資源簡介

與線段有關(guān)的最值問題
類型一　利用兩點之間線段最短求最值
模型一　一動兩定型(一線兩點)
模型解讀
1．直線異側(cè)線段和最小值問題
已知：兩定點A，B位于直線l兩側(cè)，直線l上有一動點P.
計算：PA＋PB的最小值．
作輔助線：連接AB交l于點P.
結(jié)論：最小值為AB的長．
原理：兩點之間線段最短．
2．直線同側(cè)線段和最小值問題
已知：兩定點A，B位于直線l同側(cè)，直線l上有一動點P.
計算：PA＋PB的最小值．
作輔助線：作點B關(guān)于直線l的對稱點B′，連接AB′交l于點P.
結(jié)論：最小值為AB′的長．
原理：對稱點的連線被對稱軸垂直平分．2. 如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，P是BC上一動點，連接AP，DP.
一、求線段和最值
1. 如圖，等邊△ABC的邊長為4，AD是BC邊上的高，E是AB邊上的中點，F(xiàn)是AD邊上的動點．
(1)請畫出使得EF＋CF的值最小時點F的位置；
第1題圖
(2)求線段EF＋CF的最小值．
(1)請畫出使得AP＋DP的值最小時點P的位置；
第2題圖
(2)求AP＋DP的最小值．
二、求線段差最值
模型解讀
1．直線同側(cè)線段差最大值問題
已知：兩定點A，B位于直線l同側(cè)，直線l上有一動點P.
計算：|PA－PB|的最大值．
作輔助線：連接AB并延長與直線l交于點P.
結(jié)論：最大值為AB的長．
原理：兩邊之差小于第三邊．
2．直線異側(cè)線段差最大值問題
已知：兩定點A，B位于直線l兩側(cè)，直線l上有一動點P.
計算：|PA－PB|的最大值．
作輔助線：作點B關(guān)于直線l的對稱點B′，連接AB′并延長，與直線l交于點P.
結(jié)論：最大值為AB′的長．3. 如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，S△ABC＝10，點D，E分別在邊AB，AC上，DE∥BC，M是DE的中點，在BC上有一動點N，
(1)請畫出使得|AN－MN|的值最大時點N的位置；
第3題圖
(2)當(dāng)|AN－MN|有最大值時，求△ANC的面積．
4. 如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，對角線AC，BD交于點O，BD＝4，E為OD的中點，F(xiàn)為AB上一點，且AF＝3BF，P為AC上一動點，連接PE，PF.
(1)請畫出使得|PF－PE|的值最大時點P的位置；
第4題圖
(2)求|PF－PE|的最大值．
模型二　兩動一定型(一點兩線)
模型解讀
已知：點P是∠AOB內(nèi)部的一定點，M為OA上一動點，N為OB上一動點．
計算：△PMN周長的最小值．
作輔助線：分別作點P關(guān)于OA，OB的對稱點P′，P″，連接P′P″交OA，OB于點M，N.
結(jié)論：最小值為P′P″的長．
5. 如圖，在四邊形ABCD中，∠A ＝60°，∠B＝∠D＝ 90°，AB＝AD ＝，M，N分別是AB，AD上的動點．
(1)請畫出使得△CMN周長的值最小時點M，N的位置；
第5題圖
(2)求△CMN周長的最小值．
類型二　利用垂線段最短求最值
模型一　一動一定型
模型解讀
已知：如圖，直線l外一定點A，直線l上有一動點B.
計算：A，B之間距離的最小值．
作輔助線：過點A作AB⊥l于點B.
結(jié)論：此時AB最?。?br/>原理：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短．6. 如圖，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝4，D為線段BC上的一點．
(1)請在圖中畫出當(dāng)線段AD最小時點D的位置；
第6題圖
(2)求AD的最小值．
模型二　兩動一定型
模型解讀
已知：∠AOB內(nèi)部或邊上一定點P，OA上一動點M，OB上一動點N.
