資源簡介

第六章 平面向量
6.2.3 向量的數乘運算
導學案
【學習目標】
1.理解向量數乘的定義及幾何意義，掌握向量數乘的運算律，培養學生的數學抽象、直觀想象的核心素養。
2.掌握向量共線定理，會判斷或證明兩個向量共線，培養學生的邏輯推理的核心素養。
【學習重點】
理解并掌握兩向量共線的性質和判斷方法
【學習難點】
能熟練地運用向量共線的性質和判斷方法處理有關向量共線問題
【課前回顧】
一、向量的加法運算
向量運算 定義 法則(或幾何意義)
加法 求兩個向量和的運算 向量加法的三角形法則： 如圖所示，已知非零向量a，b，在平面內任取一點A，作＝a，＝b，則向量叫做a與b的和(或和向量)，記作a＋b，即a＋b＝＋＝.上述求兩個向量和的作圖法則，叫做向量加法的三角形法則． 對于零向量與任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a.
向量加法的平行四邊形法則： 如圖所示，已知兩個不共線向量a，b，作＝a，＝b，則O、A、B三點不共線，以OA，OB為鄰邊作平行四邊形，則以O為起點的對角線上的向量＝a＋b，這個法則叫做兩個向量加法的平行四邊形法則． www -2-
向量加法的三角形法則：（類比位移） 記憶口訣：首尾相接首尾連 平行四邊形法則：（類比力的合成） 記憶口訣：共起點，連對角 向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區別和聯系． 區別：(1)三角形法則中強調“首尾相接”，平行四邊形法則中強調的是“共起點”；(2)三角形法則適用于任意兩個非零向量求和（當兩個向量共線時，三角形法則同樣適用），而平行四邊形法則僅適用于不共線的兩個向量求和． 聯系：(1)當兩個向量不共線時，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統一的； (2)三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半．
向量加法的運算律： 交換律：； 結合律：．
和向量的模與原向量之間的關系：一般地，我們有． 當與共線且同向時，； 當與共線且異向時，； 當與不共線時，．
二、 向量的減法
1、相反向量
(1)我們規定，與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a.
(2)－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.若，互為相反向量，則，，0
(3)零向量的相反向量仍是零向量，即0＝－0.
2、向量的減法運算
向量運算 定義 法則(或幾何意義)
減法 向量加上向量的相反向量，叫做與的差，即，求兩個向量差的運算，叫做向量的減法，向量的減法實質上也是向量的加法． 向量減法的三角形法則： 如圖，在平面內任取一點，作，，則向量為所求，即．即把兩個向量的起點放在一起，則兩個向量的差是以減向量的終點為起點、被減向量的終點為終點的向量．
向量減法的平行四邊形法則： 如圖，在平面內任取一點，作，，分別以，為邊作平行四邊形，連接，則，這種作差向量的方法實質上是利用向量減法的定義．
向量減法的三角形法則：記憶口訣：首同尾連指被減
向量的加法和減法的運算問題 關于向量的加法和減法運算問題，一種解法就是依據三角形法則通過作圖來解決，另一種解法就是通過表示向量的有向線段的字母符號運算來解決．具體地說，在一個用有向線段表示向量的運算式子中，將式子中的“ ”改為“＋”只需把表示向量的兩個字母的順序顛倒一下即可．如“”改為“”．解用幾個基本向量表示某向量問題的基本技巧是，第一步：觀察各向量位置；第二步：尋找（或作）相應的平行四邊形或三角形：第三步：運用法則找關系；第四步：化簡結果．
【新課導學】
環節1：創設情境，提出問題
問題1:(1)向量是如何進行加法和減法運算 你能總結一下我們的研究方法與路徑嗎
(2)你認為我們還可以研究向量的什么運算
(3)如果實數與向量可以做乘法運算，你認為應該怎樣去研究這種運算
環節2：問題導向，合作探究
問題2：已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，它們的長度與方向分別是怎樣的？（與非零向量的關系）
