資源簡介

與特殊四邊形有關的折疊問題
教材原題到重難考法
方法歸納
1. 折痕過對角線
基本折法：如圖，P是矩形ABCD邊AD上一點，當點P與點D重合時，將△ABP沿BP折疊得到△EBP，BE交CD于點H.
特殊結論：△BCH≌△PEH，PH＝BH，PE2＋EH2＝PH2.
2. 折痕過一頂點
基本折法：如圖，點P是矩形ABCD的邊AD上一點，將△ABP沿BP折疊得到△EBP，點E恰好落在CD邊上．
特殊結論：一線三垂直，△PDE∽△ECB，(AD－PE)2＋DE2＝PE2.
拓展折法：
特殊結論：△PDE∽△DBC∽△BDA，DE2＋(AD－PD)2＝PD2.
例　
如圖，把一張長方形的紙沿對角線折疊，重合部分是一個等腰三角形嗎？為什么？
　例題圖
3. 折痕過兩邊
基本折法：如圖，在矩形ABCD中，點E，F分別在邊AD，BC上，沿EF將四邊形ABFE折疊得到四邊形A′B′FE，點B′恰好落在AD邊上．
特殊結論：連接BE，△ABE≌△A′B′E.
當點B′與點D重合時，過點E作EG⊥BC于點G，連接BB′，則△EFG∽△BB′C；四邊形BEB′F為菱形．
變式題
1. 折痕過一頂點，且折疊后一對應點落在對角線上
如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是CD邊上的一點，連接BP，將△PBC沿BP折疊得到△PBC′，若點C′恰好落在對角線BD上，則CP的長為________．
第1題圖
2. 折痕過一頂點，且折疊后對應點落在邊上
(一題多解法)如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是CD邊上的一點，連接BP，將△PBC沿BP折疊得到△PBC′，若點C′恰好落在邊AD上，則CP的長為________．
第2題圖
3. 折痕過一頂點，且折疊后對應點落在外部
如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是CD上一點，連接BP，將△PBC沿BP折疊得到△PBC′，BC′交AD于點M，PC′交AD于點N，若NC′＝ND，則BP的長為__________．
第3題圖
4. 折痕過鄰邊，且折疊后對應點落在矩形對角線上
如圖，一張矩形紙片ABCD，AB＝6，AD＝8，P是CD邊的中點，E是BC邊上的一點，連接EP，將△PEC沿EP折疊得到△PEC′，若點C′恰好落在對角線AC上，則CE的長為________．
第4題圖
5. 折痕過兩邊，且折疊后對應點落在頂點上
如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，點E，P分別在邊BC，AD上，將矩形ABCD沿直線PE折疊．若頂點C恰好落在頂點A處，求折痕PE的長．
　第5題圖
6. 折痕過兩邊，且折疊后對應點落在邊上
如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，點E，P分別在邊BC，AD上，將矩形ABCD沿直線PE折疊．若點C恰好落在AD邊上的點C′處，且AP＝3PD，求cos ∠PC′E的值．
　第6題圖
對接中考
1. 如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點E，F分別在邊AB，CD上，∠EFD＝60°.若將四邊形EBCF沿EF折疊，點B恰好落在AD邊上，則BE的長度為(　　)
第1題圖
A. 1 B. C. D. 2
2. 如圖，邊長為1的正方形ABCD中，點E為AD的中點．連接BE，將△ABE沿BE折疊得到△FBE，BF交AC于點G，求CG的長．
　第2題圖
3. 如圖，在矩形ABCD中，AB>AD，把矩形沿對角線AC所在直線折疊，使點B落在點E處，AE交CD于點F，連接DE.
(1)求證：△ADE≌△CED；
(2)求證：△DEF是等腰三角形．
　第3題圖
基礎過關
1. 如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝4，AD＝6.點P是邊AD上一點，點Q是邊BC上一點，連接PQ，將矩形紙片沿直線PQ折疊，使CQ落在直線AQ上，點C，D分別落在點C′，D′處，若DP＝1，則AC′的長為(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
第1題圖　
2. 在矩形紙片ABCD中，點E為BC的中點，連接AE，將△ABE沿AE折疊得到△AFE，連接CF.若AB＝4，BC＝6，則CF的長是(　　)
A. 3 B. C. D.
第2題圖
3. 如圖，在正方形ABCD中，點E是BC的中點，將正方形ABCD沿AE翻折，點B落在點F處，延長EF交CD于點P，若AB＝6，則DP的長為(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第3題圖
4. 如圖，在 ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝120°，點E是AD上一動點，將△ABE沿BE折疊得到△A′BE，當點A′恰好落在EC上時，DE的長為__________．
第4題圖
5. 如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，E為CD邊上一點，將△BCE沿BE折疊，使得點C落到矩形內點F的位置，連接AF，tan ∠BAF＝.
