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第六章 計數原理
分類加法計數原理與分步乘法計數原理
1．理解分類加法計數原理與分步乘法計數原理．重點培養數學抽象核心素養．
2．能根據具體問題的特征，選擇“分類”或“分步”解決一些簡單的實際問題，重點提升數學運算、邏輯推理核心素養．
1、分類加法計數原理的應用
2、分步乘法計數原理的應用
3、兩個計數原理的綜合應用
　分類加法計數原理
分類加法計數原理
完成一件事，如果有n類辦法，且：第一類辦法中有m1種不同的方法，第二類辦法中有m2種不同的方法……第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．
[點睛]
“完成一件事有n類方法”是指完成這件事的所有方法可分為n類，即用任何一類中的任何一種方法都可以做完這件事，而不需要再用其他方法；每一類沒有相同的方法，且完成這件事的任何一種方法都在某一類中．
　分步乘法計數原理
分步乘法計數原理
完成一件事，如果需要分成n個步驟，且：做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．
[點睛]
1．分步乘法計數原理中“完成一件事需要n個步驟”是指完成這件事的任何一種方法都要分成n個步驟，在每一個步驟中任取一種方法，然后相繼完成所有這些步驟才能完成這件事，即步與步之間是連續的、缺一不可的，且不能重復、交叉．簡單地說，就是應用分步乘法計數原理時要做到“步驟完整”．
2．兩個計數原理的區別
　原理 區別　 分類加法計數原理 分步乘法計數原理
區別一 針對的是“分類”問題 針對的是“分步”問題
區別二 各種方法相互獨立 各個步驟中的方法互相依存
區別三 用其中任何一種方法都可以做完這件事 只有各個步驟都完成才算做完這件事
題型1、分類加法計數原理的應用
1．有7種不同的顏色給下圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，且相鄰的兩個格子顏色不能相同，若最多使用3種顏色，則不同的涂色方法種數為（ ）
A．462 B．630 C．672 D．882
【答案】C
【分析】根據題意，按使用顏色的數目分兩種情況討論，由加法原理計算可得答案.
【詳解】根據題意，分兩種情況討論：
若用兩種顏色涂色，有種涂色方法；
若用三種顏色涂色，有種涂色方法；
所以有種不同的涂色方法.
故選：C.
2．一個科技小組中有4名女同學、5名男同學，現從中任選1名同學參加學科競賽，則不同的選派方法數為.（ ）
A．4 B．5 C．9 D．20
【答案】C
【分析】根據分類加法計數原理求解.
【詳解】第一類從女同學中選1名，有4種不同的選法；
第二類從男同學中選1名，有5種不同的選法，
根據分類加法計數原理，共有種不同的選法.
故選：C
3．某企業面試環節準備編號為的四道試題，編號為的四名面試者分別回答其中的一道試題（每名面試者回答的試題互不相同），則每名面試者回答的試題的編號和自己的編號都不同的情況共有（ ）
A．9種 B．10種 C．11種 D．12種
【答案】A
【分析】由列舉法，結合分類計數原理即可求解.
【詳解】用表示編號的面試者回答的試題為，其中，
所以的全部可能情況有：，
所以共有9種，
故選：A
4．集合，，，，5，6，，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標，則這樣的坐標在平面直角坐標系中表示第二象限內不同的點的個數是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】分為集合提供橫坐標，集合提供縱坐標和集合提供縱坐標，集合提供橫坐標兩種情形討論即可.
【詳解】第二象限的橫坐標是負數，縱坐標是正數．
若集合提供橫坐標，集合提供縱坐標，則有，
若集合提供縱坐標，集合提供橫坐標，則有，合計，
即這樣的坐標在平面直角坐標系中表示第二象限內不同的點的個數是6個，
故選：D.
5．從1至7這7個整數中隨機取出3個不同的數，則它們的積與和都是3的倍數的不同取法有（ ）
A．9種 B．12種 C．20種 D．30種
【答案】B
【分析】根據題意分3個不同的數中不含3和6，取出的3個不同的數中含有3不含有6，取出的3個不同的數中含有6不含有3，取出的3個不同的數中含有3和6時四種情況研究即可.
