形的內(nèi)切圓
概念 與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓
性質(zhì) 三角形內(nèi)切圓的圓心到三角形三條邊的距離 ________
角度關(guān)系 如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，則∠BOC＝90°＋∠A
【溫馨提示】1．三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，即三角形的內(nèi)心；2．直角三角形內(nèi)切圓的半徑為r＝(a＋b－c)(a，b為直角邊，c為斜邊)
教材原題到重難考法
與切線有關(guān)的證明及計算
例　
如圖，AB是⊙O的直徑，∠ABT＝45°，AT＝AB.求證：AT是⊙O的切線．
　例題圖
變式題
1. 添加切線DE證線段關(guān)系
如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB為直徑作⊙O，交BC于點D，過點D作⊙O的切線交AC于點E，連接AD.求證：AE＝DE.
　第1題圖
2. 改變E點位置求直徑
如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E是AC的中點，以AB為直徑的⊙O與BC邊交于點D，連接AD，DE.若AD＝6，DE＝5，求⊙O的直徑．
　第2題圖
3. 切線結(jié)合等腰三角形
如圖，以AB為直徑的⊙O與△ABC相切于點A，斜邊BC交⊙O于點D，E為⊙O上一點，連接AE并延長交BC于點F，AB＝BF，連接AD，BE.
(1)求證：∠ABE＝∠FAC；
(2)若⊙O的半徑為5，sin ∠FAC＝，求DF的長．
　第3題圖
真題演練
命題點 與切線有關(guān)的證明與計算
1. 如圖①，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB是⊙O的直徑，CO平分∠BCD.
(1)求證：直線CD與⊙O相切；
(2)如圖②，記(1)中的切點為E，P為優(yōu)弧上一點，AD＝1，BC＝2.求tan ∠APE的值．
　第1題圖
2. 如圖①，在矩形ABCD中(AB＞AD)，對角線AC，BD相交于點O，點A關(guān)于BD的對稱點為A′.連接AA′交BD于點E，連接CA′.
(1)求證：AA′⊥CA′；
(2)以點O為圓心，OE為半徑作圓．
①如圖②，⊙O與CD相切，求證： AA′＝CA′；
②如圖③，⊙O與CA′相切，AD＝1，求⊙O的面積．
　第2題圖
3. 如圖①，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，過點C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于點D，連接AD交BC于點E，延長DC至點F，使CF＝AC，連接AF.
(1)求證：ED＝EC；
(2)求證：AF是⊙O的切線；
(3)如圖②，若點G是△ACD的內(nèi)心，BC·BE＝25，求BG的長．
　第3題圖
基礎(chǔ)過關(guān)
1. 已知⊙O的直徑為6，直線l上有一點P滿足PO＝3，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是(　　)
A. 相切 B. 相離 C. 相離或相切 D. 相交或相切
2. 如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點C，連接AC，若∠ACD＝50°，則∠BAC的度數(shù)為(　　)
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
第2題圖　
3. 如圖，AC是⊙O的直徑，CD為弦，過點A的切線與CD延長線相交于點B，若AB＝AC，則下列說法不正確的是(　　)
A. AD⊥BC B. ∠CAB＝90° C．DB＝AB D. AD＝BC
第3題圖
4. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6.以點C為圓心，r為半徑作圓，當所作的圓與斜邊AB所在的直線相切時，r的值為__________．
第4題圖　
5. 如圖，PA與⊙O相切于點A，PO交⊙O于點B，點C在PA上，且CB＝CA.若OA＝5，PA＝12，則CA的長為__________．
第5題圖
6. 如圖，OA是⊙O的半徑，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于點D，AE是⊙O的切線，AE交OC的延長線于點E.若∠AOC＝45°，BC＝2，則線段AE的長為__________．
第6題圖
7. 如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，CO的延長線交AB于點D，交⊙O于點E，交⊙O的切線AF于點F，且AF∥BC.
(1)求證：AO∥BE；
(2)求證：AO平分∠BAC.
第7題圖
綜合提升
8. 如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，且∠APB＝56°.若點C是⊙O上異于點A，B的一點，則∠ACB的大小為__________．
第8題圖
9. 如圖，以 ABOC的頂點O為圓心的圓經(jīng)過點A，交OC于點D，連接AD，過點D作ED⊥AD交⊙O于點E，連接BE，交⊙O于點F，∠CAD＝∠ODE.