(1)求點F到AB的距離；
(2)求CE的長．
第5題圖
6. 如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，點E在BC邊上，將△ABE沿AE翻折，點B落在點F處，延長AF交CD邊于點G，延長AE，DC相交于點M，已知BE＝2CE.
(1)求證：△GAM是等腰三角形；
(2)求線段CG的長．
第6題圖
7. 在 ABCD中，點F為BC邊的中點，連接DF，將△CDF沿著DF翻折，點C落在點G處，連接BG并延長，交AD于點E.
(1)求證：四邊形BFDE是平行四邊形；
(2)若DE＝5，△GDF的周長為20，求四邊形BCDE的周長．
第7題圖
與特殊四邊形有關的折疊問題
例　解：是等腰三角形，理由如下：
如解圖，由翻折的性質，得∠FBD＝∠DBC，
∵四邊形ABCD是長方形，
∴AD∥BC，
∴∠FDB＝∠CBD，
∴∠FDB＝∠FBD，
∴FB＝FD，
∴△BFD是等腰三角形，即重合部分是一個等腰三角形．
例題解圖
1. 　【解析】由折疊的性質得，PC′＝PC，∠PC′B＝∠C＝90°，∴∠PC′D＝90°，∵∠PDC′＝∠BDC，∴△PDC′∽△BDC，∴＝，∵在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∴BD＝10，設DP＝x，則PC′＝PC＝6－x，∴＝，解得x＝，∴PC＝6－＝.
2. －　【解析】∵四邊形ABCD為矩形，∴DC＝AB＝6，BC＝AD＝8，∠A＝∠D＝90°，由折疊的性質可得BC′＝BC＝8，C′P＝CP，∠BC′P＝∠C＝90°，在Rt△ABC′中，AC′＝＝2，∴C′D＝AD－AC′＝8－2，∵∠ABC′＋∠AC′B＝90°，∠AC′B＋∠PC′D＝90°，∴∠ABC′＝∠PC′D，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABC′∽△DC′P，∴＝，即＝，解得C′P＝，則CP的長為－.
【一題多解】∵四邊形ABCD為矩形，∴DC＝AB＝6，BC＝AD＝8，∠A＝∠D＝90°，由折疊的性質可得BC′＝BC＝8，C′P＝CP，在Rt△ABC′中，AC′＝＝2，∴C′D＝AD－AC′＝8－2，在Rt△C′PD中，C′D2＋DP2＝C′P2，(8－2)2＋(6－C′P)2＝C′P2，解得C′P＝，即CP的長為－.
3. 　【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝∠A ＝ 90°， CD＝BA＝6，BC＝AD＝8，由折疊的性質可知C′P＝ CP，∠C′＝∠C＝90°， BC′＝CB＝8，在△NDP和△NC′M中，，∴△NDP≌△NC′M(ASA) ，∴ NP＝NM , PD＝MC′ ，∴ DM ＝ C′P，設CP＝C′P＝x ，則PD＝MC′＝6－x，DM ＝x，∴AM＝8－x，BM＝8－(6－x)＝2＋x，在Rt△BAM中， BA2＋AM2＝ BM2，即62＋( 8－x )2＝( x＋2)2，解得x＝，∴ CP＝.∴在Rt△BCP中，BP＝＝＝.
4. 　【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ECP＝∠B＝90°，根據折疊的性質得AC⊥EP，∴∠CEP＋∠ACB＝90°，∵∠ACB＋∠BAC＝90°，∴∠CEP＝∠BAC，∵∠ECP＝∠B＝90°，∴△CEP∽△BAC，∴＝，∵點P是CD的中點，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∴＝，解得CE＝.
