資源簡介

正余弦定理解三角形
①余弦定理
②正弦定理
③判斷三角形形狀
④解三角形面積問題
⑤正余弦定理的綜合應(yīng)用
一、余弦定理
（1）余弦定理的描述
①文字語言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.
②符號語言：在中，內(nèi)角，所對的邊分別是,則：
；
（2）余弦定理的推論
；；
二、利用余弦定理解三角形
（1）解三角形
一般地,三角形的三個角和它們的對邊叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.
（2）余弦定理在解三角形中的應(yīng)用
①已知三角形的三邊解三角形
連續(xù)用余弦定理求出兩角；由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角.
②已知兩邊和它們的夾角解三角形
用余弦定理求出第三邊；用余弦定理求出第二個角；由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角.
③已知兩邊及其中一邊的對角解三角形
例如：已知及角,可以根據(jù)余弦定理列出以邊為未知數(shù)的一元二次方程,根據(jù)解一元二次方程的方法,求邊,然后應(yīng)用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理,求出其他兩個角.
三、正弦定理
（1）正弦定理的描述
①文字語言：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.
②符號語言：在中， 若角、及所對邊的邊長分別為，及，則有
（2）正弦定理的推廣及常用變形公式
在中， 若角、及所對邊的邊長分別為，及，其外接圓半徑為，則
①
②；；；
③
④
⑤，，（可實現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化）
⑥，，（可實現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化）
四、三角形面積公式
三角形面積的計算公式：
①；
②；
③（其中，是三角形的各邊長，是三角形的內(nèi)切圓半徑）；
④(其中，是三角形的各邊長，是三角形的外接圓半徑).
【常用結(jié)論】
1.解三角形多解情況
在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：
A為銳角 A為鈍角或直角
圖形
關(guān)系式
解的個數(shù) 一解 兩解 一解 一解 無解
2.（1）在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”
（2）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；
（3）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到.
解題策略
1.已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法
已知三角形的兩邊及一角解三角形,必須先判斷該角是給出的兩邊的夾角,還是其中一邊的對角.若是給出的兩邊的夾角,可以由余弦定理求第三邊;若是給出的兩邊中一邊的對角,可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三條邊.
2.已知三邊解三角形的步驟
(1)分別用余弦定理的推論求出兩個角.
(2)用三角形內(nèi)角和定理求出第三個角.
【例1】中，，則（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】C
【分析】根據(jù)余弦定理即可求解.
【詳解】由題意，.
故選：C.
【例2】在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則B等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，設(shè),利用余弦定理求解.
【詳解】解：在中，，
設(shè),
由余弦定理得，
因為，
所以，
故選：C
【例3】的三內(nèi)角所對邊分別為，若，則角的大小（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)余弦定理直接求解即可.
【詳解】解：由余弦定理得，
因為，所以.
故選：B
一、單選題
1．（2024·全國·高一假期作業(yè)）在中，已知，則角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理的推論即可求解.
【詳解】由及余弦定理的推論，得，
因為，
所以.
故選：B.
2．（2024·全國·高一假期作業(yè)）在中，若，則角的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，利用余弦定理求得，即可求解.
【詳解】因為，由余弦定理可得，
因為，所以.
故選：C.
3．（2024·全國·高一假期作業(yè)）在中，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由余弦定理可得.
【詳解】由余弦定理得．
故選：A
4．（2024·全國·高一假期作業(yè)）設(shè)內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，，則邊（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．
【答案】C
【分析】根據(jù)余弦定理求解即可；
【詳解】在中，由余弦定理得：
整理得，，解得：或.
檢驗或滿足題意，
故選：C.
5．（2024·全國·高一假期作業(yè)）在中，，，，則最長邊（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意利用余弦定理直接求解即可
【詳解】在中，，，，
由余弦定理得，，
化簡得，解得或，
因為是最長的邊，所以，
故選：B
6．（2024·全國·高一假期作業(yè)）在中，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)二倍角公式求出，再結(jié)合余弦定理求即可.
【詳解】由題意得，，
由余弦定理得，，
所以.
故選：D
二、多選題
7．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知中，角，，的對邊分別為，，，且，，，則（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】AB
【分析】由余弦定理解三角形.
【詳解】，，，由余弦定理，有，
得，即，解得或.
故選：AB
8．（2024·全國·高一假期作業(yè)）鈍角的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若，，且，則的值可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】分析可知為鈍角，利用余弦定理結(jié)合三角形三邊關(guān)系可得出的取值范圍，即可得出合適的選項.
【詳解】因為，，且，則，
因為為鈍角三角形，故為鈍角，
且，解得，
由三角形三邊關(guān)系可得，則，故，
故選：BC.
三、填空題
9．（2024·上海·高一假期作業(yè)）在中，已知，且，則的值為 .
【答案】4或8
【分析】利用余弦定理可得答案.
【詳解】由，得，
利用余弦定理可得，
即，解得或；
故答案為：4或8.
10．（2024·上海·高一假期作業(yè)）若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊a，b，c滿足，且，則的值為 .
【答案】
【分析】利用余弦定理可得答案.
【詳解】由，得，
由余弦定理得，則，所以.
故答案為：.
11．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知中，角的對邊分別為，，則角 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合余弦定理運算求解.
【詳解】因為，則，即，
可得，
且，所以.
故答案為：.
12．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖所示，點A是等邊外一點，且，，，則的周長為 ．

【答案】
【分析】在中，由余弦定理求得，然后結(jié)合等腰三角形、直角三角形求得結(jié)論．
【詳解】在中，由余弦定理可知，
整理可得，解得，所以，
又是等邊三角形，所以，，
由勾股定理可得，，所以的周長為．
故答案為：.
