資源簡介

與圓有關的計算
1. 請回答以下問題：
(1)若扇形的半徑為2，圓心角為120°，則扇形的弧長為________，扇形的面積為________，圍成的圓錐底面圓的半徑為________，圓錐的高為________；
(2)若扇形的半徑為2，弧長為2π，則扇形的圓心角為________，扇形的面積為________，圍成的圓錐底面圓的面積為________；
(3)若圓錐底面圓的半徑為2，母線長為4，則側面展開圖的圓心角為________．
2. 如圖，四邊形AOBC是邊長為1的正方形，以O為圓心，OC長為半徑 的弧CD交OA的延長線于點D，則圖中陰影部分的面積等于________．
第2題圖　　
3. 如圖，⊙O的半徑為2 cm，AB為⊙O的弦，C為弧AB的中點，連接AC，若∠CAB＝30°，則陰影部分的面積為________．(結果保留π與根號)
第3題圖
知識逐點過
考點1 　弧長與扇形面積的有關計算
圓周長 C＝①______ r為圓(扇形)的半徑；n°為弧所對的圓心角的度數；l為扇形的弧長
扇形弧長 l＝②________
圓面積 S＝③________
扇形面積 S扇形＝④__________＝rl
考點2 圓錐的有關計算
相關計算 1. 圓錐的側面展開圖是扇形；2. 圓錐的母線長l為扇形的⑤______；3. 圓錐底面圓的周長2πr為扇形的⑥______；4. 圓錐的高為h，則r2＋h2＝l2；5. 圓錐的底面圓周長：C＝2πr；6. 圓錐的底面圓面積：S＝πr2；7. 圓錐的側面積：S＝πrl r為底面圓半徑l為圓錐的母線長
真題演練
方法歸納
方法一　公式法
所求陰影部分的面積是規則圖形，例如三角形、特殊四邊形、扇形．
S陰影＝S扇形MEN
方法二　直接和差法
所求陰影部分面積可以看成扇形、三角形、特殊四邊形面積相加減．
方法三　構造和差法
先設法將不規則陰影部分與空白部分組合，構造規則圖形或分割后為規則圖形，再進行面積和差計算，如圖：
方法四　等積轉化法
通過圖形的變換，為利用公式法或和差法求解創造條件．
(CD為半圓上任意兩點，且CD∥AB，P為直徑AB上任意一點)
S陰影＝S扇形COD(輔助線作法：連接OC，OD)
命題點1 圓錐的有關的計算
1. 如圖，從一塊半徑為1 m的圓形鐵皮上剪出一個圓周角為120°的扇形ABC，如果將剪下來的扇形圍成一個圓錐，則該圓錐的底面圓的半徑為________m.
第1題圖
命題點2 與扇形面積有關的計算
2. 扇形的半徑為2，圓心角為90°，則該扇形的面積(結果保留π)為________．
3. 如圖，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4.分別以點B，點C為圓心，線段BC長的一半為半徑作圓弧，交AB，BC，AC于點D，E，F，則圖中陰影部分的面積為________．
第3題圖
4. 如圖，在矩形ABCD中，BC＝4，CD＝2，以AD為直徑的半圓O與BC相切于點E，連接BD，則陰影部分的面積為________.(結果保留π)
　
第4題圖
5. 在如圖所示的網格中，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點叫格點，△ABC的三個頂點均在格點上，以點A為圓心的與BC相切于點D，分別交AB，AC于點E，F.
(1)求△ABC三邊的長；
(2)求圖中由線段EB，BC，CF及所圍成的陰影部分的面積．
　第5題圖
拓展訓練
6. 如圖，AB為⊙O的直徑，BC與⊙O相切，連接AC，與⊙O交于點D，D是的中點，若⊙O的半徑為2，則圖中陰影部分的面積為________.
第6題圖　　　　
7. 如圖，在正六邊形ABCDEF中，分別以C，F為圓心，以邊長為半徑作弧，圖中陰影部分的面積為24π，則AE長為________.