5. 解：如解圖，過點P作PH⊥BC交BC于點H，
根據折疊得，∠AEP＝∠CEP，PD＝PD′，EC＝EA，CD＝AD′，
設PD＝PD′＝x，則AP＝8－x，
在Rt△AD′P中，由勾股定理得，AP2＝D′A2＋D′P2，
即42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3，
∴AP＝5，
∵∠APE＝∠PEC，
∴∠APE＝∠AEP，
∴AP＝AE＝EC＝5，
∴EH＝EC－HC＝2，
∴在Rt△EPH中，由勾股定理得，PE＝＝＝2.
第5題解圖
6. 解：如解圖，連接CP，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠C′PE＝∠CEP，
由折疊的性質可知∠C′EP＝∠CEP，
∴C′E＝CE，C′P＝CP，
∴∠C′PE＝∠C′EP，
∴C′E＝C′P，
∴C′P＝CE，
∴四邊形CEC′P為菱形，
∴CP∥C′E，
∴∠PC′E＝∠DPC，
∵AP＝3PD，AD＝AP＋PD＝8，
∴PD＝2，
在Rt△PDC中，由勾股定理，得PC＝＝2，
∴cos ∠PC′E＝cos ∠DPC＝＝.
第6題解圖
對接中考
1. D　【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠A＝90°，∴∠EFD＝∠BEF＝60°，∵將四邊形EBCF沿EF折疊，點B恰好落在AD邊上點B′處，∴∠BEF＝∠FEB′＝60°，BE＝B′E，∴∠AEB′＝180°－∠BEF－∠FEB′＝60°，∴B′E＝2AE，設BE＝x，則B′E＝x，AE＝3－x，∴2(3－x)＝x，解得x＝2，∴BE＝2.
2. 解：如解圖，延長BF交CD于點H，連接EH.
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠EAB＝90°，
∵△FBE由△ABE沿BE折疊得到，
∴EA＝EF，∠EFB＝∠EAB＝90°，
∴∠D＝∠EFB＝∠EFH＝90°，
∵E為AD的中點，
∴EA＝ED，
∴ED＝EF，
在Rt△EDH和Rt△EFH中，
，
∴Rt△EDH≌Rt△EFH(HL)，
∴∠DEH＝∠FEH，
又∵∠AEB＝∠FEB，
∴∠DEH＋∠AEB＝∠FEH＋∠FEB＝×180°＝90°，
∴∠ABE＝∠DEH，
∵∠D＝∠BAE＝90°，
∴△DHE∽△AEB，
∴＝＝，
∴DH＝，
∵CH∥AB，
∴△HGC∽△BGA，
∴＝＝，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝，
∴CG＝AC＝.
第2題解圖
3. 證明：(1)∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD，
由折疊的性質可得BC＝CE，AB＝AE，
∴AD＝CE，AE＝CD，
在△ADE和△CED中，
，
∴△ADE≌△CED(SSS)；
(2)由(1)得△ADE≌△CED，
∴∠DEA＝∠EDC，即∠DEF＝∠EDF，
∴EF＝DF，
∴△DEF是等腰三角形．
基礎過關
1. A　【解析】∵PD＝1，AD＝6，∴PA＝6－1＝5.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，BC＝AD＝6，∴∠APQ＝∠CQP.由折疊的性質可知，∠CQP＝∠AQP，∴∠AQP＝∠APQ，∴AQ＝AP＝5.∵AB＝CD＝4，∠B＝90°，∴在Rt△ABQ中，由勾股定理得BQ＝＝＝3，∴CQ＝CB－BQ＝6－3＝3，由折疊的性質可知，QC＝QC′＝3，∴AC′＝AQ－QC′＝5－3＝2.
2. D　【解析】 如解圖，連接BF，交AE于點O.∵將△ABE沿AE折疊得到△AFE，∴BE＝ EF，∠AEB＝∠AEF，AE垂直平分BF.∵點E為BC的中點，∴BE＝CE＝EF＝3，∴∠EFC＝∠ECF.∵∠BEF＝∠ECF＋∠EFC.∴∠AEB＝∠ECF，∴AE∥CF.∴∠BFC＝∠BOE＝90°.在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝＝＝5，∴BO＝＝＝，∴BF＝2BO＝.在Rt△BCF中，由勾股定理得CF＝＝＝.
