資源簡介

　圖形的對稱、平移與旋轉
1. 下列圖形中，是軸對稱圖形的是______，是中心對稱圖形的是___________________，
既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是________．
2. 如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝ 30°，AB＝6，E，F分別為AB，AC上的點，連接EF，且EF∥BC，將△ABC沿EF折疊，點A 的對應點A′恰好落在BC邊上，連接AA′.
　第2題圖
(1)∠EA′F ＝________，∠A′EF ＝________，∠AFA′＝________；
【解題依據】此問應用到的折疊的性質為________________；
(2)AA′與BC之間的位置關系為________；
【解題依據】此問應用到的折疊(或軸對稱)的性質為________________；
(3)A′E＝________，A′F＝________；
【解題依據】此問應用到的折疊的性質為________________；
(4)△A′EF的周長為________，四邊形A′FAE的面積為________．
3. 如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，將△ABC沿BC方向平移得到△DEF，DE與AC交于點G，連接AD，AD＝2，BC＝4.
　第3題圖
(1)∠F＝________，∠DEF＝________；
【解題依據】此問用到的平移的性質為________________；
(2)四邊形ACFD的形狀為________；
【解題依據】此問用到的平移的性質為________________；
(3)AD，BC，BF的數量關系為________；
【解題依據】此問用到的平移的性質為________________；
(4)點E到AC的距離為________．
4. 如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉90°得到△ADE，點B的對應點D恰好落在BC的延長線上，連接CE.
　第4題圖
(1)∠B＝________，∠ACB＝________；
【解題依據】此問用到的旋轉的性質為________________；
(2)∠BAD＝________＝________°；
【解題依據】此問用到的旋轉的性質為________________；
(3)AB＝________，AC＝________；
【解題依據】此問用到的旋轉的性質為________________；
(4)請寫出圖中的全等三角形和相似三角形：________________．
知識逐點過
考點1 　圖形的對稱
1. 軸對稱圖形與中心對稱圖形
軸對稱圖形 中心對稱圖形
圖形
判斷方法 (1)有對稱軸——直線；(2)圖形沿某條直線折疊，折疊前后的圖形能夠完全重合 (1)有對稱中心——點；(2)圖形繞某一點旋轉180°，旋轉前后的圖形完全重合
將下列常見圖形代表的序號填在對應橫線上：a.等腰三角形，b.等邊三角形，c.平行四邊形，d.菱形，e.矩形，f.正方形，g.正五邊形，h.正六邊形，i.圓．(1)軸對稱的圖形有：①________________________；(2)中心對稱的圖形有：②________________________；(3)既是軸對稱又是中心對稱的圖形有：③________________________
2. 軸對稱與中心對稱
軸對稱 中心對稱
圖形
性質 (1)成軸對稱的兩個圖形是全等圖形；(2)對稱點所連線段被對稱軸垂直平分 (1)成中心對稱的兩個圖形是全等圖形；(2)對稱點所連線段都經過對稱中心，并且被對稱中心平分
作圖方法 (1)找出原圖形的關鍵點，作出它們關于對稱軸(或對稱中心)的對稱點；(2)根據原圖形依次連接各對應點即可
考點2 　圖形的折疊
實質 折疊的實質是軸對稱變換
性質 1. 位于折痕兩側的圖形關于折痕對稱；2. 折疊前后的兩部分圖形④________，對應邊、角、周長、面積都分別⑤________；3. 折疊前后對應點的連線被折痕垂直平分
考點3 　圖形的平移
概念 在平面內，一個圖形由一個位置沿某個方向移動到另一個位置，這樣的圖形運動叫做平移
要素 一是平移方向，二是平移距離
性質 1.平移前后，對應線段⑥________、對應角⑦________；2．各對應點所連接的線段⑧________(或在同一條直線上)且相等，對應點的距離⑨________平移的距離；3．平移前后的圖形全等
考點4 　圖形的旋轉
概念 在平面內，一個圖形繞一個定點沿某個方向(順時針或逆時針)轉動一個角度，這樣的圖形運動叫做旋轉．這個定點叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角，原圖形上一點A旋轉后成為A′，這樣的兩個點叫做對應點
要素 旋轉中心、旋轉方向和⑩________
性質 1.對應點到旋轉中心的距離 ________；2．對應點與旋轉中心連線所成的夾角等于 ________；3．旋轉前后的圖形 ________
真題演練
命題點1 對稱圖形的識別
1. 下列出版社的商標圖案中，是軸對稱圖形的為(　　)
2. 下列四個銀行標志中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是(　　)
3. 下列所述圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是(　　)
A. 圓 B. 菱形 C. 平行四邊形 D. 等腰三角形
命題點2 圖形的折疊
拓展訓練
4. 如圖，正方形紙片ABCD的邊長為8，E是CD上一點，連接AE，把正方形紙片折疊，使點A落在AE上的點G處，折痕為BF，且BF與AE交于點H.