四、解答題
13．（2024·上海·高一假期作業(yè)）在中，已知，，. 求、及.
【答案】，，或，，
【分析】根據(jù)余弦定理求出，再由余弦定理求角即可得解.
【詳解】由余弦定理，得，
即，所以或.
①當(dāng)時，，所以，
從而；
②當(dāng)時，，所以，
從而.
14．（2024·全國·高一假期作業(yè)）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
(1)若，求A；
(2)若，求證：.
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）利用余弦定理將已知等式統(tǒng)一成邊的形式，再結(jié)合余弦定理和，可求出角；
（2）由結(jié)合余弦的二倍角公式可求出，再利用余弦定理得，由結(jié)合余弦定理得，兩式結(jié)合化簡可證得結(jié)論.
【詳解】（1）解：因為，
所以由余弦定理得，
所以，得，
因為，所以，得，
所以由余弦定理得，
因為，所以；
（2）證明：因為，所以，
化簡整理得，
，解得或（舍去），
所以由余弦定理得，所以，
因為，
所以由余弦定理得，
整理得，
所以，
所以，得，所以.
解題策略
1.解決已知兩角及一邊類型的解題方法
(1)若所給邊是已知角的對邊時,可由正弦定理求另一邊,再由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角,最后由正弦定理求第三邊.
(2)若所給邊不是已知角的對邊時,先由三角形內(nèi)角和定理求第三個角,再由正弦定理求另外兩邊.
2.已知兩邊及其中一邊的對角解三角形的思路
①由正弦定理求出另一邊對角的正弦值;
②如果已知的角為大邊所對的角時,由三角形中大邊對大角,大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角,由正弦值可求銳角;
③如果已知的角為小邊所對的角時,則不能判斷另一邊所對的角為銳角,這時由正弦值可求兩個角,要分類討論.
(2)已知兩邊及其中一邊的對角判斷三角形解的個數(shù)的方法
①應(yīng)用三角形中大邊對大角的性質(zhì)以及正弦函數(shù)的值域判斷解的個數(shù);
②在△ABC中,已知a,b和A,以點C為圓心,以邊長a為半徑畫弧,此弧與除去頂點A的射線AB的公共點的個數(shù)即為三角形解的個數(shù),解的個數(shù)見下表:
A為鈍角 A為直角 A為銳角
a>b 一解 一解 一解
a=b 無解 無解 一解
absin A 兩解
a=bsin A 一解
a【例1】在中，，，，則角的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理求得，從而求得.
【詳解】由正弦定理得，
由于是鈍角，所以是銳角，所以，所以.
故選：A
【例2】在中，角的對邊分別為，已知，則角（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理即可得解.
【詳解】在中，，
由正弦定理可得，可得，
又，
或.
故選：C.
【例3】在銳角中，角，，所對應(yīng)的邊分別為，，，若，則角等于（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【詳解】由正弦定理和可得.
因為所以，所以，
因為，所以為.
故選：A
一、單選題
1．（2023下·河北邯鄲·高一統(tǒng)考期中）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理計算即可.
【詳解】由正弦定理知：得.
故選：B
2．（2023下·廣東佛山·高一校考期中）的內(nèi)角的對邊分別為，已知，則（ ）
A．6 B． C．8 D．
【答案】A
【分析】由同角的平方關(guān)系和正弦定理求解.
【詳解】由得.
由正弦定理得.
故選：A
3．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一濟(jì)源市第四中學(xué)校考階段練習(xí)）中，，，，則角C的大小為（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【分析】利用正弦定理及三角形的性質(zhì)計算即可.
【詳解】由正弦定理可知，
因為，所以，
故.
故選：A
4．（2023下·福建廈門·高一廈門一中校考階段練習(xí)）在中，已知，，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由正弦定理，可求角.
【詳解】在中，已知，，，
則由正弦定理可得，即，求得，
，或．
再由，以及大邊對大角可得．
故選：C
5．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一校考階段練習(xí)）中，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)正弦定理得到，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系計算得到答案.
【詳解】由題可得，，由正弦定理可得，所以，
又，故，.
故選：C
6．（2023下·新疆烏魯木齊·高一校考期中）在中，若，，，則可能是（ ）
A．135° B．105°或15° C．45°或135° D．15°
【答案】B
【分析】利用正弦定理可求的值，故可得正確的選項.
【詳解】由正弦定理可得，故，
故，而，故或，
故或，
故選：B.
7．（2023下·河北石家莊·高一校考期中）記的內(nèi)角A，B，C對邊分別為a，b，c，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及正弦定理將角化邊，再由余弦定理計算可得；
【詳解】由，
由正弦定理得，即，
，，
所以.
故選：A
8．（2023下·福建泉州·高一校考期中）若的外接圓半徑，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式、正弦定理求得.
【詳解】由，則為銳角，所以，
由，則為銳角，所以，
則，
可得：．
故選：D
二、多選題
9．（2023下·廣西玉林·高一校考階段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為．若，，則角可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】由正弦定理結(jié)合邊的大小關(guān)系得出結(jié)果.
【詳解】已知，，
由正弦定理，得，即
又，則,
所以或.
故選：AC.
10．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）中，內(nèi)角A，B，C對邊長分別為a，b，c，下列選項的三角形有兩解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】ABD
【分析】根據(jù)正弦定理結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)一一計算即可判定.
【詳解】易知，
對于A，由正弦定理可知
由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得或，
又，則A有兩個解，即A正確；
對于B，同上或,
又，則B有兩個解，即B正確；
對于C，同上得，且，
故C只有一解，即C錯誤；
對于D，如下圖所示，則易知，即此時有兩解，即D正確.