第7題圖
8. 如圖，以矩形ABCD的對角線AC為直徑畫圓，點D，B在該圓上，再以點A為圓心，AB的長為半徑畫弧，交AC于點E.若AC＝2，∠BAC＝30°，則圖中陰影部分的面積和為________(結果保留根號和π).
第8題圖
基礎過關
1. 如圖，圓錐底面圓的半徑為4，則這個圓錐的側面展開圖中的長為(　　)
A. 4π B. 6π C. 8π D. 16π
第1題圖
2.如圖①是一段彎管，彎管的部分外輪廓線如圖②所示是一條圓弧，圓弧的半徑OA＝20 cm，圓心角∠AOB＝90°，則＝(　　)
A. 20π cm B. 10π cm C. 5π cm D. 2π cm
圖① 圖②
第2題圖
3. 如圖，在⊙O中，若∠ACB＝30°，OA＝6，則扇形OAB(陰影部分)的面積是(　　)
A. 12π B. 6π C. 4π D. 2π
第3題圖
4. “萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業生產中廣泛使用的一種圖形，如圖，分別以等邊△ABC的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”，若等邊△ABC的邊長為3，則該“萊洛三角形”的周長等于(　　)
A. π B. 3π C. 2π D. 2π－
第4題圖　
5. 如圖，正方形ABCD的邊長為2，對角線AC，BD相交于點O，以點B為圓心，對角線BD的長為半徑畫弧，交BC的延長線于點E，則圖中陰影部分的面積為________.
第5題圖
6. 為傳承非遺文化，講好中國故事，某地準備在一個場館進行川劇演出．該場館底面為一個圓形，如圖所示，其半徑是10米，從A到B有一筆直的欄桿，圓心O到欄桿AB的距離是5米，觀眾在陰影區域里觀看演出，如果每平方米可以坐3名觀眾，那么最多可容納__________名觀眾同時觀看演出．(π取3.14，取1.73)
第6題圖
7.如圖，AB為半圓O的直徑，CD與半圓O相切于點C，且CD＝AB，連接AC，BD，已知AC＝BD＝2，則圖中陰影部分的面積為__________．
第7題圖
綜合提升
8. 某款“不倒翁”(如圖①)的主視圖是圖②，PA，PB分別與所在圓相切于點A，B，若該圓半徑是10 cm，∠P＝60°，則主視圖的面積為________cm2.　
圖①　　　　　圖②
第8題圖
9. 如圖所示的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A、B、O均在小正方形的頂點上，點C為半圓O的中點，點P為半圓O上的一動點，連接AP，PB，則圖中陰影部分面積的最小值為__________．
第9題圖
10. 如圖，在△ABC中，AB＝AC，過點C作CD⊥AB交AB于點D，以點A為圓心，AD長為半徑作圓交AC于點E，連接BE，交CD于點F.
(1)求證：直線BE為⊙A的切線；
(2)若∠A＝60°，AD＝2，求陰影部分的面積．
第10題圖
11.中國高鐵的飛速發展，已成為中國現代化建設的重要標志，如圖是高鐵線路在轉向處所設計的圓曲線(即圓弧)，高鐵列車在轉彎時的曲線起點為A，曲線終點為B，過點A，B的兩條切線相交于點C，列車在從A到B行駛的過程中轉角α為60°.若圓曲線的半徑OA＝1.5 km，則這段圓曲線的長為(　　)
第11題圖
A. km B. km C. km D. km
與圓有關的計算
1. (1)π，π，，
【解析】∵扇形的半徑為2，圓心角為120°，∴R＝2，n＝120，∴扇形的弧長為l＝＝＝π，扇形的面積為S＝＝＝π，圍成的圓錐底面圓的半徑為r＝＝＝，圓錐的高為h＝＝＝.
(2)180°，2π，π　【解析】∵扇形的半徑為2，弧長為2π，∴R＝2，l＝2π，∴扇形的圓心角n＝＝180，扇形的面積S＝＝＝2π，圍成的圓錐底面圓的半徑為r＝＝＝1，圍成的圓錐底面圓的面積為πr2＝π.
