資源簡介

尺規作圖
考點 　五種基本尺規作圖
一、作一條線段等于已知線段
作圖步驟
1. 作射線OP；
2. 以點O為圓心，a為半徑作弧交OP于點A，則OA即為所求作的線段
原理：圓弧上的點到圓心的距離等于半徑長
1. 如圖，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝36°.
(1)請用尺規作圖法，在邊BC上找一點D，使BD＝BA；(不寫作法，保留作圖痕跡)
第1題圖
(2)連接AD，求∠DAC的度數．
二、作一個角等于已知角
作圖步驟
1. 在∠α上以點O為圓心，適當長為半徑作弧，交∠α的兩邊于點P，Q；
2. 作射線O′A；
3. 以點O′為圓心，OP(或OQ)長為半徑作弧，交O′A于點M；
4. 以點M為圓心，PQ長為半徑作弧，交步驟3中的弧于點N；
5. 過點N作射線O′B，∠AO′B即為所求角
原理：三邊分別相等的兩個三角形全等；全等三角形對應角相等；兩點確定一條直線
2. 如圖，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝36°.
(1)請用尺規作圖法，在邊BC上找一點D，使∠BAD＝∠B；(不寫作法，保留作圖痕跡)
第2題圖
(2)求∠DAC的度數．
三、作已知角的平分線
作圖步驟
1. 以點O為圓心，適當長為半徑作弧，分別交OA，OB于點N，M；
2. 分別以點M，N為圓心，以大于MN長為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內部相交于點P；
3. 作射線OP，OP即為∠AOB的平分線
原理：三邊分別相等的兩個三角形全等；全等三角形的對應角相等；兩點確定一條直線．
3. 如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝8.
(1)請用尺規作圖法，作∠BAC的平分線，交BC邊于點N；(不寫作法，保留作圖痕跡)
第3題圖
(2)若AN＝3，求△ABC的周長．
四、作線段的垂直平分線
作圖步驟
1. 分別以點A，B為圓心，以大于AB長為半徑，在AB兩側作弧，兩弧分別交于點M，N；
2. 作直線MN，MN即為所求的垂直平分線
原理：到線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；兩點確定一條直線
4. 如圖，在 ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝3.
(1)請用尺規作圖法，作邊AB的垂直平分線，交BC于點G；(不寫作法，保留作圖痕跡)
第4題圖
(2)連接AC，AG，求AC的長．
五、過一點作已知直線的垂線
情況1　過直線上一點作已知直線的垂線
作圖步驟
1. 以點P為圓心，適當長為半徑作弧，交直線l于A，B兩點；
2. 分別以點A，B為圓心，以大于AB長為半徑向直線l的上方(或下方)作弧，交于點M；
3. 過點M，P作直線，直線MP即為所求垂線
原理：到線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；兩點確定一條直線
5. 如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分線交AC于點D.
(1)請用尺規作圖法，在斜邊BC上求作一點E，使DE⊥BD；(不寫作法，保留作圖痕跡)
第5題圖
(2)若AB＝8，AD＝6，求點E到BD的距離．
情況2　過直線外一點作已知直線的垂線
作圖步驟
1. 任意取一點M，使點M和點P在直線l的兩側；
2. 以點P為圓心，PM長為半徑作弧，交直線l于A，B兩點；
3. 分別以點A，B為圓心，以大于AB長為半徑作弧，在點M的同側交于點N；
4. 過點P，N作直線，直線PN即為所求垂線
原理：圓弧上的點到圓心的距離等于半徑長；到線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；兩點確定一條直線
6. 如圖，在 ABCD中，連接BD，已知AD＝10，sin ∠ADB＝.
(1)請用尺規作圖法，過點C作BD的垂線交BD于點E；(不寫作法，保留作圖痕跡)
第6題圖
(2)求BE的長．
真題演練
命題點1 根據尺規作圖的痕跡、步驟計算
1. 如圖，在菱形ABCD中，∠A＝30°，取大于AB的長為半徑，分別以點A，B為圓心作弧相交于兩點，過此兩點的直線交AD邊于點E(作圖痕跡如圖所示)，連接BE，BD.則∠EBD的度數為________．
第1題圖
命題點2 尺規作圖有關的證明及計算
2. 如圖，在 ABCD中，∠DAB＝30°.
(1)實踐與操作：用尺規作圖法過點D作AB邊上的高DE；(保留作圖痕跡，不要求寫作法)
(2)應用與計算：在(1)的條件下，AD＝4，AB＝6，求BE的長．
　第2題圖
3. 如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°.作BC的垂直平分線交AC于點D，延長AC至點E，使CE＝AB.