計算：PN＋MN的最小值．
作輔助線：作定點P關(guān)于動點N所在直線的對稱點P′，過點P′向動點M所在直線作垂線．
結(jié)論：PN＋MN的最小值為P′M.
注：也可作點P關(guān)于OA的對稱點P″，再過點P″作OB的垂線即可．
原理：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短．
7. 如圖，在菱形ABCD中，AD＝2，∠BCD＝60°，P為對角線AC上一動點，Q為邊BC上一動點．
(1)請在圖中畫出當(dāng)線段BP＋PQ最小時點P，Q的位置；
第7題圖
(2)求BP＋PQ的最小值．
基礎(chǔ)過關(guān)
1. 如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交于點D，點C是半徑OB上一動點，若OA＝1，則陰影部分周長的最小值為(　　)
A. ＋ B. ＋ C. 2＋ D. 2＋
第1題圖
2. 如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，BD是AC邊上的高，點E是BC邊的中點，F(xiàn)是BD上一點，則AF＋EF的最小值為__________．
第2題圖
3. 如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P為邊AB上一動點，過點P作PD⊥BC于點D，PE⊥AC于點E，則DE的最小值為__________．
第3題圖　
4. 如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，M，N分別是邊AB，AD上的動點，連接CM，CN，MN，∠CMN＋∠CNM＝124°，當(dāng)△CMN的周長最小時，則∠BCD的度數(shù)為______________．
第4題圖
5. 如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝3，BC＝5，點P為AB上一點，Q為△ABC內(nèi)部一點，且S△ABQ∶S△QBC＝3∶5，則PQ＋AQ的最小值為__________．
第5題圖　　　　
6. 如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝6，BC＝CD＝8，∠ABC＝∠ADC＝90°，對角線AC與BD交于點E，點F是BC的中點，G是AE上一點，且EG＝，P是BD上的動點，則PF－PG的最大值為__________．
第6題圖
7. 研究立體圖形問題的基本思路是把立體圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題．
(1)閱讀材料
立體圖形中既不相交也不平行的兩條直線所成的角，就是將直線平移使其相交所成的角．
例如，正方體ABCD A′B′C′D′(如圖①)，因為在平面AA′C′C中，CC′∥AA′，AA′與AB相交于點A，所以直線AB與AA′所成的∠BAA′就是既不相交也不平行的兩條直線AB與CC′所成的角．
解決問題
如圖①，已知正方體ABCD A′B′C′D′，求既不相交也不平行的兩直線BA′與AC所成角的大?。?br/>(2)如圖②，M，N是正方體相鄰兩個面上的點．
①下列甲、乙、丙三個圖形中，只有一個圖形可以作為圖②的展開圖，這個圖形是________；
②在所選正確展開圖中，若點M到AB，BC的距離分別是2和5，點N到BD，BC的距離分別是4和3，P是AB上一動點，求PM＋PN的最小值．
圖①
　
圖②
　
甲
　
乙
　
丙
第7題圖
與線段有關(guān)的最值問題
1. 解：(1)如解圖，點F′即為所求；
【作法提示】連接CE交AD于點F′，此時點F′即為EF＋CF的值最小時點F的位置．
　
第1題解圖
(2)如解圖，∵EF＋CF≥CE，
∴當(dāng)點F與點F′重合時，EF＋CF有最小值，最小值為線段CE的長，
∵等邊△ABC的邊長為4，E是AB的中點，
∴CE⊥AB，AB＝AC＝4，
∴AE＝AB＝2，
∴CE＝＝＝2，
即EF＋CF的最小值為2.
2. 解：(1)如解圖，點P′即為所求；
【作法提示】作點A關(guān)于BC的對稱點A′，連接A′D交BC于點P′，此時點P′即為AP＋DP的值最小時點P的位置．
第2題解圖
(2)如解圖，連接AP′，當(dāng)點P與點P′重合時，AP＋DP有最小值，最小值為A′D的長，
由對稱的性質(zhì)，得AA′＝2AB＝8，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A′AD＝90°，AD＝BC＝6，
∴在Rt△AA′D中，A′D＝＝＝10，
即AP＋DP的最小值為10.