(1)求證：AC是⊙O的切線；
(2)若tan C＝，EF＝6，求OC的長．
第9題圖
10. 在古代，智慧的勞動人民已經(jīng)會使用“石磨”，其原理為在磨盤的邊緣連接一個固定長度的“連桿”，推動“連桿”帶動磨盤轉(zhuǎn)動，將糧食磨碎，物理學(xué)上稱這種動力傳輸工具為“曲柄連桿機構(gòu)”．
小明受此啟發(fā)設(shè)計了一個“雙連桿機構(gòu)”，設(shè)計圖如圖①，兩個固定長度的“連桿”AP，BP的連接點P在⊙O上，當點P在⊙O上轉(zhuǎn)動時，帶動點A，B分別在射線OM，ON上滑動，OM⊥ON.當AP與⊙O相切時，點B恰好落在⊙O上，如圖②.請僅就圖②的情形解答下列問題．
(1)求證：∠PAO＝2∠PBO；
(2)若⊙O的半徑為3，AP＝4，求BP的長．
　　
圖①
　　
圖②
第10題圖
與圓有關(guān)的位置關(guān)系
1. (1)點A在⊙O外，相切；【解析】∵在Rt△AOB中，BO＝8，AB＝10，∴AO＝6，設(shè)點O到AB的距離為d，利用△ABC面積公式得×BO×OA＝×AB×d，解得d＝4.8.∵r＝4.8，4.8<6，∴點A在⊙O外，r＝d，∴直線AB與⊙O相切；
(2)點A在⊙O上，相交；【解析】∵r＝6，∴點A在⊙O上，∵d＝6>4.8，∴直線AB與⊙O相交；
(3)點A在⊙O外，相離．【解析】∵r＝4，∴點A在⊙O外，∵d＝4<4.8，∴直線AB與⊙O相離．
2. (1)5；【解析】∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴⊙O的半徑為5.
(2)30°，30°；【解析】如解圖，連接CO，∵CD為⊙O的切線，∴OC⊥CD，∵AE⊥CD，∴OC∥AE，∵OC＝OA，∠CAB＝30°，∴∠COB＝2∠CAB＝60°，∴∠EAD＝∠COB＝60°，∴∠CAE＝30°，∵OC＝OB，∴△BOC是等邊三角形，∴∠OCB＝∠COB＝60°，∴∠BCD＝90°－60°＝30°.
第2題解圖
(3)3；【解析】如解圖，設(shè)⊙O的半徑為r，∵∠OCD＝90°，∴OC2＋CD2＝OD2，∴r2＋42＝(2＋r)2，解得r＝3，∴⊙O的半徑為3.
(4)2.【解析】如解圖，∵∠OCB＋∠DCB＝∠OCB＋∠ACO＝90°，∴∠DCB＝∠ACO，∵OC＝OA，∴∠DCB＝∠ACO＝∠CAO，∵∠D＝∠D，∴△CBD∽△ACD，∴＝，∵tan ∠BAC＝＝，CD＝4，∴＝＝，∴BD＝CD＝2.
3. (1)60°；【解析】∵PA，PB是⊙O的切線，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∴∠AOB＝120°，∴∠APB＝60°.
(2)8.【解析】∵PA，PB是⊙O的切線，∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝90°，∵PO＝PO，OA＝OB，∴△APO≌△BPO，∴∠APO＝∠BPO＝30°，∴OP＝2OA＝8.
4. (1)60°；【解析】如解圖，連接OD，OF，由題意知，AD，AF是⊙O的切線，∴∠ADO＝∠AFO＝90°，∵∠A＝60°，∴∠DOF＝360°－90°－90°－60°＝120°，∴∠DEF＝∠DOF＝60°.
第4題解圖
(2)5.【解析】∵⊙O與AB，BC，CA分別相切于點D，E，F(xiàn)，∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，∵△ABC的周長為14，∴AD＋AF＋BE＋BD＋CE＋CF＝14，∴2(BE＋CE)＝10，∴BC＝5.