(1)若AE＝1，求△ABD的周長；
(2)若AD＝BD，求tan ∠ABC的值．
　第3題圖
4. 如圖，在△ABC中，點D是AB邊上的一點．
(1)請用尺規作圖法，在△ABC內，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于E；(不要求寫作法，保留作圖痕跡)
(2)在(1)的條件下，若＝2，求的值．
　第4題圖
基礎過關
1. 如圖是用直尺和圓規作∠DCG＝∠AOB的過程中，弧②是(　　)
A. 以點C為圓心，以CH長為半徑畫弧 B. 以點C為圓心，以EF長為半徑畫弧
C. 以點K為圓心，以CH長為半徑畫弧 D. 以點K為圓心，以EF長為半徑畫弧
第1題圖　　　　
2.如圖，在△ABC中，分別以點A和點C為圓心，大于AC的長為半徑作弧(弧所在圓的半徑都相等)，兩弧相交于M，N兩點，直線MN分別與邊BC，AC相交于點D，E，連接A D.若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，則AB的長為(　　)
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
第2題圖
3. 下面是“作已知直角三角形的外接圓”的尺規作圖過程：
已知：如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°.求作：Rt△ABC的外接圓．作法：如圖②，(1)分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于P，Q兩點；(2)作直線PQ，交AB于點O；(3)以點O為圓心，OA為半徑作⊙O.⊙O即為所求作的圓．圖①　圖②第3題圖
下列不屬于該尺規作圖依據的是(　　)
A. 兩點確定一條直線
B. 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
C. 與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上
D. 線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等
4. 如圖，在△ABC中，以點A為圓心，AC長為半徑作弧，交BC于C，D兩點，分別以點C和點D為圓心，大于CD長為半徑作弧，兩弧交于點P，作直線AP，交CD于點E.若AC＝5，CD＝6，則AE＝__________．　
第4題圖
5. 如圖，∠CAE是△ABC的一個外角，AB＝AC，CF∥BE.
(1)尺規作圖：作∠CAE的平分線，交CF于點D(保留作圖痕跡，不寫作法)；
(2)求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
第5題圖
綜合提升
6. 如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，點D為AC的中點，E為AB邊上一點，連接DE.
(1)請用尺規作圖法在BC上找一點F，使得∠B＋∠EDF＝180°；(要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)
(2)在(1)的條件下，求證：2S四邊形DEBF＝S△ABC.
第6題圖
新考法推薦
7.學行四邊形后，小虹進行了拓展性研究．她發現，如果作平行四邊形一條對角線的垂直平分線，那么這個平行四邊形的一組對邊截垂直平分線所得的線段被垂足平分，她的解決思路是通過證明對應線段所在的兩個三角形全等得出結論，請根據她的思路完成以下作圖與填空：
用直尺和圓規，作AC的垂直平分線交DC于點E，交AB于點F，垂足為點O.(只保留作圖痕跡)
已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AC是對角線，EF垂直平分AC，垂足為點O.
求證：OE＝OF.
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC∥AB.
第7題圖
∴∠ECO＝__①__．
∵EF垂直平分AC，∴__②__．
又∵∠EOC＝__③__，
∴△COE≌△AOF(ASA).∴OE＝OF.
小虹再進一步研究發現，過平行四邊形對角線AC中點的直線與平行四邊形一組對邊相交形成的線段均有此特征．請你依照題意完成下面命題：
過平行四邊形對角線中點的直線__④__．
尺規作圖
1. 解：(1)如解圖，點D即為所求；
第1題解圖
(2)如解圖，
∵BA＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA.
∵∠B＝40°，
∴∠BDA＝∠BAD＝70°，
∴∠ADC＝110°.
∵∠C＝36°，∴∠DAC＝34°.
2. 解：(1)如解圖，點D即為所求(作法不唯一)；
第2題解圖
(2)∵∠BAD＝∠B＝40°，
∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝80°.
∵∠C＝36°，
∴∠DAC＝64°.
3. 解：(1)如解圖，AN即為所求(作法不唯一)；
第3題解圖
(2)∵AB＝AC，AN是∠BAC的平分線，
∴N是BC的中點，AN⊥BC.
∵BC＝8，
∴BN＝4，
∵AN＝3，
在Rt△ABN中，AB2＝AN2＋BN2，
∴AB＝＝＝5，
∴AC＝5，
∴△ABC的周長為5＋5＋8＝18.
4. 解：(1)如解圖①，直線EG即為所求；
第4題解圖①
(2)如解圖②，
第4題解圖②
∵∠ABC＝45°，EG垂直平分AB，
∴AG＝BG，
∴∠BAG＝∠ABC＝45°，
∴∠AGB＝∠AGC＝90°，
∴△AGB是等腰直角三角形，
∵AB＝4，
∴AG＝BG＝2，
∵BC＝3，
∴CG＝，
∴在Rt△AGC中，AC＝＝＝.