【預設答案】
a+a+a，方向與a的方向相同，長度是a的長度的3倍；
類似地，(-a)+(-a)+(-a)，方向與a的方向相反，長度是a的長度的3倍．
追問1：在整式運算中，我們可以將x+x+x用乘法簡寫為3x。對于非零向量a，a+a+a我們可以怎樣簡寫呢？
【預設答案】類比整式運算，我們可以用3a來表示a+a+a．
追問2：同樣的，(-a)+(-a)+(-a)可以簡寫成什么呢？
【預設答案】可以簡寫成-3a．
追問3：已知非零向量a，作出a和-a，它們的長度與方向分別是怎樣的？
【預設答案】a的方向與a的方向相同，長度是a的長度的；
-a的方向與a的方向相反，長度是a的長度的倍；
追問4：已知非零向量a，λa的長度與方向分別是怎樣的？
【預設答案】λa的長度是a的長度的|λ|倍；
當λ＞0時，λa的方向與a相同；當λ＜0時，λa的方向與a相同反．
學生可能會想不到λ=0的情況，λ＞0和λ＜0的情況分析完就應該還有λ=0，如果λ=0，那么λa的長度是a的長度的0倍，即|λa|=0，但λa仍然是向量，因此當λ=0時，λa=0．
向量的數乘運算
1.向量的數乘運算
(1)定義：一般地，我們規定實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa.
(2)規定：①|λa|＝|λ||a|，
②當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0.
追問:你對零向量、相反向量有什么新的認識
師生活動：由學生發言，教師適時補充完善.
設計意圖：類比實數0和一1，從概念和運算不同視角，加強對零向量、相反向量的進一步認識，體會數乘運算的可行性和優越性.
問題3：(1)求作向量和，，(為非零向量)，并進行比較。
【預設答案】
(2)類比實數乘法的運算律，你能寫出向量數乘運算的運算律并加以驗證嗎
向量的數乘運算律
運算律：設λ，μ為實數，則
(1)λ(μa)＝λμa；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．
特別地，我們有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
向量的加、減、數乘運算統稱向量的線性運算，對于任意向量a，b，以及任意實數λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a＋λμ2b.
問題4：通過練習，你能發現實數與向量的積與原向量之間的位置關系嗎？
【預設答案】實數與向量的積與原向量共線
追問1：a＝λb a與b共線，對嗎？
【預設答案】正確．
追問2：若a與b共線，一定有a＝λb嗎？
【預設答案】不一定．當b＝0，a＝0時，λ有無數個值；當b＝0，a≠0時，λ無解；只有當b≠0時，才有a＝λb.
追問3：若兩個非零向量,共線,是否一定存在實數λ使得=
【預設答案】一定存在,且是唯一的.
共線向量定理：
向量與共線的充要條件是：存在唯一一個實數，使。
思考：為什么要是非零向量？可以是非零向量嗎？
【答案】若，則，可以是。
【牛刀小試1】正確的打“√”，錯誤的打“×”
(1)對于任意向量a和任意實數λa與a一定是共線向量.( )
(2)向量λa與a的方向不是相同就是相反.( )
(3)若向量a和b共線，則必有b=λa.( )
(4)若向量a和b不共線，且λa=μb,則必有λ=μ=0.( )
(5)若向量,共線，則A,B,C,D四點共線( )
【預設答案】(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
【牛刀小試2】判斷下列各小題的向量是否共線。
。
【預設答案】（1）共線 （2）共線 （3） 不共線
環節3：典例分析，鞏固理解
例1：計算：
（1）；
（2）；
（3）．
【預設答案】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式
．
【方法小結】向量的數乘運算可類似于代數多項式的運算．例如，實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數與向量的乘積中同樣適用，但是在這里的“同類項”“公因式”指向量，實數看作是向量的系數.