(1)求證：AF＝DE；
(2)當E為CD的中點時，求AG的長．
　第4題圖
命題點3 圖形的旋轉
拓展訓練
5. 如圖，將矩形ABCD繞點B逆時針旋轉得到矩形HBEF，點E在AD上，連接CE，CH.
(1)求證：CE平分∠BED；
(2)若BC＝4，∠EBC＝30°，求CH的長度．
　第5題圖
教材原題到重難考法
圖形的旋轉
例　△ABC中，AB＝AC，P是BC邊上任意一點，以點A為中心，取旋轉角等于∠BAC，把△ABP逆時針旋轉，畫出旋轉后的圖形．
例題圖
變式題
1. 結合旋轉性質，判斷四邊形形狀
如圖，在△ABC中，AC＝AB，P是BC上一點，且BP＝AP，將△ABP繞點A逆時針旋轉得到△ACQ.
(1)求證：AQ∥BC；
(2)連接PQ，判斷四邊形ABPQ的形狀，并說明理由．
　第1題圖
2. 將等腰三角形改為等腰直角三角形
如圖，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點P在BC上，將△ABP繞點A沿逆時針方向旋轉90°后，得到△ACQ，連接PQ.
(1)求∠PCQ的度數；
(2)若BC＝4，CP＝3BP，求PQ的長．
　第2題圖
基礎過關
1. 下列圖形中，能由圖形a通過平移得到的是(　　)
第1題圖
ABCD
2. 下面四種化學儀器的示意圖是軸對稱圖形的是(　　)
ABCD
3. “二十四節氣”作為農耕社會生產生活的時間指南，是中國古代勞動人民長期經驗的積累和智慧的結晶，是中華民族悠久歷史的重要組成部分．下列有關節氣的圖標，其文字上方的圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(　　)
ABCD
4. 如圖，用平移方法說明平行四邊形的面積公式S＝ah時，若△ABE平移到△DCF，a＝4，h＝3，則△ABE的平移距離為(　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 12
第4題圖
5. 如圖，把△ABC以點A為中心逆時針旋轉得到△ADE，點B，C的對應點分別是點D，E，且點E在BC的延長線上，連接BD，則下列結論一定正確的是(　　)
A. ∠CAE＝∠BED B. AB＝AE C. ∠ACE＝∠ADE D. CE＝BD
　　　
第5題圖　　　
6. 如圖，將矩形紙片ABCD對折，使邊AB與DC，BC與AD分別重合，展開后得到四邊形EFGH.若AB＝2，BC＝4，則四邊形EFGH的面積為(　　)
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
第6題圖
7. 如圖，在平面直角坐標系中，菱形OABC的邊長為2，點B在x軸的正半軸上，且∠AOC＝60°，將菱形OABC繞原點O逆時針方向旋轉60°，得到四邊形OA′B′C′(點A′與點C重合)，則點B′的坐標是(　　)
A. (3，3) B. (3，3) C. (3，6) D. (6，3)
第7題圖　
8. 如圖，小宇將一張平行四邊形紙片折疊，使點A落在長邊CD上的點A′處，并得到折痕DE，小宇測得長邊CD＝8，則四邊形A′EBC的周長為__________．
第8題圖
9. 如圖，在△ABC中，AC＝BC＝16，點D在AB上，點E在BC上，點B關于直線DE的軸對稱點為點B′，連接DB′，EB′，分別與AC相交于點F，點G，若AF＝8，DF＝7，B′F＝4，則CG的長度為__________．
第9題圖
10. 如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點E為AB的中點，連接DE，將△DAE繞點D按逆時針方向旋轉90°得到△DCF，連接EF，則EF的長為__________．
第10題圖
11. 如圖，網格中每個小正方形的邊長均為1，△ABC的頂點均在小正方形的格點上．
(1)將△ABC向下平移3個單位長度得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1；
(2)將△ABC繞點C順時針旋轉90度得到△A2B2C2，畫出△A2B2C2；
(3)在(2)的運動過程中請計算出△ABC掃過的面積．
第11題圖
綜合提升
12. 將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB＝∠E＝90°，BC＝DE＝6，AC＝FE＝8，點D與邊AB的中點重合，將△DEF繞著點D旋轉．
(1)如圖①，如果∠EDF的邊DE經過點C，另一邊DF與邊AC交于點G，求GC的長；
(2)如圖②，如果∠EDF的邊DF，DE分別交邊BC于點M，N，設CN＝x，BM＝y，求y關于x的函數解析式．
圖①
　　
圖②
第12題圖
圖形的對稱、平移與旋轉
1. ②③④，①②④，②④.