【詳解】①當取出的3個不同的數中不含3和6時，顯然它們的積不可能是3的倍數，不符合題意；
②當取出的3個不同的數中含有3不含有6時，它們的積一定是3的倍數，
但只有當另外2個數是，，，，，時，
它們的和才是3的倍數，共有6種取法；、
③當取出的3個不同的數中含有6不含有3時，它們的積一定是3的倍數，
但只有當另外2個數是，，，，，時，
它們的和才是3的倍數，也有6種取法；
④當取出的3個不同的數中含有3和6時，它們的積一定是3的倍數，
但它們的和一定不是3的倍數，不符合題意．
綜上，它們的積與和都是3的倍數的不同取法有（種），
故選：B．
題型2、分步乘法計數原理的應用
6．學校組織研學活動，現有壽寧下黨鄉、福安柏柱洋、屏南潦頭村、福鼎赤溪村4條路線供3個年級段選擇，每個年段必項且只能選擇一條路線，則不同的選擇方法有（ ）
A．4種 B．24種 C．64種 D．81種
【答案】C
【分析】利用分步乘法計數原理進行求解.
【詳解】3個年級段均有4種選擇，故不同的選擇方法有種.
故選：C
7．已知集合，從集合M中選一個元素作為點的橫坐標，從集合N中選一個元素作為點的縱坐標，則落在第三、第四象限內點的個數是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【分析】依題意，找到點的坐標即可解決.
【詳解】依題意，可得點的坐標有：
其中落在第三、第四象限內點有
共6個.
故選：A
8．某班4個同學分別從3處風景點中選擇一處進行旅游觀光，則不同的選擇方案是（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】D
【分析】利用分步計數乘法原理即可求解.
【詳解】由題意知每位同學都有3種選擇，可分4步完成，每步由一位同學選擇，
故共有種選擇方法.
故選：D.
9．已知任何大于1的整數總可以分解成素因數乘積的形式，且如果不計分解式中素因數的次序，這種分解式是唯一的.如，則2000的不同正因數個數為（ ）
A．25 B．20 C．15 D．12
【答案】B
【分析】根據分步乘法計數原理即可計算.
【詳解】因為，
所以2000的不同正因數個數為.
故選：B
10．某游泳錦標賽上有四名運動員甲、乙、丙、丁，他們每人參加項目且每人只能參加一個項目，有三個游泳項目供選擇，這四人參賽方案的種類共有（ ）
A． B． C．12 D．9
【答案】A
【分析】由分步乘法計數原理即可得到結果.
【詳解】甲、乙、丙、丁每人均有3種選擇，可以采用分步計數原理，得四人參賽方案的種類為．
故選：A.
題型3、兩個計數原理的綜合應用
11．甲、乙、丙三個同學報名參加學校運動會中設立的跳高、鉛球、跳遠、100米比賽，每人限報一項，共有多少種不同的報名方法（ ）
A．12 B．24 C．64 D．81
【答案】C
【分析】根據題意，可知三個同學中每人有4種報名方法，由分步計數原理即可得到.
【詳解】甲、乙、丙三個同學報名參加學校運動會中設立的跳高、鉛球、跳遠、100米比賽，每人限報一項, 每人有4種報名方法，
根據分步計數原理，可知共有種不同的報名方法.
故選：C
12．從這個數字中選個數字組成沒有重復數字的三位數，則該三位數能被整除的概率為
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】從這個數字中選個數字組成沒有重復數字的三位數：（個），三位數是的倍數，需要滿足各個數位上的數之和是的倍數，有兩種情況和；由 組成沒有重復數字的三位數共有個，由組成沒有重復數字的三位數共有 個，所以一共有：個，這個三位數被整除的概率是，故選D.
13．現有5名同學去聽同時進行的4個課外知識講座，每名同學可自由選擇其中的一個講座，不同選法的種數是（ ）
A． B． C．20 D．9
【答案】A
【分析】將此事分為5步，每一步均為1名同學選擇講座，后由分步計數原理可得答案.
【詳解】將完成此事分為5步.第1步為第一名同學完成選擇，有4種方法；第2步為第二名同學完成選擇，有4種方法；；第5步為第五名同學完成選擇，有4種方法.
則由分步計數原理可知，不同選法的種數位為：.