教材原題到重難考法
例　證明：∵∠ABT＝45°，AT＝AB，
∴∠T＝∠ABT＝45°，
∴∠BAT＝90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AT是⊙O的切線．
1. 證明：如解圖，連接OD，
∵DE切⊙O于點D，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ODA＋∠ADE＝90°.
∵∠BAC＝90°，
∴∠OAD＋∠DAE＝90°.
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠DAE＝∠ADE，
∴AE＝DE.
第1題解圖
2. 解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BDA＝90°，
∵E是AC的中點，
∴AE＝EC＝DE，
∴DE＝AC，
∴AC＝10，
∴CD＝＝＝8，
∵∠BAC＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，
∴△BAC∽△ADC，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝，
∴⊙O直徑的長為.
3. (1)證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BEA＝90°.
∵AC為⊙O的切線，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABE＋∠BAE＝∠BAE＋∠FAC＝90°，
∴∠ABE＝∠FAC；
(2)解：∵AB為⊙O的直徑，OA＝5，
∴AB＝BF＝2OA＝10，
∵AB＝BF，BE⊥AF，
∴AE＝EF，
由(1)知∠ABE＝∠FAC，
∵sin ∠FAC＝，
∴sin ∠ABE＝，
∴AE＝AB·sin ∠ABE＝4，
∴AF＝2AE＝8，
設(shè)DF＝x，則BD＝10－x，
∵BA是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADF＝90°，
∴82－x2＝102－(10－x)2，解得x＝，
∴DF＝.
知識逐點過
①>　②＝　③<　④>　⑤＝　⑥<
⑦垂直　⑧切點　⑨兩　⑩相等　 相等
真題演練
1. (1)證明：如解圖①，過點O作OE⊥CD于點E，
∵AD∥BC，∠DAB＝90°，
∴∠OBC＝90°，
∴∠OBC＝∠OEC，
∵CO平分∠BCD，
∴∠1＝∠2，
又∵CO＝CO，
∴△BOC≌△EOC，
∴OE＝OB，
∴OE為⊙O的半徑，
又∵OE⊥CD，
∴CD為⊙O的切線；(3分)
(2)解：如解圖②，連接OD，OE，
由(1)得OE＝OB，
∴OE＝OA，
∵∠OAD＝∠OED＝90°，OD＝OD，
∴Rt△AOD≌Rt△EOD(HL)，
∴DE＝AD＝1，∠3＝∠4＝∠AOE，
∴∠APE＝∠AOE＝∠3，
由(1)得△BOC≌△EOC，
∴CE＝BC＝2，
∴CD＝DE＋CE＝1＋2＝3，(5分)
過點D作DF⊥BC，垂足為F，則四邊形ABFD為矩形，
∴CF＝BC－BF＝BC－AD＝2－1＝1，
在Rt△DFC中，DF＝＝＝2，
∴OA＝AB＝DF＝，
∴tan ∠APE＝tan ∠3＝＝＝.(8分)
第1題解圖
【一題多解】如解圖③，連接BE，AE，并延長AE交BC的延長線于點F，
由題意得∠APE＝∠ABE，DE＝AD＝1，CE＝CB＝2，
∵AD∥BC，
∴＝＝，即FE＝2AE，(5分)
∵AB是⊙O的直徑，
∴BE⊥AF，
∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠FBE＝90°，
∴∠BAE＝∠FBE，
∴△ABE∽△BFE，
∴＝＝，即＝，
∴tan ∠APE＝tan ∠ABE＝＝.(8分)
第1題解圖③
2. (1)證明：∵點A關(guān)于BD的對稱點為A′，
∴AE＝A′E，AA′⊥BD，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，
∴OE∥A′C，
∴AA′⊥CA′；(3分)