3. 解：(1)如解圖，點N′即為所求；
【作法提示】連接AM并延長交BC于點N′，此時點N′即為|AN－MN|的值最大時點N的位置．
第3題解圖
(2)如解圖，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∵M(jìn)是DE的中點，
∴AM⊥DE，
∴AM垂直平分線段BC，
∵|AN－MN|≤AM，
∴當(dāng)A，M，N三點共線，即N與N′重合時，|AN－MN|的值最大，此時S△ANC＝S△ABC＝×10＝5.
4. 解：(1)如解圖，點P′即為所求；
【作法提示】取OB中點E′，作射線FE′ 交AC于點P′，此時點P′即為|PF－PE|的值最大時點P的位置．
第4題解圖
(2)如解圖，連接PE′，易得PE＝PE′，
∴|PF－PE|＝|PF－PE′|≤FE′，
當(dāng)P與P′重合，即P，E′，F(xiàn)三點共線上時，|PF－PE′|有最大值，即為FE′的長，
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴∠ABD＝60°，∠DAB＝60°，
∴△ABD為等邊三角形，
∴AB＝BD＝AD＝4，
∴OD＝OB＝2，
∵點E′為OB的中點，
∴E′B＝1，
又∵AF＝3BF，
∴BF＝AB＝1，
∴BF＝E′B，
∵∠ABD＝60°，
∴△BE′F為等邊三角形，
∴E′F＝FB＝1，
∴|PF－PE|的最大值為1.
5. 解：(1)如解圖，點M，N即為所求；
【作法提示】分別作點C關(guān)于AB，AD的對稱點E，F(xiàn)，連接EF交AB，AD于點M，N.
第5題解圖
(2)如解圖，連接BD，由作圖可知，CM＝EM，CN＝FN，
∴CM＋MN＋CN＝EM＋MN＋FN≥EF，
∴當(dāng)點E，M，N，F(xiàn)在同一條直線上時，EM＋MN＋FN的值最小，最小值為線段EF的長，
∵B，D分別是CE，CF的中點，
∴此時BD是△CEF的中位線，
∴EF＝2BD，
∵∠A＝60°，AB＝AD＝，
∴△ABD是等邊三角形，
∴BD＝，
∴EF＝2，
∴CM＋MN＋CN的最小值為2，
∴△CMN周長的最小值為2.
6. 解：(1)如解圖，點D′即為所求；
　第6題解圖
(2)如解圖，當(dāng)AD⊥BC，即點D與點D′重合時，AD的值最小，
∵∠ABC＝45°，∠AD′B＝90°，AB＝4，
∴AD′＝AB·sin 45°＝2，
∴AD的最小值為2.
7. 解：(1)如解圖，點P′，Q′即為所求；
【作法提示】由菱形的對稱性可知，點B關(guān)于直線AC的對稱點為點D.如解圖，過點D作DQ′⊥BC于點Q′，交AC于點P′，∵點B，D關(guān)于直線AC對稱，連接DP，∴BP＝DP，∴BP＋PQ＝DP＋PQ≥DQ′，∴當(dāng)點P，Q分別與點P′，Q′重合時，BP＋PQ值最小．
第7題解圖
(2)由作圖可知BP＋PQ＝DP＋PQ≥DQ′，
∴BP＋PQ值最小在點Q與Q′重合時取，
∵AD＝CD＝2，∠BCD＝60°，
∴DQ′＝CD sin 60°＝2sin 60°＝2×＝，
∴BP＋PQ的最小值為.
基礎(chǔ)過關(guān)
1. A　【解析】 如解圖，作點D關(guān)于OB的對稱點D′，連接AD′，CD′，OD′，DD′，則CD＝CD′，OD＝OD′，∠DOB＝∠BOD′，∴AC＋CD＝AC＋CD′≥AD′，∴當(dāng)A，C，D′三點共線時，AC＋CD取得最小值，即陰影部分的周長最小，最小值為AD′的長與長的和．∵OD平分∠AOB，∠AOB＝60°，∴∠AOD＝∠DOB＝∠AOB＝30°，∴∠BOD′＝30°，∴∠AOD′＝90°.∵OA＝1，∴在Rt△OAD′中，OA＝OD′＝1，∴AD′＝＝，的長為＝，∴陰影部分周長的最小值為＋.