例2：如圖，的兩條對角線相交于點M，且，，用，表示，，和．
【預設答案】在中，
，
．
由平行四邊形的兩條對角線互相平分，得
，
，
，
．
例3 ：如圖，已知任意兩個非零向量，，試作，，.猜想A，B，C三點之間的位置關系，并證明你的猜想．
分析：判斷三點之間的位置關系，主要是看這三點是否共線，為此只要看其中一點是否在另兩點所確定的直線上．在本題中，應用向量知識判斷A，B，C三點是否共線，可以通過判斷向量，是否共線，即是否存在，使成立．
【預設答案】分別作向量，，，過點A，C作直線.觀察發現，不論向量，怎樣變化，點B始終直線上，猜想A，B，C三點共線．
事實上，因為，
，
所以．
因此，A，B，C三點共線．
例4：已知，是兩個不共線的向量，向量，共線，求實數的值．
【預設答案】由，不共線，易知向量非零向量．由向量，共線，可知存在實數，使得，
即．
由，不共線，必有.否則，不妨設，則．由兩個向量共線的充要條件知，，共線，與已知矛盾．
由，解得．
因此，當向量，共線時，．
【方法小結】向量共線定理的應用：
判斷、證明向量共線問題的思路是根據向量共線定理尋求唯一的實數λ，使得a＝λb(b≠0)．
（2）一般來說，要判定A，B，C三點是否共線，只需看是否存在實數λ，使得 (或等)即可。
(3)若A，B，C三點共線，O為直線外一點 存在實數x、y，使且x＋y＝1。
例5：如圖，ABCD是一個梯形，∥且||＝2||，M，N分別是DC，AB的中點，
已知 ＝e1，＝e2，試用e1，e2表示向量,.
【預設答案】因為∥，||＝2||，所以＝2，＝.
(1)＝＋＝e2＋e1.
(2)＝＋＋＝－－＋＝－e1－e2＋e1＝e1－e2.
變式：在本例中，若條件改為＝e1，＝e2，試用e1，e2表示向量.
【預設答案】因為＝＋＋，＝＋＋，
所以2＝(＋)＋＋＋(＋)．
又因為M，N分別是DC，AB的中點，
所以＋＝0，＋＝0.所以2＝＋，
所以＝(－－)＝－e2－e1.
【方法小結】用已知向量表示其他向量的兩種方法
(1)直接法
(2)方程法
當直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關于所求向量和已知向量的等量關系，然后解關于所求向量的方程．　
環節4：學以致用，融會貫通
1.(2a－b)－(2a＋b)等于(　　)
A．a－2b B．－2b C．0 D．b－a
2.如圖，已知AM是△ABC的邊BC上的中線，若＝a，＝b，則等于(　　)
A.(a－b) B．－(a－b) C.(a＋b) D．－(a＋b)
3.如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別是DC，BC的中點，那么＝(　　)
A．＋　　　B．－－ C．－＋ D．－
4.已知e1，e2是兩個不共線的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a與b是共線向量，則實數k＝________.
【預設答案】1.B 2.C 3.D 4.－2
環節5：課堂小結
思考：
教師引導學生回顧本課時的內容，并回答下面的問題：
(1)通過這節課，你學到了什么知識？
【預設答案】
(2)在解決問題時，用到了哪些數學思想？
【預設答案】數形結合、分類討論、類比的思想
環節6：作業布置
完成教材：第15頁 練習 第1，2，3題
第16頁 練習 第1,2,3題
第23頁 習題6.2 第8,9,14,15題
環節7：課后鞏固
1.下列算式中，正確的個數為（ ）
①；②；③.
A． B． C． D．
【解析】對于①，，①正確；
對于②，，②正確；
對于③，，③錯誤.
故選：C.