(2)①證明：如解圖①，設(shè)⊙O與CD的切點為F，連接FO并延長，交AB于點G，
∴FG⊥CD，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB＝OD＝OA＝BD，AB∥CD，
∴FG⊥AB，
∴∠FDO＝∠GBO，∠GAO＝∠GBO，
又∵∠DOF＝∠BOG，
∴△DOF≌△BOG(ASA)，(5分)
∴OG＝OF＝OE，
由(1)知，AA′⊥BD，
∵OG⊥AB，
∴Rt△EAO≌Rt△GAO(HL)，
∴∠EAO＝∠GAO，
∴∠GBO＝∠EAO，
∵∠EAB＋∠GBO＝90°，
∴∠EAO＋∠GAO＋∠GBO＝90°，
∴3∠EAO＝90°，
∴∠EAO＝30°，
由(1)知AA′⊥CA′，
∴tan ∠EAO＝＝，
∴AA′＝CA′；(8分)
第2題解圖①
②解：如解圖②，設(shè)⊙O與CA′的切點為H，連接OH，
∴OH⊥CA′，
由(1)知，AA′⊥CA′，AA′⊥BD，OA＝OC，
∴OH∥AA′，OE∥CA′，
∴△COH∽△CAA′，△AOE∽△ACA′，
∴＝＝，＝＝，
∴AA′＝2OH，CA′＝2OE，
∵OH＝OE，
∴AA′＝CA′，
∴∠A′AC＝∠A′CA＝45°，
∴∠AOE＝∠ACA′＝45°，
∴AE＝OE，OD＝OA＝AE，
設(shè)AE＝x，則OD＝OA＝x，
∴DE＝OD－OE＝(－1)x，
在Rt△ADE中，x2＋[(－1)x]2＝12，
∴x2＝，
∴S⊙O＝π·OE2＝.(12分)
第2題解圖②
3. (1)證明：如解圖①，
∵AB＝AC，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∵∠3＝∠4，
∴∠2＝∠4，
∴ED＝EC；(2分)
第3題解圖①
(2)證明：如解圖②，
連接OA，OB，OC，
∵OB＝OC，AB＝AC，
∴AO是BC的垂直平分線，
∴AO⊥BC，
∵由(1)已證∠2＝∠3，
∴AB∥DF，
∵AB＝AC＝CF，
∴四邊形ABCF是平行四邊形，
∴AF∥BC，
∴AO⊥AF，
∵OA為⊙O的半徑，
∴AF是⊙O的切線；(5分)
第3題解圖②
(3)解：如解圖③，連接AG，
∵∠1＝∠2，∠2＝∠5，
∴∠1＝∠5，
∵G是△ADC的內(nèi)心，
∴∠7＝∠8，
∵∠BAG＝∠5＋∠7，
∠6＝∠1＋∠8，
∴∠BAG＝∠6，
∴AB＝BG，
∵∠3＝∠3，∠1＝∠5，
∴△ABE∽△CBA，
∴＝，
∴AB2＝BE·BC＝25，
∴AB＝5(負值已舍)，
∴BG＝5.(9分)
第3題解圖③
基礎(chǔ)過關(guān)
1. D　【解析】 ∵直線l上有一點P滿足PO＝3，∴點O到直線l的距離小于或等于3，∴直線l與⊙O的位置關(guān)系是相交或相切．
2. B　【解析】如解圖，連接OC.∵直線CD與圓相切，∴∠OCD＝90°.∵∠ACD＝50°，∴∠OCA＝40°.∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA＝40°.
第2題解圖
3. C　【解析】∵AC是⊙O的直徑，∴AD⊥BC，故A選項正確；∵AB是⊙O的切線，∴AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，故B選項正確；∵AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵AD⊥BC，∴CD＝DB，∴AD＝BC，故D選項正確；∵△ADB是直角三角形，AB是斜邊，∴AB＞DB，故C選項錯誤．
4. 　【解析】∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10.∵S△ABC＝AB·r＝AC·BC，∴r＝＝＝.
5. 　【解析】如解圖，連接OC.∵PA與⊙O相切于點A，∴OA⊥AP，∴∠OAP＝90°.∵OA＝OB，OC＝OC，CA＝CB，∴△OAC≌△OBC(SSS)，∴∠OBC＝∠OAP＝90°.在Rt△OAP中，OA＝5，PA＝12，∴OP＝＝＝13.∵S△OAC＋S△OCP＝S△OAP，∴OA·AC＋OP·BC＝OA·AP，∴OA·AC＋OP·BC＝OA·AP，∴5AC＋13BC＝5×12，∴AC＝BC＝.