故選：A
14．某次乒乓球團體賽為五場三勝制，第一、二、四、五場為單打，第三場為雙打，每支隊伍有3名隊員，每名隊員出場2次，則每支隊伍不同的出場安排種數為（ ）
A．18 B．27 C．36 D．45
【答案】C
【分析】先從3人中選出2人參加第三場雙打；這2人參與除雙打外的另外四場中各選一場單打，剩余一人參加剩余的兩場單打即可求解．
【詳解】先從3人中選出2人參加第三場雙打，有種選法；
這2人參與除雙打外的另外四場中各選一場單打，剩余一人參加剩余的兩場單打，有種出場安排方法，
所以由分步計數原理知：共有種不同的出場安排．
故選：B.
15．如圖，小明從街道的處出發，到處的老年公寓參加志愿者活動，若中途共轉向3次，則小明到老年公寓可以選擇的不同的最短路徑的條數是（ ）

A．8 B．12 C．16 D．24
【答案】D
【分析】根據分步分類計數原理即可求解.
【詳解】中途共三次轉向可以分為兩類:
第一類，第一次向右轉，第二次向上轉，第三次向右轉，此時有種方法，
第二類，第一次向上轉，第二次右轉，最后向上轉，此時共有種方法.
故總的方法有24種，
故選：D.
一、單選題
1．音樂播放器里有15首中文歌曲和5首英文歌曲，任選1首歌曲進行播放，則不同的選法共有（ ）
A．30種 B．75種 C．10種 D．20種
【答案】D
【分析】由簡單計數原理求不同選法數.
【詳解】在15首中文歌曲和5首英文歌曲，共20首歌中任選一首播放，不同的選法共有種.
故選：D
2．甲 乙兩人從3門課程中各選修1門，則甲 乙所選的課程不相同的選法共有（ ）
A．6種 B．12種 C．3種 D．9種
【答案】A
【分析】根據分步乘法計數原理求得正確答案.
【詳解】甲 乙兩人從3門課程中各選修1門，
由乘法原理可得甲 乙所選的課程不相同的選法有（種）.
故選：A
3．某人欲從A地途經B地到C地，已知從A地到B地有10種合適的路線（包括飛機、火車、汽車等），從B地到C地有12種合適的路線，則此人從A地到C地可選擇的不同的路線有（ ）
A．22種 B．60種 C．96種 D．120種
【答案】D
【分析】根據題意，利用分步計數原理，即可求解.
【詳解】根據分步乘法計數原理，可選擇的不同的交通路線有種．
故選：D.
4．核糖核酸（縮寫為RNA），存在于生物細胞以及部分病毒、類病毒中的遺傳信息載體，RNA由核糖核苷酸經磷酸二酯鍵縮合而成長鏈狀分子，長鏈中每一個位置上都被一種稱為堿基的化學成分所占據，RNA的堿基主要有4種，分別用A，C，G，U表示．在一個RNA分子中，各種堿基能夠以任意次序出現，假設某一RNA分子由100個堿基組成，則不同的RNA分子的種數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用分步乘法計數原理即可求解.
【詳解】由100個堿基組成的長鏈共有100個位置，從A，C，G，U中任選1個依次填入這100個位置中，每個位置都有4種填充方法，
根據分步乘法計數原理，可得不同的RNA分子的種數為．
故選：B
5．已知集合，且，用組成一個三位數，這個三位數滿足“十位上的數字比其它兩個數位上的數字都大”，則這樣的三位數的個數為（ ）
A．14 B．17 C．20 D．23
【答案】C
【分析】分類求解符合條件的三位數的個數即可.
【詳解】集合，且，
則這個三位數滿足“十位上的數字比其它兩個數位上的數字都大”包含以下三種情況：
①十位數是，則百位數可以是中的一個數，個位數可以是中的一個數，即個；
②十位數是，則百位數可以是中的一個數，個位數可以是中的一個數，即個；
③十位數是，則百位數只能是，個位數可以是中的一個數，即個；
綜上，符合條件的共有個.
故選：C.
6．如圖，用4種不同的顏色給矩形，，，涂色，要求相鄰的矩形涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有（ ）
A．12種 B．24種 C．48種 D．72種
【答案】D
【分析】先涂C區域，再涂D，涂A，涂B，根據分步乘法計數原理可得解.