故選：ABD
11．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一校考階段練習(xí)）在中角，，所對的邊分別為，，，以下敘述或變形中正確的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)正弦定理對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項，由正弦定理得，A選項正確.
B選項，由正弦定理得，
而當(dāng)時，則或，則或，
所以B選項錯誤.
C選項，由正弦定理得，
所以，所以C選項正確.
D選項，，由正弦定理得，
所以D選項正確.
故選：ACD
三、填空題
12．（2023下·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期中）在中，若，，則的值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)正弦定理求解即可.
【詳解】設(shè)外接圓半徑為，則由正弦定理可得：
故答案為：
13．（2023下·江蘇連云港·高一連云港高中校考期中）在中，，則 .
【答案】
【分析】先根據(jù)正弦定理得到三邊的比例，再根據(jù)余弦定理求出角，進(jìn)而可得.
【詳解】因為，
由正弦定理得，
不妨設(shè)，則，，
由余弦定理得：，
因，所以，
，
故答案為：
14．（2023下·江蘇蘇州·高一南京航空航天大學(xué)蘇州附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c. 若滿足的三角形有兩個，則邊長a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)正弦定理，三角形有兩個解，則滿足，代入即可求得邊長的取值范圍.
【詳解】如圖，，垂線段，
由正弦定理知，三角形有兩個解，則滿足，即.
故答案為：.
15．（2023下·上海虹口·高一上外附中校考期末）在△中，，，為邊的中點，則△的外接圓面積與的外接圓面積之比為 .
【答案】
【分析】利用正弦定理以及圖形的幾何關(guān)系求解.
【詳解】設(shè)△的外接圓為,的外接圓半徑為,
在△由正弦定理得,在中由正弦定理得,
又∵,∴，
∴,
故答案為：.
解題策略 判斷三角形形狀問題
(1)利用三角形的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時,需要從“統(tǒng)一”入手,即使用轉(zhuǎn)化思想解決問題.一般有兩條思考路線:①化邊為角,再進(jìn)行三角恒等變換,求出三角之間的數(shù)量關(guān)系.②化角為邊,再進(jìn)行代數(shù)恒等變換,求出三邊之間的數(shù)量關(guān)系.
(2)判斷三角形的形狀時,經(jīng)常用到以下結(jié)論:
①△ABC為直角三角形 a2=b2+c2或 c2=a2+b2或b2=a2+c2.
②△ABC為銳角三角形 a2+b2>c2且 b2+c2>a2且c2+a2>b2.
③△ABC為鈍角三角形 a2+b2④若sin 2A=sin 2B,則A=B或A+B=.
【例1】已知中，角，，所對的邊分別是，，，若，且，那么是（ ）
A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】將化簡并結(jié)合余弦定理可得的值，再對結(jié)合正、余弦定理化簡可得邊長關(guān)系，進(jìn)行判定三角形形狀.
【詳解】由，得，
整理得，則，
因為，所以，
又由及正弦定理，得，化簡得，
所以為等邊三角形，
故選：B
一、單選題
1．（2024·全國·高一假期作業(yè)）在中，其內(nèi)角的對邊分別為，若，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】A
【分析】由余弦定理化角為邊得，即可判斷三角形形狀.
【詳解】因為，所以由余弦定理得，
所以，所以，所以為等腰三角形.
故選：A.
2．（2024·全國·高一假期作業(yè)）在中，若，則的形狀是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定
【答案】C
【分析】根據(jù)正弦定理得到邊的關(guān)系，再利用余弦定理判斷即可.
【詳解】設(shè)中，角對應(yīng)的邊分別是，
由正弦定理得:，即，
所以，
因為，所以為鈍角，即為鈍角三角形.
故選:C.
3．（2024·全國·高一假期作業(yè)）設(shè)的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，若，則的形狀是（ ）
A．直角三角形 B．等邊三角形 C．鈍角三角形 D．三邊比為1：2：3的三角形
【答案】B
【分析】由正弦定理可得或；或，利用三角形的性質(zhì)驗證得，可得結(jié)論.
【詳解】因為，由正弦定理可得，即，
因為，為三角形的內(nèi)角，所以或，即或，
同理可得或；
當(dāng)時，不可能成立（三內(nèi)角和不等于），
當(dāng)時，也不可能成立，
所以只有，即為等邊三角形．
故選：B
4．（2024·全國·高一假期作業(yè)）的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則的形狀是（ ）
A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】由利用正弦定理邊角互換可得，代入可得，然后利用余弦定理代入可得，然后可得答案.
【詳解】因為，所以，整理得，
又，所以，
即，即，
又，所以，得，
因為，所以，所以，，故為等腰直角三角形.
故選：D
5．（2023下·浙江嘉興·高一校聯(lián)考期中）若，且，那么是（ ）
A．等邊三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】利用余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值，再利用結(jié)合余弦定理可得出，即可得出結(jié)論.
【詳解】因為，則，可得，
由余弦定理可得，因為，所以，，
因為，則，整理可得.
所以，為等邊三角形.
故選：A.
6．（2023下·遼寧鞍山·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，若，則為（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】由正弦定理及倍角公式得到，結(jié)合，解得或，得到答案.
【詳解】由正弦定理得，
即，故，
因為，且屬于三角形內(nèi)角，所以，所以或，
解得或，
所以為等腰或直角三角形.
故選：C
7．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考期末）已知在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則一定是（ ）
A．等腰三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】利用正弦定理的邊角關(guān)系，將已知條件化為，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)確定關(guān)系，即可得三角形形狀.
【詳解】由題設(shè)，則，
又，則，故，即.