第5題解圖
6. 　【解析】 ∵OA是⊙O的半徑，AE是⊙O的切線，∴OA⊥AE，∴∠A＝90°.∵∠AOC＝45°，OA⊥BC，∴△CDO和△EAO是等腰直角三角形，∴OD＝CD，OA＝AE.∵OA⊥BC，BC＝2，∴CD＝BC＝1，∴OD＝CD＝1，∴OC＝OD＝，∴AE＝OA＝OC＝.
7. 證明：(1)∵AF是⊙O的切線，
∴AF⊥OA，即∠OAF＝90°.
∵CE是⊙O的直徑，
∴∠CBE＝90°，
∴∠OAF＝∠CBE.
∵AF∥BC，
∴∠BAF＝∠ABC，
∴∠OAF－∠BAF＝∠CBE－∠ABC，
即∠OAB＝∠ABE，
∴AO∥BE；
(2)∵∠ABE與∠ACE都是所對的圓周角，
∴∠ABE＝∠ACE.
∵OA＝OC，∴∠ACE＝∠OAC，
∴∠ABE＝∠OAC.
由(1)知，∠OAB＝∠ABE，
∴∠OAB＝∠OAC，
∴AO平分∠BAC.
8. 62°或118°　【解析】如解圖，連接AC，BC.當點C在優(yōu)弧上時，∵PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，∴AO⊥AP，BO⊥BP，∴∠PAO＝∠PBO＝90°.∵∠APB＝56°，∴∠AOB＝360°－90°－90°－56°＝124°，∴∠ACB＝∠AOB＝62°；當點C′在劣弧上時，∵四邊形AC′BC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠C′＝180°－∠C＝118°.綜上所述，∠ACB的大小為62°或118°.
第8題解圖
9. (1)證明：如解圖，連接OA，OE.
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴AE是⊙O的直徑，
∴∠DAE＋∠AED＝90°.
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∵∠CAD＝∠ODE，
∴∠CAD＝∠OED，
∴∠DAE＋∠CAD＝90°，
∴∠CAO＝90°，
即OA⊥AC.
∵OA是⊙O的半徑，
∴AC是⊙O的切線；
(2)解：如解圖，過點O作OH⊥EF于點H，
∴∠OHE＝90°，EH＝FH＝EF.
∵四邊形ABOC是平行四邊形，
∴AC∥BO，∠ACO＝∠ABO，
∴∠CAO＝∠AOB＝90°，
∴BO垂直平分線段AE，
∴∠ABO＝∠EBO.
∵∠EBO＋∠BEO＝∠EOH＋∠BEO＝90°，
∴∠EBO＝∠EOH.
∴∠ACO＝∠EOH.
∵EF＝6，∴EH＝FH＝3.
∵tan C＝，
∴tan ∠EOH＝＝，
∴OH＝2EH＝6.
在Rt△OEH中，OE＝＝＝＝3.
∵AC＝2OA＝2OE＝6，
∴OC＝＝15.
第9題解圖
10. (1)證明：如解圖①，連接OP，設(shè)NO的延長線與⊙O相交于點Q，
∵AP與⊙O相切，
∴OP⊥AP，
∴∠APO＝90°，
∴∠PAO＋∠POA＝90°，
∵OM⊥ON，
∴∠POQ＋∠POA＝90°，
∴∠POQ＝∠PAO，
∵點B恰好落在⊙O上，
∴∠PBO＝∠POQ＝∠PAO，
∴∠PAO＝2∠PBO；
第10題解圖①
(2)解：如解圖②，設(shè)NO的延長線與⊙O交于點Q，連接QP，過P作PD⊥BQ于點D，則∠PDO＝90°，
由(1)可知∠POQ＝∠PAO，∠APO＝90°，
∴∠PDO＝∠OPA，
∴△PDO∽△OPA，
∴＝＝，
∵AO2＝AP2＋OP2，⊙O的半徑為3，AP＝4，
∴AO＝5，
∴＝＝，
∴PD＝，OD＝，
∴BD＝3＋OD＝3＋＝，
在Rt△PBD中，PB2＝PD2＋BD2，
∴PB2＝()2＋()2，
∴PB＝(負值已舍去).
第10題解圖②

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