2.已知，是實數，，是向量，則下列命題中正確的為（ ）
①；②；
③若，則；④若，則．
A．①④ B．①② C．①③ D．③④
【解析】對于①：根據數乘向量的法則可得：，故①正確；
對于②：根據數乘向量的法則可得：，故②正確；
對于③：由可得，當m＝0時也成立，所以不能推出，故③錯誤；
對于④：由可得，當，命題也成立，所以不能推出m＝n. 故④錯誤；
故選：B
3.已知，是不共線向量，則下列各組向量中，是共線向量的有（ ）
①，；②，；③，．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【解析】對于①，，，故兩向量共線；
對于②，，，故兩向量共線；
對于③，，
假設存在
，因為，是不共線向量，
故得到無解.
故選：A.
4.已知向量，且，則一定共線的三點是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
【解析】依題意，
，所以共線，即三點共線，A正確.
，則不共線、不共線，BD錯誤.
，則不共線，C錯誤.
故選：A
5.在△ABC中，＝c，＝b.若點D滿足＝2，則＝(　　)
A.b＋c　　　　B.c－b C.b－c D.b＋c
【解析】由題可知＝－＝b－c，∵＝2，∴＝＝(b－c)，則＝＋＝c＋(b－c)＝b＋c，故選D.
6.在△ABC中，N是AC邊上一點且＝，P是BN上一點，若＝m＋，則實數m的值是________．
【解析】如圖，因為＝，所以＝，所以＝m＋＝m＋.因為B，P，N三點共線，所以m＋＝1，則m＝.
7.設兩個非零向量a與b不共線．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，B，D三點共線；
(2)試確定實數k，使ka＋b和a＋kb共線．
【解析】(1)證明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，
∴，共線，又它們有公共點B，
∴A，B，D三點共線．
(2)∵ka＋b與a＋kb共線，
∴存在實數λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是兩個不共線的非零向量，
∴∴k2－1＝0.∴k＝±1.
8.設兩個非零向量a與b不共線，若＝a＋b，＝a＋mb，＝3(a－b)，則m為何值時，A，B，D三點共線？
【解析】＝＋＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，
若A，B，D三點共線，則存在實數λ，使＝λ，
即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，∴解得m＝7.
故當m＝7時，A，B，D三點共線．第六章 平面向量
6.2.3 向量的數乘運算
導學案
【學習目標】
1.理解向量數乘的定義及幾何意義，掌握向量數乘的運算律，培養學生的數學抽象、直觀想象的核心素養。
2.掌握向量共線定理，會判斷或證明兩個向量共線，培養學生的邏輯推理的核心素養。
【學習重點】
理解并掌握兩向量共線的性質和判斷方法
【學習難點】
能熟練地運用向量共線的性質和判斷方法處理有關向量共線問題
【課前回顧】
一、向量的加法運算
向量運算 定義 法則(或幾何意義)
加法 求兩個向量和的運算 向量加法的三角形法則： 如圖所示，已知非零向量a，b，在平面內任取一點A，作＝a，＝b，則向量叫做a與b的和(或和向量)，記作a＋b，即a＋b＝＋＝.上述求兩個向量和的作圖法則，叫做向量加法的三角形法則． 對于零向量與任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a.
向量加法的平行四邊形法則： 如圖所示，已知兩個不共線向量a，b，作＝a，＝b，則O、A、B三點不共線，以OA，OB為鄰邊作平行四邊形，則以O為起點的對角線上的向量＝a＋b，這個法則叫做兩個向量加法的平行四邊形法則． www -2-
向量加法的三角形法則：（類比位移） 記憶口訣：首尾相接首尾連 平行四邊形法則：（類比力的合成） 記憶口訣：共起點，連對角 向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區別和聯系． 區別：(1)三角形法則中強調“首尾相接”，平行四邊形法則中強調的是“共起點”；(2)三角形法則適用于任意兩個非零向量求和（當兩個向量共線時，三角形法則同樣適用），而平行四邊形法則僅適用于不共線的兩個向量求和． 聯系：(1)當兩個向量不共線時，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統一的； (2)三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半．
向量加法的運算律： 交換律：； 結合律：．
和向量的模與原向量之間的關系：一般地，我們有． 當與共線且同向時，； 當與共線且異向時，； 當與不共線時，．
二、 向量的減法
1、相反向量
(1)我們規定，與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a.