所以一定是等腰三角形.
故選：A
8．（2023下·上海嘉定·高一校考期中）在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，，則是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】利用正弦定理結(jié)合二倍角的正弦公式可得出，求出、，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可得出、的關(guān)系，即可得出結(jié)論.
【詳解】因為，則，
因為中至少有兩個銳角，則、中至少一個為銳角，
不妨設(shè)為銳角，則，從而可知為銳角，
由正弦定理可得，即，
因為、，則、，
所以，或，即或，
因此，為等腰三角形或直角三角形.
故選：D.
解題策略
1．求三角形面積的方法
(1)若三角形中已知一個角(角的大小或該角的正、余弦值)，結(jié)合題意求解這個角的兩邊或該角的兩邊之積，代入公式求面積．
(2)若已知三角形的三邊，可先求其一個角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積．總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵．
2．已知三角形面積求邊、角的方法
(1)若求角，就尋求夾這個角的兩邊的關(guān)系，利用面積公式列方程求解．
(2)若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)有關(guān)聯(lián)的角，利用面積公式列方程求解．
【例1】在中，已知，，，則的面積為（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】B
【分析】先用余弦定理求得b，然后由三角形面積公式計算．
【詳解】因為中，已知，，，
所以，由余弦定理得，
解得或2，
所以的面積或．
故選：B.
一、單選題
1．（2023下·新疆阿克蘇·高一校考階段練習(xí)）已知中，，且的面積為，則（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【分析】根據(jù)三角形的面積公式即可求解.
【詳解】因為中，，且的面積為
.
所以，所以或.
故選：B.
2．（2023下·廣東東莞·高一東莞實驗中學(xué)校考期中）在中，，且的面積為，則（ ）
A． B．3 C．2 D．
【答案】A
【分析】利用三角形的面積公式求解.
【詳解】因為，
所以，解得，
即，
故選：A.
3．（2023下·甘肅武威·高一校聯(lián)考期中）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)余弦定理求出，再利用三角形面積公式即可得到答案.
【詳解】因為，
由余弦定理得，所以，
所以的面積.
故選：A.
4．（2023下·全國·高一隨堂練習(xí)）記的內(nèi)角所對的邊分別為，則邊上的高為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)余弦定理求出，再根據(jù)面積公式列式可求出結(jié)果.
【詳解】由，得.
設(shè)邊上的高為，
因為，所以，
即邊上的高為.
故選：D
5．（2023下·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的面積為，，，則（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】根據(jù)正弦定理面積公式和余弦定理求解即可.
【詳解】因為的面積為，，
所以，即.
所以，
所以.
故選：D.
6．（2023下·河北石家莊·高一石家莊二十三中校考期中）在中，角的對邊分別為的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】結(jié)合正弦定理，和余弦定理求出，進(jìn)而得到，應(yīng)用面積公式即可.
【詳解】由，得，
，，
，
即，解得，
，，，
.
故選：C
7．（2023下·廣東東莞·高一東莞市東莞中學(xué)松山湖學(xué)校校考階段練習(xí)）在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且，若，，則△ABC的外接圓直徑為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由余弦定理與三角形面積公式，利用條件可解出角，再由利用余弦定理可求，由可得外接圓直徑.
【詳解】由得，
，
即：，可得.
又因為，可得．
又已知，，
由余弦定理得
，
解得.
則外接圓直徑.
故選：D.
8．（2024上·寧夏石嘴山·高一統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章給出了弧田面積的計算方法．弧田是由圓弧和其對弦圍成的圖形，如圖中陰影部分所示．若弧田所在圓的半徑為，為圓心，弦的長是3，則弧田的面積是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用余弦定理得到，再利用扇形面積公式與三角形面積公式即可得解.
【詳解】依題意，，，
所以，
因為，所以，
故的弧長為，
則扇形的面積為，的面積為，
所以弧田的面積為．
故選：D.
二、填空題
9．（2023下·黑龍江牡丹江·高一牡丹江市第三高級中學(xué)校考期末）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的面積為，，，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解即可.
【詳解】因為的面積為，
所以，
于是有，
由余弦定理可知：，
故答案為：
10．（2023下·河南洛陽·高一欒川縣第一高級中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，且面積為，若，則 ．
【答案】3
【分析】由面積得，再結(jié)合，求出值，再利用余弦定理求出即可.
【詳解】，解得：；
又，代入，得：或；
根據(jù)余弦定理得：，解得：.
故答案為：3．
11．（2023下·安徽滁州·高一校考期中）的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為，b，c，已知，且，則的面積為 ．
【答案】
【分析】由正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得，再根據(jù)余弦定理可得，進(jìn)而可得的面積.
【詳解】由，結(jié)合正弦定理可得，故，
故，因為，故，又，故.
由余弦定理，則，解得.
則.
故答案為：
12．（2023下·廣東東莞·高一校考期中）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為S，且a＝1，，則△ABC外接圓的半徑為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)三角形面積公式和余弦定理，求解角，再根據(jù)正弦定理求半徑.
【詳解】因為，
所以，即，所以，
由為三角形內(nèi)角得，因為a＝1，
由正弦定理得，所以．
故答案為：
三、解答題
13．（2023下·全國·高一隨堂練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且.
(1)求；
(2)若的面積為，求的周長.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知條件由正弦定理得，可求；
（2）由的面積得，余弦定理求，可得的周長.
【詳解】（1）由正弦定理得，則.
（2），得，
由余弦定理，
即，則，所以，
的周長為.
14．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，向量與平行．
(1)求；
(2)若，，求的面積．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根據(jù)向量平行得到，利用正弦定理化簡得到答案.
（2）利用余弦定理計算得到，再計算面積即可.
