資源簡介

輔助圓問題
一、構造輔助圓
方法一　定點定長作圓
方法歸納
條件：如圖，在平面內，A為定點，B為動點，且AB長度固定．
動點軌跡：動點B的軌跡是以點A為圓心，AB長為半徑的圓(依據的是圓的定義，圓是所有到定點的距離等于定長的點的集合).
推廣：在折疊、旋轉、對稱問題中，有時會利用“定點定長作圓”確定動點的運動軌跡
1. 如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠BDC＝22°，若求∠BAC的度數．
第1題圖
(1)請在圖中畫出解題所需輔助圓的草圖；
(2)計算：∠BAC＝________°.
2. 如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，將△ABC繞點C逆時針旋轉30°得到△DEC.
(1)請在圖中畫出點A運動到點D過程中點A的軌跡；
第2題圖
(2)計算：點A運動的路徑長為________．
3. 如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，E為AB邊的中點，點F在AD邊上運動，將△AEF沿EF翻折，點A對應點為A′.
(1)請在圖中畫出在點F從A運動到D過程中點A′的軌跡；
第3題圖
(2)計算：點A′運動的路徑長為________．
方法二　定弦定角作圓(含直角對直徑)
方法歸納
條件：如圖，在△ABC中，∠C為定角(∠C＝α)，所對的弦AB長度固定．
情形1：∠C為直角
動點軌跡：如圖①，點C在以點O為圓心，AB為直徑的圓上運動(不包含點A，B)；
圖①
情形2：∠C為銳角
動點軌跡：如圖②，點C在以點O為圓心，圓心角為2α的優弧上運動(O，C在AB同側，不包含點A，B)；
圖②　
情形3：∠C為鈍角
動點軌跡：如圖③，點C在以O為圓心，圓心角為(360°－2α)的劣弧上運動(O，C在AB異側，不包含點A，B).
圖③
4. 已知正方形ABCD.
(1)如圖①，點P為正方形內一動點，若∠BPC＝90°，請在圖中畫出點P運動時圓的草圖；
第4題圖①
(2)如圖②，點P為正方形外一動點，若∠BPC＝45°，請在圖中畫出點P運動時圓的草圖；
第4題圖②
(3)如圖③，點P為正方形外一動點，若∠BPC＝135°，請在圖中畫出點P運動時圓的草圖．
第4題圖③
方法三　四點共圓
方法歸納
情形1：如圖①②，在以A，B，C，D四點構成的四邊形中，∠ACB＝∠ADB＝90°.
圖① 圖②
【結論】點A，B，C，D在以AB為直徑的圓上．
【依據】直徑所對的圓周角為90°.
情形2：如圖③，在四邊形ABCD中，∠ACB＝∠ADB＜90°.
圖③
【結論】點A，B，C，D在同一個圓上．
【依據】同弧所對的圓周角相等．
5. 如圖，△ABC和△ABD均為直角三角形，∠ADB＝∠ACB＝90°，連接CD，∠ABC＝55°，若求∠CDB的度數．
(1)請在圖中畫出解題所需輔助圓的草圖；
第5題圖
(2)∠CDB＝________°.
6. 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點D是平面內一點，且∠CDB＝∠A，若求點D所在圓的半徑．
(1)請在圖中畫出解題所需輔助圓的草圖；
第6題圖
(2)該輔助圓的半徑為________．
二、利用輔助圓求最值
方法一　點圓最值
方法歸納
已知：點E為⊙O上一動點，D為平面內不在⊙O上的一點．
計算：DE的最大、最小值．
　
作輔助線：作直線OD交⊙O于兩點E′，E″.
　
【結論】DE′即為DE的最小值，DE″即為DE的最大值．
【依據】直徑是圓中最長的弦．
7. 如圖，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E為BC邊上的一點，F為矩形ABCD內一點，且BE＝EF＝1.
(1)請在圖中畫出使得DF值最小的點F的位置；
第7題圖
(2)線段DF的最小值為________．
方法二　線圓最值
方法歸納
已知：點Q為⊙O上一動點，直線l在平面內且不與⊙O相切．
計算：點Q到直線l距離的最大、最小值．
　
作輔助線：作過點O且垂直于l的直線，交⊙O于Q′，Q″兩點，交直線l于點M.
　
【結論】當直線l與⊙O相交時，點Q到直線l距離的最小值為0，最大值為Q″M；當直線l與⊙O相離時，點Q到直線l距離的最小值為Q′M，最大值為Q″M.
8. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2，E是△ABC外一動點(點B，E位于AC異側)，∠AEC＝120°.