(3)180°　【解析】∵圓錐底面圓半徑為2，母線長為4，∴r＝2，∴底面圓展開弧長l＝4π，側面展開圖的半徑為R＝4，∴側面展開圖的圓心角為n＝＝180°.
2. －　【解析】∵四邊形AOBC是邊長為1的正方形，∴AC＝AO＝1，∠OAC＝90°，∴OC＝，∠AOC＝45°，∴S陰影＝S扇形COD－S△AOC＝－×1×1＝－.
3. (π－)cm2　【解析】如解圖，連接OA，OC，OC交AB于點M，∵C為弧AB的中點，∴AB⊥OC，∵OA＝OC，∠CAB＝30°，∴∠AOC＝60°，OA＝OC＝AC＝2 cm，∴OM＝CM＝OC＝1 cm，∵∠AMO＝90°，∴AM＝＝＝ cm，∴S陰影＝S扇形AOC－S△AOC＝－×2×＝(π－) cm2.
第3題解圖
知識逐點過
①2πr　②　③πr2　④
⑤半徑　⑥弧長
真題演練
1. 　【解析】設圓錐的底面圓半徑為R m，根據扇形的弧長等于底面圓周長，可得到＝2πR，解得R＝.
2. π　【解析】扇形面積為＝π.
3. 4－π　【解析】在等腰直角三角形ABC中，∵∠A＝90°，BC＝4，∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC＝BC＝2，∵BC＝4，∴BE＝CE＝BC＝2，∴S陰影＝S△ABC－S扇形BDE－S扇形CEF＝×2×2－－＝4－π.
4. π　【解析】如解圖，連接OE交BD于點F，則四邊形OECD是正方形，易得△ODF≌△EBF，∴S△ODF＝S△EBF，∴S陰影＝S扇形OED＝＝π.
第4題解圖
5. 解：(1)根據題圖可知AB2＝22＋62＝40.
∴AB＝2，(1分)
∵AC2＝22＋62＝40，
∴AC＝2，(2分)
∵BC2＝42＋82＝80，
∴BC＝4；(3分)
(2)如解圖，連接AD，由(1)知AB2＋AC2＝BC2，AB＝AC，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．(4分)
∵以點A為圓心的與BC相切于點D，
∴AD⊥BC.
∴AD＝BC＝2，(5分)
∵S△ABC＝BC·AD＝×4×2＝20，
S扇形EAF＝π×(2)2＝5π，(6分)
∴S陰影＝S△ABC－S扇形EAF＝20－5π.(7分)
第5題解圖
6. 2＋π　【解析】如解圖，連接OD，BD，∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°，∵點D為的中點，∴AD＝BD，∴OD⊥AB，∴∠DOB＝90°，△DAO為等腰直角三角形，∴S△AOD＝AO·OD＝×2×2＝2，∵S扇形BDO＝＝π，∴S陰影部分＝S扇形BOD＋S△AOD＝2＋π.
第6題解圖
7. 6　【解析】設正六邊形的邊長為r，正六邊形的內角為＝120°，∵陰影部分的面積為24π，∴＝24π，解得r＝6(負值已舍去)，則正六邊形的邊長為6，如解圖，連接AE，過點F作FH⊥AE于點H，∵FA＝FE，∴∠AFH＝∠AFE＝60°，AH＝EH，∴AH＝AF·sin 60°＝6×＝3，∴AE＝2AH＝6.
第7題解圖
8. π－　【解析】設AC的中點為O，連接OB，∵AC＝2，∴OA＝OC＝OB＝1，∴S△AOB＝×1××1＝，∵∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，∴S扇形BOC＝＝，∵四邊形ABCD是矩形，∠BAC＝30°.AC＝2，∴∠ADC＝90°，∠ACD＝30°，∴AD＝AC＝1，CD＝AC＝，∴S△ADC＝×1×＝，∴S陰影＝S半圓－S△ADC＋S△AOB＋S扇形BOC－S扇形ABE＝π－＋＋－＝π－＋＋－＝π－.