【詳解】（1）向量與平行，所以，
由正弦定理可知：，
，，所以，，可得；
（2），，由余弦定理可得：，可得，
解得或（舍），
的面積為．
15．（2023下·新疆喀什·高一校考期末）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且．
(1)求B；
(2)若，且的面積為，求b.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理求出，從而求出；
（2）由三角形面積公式求出，結(jié)合，求出，由余弦定理求出答案.
【詳解】（1），由正弦定理得，
即，
由余弦定理，得.
因為，所以.
（2）由（1）得，
所以的面積為，得，
由及正弦定理，得，
所以.
由余弦定理，得，
所以.
16．（2023上·江西宜春·高一江西省豐城中學(xué)校考期中）在中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊長，且．
(1)求的值；
(2)若，，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理，及，得，轉(zhuǎn)化為，得.
（2）由及（1）得，得，求出b，計算三角形面積.
【詳解】（1）由正弦定理，得，
即，
所以，
從而，
因為，所以．
（2）因為，
由（1）知，，解得，所以，
所以，，，
所以的面積為．
解題策略
(1)判斷三角形形狀時,應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系,利用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊角互化,要么把角轉(zhuǎn)化為邊,通過代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系,要么把邊轉(zhuǎn)化為角,通過三角變換找出角之間的關(guān)系,當(dāng)然也可以邊角同時考慮.
(2)在解題中,若出現(xiàn)關(guān)于邊的齊次式(方程),或關(guān)于角的正弦的齊次式(方程),可通過正弦定理,進(jìn)行邊角互化.
【例1】在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，則，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】運用正弦定理可得，代入已知可得，再由余弦定理可得所求角.
【詳解】解：在中，因為，
所以，由正弦定理可得，
又因為，
所以，
由余弦定理可得，
由，可得，
故選：B.
一、單選題
1．（2023下·江蘇宿遷·高一校考階段練習(xí)）在中，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由正弦邊角關(guān)系及已知設(shè)，應(yīng)用余弦定理求即可.
【詳解】由正弦邊角關(guān)系知：，令，
所以.
故選：A
2．（2023下·四川綿陽·高一綿陽南山中學(xué)實驗學(xué)校校考期中）已知的角的對邊分別為，且滿足，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差公式可化簡求得，利用余弦定理可構(gòu)造方程求得的值.
【詳解】由正弦定理得：，
，又，，，
由余弦定理得：，解得：（舍）或.
故選：B.
3．（2023下·遼寧葫蘆島·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對邊分別為，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由正弦定理角化邊，再利用余弦定理可得答案.
【詳解】因為，
所以，由正弦定理得，
即，
由余弦定理得．
因為，
所以．
故選：B.
4．（2023下·河北石家莊·高一校考期中）記的內(nèi)角A，B，C對邊分別為a，b，c，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及正弦定理將角化邊，再由余弦定理計算可得；
【詳解】由，
由正弦定理得，即，
，，
所以.
故選：A
5．（2023下·山西朔州·高一校考階段練習(xí)）在中，，的面積為2，則三角形外接圓的半徑為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)三角形的面積公式，求得，再由余弦定理求得，結(jié)合，即可求解.
【詳解】由三角形的面積公式，可得，解得，
又由，可得，
由正弦定理，所以.
故選：C.
6．（2023下·河北石家莊·高一石家莊二十三中校考期中）在中，角的對邊分別為的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】結(jié)合正弦定理，和余弦定理求出，進(jìn)而得到，應(yīng)用面積公式即可.
【詳解】由，得，
，，
，
即，解得，
，，，
.
故選：C
7．（2023下·廣東東莞·高一東莞市東莞中學(xué)松山湖學(xué)校校考階段練習(xí)）在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且，若，，則△ABC的外接圓直徑為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由余弦定理與三角形面積公式，利用條件可解出角，再由利用余弦定理可求，由可得外接圓直徑.
【詳解】由得，
，
即：，可得.
又因為，可得．
又已知，，
由余弦定理得
，
解得.
則外接圓直徑.
故選：D.
8．（2023下·天津·高一天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)校聯(lián)考期末）下列結(jié)論正確的個數(shù)為（ ）
①在中，若，則；
②在銳角中，不等式恒成立；
③在中，若，，則為等腰直角三角形；
④在中，若，，面積，則外接圓半徑為.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根據(jù)大邊對大角、余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷①；由余弦定理可判斷②；由余弦定理、正弦定理可判斷③；由三角形的面積公式、余弦定理、正弦定理可判斷④.
【詳解】對于①：在中，若，根據(jù)大邊對大角則，
因為，在上單調(diào)遞減，所以，故選項①正確；
對于選項②：在銳角三角形中，，即，
故不等式恒成立，故選項②正確；
對于選項③：在中，，
由余弦定理可知：，因此有
可得
，
即，因為，所以，
因此，所以或，即，或（舍去），
，所以，故③正確．
對于選項④：在中，若，，三角形面積，
所以，解得，
所以，
由正弦定理，故選項④正確．
故選：D．
二、多選題
9．（2023下·江蘇連云港·高一校考階段練習(xí)）對于，下列說法錯誤的有（ ）
A．若，則為等腰三角形
B．若，則
C．若，，則符合條件的有兩個
D．若，則是鈍角三角形
【答案】AC
【分析】對于A：根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式進(jìn)行判斷；對于B：根據(jù)正弦定理即可判斷證明；對于C：利用余弦定理即可得解；對于D：根據(jù)正弦定理去判斷即可．
【詳解】對于選項A：因為在三角形中，，
故若，則或，可得或，
所以△ABC為等腰三角形或直角三角形，故A不正確，
對于選項：若，則，由正弦定理可得成立．故B正確；
對于選項C：由余弦定理可得：，
即，只有一解，故C錯誤；
對于選項D：若，由正弦定理得，
由余弦定理，且
所以C為鈍角，即是鈍角三角形，故D正確；
故選：AC．
10．（2023下·全國·高一隨堂練習(xí)）在中，由以下各條件分別能得出為等邊三角形的有（ ）
A．已知且 B．已知且
C．已知且 D．已知且
【答案】AC
【分析】利用正弦定理、余弦定理判斷三角形的形狀.