第1題解圖
2. 　【解析】 如解圖，當(dāng)點F是AE與BD的交點時，AF＋EF取得最小值．∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，∴BC＝AB·tan 60°＝2.∵點E是BC邊的中點，∴BE＝CE＝，∴AE＝＝＝，即AF＋EF的最小值為.
第2題解圖
3. 3　【解析】 如解圖，連接CP.∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，∴AB＝＝＝6.∵PD⊥BC，PE⊥AC，∴∠PDC＝∠PEC＝90°，∴四邊形CDPE是矩形，∴DE＝CP.由垂線段最短可得，當(dāng)CP⊥AB時，線段DE的值最小，此時AP＝BP，∴CP＝AB＝3，∴DE的最小值為3.
第3題解圖
4. 118°　【解析】 如解圖，作點C分別關(guān)于AB，AD的對稱點E，F(xiàn)，連接EF.∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴CM＝EM，CN＝FN，∴∠E＝∠MCB，∠F＝∠NCF，∴△CMN周長＝CM＋MN＋CN＝EM＋MN＋FN＝EF，當(dāng)點E，M，N，F(xiàn)共線時，此時△CMN周長有最小值．∵∠CMN＝∠E＋∠MCB＝2∠E，∠CNM＝∠F＋∠NCF＝2∠F，∴∠CMN＋∠CNM＝2(∠E＋∠F).∵∠CMN＋∠CNM＝124°，∴∠E＋∠F＝62°，∴∠BCD＝180°－62°＝118°.
第4題解圖
5. 　【解析】 如解圖，過點A作AD⊥BC于點D.∵AB＝3，BC＝5，∴AB∶BC＝3∶5，∵S△ABQ∶S△QBC＝3∶5，∴S△ABQ∶S△QBC＝AB∶BC，∴點Q在∠ABC的平分線上．在BC上截取BP′＝BP，連接AP′，P′Q，∴△QPB≌△QP′B(SAS)，∴QP＝QP′，∴QA＋QP′≥AP′≥AD，∴當(dāng)點P′與點D重合，A，Q，D三點共線時，PQ＋AQ取得最小值，最小值為AD的長．∵∠ABC＝45°，AB＝3，∴AD＝，∴PQ＋AQ的最小值為.
第5題解圖
6. 3　【解析】 如解圖，作點G關(guān)于BD的對稱點G′，連接PG′，則PG＝PG′，∴PF－PG＝PF－PG′，∴當(dāng)點P，F(xiàn)，G′三點共線，即點P位于FG′的延長線與BD的交點P′處時，PF－PG有最大值，最大值為FG′的長．∵AB＝AD＝6，BC＝CD＝8，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴AC＝＝10，∴BE＝＝，∴AE＝＝.∵EG′＝EG＝，∴AG′＝AE＋EG′＝5，∴點G′是AC的中點．∵點F是BC的中點，∴FG′＝AB＝3，∴PF－PG的最大值為3.
第6題解圖
7. 解：(1)如解圖①，連接BC′.
由題意易知，A′B＝BC′＝A′C′，
∴△A′BC′是等邊三角形，
∴∠BA′C′＝60°.
∵AC∥A′C′，
∴∠BA′C′是兩條直線AC與BA′所成的角，
∴兩直線BA′與AC所成角的大小為60°；
(2)①丙；
②如解圖②，作點N關(guān)于AD的對稱點K，連接MK交AD于點P，連接PN，此時PM＋PN的值最小，最小值為線段MK的長，過點M作MJ⊥NK于點J.
由題意知，在Rt△MKJ中，∠MJK＝90°，MJ＝5＋3＝8，JK＝8－(4－2)＝6，
∴MK＝＝＝10，
∴PM＋PN的最小值為10.
圖①
　
圖②
第7題解圖

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