2. (1)90°，30°，120°；
【解題依據】折疊前后兩部分圖形對應角相等；
(2)AA′⊥BC；
【解題依據】折疊前后對應點的連線被折痕垂直平分(對稱點的連線被對稱軸垂直平分)；
(3)3，；
【解題依據】折疊前后兩部分圖形對應邊相等；
(4)3＋3，3.
3. (1)30°，60°；【解析】由平移的性質得∠F＝∠ACB＝30°，∠DEF＝∠B＝90°－∠ACB＝60°.
【解題依據】平移前后，對應角相等；
(2)平行四邊形；【解析】由平移的性質得AD＝CF，AD∥CF，∴四邊形ACFD是平行四邊形．
【解題依據】平移前后，對應點所連接的線段平行(或共線)且相等；
(3)BF＝BC＋AD；【解析】由平移的性質得AD＝CF，∴BF＝BC＋CF＝BC＋AD.
【解題依據】平移前后，對應點所連線段相等；
(4)1.【解析】∵AD＝2，∴BE＝2，又∵BC＝4，∴CE＝2，∴E為BC的中點，∵∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，∴AB＝2，又∵AB∥DE，∴EG為△ABC的中位線，∴EG＝AB＝1.
4. (1)∠ADE，∠AED；
【解題依據】旋轉前后對應角相等；
(2)∠CAE，90；
【解題依據】對應點與旋轉中心連線所成的夾角等于旋轉角；
(3)AD，AE；
【解題依據】對應點到旋轉中心的距離相等；
△ABC≌△ADE，△ABD∽△ACE.
知識逐點過
①a，b，d，e，f，g，h，i?、赾，d，e，f，h，i
③d，e，f，h，i?、苋取、菹嗟取、尴嗟取、呦嗟取、嗥叫小、岬扔?br/>⑩旋轉角度　 相等　 旋轉角　 全等
真題演練
1. A　2. C　3. D
4. (1)證明：由折疊的性質可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，
∴BF⊥AE，AH＝GH，
∴∠BAH＋∠ABH＝90°，
又∵∠FAH＋∠BAH＝90°，
∴∠ABH＝∠FAH，
在△ABF與△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE(ASA)，
∴AF＝DE；
(2)解：∵E是CD的中點，
∴DE＝CE＝4，
∴AF＝DE＝4，
在Rt△ABF中，BF＝＝4，
由折疊可得BF垂直平分AG，
∴AH＝HG，BF⊥AG，
∵S△ABF＝AB·AF＝BF·AH，
∴AH＝＝＝，
∴AG＝2AH＝.
5. (1)證明：∵矩形ABCD繞點B旋轉得到矩形HBEF，
∴BC＝BE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∴∠BEC＝∠DEC，
∴CE平分∠BED；
(2)解：如解圖，作CG⊥BE于點G，設BE與HC交于點M，
第5題解圖
∵∠EBC＝30°，BC＝4，
∴GC＝2，BG＝2，
∵CE平分∠BED，CG⊥BE，CD⊥ED，
∴CG＝CD，
又∵∠HBM＝∠CGM＝90°，∠HMB＝∠CMG，CD＝AB＝BH，
∴GC＝BH，
在△HBM與△CGM中，
，
∴△HBM≌△CGM(AAS)，
∴MG＝BM＝BG＝，CM＝HM，
∴在Rt△MGC中，MC＝＝＝，
∴CH＝2MC＝2.
教材原題到重難考法
例　解：畫出旋轉后的圖形如解圖．
例題解圖
1. (1)證明：由旋轉的性質得∠BAP＝∠CAQ，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AP＝BP，
∴∠B＝∠BAP，
∴∠CAQ＝∠ACB，
∴AQ∥BC；
(2)解：四邊形ABPQ是平行四邊形，理由如下：
由旋轉的性質得AP＝AQ，
∵AP＝BP，
∴BP＝AQ，
∵AQ∥BC，
∴四邊形ABPQ是平行四邊形．
2. 解：(1)∵等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABP＝∠ACB＝45°，
∵將△ABP繞點A沿逆時針方向旋轉90°后，得到△ACQ，
∴∠ABP＝∠ACQ＝45°，
∴∠PCQ＝∠ACB＋∠ACQ＝45°＋45°＝90°；
(2)∵BC＝4，CP＝3BP，
∴BP＝，CP＝3，
由旋轉得△ABP≌△ACQ，
∴CQ＝BP＝，
在Rt△PCQ中，PQ＝＝2.