【詳解】對于A、因為，所以，由余弦定理得，，
又，所以，所以，所以，所以，
所以為等邊三角形..故A正確；
對于B，因為，，所以或，
當(dāng)時，，所以，所以為等邊三角形；
當(dāng)時，，所以為等腰三角形.故B錯誤；
對于C，因為且，所以；所以，所以，
又，所以，所以為等邊三角形.故C正確；
對于D，因為；所以，即，所以，
所以或，所以或，
當(dāng)時，，所以，所以為等邊三角形；
當(dāng)時，，所以，，所以為直角三角形.故D錯誤.
故答案為：AC.
三、填空題
11．（2023下·安徽滁州·高一校考期中）的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為，b，c，已知，且，則的面積為 ．
【答案】
【分析】由正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得，再根據(jù)余弦定理可得，進(jìn)而可得的面積.
【詳解】由，結(jié)合正弦定理可得，故，
故，因為，故，又，故.
由余弦定理，則，解得.
則.
故答案為：
12．（2023下·福建福州·高一校聯(lián)考期中）已知，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，若，，則的外接圓的半徑為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)正弦定理邊角互換與余弦定理化解原式，求解出角A，最后根據(jù)正弦定理求出的外接圓的半徑.
【詳解】由正弦定理得，則
，
所以的外接圓的半徑為．
故答案為：.
13．（2023下·廣西欽州·高一統(tǒng)考期末）在中，角、、所對的邊分別為、、，且，則 .若，，則 .
【答案】
【分析】設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡可得出的值；利用二倍角的余弦公式求出的值，利用余弦定理可求得的值.
【詳解】設(shè)的外接圓半徑為，則
，
由二倍角的余弦公式可得，
由余弦定理可得，故.
故答案為：；.
14．（2023下·湖南岳陽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知中，，，的對邊分別為a，b，c，若，，給出下列條件中：①，②，③，能使有兩解的為 ．（只要寫出一個正確答案的序號即可）
【答案】②或③
【分析】對于①，可利用余弦定理進(jìn)行判斷，對于②，可數(shù)形結(jié)合，根據(jù)b與csinB、c的關(guān)系進(jìn)行判斷；對于③，利用三角形面積公式即可求解并判斷．
【詳解】對于①：根據(jù)余弦定理可求邊a只有一解，故三角形只有一解；
對于②：如圖，

∵，故以A為圓心，b=4為半徑的圓弧與BD有兩個交點，即三角形有兩解．
對于③：或，故三角形有兩解．
綜上，答案為②或③
故答案為：②或③
15．（2023下·江西九江·高一統(tǒng)考期末）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，則的面積為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)正弦定理邊角化得，進(jìn)而可得，由余弦定理和面積公式即可求解.
【詳解】由正弦定理可得,
由于，所以，
由得，
故,
所以，
故的面積為,
故答案為：
四、解答題
16．（2023下·河南·高一校聯(lián)考期中）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，點是邊的中點，且.
(1)求角的大小；
(2)若，，求邊的值.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）利用正弦定理化簡條件，利用余弦定理求出，即可得出答案；
（2）利用余弦定理列出方程求解即可.
【詳解】（1）由題意及正弦定理知，
，
，
，．
（2）因為點是AC邊的中點，，
兩邊同時平方可得：
，，，
，
即，解得（舍）或 .
故邊的值是2.
17．（2023下·全國·高一隨堂練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．
(1)求角的大小；
(2)若，，的面積為，求a，c的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）直接利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換得到，得到答案.
（2）利用面積公式得到，根據(jù)余弦定理得到，解得答案.
【詳解】（1），故，
即，整理得到，
，，
故，，
故.
（2），故，
，
故，
又，解得，.
18．（2023下·廣東湛江·高一湛江市第二中學(xué)校考期中）在中，角、、的對邊分別為，，，已知.
(1)若，求的值；
(2)若，且，求的面積.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）若，由正弦定理角化邊可得，結(jié)合及預(yù)習(xí)定理即可求解；
（2）一方面：由，結(jié)合三角函數(shù)平方關(guān)系可以求出，結(jié)合三角形面積公式可知只需求出即可；
另一方面：由（1）中分析可知，所以由余弦定理并結(jié)合，，即可求出；結(jié)合以上兩方面即可求解.
【詳解】（1）若，所以由正弦定理可得，
又因為，所以，
由余弦定理可知.
（2）一方面：由題意，且，
所以解得，由可知只需求出即可；
另一方面：由（1）中分析可知，又因為，，
且由余弦定理有，
所以有，
整理得，解得或；
結(jié)合以上兩方面有：的面積為或.
19．（2023下·廣東珠海·高一統(tǒng)考期中）在中，內(nèi)角、、所對的邊分別是、、，且
(1)求角；
(2)若，，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理邊化角以及輔助角公式求解；
（2）利用余弦定理和面積公式求解.
【詳解】（1）因為
由正弦定理得
因為,
所以，
所以
因為，
所以，
所以，所以，
因為
所以，.