第2題解圖
3. B　【解析】 如解圖，連接AP.∵四邊形ABCD是正方形，AB＝6，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°.由折疊的性質可知AF＝AB，∠AFE＝∠B＝90°，FE＝BE，∴AF＝AD，∠AFP＝∠D＝90°.又∵AP＝AP，∴Rt△ADP≌Rt△AFP(HL)，∴DP＝FP.∵點E是BC的中點，∴EF＝BE＝CE＝BC＝3.設DP＝FP＝x，則EP＝x＋3，CP＝6－x.在Rt△PCE中，由勾股定理得PE2＝CE2＋CP2，∴(x＋3)2＝32＋(6－x)2，解得x＝2，∴DP＝2.
第3題解圖
4. －3　【解析】如解圖，過點C作CH⊥AD交AD的延長線于點H，連接CE.∵在 ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝120°，∴∠ADC＝∠ABC＝120°，∠HDC＝60°，CD＝AB＝6，AD＝CB＝8，∴DH＝DC·cos ∠HDC＝3.在Rt△DCH中，HC＝＝＝3.∵將△ABE沿BE折疊得到△A′BE，且點A′恰好落在EC上，∴∠AEB＝∠CEB.又∵AD∥BC，∴∠EBC＝∠AEB，∴∠EBC＝∠CEB，∴CE＝BC＝8.設DE＝x，∴EH＝x＋3.在Rt△ECH中，EC2＝EH2＋HC2，即82＝(x＋3)2＋(3)2，解得x＝－3(負值已舍去)，∴DE的長為－3.
第4題解圖
5. 解：(1)如解圖，過點F作MN∥AD，分別交AB，CD于點M，N，則MN⊥AB，MN⊥CD.
由折疊的性質，得EC＝EF，BC＝BF＝，∠C＝∠BFE＝90°.
∵tan ∠BAF＝，∴＝，設FM＝x，AM＝2x，則BM＝4－2x(其中0在Rt△BFM中，由勾股定理得x2＋(4－2x)2＝()2，
解得x1＝1，x2＝(舍去)，
∴FM＝1，
∴點F到AB的距離為1；
第5題解圖
(2)由(1)知FM＝1，
∴AM＝BM＝2，FN＝－1.
∵∠BFE＝90°，
∴∠BFM＋∠EFN＝90°.
∵MN⊥CD，
∴∠FNE＝90°，
∴∠EFN＋∠FEN＝90°，
∴∠BFM＝∠FEN.
∵∠BMF＝∠FNE＝90°，
∴△BMF∽△FNE，
∴＝，
即＝，解得EF＝，
∴CE＝.
6. (1)證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB∥CD，∴∠M＝∠BAE.
由折疊性質知∠BAE＝∠EAF，
∴∠M＝∠EAF，∴GA＝GM，
∴△GAM是等腰三角形；
(2)解：∵AB∥CD，
∴△CEM∽△BEA，
∴＝.
∵BE＝2CE，BC＝AB＝6，
∴CE＝2，BE＝4，
∴＝，∴CM＝3.
設CG＝x，則AG＝GM＝3＋x，DG＝6－x.
∵在Rt△ADG中，由勾股定理得AD2＋DG2＝AG2，
即62＋(6－x)2＝(3＋x)2，
解得x＝，∴CG＝.
7. (1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BF∥DE.
∵將△CDF沿著DF翻折，點C落在點G處，
∴CF＝GF，∠DFC＝∠DFG，
∵點F是BC邊的中點，
∴BF＝CF.
∴BF＝GF，
∴∠EBF＝∠BGF.
∵∠DFC＝∠DFG＝∠GFC，
∠GFC＝∠EBF＋∠BGF，
∴∠EBF＝∠GFC，
∴∠EBF＝∠DFC，
∴BE∥DF.
∵BF∥DE，
∴四邊形BFDE是平行四邊形；
(2)解：由折疊的性質得GF＝CF，DG＝DC，
∵△GDF的周長為20，
∴GF＋FD＋GD＝20，
∴CF＋DF＋DC＝20.
∵四邊形BFDE是平行四邊形，DE＝5，
∴BE＝DF，BF＝DE＝5，
∴四邊形BCDE的周長為BC＋CD＋DE＋BE＝BF＋CF＋CD＋DE＋DF＝5＋20＋5＝30.

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