5. 解：(1)如解圖①，點E即為所求；
　
第5題解圖①
(2)如解圖②，過點D作DF⊥BC于點F，則∠DFB＝90°，
第5題解圖②
∵∠A＝90°，
∴∠A＝∠DFB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠FBD，
∵BD＝BD，
∴△BAD≌△BFD，
∴AD＝FD＝6，AB＝FB＝8，
∴BD＝10，
設ED＝x，
∵S△BDE＝BD·DE＝BE·DF，
∴BD·DE＝BE·DF，
∴10x＝6BE，
∴BE＝x，
∴EF＝x－8，
在Rt△DEF中，EF2＋DF2＝DE2，
即(x－8)2＋62＝x2，
解得x1＝x2＝，
∴點E到BD的距離為.
6. 解：(1)如解圖，CE即為所求；
第6題解圖
(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，AD＝10，
∴AD＝BC＝10，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵sin ∠ADB＝
∴sin ∠CBD＝sin ∠ADB＝，
∴＝，
∴CE＝4，
∴在Rt△CEB中，BE＝＝＝2.
廣東近6年真題
1. 45°　【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∵∠A＝30°，∴∠ABD＝(180°－∠A)＝75°.由作圖痕跡可得點E在AB的垂直平分線上，∴AE＝BE, ∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠EBD＝∠ABD－∠ABE ＝75°－30°＝45°.
2. 解：(1)如解圖，DE即為所求；(3分)
第2題解圖
(2)在Rt△ADE中，
∵∠DAB＝30°，AD＝4，
∴AE＝AD·cos ∠DAB＝4×＝2，
∵AB＝6，
∴BE＝AB－AE＝6－2，
∴BE的長為6－2.(9分)
3. 解：(1)如解圖，依題意得AB＝CE，DF垂直平分BC，
第3題解圖
∴DB＝DC，
∴C△ABD＝AB＋AD＋BD＝CE＋AD＋CD＝AE＝1；
(2)設AD＝x，則BD＝3x，
在Rt△ABD中，∠A＝90°，
∴AB＝＝2x，
由(1)得CD＝BD＝3x，
∴AC＝AD＋DC＝4x，
∴tan ∠ABC＝＝＝.
4. 解：(1)如解圖，∠ADE即為所求；(3分)
第4題解圖
(2)∵∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
∴＝，
∵＝2，
∴＝2.(6分)
基礎過關
1. D
2. D　【解析】由作圖痕跡可知，MN是AC的垂直平分線，∴點E是AC的中點，∠DEA＝90°，∴DE＝＝3.∵BD＝DC，∴DE是△ABC的中位線，∴AB＝2DE＝6.
3. D　【解析】如解圖，作直線PQ(兩點確定一條直線)，連接PA，PB，QA，QB，OC，由作圖步驟得，PA＝PB，QA＝QB，∴PQ⊥AB且AO＝BO(與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上).∵∠ACB＝90°，∴OC＝AB(直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半)，∴OA＝OB＝OC，∴A，B，C三點在以點O為圓心，AB為直徑的圓上，∴⊙O為△ABC的外接圓．
第3題解圖
4. 4　【解析】 由作圖痕跡知AE⊥DC，AD＝AC.∵CD＝6，∴CE＝DE＝3.∵AC＝5，∴在Rt△AEC中，由勾股定理得AE＝4.
5. (1)解：作圖如解圖，射線AD即為所求；
第5題解圖
(2)證明： ∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB.
又∵∠EAC是△ABC的一個外角，
∴∠EAC＝∠B＋∠ACB＝2∠B(或∠EAC＝2∠ACB).
又∵AD是∠EAC的平分線，
∴∠EAC＝2∠DAE(或∠EAC＝2∠DAC)，
∴∠B＝∠DAE(或∠ACB＝∠DAC)，
∴BC∥AD，
又∵CF∥BE，即CD∥AB，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
6. (1)解：如解圖，點F即為所求；
第6題解圖
(2)證明：如解圖，連接DB.
∵在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，點D為AC的中點，
∴BD＝AD，∠DBF＝∠A＝45°.
∵∠ABC＋∠EDF＝180°，
∴∠BED＋∠BFD＝180°.
∵∠BED＋∠AED＝180°，
∴∠BFD＝∠AED.
在△AED和△BFD中，
，
∴△AED≌△BFD(AAS)，
∴S四邊形DEBF＝S△BED＋S△BFD＝S△BED＋S△AED＝S△ABC，
∴2S四邊形DEBF＝S△ABC.
7. 解：如解圖，直線EF即為所求．
第7題解圖
①∠FAO；②OC＝OA；③∠FOA；④被一組對邊截得的線段被對角線的中點平分．

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