（2）因為，，
由余弦定理得：
，即，
因為，所以，
所以，所以.正余弦定理解三角形
①余弦定理
②正弦定理
③判斷三角形形狀
④解三角形面積問題
⑤正余弦定理的綜合應(yīng)用
一、余弦定理
（1）余弦定理的描述
①文字語言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.
②符號語言：在中，內(nèi)角，所對的邊分別是,則：
；
（2）余弦定理的推論
；；
二、利用余弦定理解三角形
（1）解三角形
一般地,三角形的三個角和它們的對邊叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.
（2）余弦定理在解三角形中的應(yīng)用
①已知三角形的三邊解三角形
連續(xù)用余弦定理求出兩角；由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角.
②已知兩邊和它們的夾角解三角形
用余弦定理求出第三邊；用余弦定理求出第二個角；由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角.
③已知兩邊及其中一邊的對角解三角形
例如：已知及角,可以根據(jù)余弦定理列出以邊為未知數(shù)的一元二次方程,根據(jù)解一元二次方程的方法,求邊,然后應(yīng)用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理,求出其他兩個角.
三、正弦定理
（1）正弦定理的描述
①文字語言：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.
②符號語言：在中， 若角、及所對邊的邊長分別為，及，則有
（2）正弦定理的推廣及常用變形公式
在中， 若角、及所對邊的邊長分別為，及，其外接圓半徑為，則
①
②；；；
③
④
⑤，，（可實現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化）
⑥，，（可實現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化）
四、三角形面積公式
三角形面積的計算公式：
①；
②；
③（其中，是三角形的各邊長，是三角形的內(nèi)切圓半徑）；
④(其中，是三角形的各邊長，是三角形的外接圓半徑).
【常用結(jié)論】
1.解三角形多解情況
在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：
A為銳角 A為鈍角或直角
圖形
關(guān)系式
解的個數(shù) 一解 兩解 一解 一解 無解
2.（1）在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”
（2）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；
（3）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到.
解題策略
1.已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法
已知三角形的兩邊及一角解三角形,必須先判斷該角是給出的兩邊的夾角,還是其中一邊的對角.若是給出的兩邊的夾角,可以由余弦定理求第三邊;若是給出的兩邊中一邊的對角,可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三條邊.
2.已知三邊解三角形的步驟
(1)分別用余弦定理的推論求出兩個角.
(2)用三角形內(nèi)角和定理求出第三個角.
【例1】中，，則（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】C
【分析】根據(jù)余弦定理即可求解.
【詳解】由題意，.
故選：C.
【例2】在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則B等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，設(shè),利用余弦定理求解.
【詳解】解：在中，，
設(shè),
由余弦定理得，
因為，所以，故選：C
【例3】的三內(nèi)角所對邊分別為，若，則角的大小（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)余弦定理直接求解即可.
【詳解】解：由余弦定理得，
因為，所以.故選：B
一、單選題
1．（2024·全國·高一假期作業(yè)）在中，已知，則角為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國·高一假期作業(yè)）在中，若，則角的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全國·高一假期作業(yè)）在中，，，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全國·高一假期作業(yè)）設(shè)內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，，則邊（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．
5．（2024·全國·高一假期作業(yè)）在中，，，，則最長邊（ ）
A． B． C．或 D．
6．（2024·全國·高一假期作業(yè)）在中，，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
7．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知中，角，，的對邊分別為，，，且，，，則（ ）
A． B． C．3 D．
8．（2024·全國·高一假期作業(yè)）鈍角的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若，，且，則的值可能為（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
9．（2024·上海·高一假期作業(yè)）在中，已知，且，則的值為 .
10．（2024·上海·高一假期作業(yè)）若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊a，b，c滿足，且，則的值為 .
11．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知中，角的對邊分別為，，則角 ．
12．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖所示，點A是等邊外一點，且，，，則的周長為 ．

四、解答題
13．（2024·上海·高一假期作業(yè)）在中，已知，，. 求、及.
14．（2024·全國·高一假期作業(yè)）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
(1)若，求A；
(2)若，求證：.
解題策略
1.解決已知兩角及一邊類型的解題方法
(1)若所給邊是已知角的對邊時,可由正弦定理求另一邊,再由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角,最后由正弦定理求第三邊.
(2)若所給邊不是已知角的對邊時,先由三角形內(nèi)角和定理求第三個角,再由正弦定理求另外兩邊.
2.已知兩邊及其中一邊的對角解三角形的思路
①由正弦定理求出另一邊對角的正弦值;
②如果已知的角為大邊所對的角時,由三角形中大邊對大角,大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角,由正弦值可求銳角;
③如果已知的角為小邊所對的角時,則不能判斷另一邊所對的角為銳角,這時由正弦值可求兩個角,要分類討論.
(2)已知兩邊及其中一邊的對角判斷三角形解的個數(shù)的方法
①應(yīng)用三角形中大邊對大角的性質(zhì)以及正弦函數(shù)的值域判斷解的個數(shù);
②在△ABC中,已知a,b和A,以點C為圓心,以邊長a為半徑畫弧,此弧與除去頂點A的射線AB的公共點的個數(shù)即為三角形解的個數(shù),解的個數(shù)見下表:
A為鈍角 A為直角 A為銳角
a>b 一解 一解 一解
a=b 無解 無解 一解
absin A 兩解
a=bsin A 一解
a【例1】在中，，，，則角的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理求得，從而求得.
【詳解】由正弦定理得，
由于是鈍角，所以是銳角，所以，所以.
故選：A
【例2】在中，角的對邊分別為，已知，則角（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理即可得解.
【詳解】在中，，
由正弦定理可得，可得，
又，
或.
故選：C.