【詳解】先涂C區域有4種涂法，再涂D區域3種涂法，涂A區域3種涂法，涂B區域2種涂法，由分步乘法計數原理，共有種涂法.
故選：D.
7．將編號為1、2、3、4、5、6的小球放入編號為1、2、3、4、5、6的六個盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個盒子的編號與放入的小球的編號相同，則不同的放法種數為（ ）
A．90 B．135 C．270 D．360
【答案】B
【分析】根據題意和簡單計數問題，結合分步乘法計數原理即可求解.
【詳解】在6個盒子中任選2個，放入與其編號相同的小球，有種，
剩下的4個盒子的編號與放入的小球編號不同，
假設這4個盒子的編號為3,4,5,6，
則3號小球可以放進4,5,6號盒子，有3種選法，
剩下的3個小球放進剩下的3個盒子，有3種選法，
所以不同的放法種數為種選法.
故選：B.
8．一間學生宿舍的6名同學被邀請去參加一個晚會，至少有一個人去參會，若每個同學參會的可能性相同，則甲同學去參加晚會的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將甲同學去參加晚會的所有可能情況數以及這六個人去參加晚會的所有可能情況數分別算出來，結合古典概型概率計算公式計算即可得解.
【詳解】這六個人去參加晚會的所有可能情況數為，
而“甲”去參加晚會了，則其他人都可以選擇去或不去，
這也就意味著甲同學去參加晚會的所有可能情況數為，
所以甲同學去參加晚會的概率等于.
故選：B.
二、多選題
9．下列結論正確的是（　?。?br/>A．在分類加法計數原理中，兩類不同方案中的方法可以相同
B．在分類加法計數原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事
C．在分步乘法計數原理中，事情是分步完成的，其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事，只有每個步驟都完成后，這件事情才算完成
D．在分步乘法計數原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法可以相同
【答案】BC
【分析】根據分類加法和分步乘法計數原理的性質即可結合選項逐一求解.
【詳解】對于A，在分類加法計數原理中，兩類不同方案中的方法互不相同，故A錯誤；
對于B，在分類加法計數原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事，故B正確；
對于C，在分步乘法計數原理中，事情是分步完成的，其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事，只有每個步驟都完成后，這件事情才算完成，故C正確；
對于D，在分步乘法計數原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的，故D錯誤．
故選：BC．
10．高二年級安排甲、乙、丙三位同學到A，B，C，D，E五個社區進行暑期社會實踐活動，每位同學只能選擇一個社區進行活動，且多個同學可以選擇同一個社區進行活動，下列說法正確的有（ ）
A．所有可能的方法有種
B．如果社區A必須有同學選擇，則不同的安排方法有61種
C．如果同學甲必須選擇社區A，則不同的安排方法有25種
D．如果甲、乙兩名同學必須在同一個社區，則不同的安排方法共有20種
【答案】BC
【分析】根據分步乘法原理判斷A、C，根據間接法判斷B，根據分類加法原理和乘法原理判斷D.
【詳解】對于選項A，安排甲、乙、丙三位同學到A，B，C，D，E五個社區進行暑期社會實踐活動，
每位同學只能選擇一個社區進行活動，且多個同學可以選擇同一個社區進行活動，
故有種選擇方案，錯誤；
對于選項B，如果社區A必須有同學選擇，則不同的安排方法有（種），正確；
對于選項C：如果同學甲必須選擇社區A，則不同的安排方法有（種），正確；
對于選項D：如果甲、乙兩名同學必須在同一個社區，
再分為丙與甲、乙兩名同學在一起和不在一起兩種情況，則不同的安排方法共有（種），
錯誤.
故選：BC
三、填空題
11．用黑白兩種顏色（都要使用）給正方體的6個面涂色，每個面只涂一種顏色。如果 一種涂色方案可以通過重新擺放正方體，變為另一種涂色方案，則這兩種方案認為是相同的。（例如：a.前面涂黑色，另外五個面涂白色; b.上面涂黑色，另外五個面涂白色是同一種方案）則涂色方案一共有 種。
【答案】8
【分析】根據題意，采用分步加法計數原理求出符合條件的即可.