基礎過關
1．B
2. C　【解析】 A，B，D選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；C選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．
3. B　【解析】逐項分析如下：
選項 逐項分析 正誤
A 是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形 ×
B 既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形 √
C 既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形 ×
D 是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形 ×
4. B　【解析】用平移方法說明平行四邊形的面積公式S＝ah時，將△ABE平移到△DCF，故平移后點A與點D重合，則△ABE的平移距離為AD＝a＝4.
5. A　【解析】 A．由旋轉可知∠ACB＝∠AED，∴∠CAE＋∠AEC＝∠AEC＋∠BED，即∠CAE＝∠BED；B.由旋轉可知AB＝AD，但不一定等于AE；C.∠ACE＝∠BAC＋∠ABC＝∠BAC＋∠ADE，∴∠ACE＞∠ADE；D.CE不一定等于BD.故選A.
6. B　【解析】 如解圖，設EG與FH交于點O.∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，根據折疊的性質可得，∠AGE＝∠BGE＝90°，AG＝BG，∠AFH＝∠DFH＝90°，AF＝DF，∴AD∥GE∥BC，AB∥FH∥CD，∴FH⊥GE，GE＝BC＝4，FH＝AB＝2，OF＝OH，OG＝OE，∴四邊形EFGH為菱形，∴S菱形EFGH＝GE·FH＝×2×4＝4.
第6題解圖
7. B　【解析】如解圖，延長B′C交x軸于點D.∵四邊形OABC是菱形，點B在x軸的正半軸上，OB平分∠AOC，∠AOC＝60°，∴∠COB＝∠AOB＝30°，∠CBA＝60°.∵將菱形OABC繞原點O逆時針方向旋轉60°，則∠OB′C＝∠C′B′C＝30°，∠B′OD＝60°，∴∠B′DO＝90°.在Rt△CDO中，OC＝B′C＝2，∴CD＝OC＝，OD＝CD＝×＝3，∴DB′＝3，∴B′(3，3).
第7題解圖
8. 16　【解析】 ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∠AED＝∠A′ED.由折疊得∠ADE＝∠A′DE，AD＝A′D，AE＝A′E，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴AD＝AE＝A′D＝A′E，∴AB－AE＝CD－A′D，∴A′C＝BE，∴四邊形A′EBC是平行四邊形，∴四邊形A′EBC的周長＝2(A′C＋A′E)＝2(A′C＋A′D)＝2CD＝16.
9. 　【解析】 ∵AC＝BC，∴∠A＝∠B.∵△BDE與△B′DE關于DE對稱，∴∠B＝∠B′.∴∠A＝∠B′.又∵∠AFD＝∠B′FG，∴△ADF∽△B′GF，∴＝，即＝，∴GF＝，∴CG＝AC－AF－GF＝16－8－＝.
10. 2　【解析】∵四邊形ABCD是正方形，AB＝4，點E為AB的中點，∴AE＝2，DE＝2.∵△DAE繞點D按逆時針方向旋轉90°得到△DCF，∴DE＝DF，∠EDF＝90°，∴EF＝DE＝2.
11. 解：(1)如解圖①，△A1B1C1即為所作；
第11題解圖①
(2)如解圖②，△A2B2C2即為所作；
第11題解圖②
(3)∵AB＝＝，AC＝＝，BC＝＝，∴AB＝BC.
∵()2＋()2＝10＝()2，
∴AB2＋BC2＝AC2，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴S△ABC＝AB·BC＝.
根據旋轉可知，∠ACA2＝90°，
∴S扇形ACA2＝2＝，
∴△ABC在旋轉過程中掃過的面積為S＝S△ABC＋S扇形ACA2＝.
12. 解：(1)∵△ABC≌△FDE，
∴∠GDC＝∠B.
∵點D是邊AB的中點，
∴CD＝AD＝BD＝AB，
∴∠DCB＝∠B，
∴∠GDC＝∠DCB，∴BC∥DG，
∴∠AGD＝∠ACB＝90°.
∵AD＝CD，∴GC＝AC＝4.
(2)如解圖，連接CD.
在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB＝10，
∵點D為AB的中點，∠ACB＝90°，
∴BD＝CD＝AB＝5，
∴∠B＝∠DCN.①
∵∠CND＝∠B＋∠BDN，∠BDM＝∠MDN＋∠BDN，且∠B＝∠MDN，
∴∠CND＝∠BDM.②
由①②可得△DNC∽△MDB，
∴＝，即＝，
∴y＝.
第12題解圖

展開更多......

收起↑