(2)－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.若，互為相反向量，則，，0
(3)零向量的相反向量仍是零向量，即0＝－0.
2、向量的減法運算
向量運算 定義 法則(或幾何意義)
減法 向量加上向量的相反向量，叫做與的差，即，求兩個向量差的運算，叫做向量的減法，向量的減法實質上也是向量的加法． 向量減法的三角形法則： 如圖，在平面內任取一點，作，，則向量為所求，即．即把兩個向量的起點放在一起，則兩個向量的差是以減向量的終點為起點、被減向量的終點為終點的向量．
向量減法的平行四邊形法則： 如圖，在平面內任取一點，作，，分別以，為邊作平行四邊形，連接，則，這種作差向量的方法實質上是利用向量減法的定義．
向量減法的三角形法則：記憶口訣：首同尾連指被減
向量的加法和減法的運算問題 關于向量的加法和減法運算問題，一種解法就是依據三角形法則通過作圖來解決，另一種解法就是通過表示向量的有向線段的字母符號運算來解決．具體地說，在一個用有向線段表示向量的運算式子中，將式子中的“ ”改為“＋”只需把表示向量的兩個字母的順序顛倒一下即可．如“”改為“”．解用幾個基本向量表示某向量問題的基本技巧是，第一步：觀察各向量位置；第二步：尋找（或作）相應的平行四邊形或三角形：第三步：運用法則找關系；第四步：化簡結果．
【新課導學】
環節1：創設情境，提出問題
問題1:(1)向量是如何進行加法和減法運算 你能總結一下我們的研究方法與路徑嗎
(2)你認為我們還可以研究向量的什么運算
(3)如果實數與向量可以做乘法運算，你認為應該怎樣去研究這種運算
環節2：問題導向，合作探究
問題2：已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，它們的長度與方向分別是怎樣的？（與非零向量的關系）
追問1：在整式運算中，我們可以將x+x+x用乘法簡寫為3x。對于非零向量a，a+a+a我們可以怎樣簡寫呢？
追問2：同樣的，(-a)+(-a)+(-a)可以簡寫成什么呢？
追問3：已知非零向量a，作出a和-a，它們的長度與方向分別是怎樣的？
追問4：已知非零向量a，λa的長度與方向分別是怎樣的？
向量的數乘運算
1.向量的數乘運算
(1)定義：一般地，我們規定實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa.
(2)規定：①|λa|＝|λ||a|，
②當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0.
追問:你對零向量、相反向量有什么新的認識
師生活動：由學生發言，教師適時補充完善.
設計意圖：類比實數0和一1，從概念和運算不同視角，加強對零向量、相反向量的進一步認識，體會數乘運算的可行性和優越性.
問題3：(1)求作向量和，，(為非零向量)，并進行比較。
(2)類比實數乘法的運算律，你能寫出向量數乘運算的運算律并加以驗證嗎
向量的數乘運算律
運算律：設λ，μ為實數，則
(1)λ(μa)＝λμa；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．
特別地，我們有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
向量的加、減、數乘運算統稱向量的線性運算，對于任意向量a，b，以及任意實數λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a＋λμ2b.