(1)請分別在圖中畫出點E到AB，AC邊距離最大的位置時點E1，E2的位置；
第8題圖
(2)點E到AB邊的距離最大值為________；點E到AC邊的距離最大值為________．
9. 如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，BC＝4，P是平面內一點，且∠BPC＝90°.
(1)請在圖中畫出點P到AD距離最小時點P的位置P′；
第9題圖
(2)點P到AD的最小距離為________．
基礎過關
1.如圖，⊙O的圓心O與正方形的中心重合，已知⊙O的半徑和正方形的邊長都為4，則圓上任意一點到正方形邊上任意一點距離的最小值為(　　)
A. B. 2 C. 4＋2 D. 4－2
第1題圖　　　　　
2. 如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E，F分別在AB，BC上，P為對角線BD上一動點，PE⊥PF，連接EF，則tan ∠EFP的值為(　　)
A. B. C. D.
第2題圖
3. 如圖，等腰△ABC兩腰長為5，底邊長為6，以點A為圓心，2為半徑作圓，則圓上動點P到BC的距離最小值為(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第3題圖
4. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，點P為△ABC所在平面內一點，連接AP，CP，AP⊥CP，點D為AB的中點，連接DP，則DP的最大值為__________．
第4題圖　　　
5. 如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝4，P為AC上一點，且AP＝AC，將△ABC繞點C順時針旋轉得到△DEC，點A的對應點為D，點B的對應點為E，在旋轉過程中，PD的最大值為__________．
第5題圖
6. 如圖，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，點E是斜邊AB的中點，把Rt△ABC繞點A順時針旋轉，得Rt△AFD，點C，點B旋轉后的對應點分別是點D，點F，連接CF，EF，CE，在旋轉的過程中，△CEF面積的最大值是__________．
第6題圖
7. 如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是邊AB上一動點(不含端點)，將△ADM沿直線DM對折，得到△NDM.當射線CN交線段AB于點P時，連接DP，則△CDP的面積為__________；DP的最大值為__________．
第7題圖
輔助圓問題
1. 解：(1)輔助圓的草圖如解圖所示；
(2)44.
第1題解圖
2. 解：(1)點A的運動軌跡如解圖所示；
第2題解圖
(2).【解法提示】∵△DEC是△ABC繞點C逆時針旋轉30°所得到的，∴∠DCA＝30°，CD＝CA＝3，∴點A運動的路徑長為＝＝.
3. 解：(1)點A′的運動軌跡如解圖所示；
(2)如解圖，連接ED，點M為點F與點D重合時，點A對應的點，由折疊的性質得AD＝MD，∠AED＝∠MED，點A′在以點E為圓心，AE為半徑的圓弧上運動，在Rt△AED中，∵AE＝1，AD＝，∴tan ∠AED＝＝，∴∠AED＝60°，∴∠AEM＝120°，當點F從點A到點D的運動過程中，點A′運動的路徑長＝＝.
第3題解圖
4. 解：(1)點P運動時圓的草圖如解圖①所示(不包含點B，C)；
第4題解圖①
(2)點P運動時圓的草圖如解圖②所示(不包含點B，C)；
　
第4題解圖②
(3)點P運動時圓的草圖如解圖③所示(不包含點B，C).
　
第4題解圖③
5. 解：(1)輔助圓的草圖如解圖所示；
(2)35.【解法提示】∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴A，B，C，D四點共圓．如解圖，AB的中點為O，以點O為圓心，AB長為直徑作圓，∴∠CDB＝∠CAB，∵∠ABC＝55°，∴∠CAB＝90°－∠ABC＝35°，∴∠CDB＝35°.
第5題解圖
6. 解：(1)輔助圓的草圖如解圖所示；
(2).【解法提示】如解圖，∵∠CDB＝∠A，∠ACB＝90°，∴A，D，B，C四點共圓，圓心為AB的中點O，且AB為⊙O的直徑，∴點D在⊙O的優弧上運動．∵在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴該輔助圓的半徑為AB＝.
第6題解圖
7. 解：(1)點F的位置如解圖所示；
(2)－1.【解法提示】∵四邊形ABCD是矩形，AD＝2AB＝4，∴∠C＝90°，BC＝4，DC＝2，∵BE＝EF＝1，∴EC＝3，∴ED＝＝，∴DF＝DE－EF＝－1.