【詳解】兩種顏色類型的，有種；
類型的，有種（兩個面相鄰、相對）
類型的，有2種（三個面有公共頂點或者沒有公共頂點）
因此共有8種.
故答案為：8.
12．“鶯啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼鶯.”這是清代女詩人吳絳雪的一首回文詩，“回文”是漢語特有的一種使用語序回環往復的修辭手法，而數學上也有類似這樣特征的一類“回文數”，如232，251152等，那么在所有五位正整數中，有且僅有兩位數字是偶數的“回文數”共有 個.
【答案】225
【分析】根據給定的信息，確定五位正整數中的“回文數”特征，再分別求出各位上的種數，先用乘法原理求出各類種數，再由加法原理即得.
【詳解】依題意，五位正整數中 “回文數”具有：
萬位與個位數字相同，且不為0，千位與十位數字相同，
求有且僅有兩位數字是偶數的“回文數”的個數有兩類辦法：
第一類：萬位數字為偶數且不為0有4種，千位選一個奇數有5種，
百位選一個奇數有5種，
不同 “回文數”的個數為個，
第二類：萬位數字為奇數有5種，千位選一個偶數有5種，百位選一個奇數有5種，
不同 “回文數”的個數為，
由分類加法原理得，
在所有五位正整數中，有且僅有兩位數字是偶數的“回文數”共有：個.
故答案為：225
四、解答題
13．口袋中裝有8個白球和10個紅球每個球有不同編號，現從中取出2個球．
(1)至少有一個白球的取法有多少種？
(2)兩球的顏色相同的取法有多少種？
【詳解】（1）根據題意分2類完成任務：
第一類：白球紅球各一個有種，第二類：均為白球，種，
所以共有種；
（2）根據題意分2類完成任務：
第一類：均為白球，種，第二類：均為紅球，種，
所以共有種．
14．一個三層的書架上共放有9本書，其中第一層放有4本不同的語文書，第二層放有3本不同的數學書，第三層放有2本不同的外語書．若從書架的第一、二、三層各取1本書，共有多少種不同的取法？
【答案】24種
【分析】根據相互獨立事件概率的乘法法則運算即可；
【詳解】從書架的第一、二、三層各取1本書，可以分三個步驟完成：
第一步：從第一層取1本語文書，有4種取法；
第二步：從第二層取1本數學書，有3種取法；
第三步：從第三層取1本外語書，有2種取法．
根據乘法原理，不同取法的種數為．
即從書架的第一、二、三層各取1本書，有24種不同的取法．
15．某單位職工義務獻血，在身體檢查合格的人中，是O型血的共有28人，是A型血的共有7人，是B型血的共有9人，是AB型血的共有3人．
(1)從中任選1人去獻血，有多少種不同的選法？
(2)從4種血型的人中各選1人去獻血，有多少種不同的選法？
(3)這些人中有2人去獻血，他們的血型不同的概率是多少？
【詳解】（1）從O型血的人中選1人有28種不同的選法，從A型血中選1人有7種不同的選法，
從B型血的人中選1人有9種不同的選法，從AB型血的人中選1人有3種不同的選法．
任選1人去獻血，即無論選哪種血型的哪一個人，
這件“任選1人去獻血”的事情都可以完成，
所以用分類計數原理．有28+7+9+3＝47種不同選法．
（2）要從四種血型的人中各選1人，即要在每種血型的人中依次選出1人后，
這種“各選1人去獻血”的事情才完成，
所以用分步計數原理．有28×7×9×3＝5292種不同選法．
（3）這些人中有2人去獻血，他們的血型不同的概率是：．第六章 計數原理
分類加法計數原理與分步乘法計數原理
1．理解分類加法計數原理與分步乘法計數原理．重點培養數學抽象核心素養．
2．能根據具體問題的特征，選擇“分類”或“分步”解決一些簡單的實際問題，重點提升數學運算、邏輯推理核心素養．
1、分類加法計數原理的應用
2、分步乘法計數原理的應用
3、兩個計數原理的綜合應用
　分類加法計數原理
分類加法計數原理
完成一件事，如果有n類辦法，且：第一類辦法中有m1種不同的方法，第二類辦法中有m2種不同的方法……第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．
[點睛]
“完成一件事有n類方法”是指完成這件事的所有方法可分為n類，即用任何一類中的任何一種方法都可以做完這件事，而不需要再用其他方法；每一類沒有相同的方法，且完成這件事的任何一種方法都在某一類中．
　分步乘法計數原理
分步乘法計數原理
完成一件事，如果需要分成n個步驟，且：做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．