問題4：通過練習，你能發現實數與向量的積與原向量之間的位置關系嗎？
追問1：a＝λb a與b共線，對嗎？
追問2：若a與b共線，一定有a＝λb嗎？
追問3：若兩個非零向量,共線,是否一定存在實數λ使得=
共線向量定理：
向量與共線的充要條件是：存在唯一一個實數，使。
思考：為什么要是非零向量？可以是非零向量嗎？
【牛刀小試1】正確的打“√”，錯誤的打“×”
(1)對于任意向量a和任意實數λa與a一定是共線向量.( )
(2)向量λa與a的方向不是相同就是相反.( )
(3)若向量a和b共線，則必有b=λa.( )
(4)若向量a和b不共線，且λa=μb,則必有λ=μ=0.( )
(5)若向量,共線，則A,B,C,D四點共線( )
【牛刀小試2】判斷下列各小題的向量是否共線。
。
環節3：典例分析，鞏固理解
例1：計算：
（1）；
（2）；
（3）．
【方法小結】向量的數乘運算可類似于代數多項式的運算．例如，實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數與向量的乘積中同樣適用，但是在這里的“同類項”“公因式”指向量，實數看作是向量的系數.
例2：如圖，的兩條對角線相交于點M，且，，用，表示，，和．
例3 ：如圖，已知任意兩個非零向量，，試作，，.猜想A，B，C三點之間的位置關系，并證明你的猜想．
例4：已知，是兩個不共線的向量，向量，共線，求實數的值．
【方法小結】向量共線定理的應用：
判斷、證明向量共線問題的思路是根據向量共線定理尋求唯一的實數λ，使得a＝λb(b≠0)．
（2）一般來說，要判定A，B，C三點是否共線，只需看是否存在實數λ，使得 (或等)即可。
(3)若A，B，C三點共線，O為直線外一點 存在實數x、y，使且x＋y＝1。
例5：如圖，ABCD是一個梯形，∥且||＝2||，M，N分別是DC，AB的中點，
已知 ＝e1，＝e2，試用e1，e2表示向量,.
變式：在本例中，若條件改為＝e1，＝e2，試用e1，e2表示向量.
【方法小結】用已知向量表示其他向量的兩種方法
(1)直接法
(2)方程法
當直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關于所求向量和已知向量的等量關系，然后解關于所求向量的方程．　
環節4：學以致用，融會貫通
1.(2a－b)－(2a＋b)等于(　　)
A．a－2b B．－2b C．0 D．b－a
2.如圖，已知AM是△ABC的邊BC上的中線，若＝a，＝b，則等于(　　)
A.(a－b) B．－(a－b) C.(a＋b) D．－(a＋b)
3.如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別是DC，BC的中點，那么＝(　　)
A．＋　　　B．－－ C．－＋ D．－
4.已知e1，e2是兩個不共線的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a與b是共線向量，則實數k＝________.
環節5：課堂小結
思考：
教師引導學生回顧本課時的內容，并回答下面的問題：
(1)通過這節課，你學到了什么知識？
(2)在解決問題時，用到了哪些數學思想？
環節6：作業布置
完成教材：第15頁 練習 第1，2，3題
第16頁 練習 第1,2,3題
第23頁 習題6.2 第8,9,14,15題
環節7：課后鞏固
1.下列算式中，正確的個數為（ ）
①；②；③.
A． B． C． D．
2.已知，是實數，，是向量，則下列命題中正確的為（ ）
①；②；
③若，則；④若，則．
A．①④ B．①② C．①③ D．③④
3.已知，是不共線向量，則下列各組向量中，是共線向量的有（ ）
①，；②，；③，．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4.已知向量，且，則一定共線的三點是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
5.在△ABC中，＝c，＝b.若點D滿足＝2，則＝(　　)
A.b＋c　　　　B.c－b C.b－c D.b＋c
6.在△ABC中，N是AC邊上一點且＝，P是BN上一點，若＝m＋，則實數m的值是________．
7.設兩個非零向量a與b不共線．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，B，D三點共線；
(2)試確定實數k，使ka＋b和a＋kb共線．
8.設兩個非零向量a與b不共線，若＝a＋b，＝a＋mb，＝3(a－b)，則m為何值時，A，B，D三點共線？

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