第7題解圖
8. 解：(1)點E1的位置如解圖①所示，點E2的位置如解圖②所示；
(2)2，1.【解法提示】∵∠ACB＝90°，∠B＋∠AEC＝180°，∴A，E，C，B四點共圓且AB為直徑，如解圖①，取AB的中點O，以點O為圓心，OA長為半徑作圓，當OE1⊥AB時，點E1到AB的距離最大，∴OE1＝AB，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝2，∴AB＝4，∴OE1＝2，∴點E到AB邊的距離最大值為2；如解圖②，當OE2⊥AC于點G時，點E2到AC的距離最大，∠AGO＝∠AGE2＝90°，∵∠OGA＝∠ACB＝90°，∴OG∥BC，∴∠AOG＝60°，∵O是AB的中點，∴AG＝CG，∴∠CE2G＝∠AE2G＝60°，∵AG＝AG，∴△AGE2≌△AGO，∴GE2＝OG＝OE2＝1，點E到AC邊的距離最大值為1.
圖① 圖②
第8題解圖
9. 解：(1)點P′的位置如解圖所示；
第9題解圖
(2)2－2.【解法提示】∵∠BPC＝90°，∴點P在以BC為直徑的圓上運動，如解圖，取BC的中點O，以點O為圓心，BC長為直徑作⊙O，過點O作OM⊥AD于點M，交⊙O于點P′，此時點P到AD的距離最小，∵BC＝4，∴OP′＝OC＝BC＝2，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BCD＝∠A＝60°，∴△OCD是直角三角形，∴OD＝2，∴DP′＝OD－OP′＝2－2，即點P到AD的最小距離為2－2.
基礎過關
1. D　【解析】 如解圖，連接OA，OB，延長OB交⊙O于點E.∵四邊形ABCD是正方形，點O是四邊形ABCD的中心，∴OA＝OB，∠AOB＝90°，∴OA2＋OB2＝AB2＝16，解得OB＝2(負值已舍去).由題意得，圓上的點到正方形邊上的距離最小為BE，最小值為4－2.
第1題解圖
2. A　【解析】 如解圖，∵四邊形ABCD是矩形，BC＝8，∴∠ABC＝90°，AD＝BC＝8.∵PE⊥PF，∴B，F，P，E四點共圓，∴∠PFE＝∠ABD，∵AB＝6，∴tan ∠EFP＝tan ∠ABD＝＝.
第2題解圖
3. B　【解析】 如解圖，過點A作AH⊥BC于點H，交⊙A于點P，此時點P到BC的距離最小．∵AB＝AC＝5，AH⊥BC，∴BH＝CH＝BC＝3，∴AH＝＝＝4.∵PA＝2，∴PH＝AH－AP＝2，∴圓上動點P到BC的距離的最小值為2.
第3題解圖
4. 2　【解析】 如解圖，連接CD.∵AP⊥CP，∴點P在以AC為直徑的圓上．∵△ABC為等腰直角三角形，點D為AB的中點，∴∠ADC＝90°，∴點D在以AC為直徑的圓上，∴DP的最大值為圓的直徑，∵AC＝2，∴DP最大值＝AC＝2.
第4題解圖
5. 　【解析】 由題意得∠A＝30°，BC＝4，∴AC＝8.∵AP＝AC，∴AP＝，∴CP＝8－＝.∵△DEC是由△ABC旋轉得到的，∴CD＝AC＝8，∴點D在以點C為圓心，CA長為半徑的圓上運動，∴當P，C，D三點共線時，PD最大，如解圖，點D運動到點D′時，此時PD′＝CP＋CD′＝＋8＝.
第5題解圖
6. 4＋　【解析】如解圖，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，點E是斜邊AB的中點，∴AB＝2CB＝4，CE＝AB＝2＝AE，AC＝BC＝2，∴∠ECA＝∠BAC＝30°.如解圖，過點A作AG⊥CE交CE的延長線于點G，∴AG＝AC＝.又∵在旋轉的過程中，點F在以點A為圓心，AB的長為半徑的圓上運動，AF＝AB＝4，∴G，A，F三點共線時，點F到直線CE的距離的最大，最大值為4＋，∴△CEF面積的最大值為CE×(4＋)＝×2×(4＋)＝4＋.
第6題解圖
7. 10；2　【解析】由題意可得△CDP的面積等于矩形ABCD面積的一半，∴△CDP的面積為AB·AD＝×5×4＝10；在Rt△APD中，PD＝，∴當AP最大時，DP最大．由題意可得點N在以點D為圓心，4為半徑的圓上運動，當射線CN與圓相切時，AP最大，此時C、N、M三點共線，如解圖．由題意可得AD＝ND，∠MND＝∠BAD＝∠B＝90°，∴∠NDC＋∠DCN＝90°，∠DCN＋∠MCB＝90°，∴∠NDC＝∠MCB.∵AD＝BC，∴DN＝BC，∴△NDC≌△BCM，∴CN＝BM＝＝3，∴AP＝AB－BP＝2.在Rt△APD中，PD＝＝＝2.
第7題解圖

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