第8題解圖
基礎過關
1. C　【解析】 由題意得，的長為2π×4＝8π.
2. B　【解析】由扇形的弧長公式可知，的長為＝10π(cm).
3. B　【解析】 ∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°.∵OA＝OB＝6＝R，∴S扇形＝＝＝6π.
4. B　【解析】∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝CA，∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，∴＝＝.∵的長為＝π，∴“萊洛三角形”的周長為3π.
5. π　【解析】由題意得，正方形ABCD對角線相交于點O，∴AO＝BO，CO＝DO，∠AOD＝∠BOC，∴△AOD≌△BOC，∴陰影部分的面積＝扇形DBE的面積．∵正方形的邊長為2，∴由勾股定理得BD＝2，∠DBC＝45°，∴陰影部分的面積＝×π·(2)2＝π.
6. 184　【解析】如解圖，過點O作AB的垂線，交AB于點C.∵圓心O到欄桿AB的距離是5 m，∴OC＝5.∵OC⊥AB，OB＝10，∴sin ∠OBC＝＝，∴∠OBC＝30°，∴AB＝2BC＝2AC＝2×＝10.∵OA＝OB，∴∠AOB＝180°－2∠OBA＝120°，∵每平方米可以坐3名觀眾，∴陰影部分面積×3＝3×(S扇形AOB－S△AOB)＝3×－×10×5)≈184.25，∴最多可容納184名觀眾同時觀看演出．
第6題解圖
7. 6－π　【解析】 如解圖，連接CO.∵AB＝CD，AC＝BD，∴四邊形ABDC為平行四邊形，∴AB∥CD.∵CD與半圓O相切于點C，∴OC⊥CD，∴∠DCO＝∠BOC＝∠AOC＝90°.在Rt△AOC中，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∴OA＝OC＝AC·cos ∠OAC＝2×＝2，∴AB＝2OA＝4，∴S陰影＝S ABDC－S扇形BOC－S△AOC＝4×2－－＝6－π.
第7題解圖
8. (100＋)　【解析】如解圖，設圓心為O，連接OP，OA，OB.∵PA，PB分別與所在圓相切于點A，B，∴OA⊥AP，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.∵∠APB＝60°，∴∠AOB＝120°，∠AOP＝∠BOP＝60°，∴對應的圓心角為360°－120°＝240°，∠APO＝∠BPO＝30°.∵該圓半徑為10 cm，∴PB＝PA＝OA＝10 cm，∴主視圖的面積為S△PAO＋S△PBO＋S扇形AMB＝2××10×10＋＝(100＋)cm2.
第8題解圖
9. 2π－4　【解析】 ∵S陰影＝S半圓O－S△APB，∴當S△APB最大時，S陰影最小，即當點P與點C重合時，S△APB最大．如解圖，連接OC.∵點C為半圓O的中點，∴AB⊥OC.由題意知AB＝4，OC＝2，則當點P與點C重合時，S陰影＝S半圓O－S△ACB＝×π×22－×4×2＝2π－4，∴圖中陰影部分面積的最小值為2π－4.
第9題解圖
10. (1)證明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°.
由題意可得AE＝AD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD(SAS)，
∴∠AEB＝∠ADC＝90°.
∴AE⊥BE.
又∵AE為⊙A的半徑，
∴直線BE為⊙A的切線；
(2)解：如解圖，連接AF.
第10題解圖
在Rt△ADF和Rt△AEF中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)，
∴∠DAF＝∠EAF＝∠BAC＝×60°＝30°，
∴DF＝AD·tan 30°＝2×＝2，
∴S△AEF＝S△ADF＝AD·DF＝×2×2＝2，
∴S陰影部分＝S△AEF＋S△ADF－S扇形DAE＝2＋2－＝4－2π.
11. B 　【解析】∵過點A，B的兩條切線相交于點C，∴AO⊥AC，BO⊥BC.∵∠α＝60°，AO＝1.5 km，∴∠ACB＝120°.又∵∠CAO＝∠CBO＝90°，∴∠AOB＝60°，∴的長為π×1.5＝ km.

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