[點睛]
1．分步乘法計數原理中“完成一件事需要n個步驟”是指完成這件事的任何一種方法都要分成n個步驟，在每一個步驟中任取一種方法，然后相繼完成所有這些步驟才能完成這件事，即步與步之間是連續的、缺一不可的，且不能重復、交叉．簡單地說，就是應用分步乘法計數原理時要做到“步驟完整”．
2．兩個計數原理的區別
　原理 區別　 分類加法計數原理 分步乘法計數原理
區別一 針對的是“分類”問題 針對的是“分步”問題
區別二 各種方法相互獨立 各個步驟中的方法互相依存
區別三 用其中任何一種方法都可以做完這件事 只有各個步驟都完成才算做完這件事
題型1、分類加法計數原理的應用
1．有7種不同的顏色給下圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，且相鄰的兩個格子顏色不能相同，若最多使用3種顏色，則不同的涂色方法種數為（ ）
A．462 B．630 C．672 D．882
2．一個科技小組中有4名女同學、5名男同學，現從中任選1名同學參加學科競賽，則不同的選派方法數為.（ ）
A．4 B．5 C．9 D．20
3．某企業面試環節準備編號為的四道試題，編號為的四名面試者分別回答其中的一道試題（每名面試者回答的試題互不相同），則每名面試者回答的試題的編號和自己的編號都不同的情況共有（ ）
A．9種 B．10種 C．11種 D．12種
4．集合，，，，5，6，，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標，則這樣的坐標在平面直角坐標系中表示第二象限內不同的點的個數是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
5．從1至7這7個整數中隨機取出3個不同的數，則它們的積與和都是3的倍數的不同取法有（ ）
A．9種 B．12種 C．20種 D．30種
題型2、分步乘法計數原理的應用
6．學校組織研學活動，現有壽寧下黨鄉、福安柏柱洋、屏南潦頭村、福鼎赤溪村4條路線供3個年級段選擇，每個年段必項且只能選擇一條路線，則不同的選擇方法有（ ）
A．4種 B．24種 C．64種 D．81種
7．已知集合，從集合M中選一個元素作為點的橫坐標，從集合N中選一個元素作為點的縱坐標，則落在第三、第四象限內點的個數是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．某班4個同學分別從3處風景點中選擇一處進行旅游觀光，則不同的選擇方案是（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
9．已知任何大于1的整數總可以分解成素因數乘積的形式，且如果不計分解式中素因數的次序，這種分解式是唯一的.如，則2000的不同正因數個數為（ ）
A．25 B．20 C．15 D．12
10．某游泳錦標賽上有四名運動員甲、乙、丙、丁，他們每人參加項目且每人只能參加一個項目，有三個游泳項目供選擇，這四人參賽方案的種類共有（ ）
A． B． C．12 D．9
題型3、兩個計數原理的綜合應用
11．甲、乙、丙三個同學報名參加學校運動會中設立的跳高、鉛球、跳遠、100米比賽，每人限報一項，共有多少種不同的報名方法（ ）
A．12 B．24 C．64 D．81
12．從這個數字中選個數字組成沒有重復數字的三位數，則該三位數能被整除的概率為
A． B． C． D．
13．現有5名同學去聽同時進行的4個課外知識講座，每名同學可自由選擇其中的一個講座，不同選法的種數是（ ）
A． B． C．20 D．9
14．某次乒乓球團體賽為五場三勝制，第一、二、四、五場為單打，第三場為雙打，每支隊伍有3名隊員，每名隊員出場2次，則每支隊伍不同的出場安排種數為（ ）
A．18 B．27 C．36 D．45
15．如圖，小明從街道的處出發，到處的老年公寓參加志愿者活動，若中途共轉向3次，則小明到老年公寓可以選擇的不同的最短路徑的條數是（ ）

A．8 B．12 C．16 D．24
一、單選題
1．音樂播放器里有15首中文歌曲和5首英文歌曲，任選1首歌曲進行播放，則不同的選法共有（ ）
A．30種 B．75種 C．10種 D．20種
2．甲 乙兩人從3門課程中各選修1門，則甲 乙所選的課程不相同的選法共有（ ）
A．6種 B．12種 C．3種 D．9種
3．某人欲從A地途經B地到C地，已知從A地到B地有10種合適的路線（包括飛機、火車、汽車等），從B地到C地有12種合適的路線，則此人從A地到C地可選擇的不同的路線有（ ）
A．22種 B．60種 C．96種 D．120種
4．核糖核酸（縮寫為RNA），存在于生物細胞以及部分病毒、類病毒中的遺傳信息載體，RNA由核糖核苷酸經磷酸二酯鍵縮合而成長鏈狀分子，長鏈中每一個位置上都被一種稱為堿基的化學成分所占據，RNA的堿基主要有4種，分別用A，C，G，U表示．在一個RNA分子中，各種堿基能夠以任意次序出現，假設某一RNA分子由100個堿基組成，則不同的RNA分子的種數為（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合，且，用組成一個三位數，這個三位數滿足“十位上的數字比其它兩個數位上的數字都大”，則這樣的三位數的個數為（ ）
A．14 B．17 C．20 D．23
6．如圖，用4種不同的顏色給矩形，，，涂色，要求相鄰的矩形涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有（ ）
A．12種 B．24種 C．48種 D．72種
7．將編號為1、2、3、4、5、6的小球放入編號為1、2、3、4、5、6的六個盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個盒子的編號與放入的小球的編號相同，則不同的放法種數為（ ）
A．90 B．135 C．270 D．360
8．一間學生宿舍的6名同學被邀請去參加一個晚會，至少有一個人去參會，若每個同學參會的可能性相同，則甲同學去參加晚會的概率等于（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．下列結論正確的是（　　）
A．在分類加法計數原理中，兩類不同方案中的方法可以相同
B．在分類加法計數原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事
C．在分步乘法計數原理中，事情是分步完成的，其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事，只有每個步驟都完成后，這件事情才算完成
D．在分步乘法計數原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法可以相同
10．高二年級安排甲、乙、丙三位同學到A，B，C，D，E五個社區進行暑期社會實踐活動，每位同學只能選擇一個社區進行活動，且多個同學可以選擇同一個社區進行活動，下列說法正確的有（ ）
A．所有可能的方法有種
B．如果社區A必須有同學選擇，則不同的安排方法有61種
C．如果同學甲必須選擇社區A，則不同的安排方法有25種
D．如果甲、乙兩名同學必須在同一個社區，則不同的安排方法共有20種
三、填空題
11．用黑白兩種顏色（都要使用）給正方體的6個面涂色，每個面只涂一種顏色。如果 一種涂色方案可以通過重新擺放正方體，變為另一種涂色方案，則這兩種方案認為是相同的。（例如：a.前面涂黑色，另外五個面涂白色; b.上面涂黑色，另外五個面涂白色是同一種方案）則涂色方案一共有 種。
12．“鶯啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼鶯.”這是清代女詩人吳絳雪的一首回文詩，“回文”是漢語特有的一種使用語序回環往復的修辭手法，而數學上也有類似這樣特征的一類“回文數”，如232，251152等，那么在所有五位正整數中，有且僅有兩位數字是偶數的“回文數”共有 個.
四、解答題
13．口袋中裝有8個白球和10個紅球每個球有不同編號，現從中取出2個球．
(1)至少有一個白球的取法有多少種？
(2)兩球的顏色相同的取法有多少種？
14．一個三層的書架上共放有9本書，其中第一層放有4本不同的語文書，第二層放有3本不同的數學書，第三層放有2本不同的外語書．若從書架的第一、二、三層各取1本書，共有多少種不同的取法？
15．某單位職工義務獻血，在身體檢查合格的人中，是O型血的共有28人，是A型血的共有7人，是B型血的共有9人，是AB型血的共有3人．
(1)從中任選1人去獻血，有多少種不同的選法？
(2)從4種血型的人中各選1人去獻血，有多少種不同的選法？
(3)這些人中有2人去獻血，他們的血型不同的概率是多少？

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