【例3】在銳角中，角，，所對應(yīng)的邊分別為，，，若，則角等于（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【詳解】由正弦定理和可得.
因為所以，所以，
因為，所以為.
故選：A
一、單選題
1．（2023下·河北邯鄲·高一統(tǒng)考期中）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·廣東佛山·高一校考期中）的內(nèi)角的對邊分別為，已知，則（ ）
A．6 B． C．8 D．
3．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一濟(jì)源市第四中學(xué)校考階段練習(xí)）中，，，，則角C的大小為（ ）
A． B．
C． D．或
4．（2023下·福建廈門·高一廈門一中校考階段練習(xí)）在中，已知，，，則等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一校考階段練習(xí)）中，，，，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2023下·新疆烏魯木齊·高一校考期中）在中，若，，，則可能是（ ）
A．135° B．105°或15° C．45°或135° D．15°
7．（2023下·河北石家莊·高一校考期中）記的內(nèi)角A，B，C對邊分別為a，b，c，，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2023下·福建泉州·高一校考期中）若的外接圓半徑，，，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2023下·廣西玉林·高一校考階段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為．若，，則角可能為（ ）
A． B． C． D．
10．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）中，內(nèi)角A，B，C對邊長分別為a，b，c，下列選項的三角形有兩解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
11．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一校考階段練習(xí)）在中角，，所對的邊分別為，，，以下敘述或變形中正確的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
12．（2023下·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期中）在中，若，，則的值為 ．
13．（2023下·江蘇連云港·高一連云港高中校考期中）在中，，則 .
14．（2023下·江蘇蘇州·高一南京航空航天大學(xué)蘇州附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c. 若滿足的三角形有兩個，則邊長a的取值范圍是 .
15．（2023下·上海虹口·高一上外附中校考期末）在△中，，，為邊的中點，則△的外接圓面積與的外接圓面積之比為
解題策略 判斷三角形形狀問題
(1)利用三角形的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時,需要從“統(tǒng)一”入手,即使用轉(zhuǎn)化思想解決問題.一般有兩條思考路線:①化邊為角,再進(jìn)行三角恒等變換,求出三角之間的數(shù)量關(guān)系.②化角為邊,再進(jìn)行代數(shù)恒等變換,求出三邊之間的數(shù)量關(guān)系.
(2)判斷三角形的形狀時,經(jīng)常用到以下結(jié)論:
①△ABC為直角三角形 a2=b2+c2或 c2=a2+b2或b2=a2+c2.
②△ABC為銳角三角形 a2+b2>c2且 b2+c2>a2且c2+a2>b2.
③△ABC為鈍角三角形 a2+b2④若sin 2A=sin 2B,則A=B或A+B=.
【例1】已知中，角，，所對的邊分別是，，，若，且，那么是（ ）
A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】將化簡并結(jié)合余弦定理可得的值，再對結(jié)合正、余弦定理化簡可得邊長關(guān)系，進(jìn)行判定三角形形狀.
【詳解】由，得，
整理得，則，
因為，所以，
又由及正弦定理，得，化簡得，
所以為等邊三角形，
故選：B
一、單選題
1．（2024·全國·高一假期作業(yè)）在中，其內(nèi)角的對邊分別為，若，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
2．（2024·全國·高一假期作業(yè)）在中，若，則的形狀是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定
3．（2024·全國·高一假期作業(yè)）設(shè)的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，若，則的形狀是（ ）
A．直角三角形 B．等邊三角形 C．鈍角三角形 D．三邊比為1：2：3的三角形
4．（2024·全國·高一假期作業(yè)）的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則的形狀是（ ）
A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
5．（2023下·浙江嘉興·高一校聯(lián)考期中）若，且，那么是（ ）
A．等邊三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
6．（2023下·遼寧鞍山·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，若，則為（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
7．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考期末）已知在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則一定是（ ）
A．等腰三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
8．（2023下·上海嘉定·高一校考期中）在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，，則是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
解題策略
1．求三角形面積的方法
(1)若三角形中已知一個角(角的大小或該角的正、余弦值)，結(jié)合題意求解這個角的兩邊或該角的兩邊之積，代入公式求面積．
(2)若已知三角形的三邊，可先求其一個角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積．總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵．
2．已知三角形面積求邊、角的方法
(1)若求角，就尋求夾這個角的兩邊的關(guān)系，利用面積公式列方程求解．
(2)若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)有關(guān)聯(lián)的角，利用面積公式列方程求解．
【例1】在中，已知，，，則的面積為（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】B
【分析】先用余弦定理求得b，然后由三角形面積公式計算．
【詳解】因為中，已知，，，
所以，由余弦定理得，
解得或2，
所以的面積或．
故選：B.
一、單選題
1．（2023下·新疆阿克蘇·高一校考階段練習(xí)）已知中，，且的面積為，則（ ）
A． B．或 C． D．或
2．（2023下·廣東東莞·高一東莞實驗中學(xué)校考期中）在中，，且的面積為，則（ ）
A． B．3 C．2 D．
3．（2023下·甘肅武威·高一校聯(lián)考期中）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023下·全國·高一隨堂練習(xí)）記的內(nèi)角所對的邊分別為，則邊上的高為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的面積為，，，則（ ）
A． B． C．4 D．
6．（2023下·河北石家莊·高一石家莊二十三中校考期中）在中，角的對邊分別為的面積為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023下·廣東東莞·高一東莞市東莞中學(xué)松山湖學(xué)校校考階段練習(xí)）在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且，若，，則△ABC的外接圓直徑為（　　）
A． B． C． D．
8．（2024上·寧夏石嘴山·高一統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章給出了弧田面積的計算方法．弧田是由圓弧和其對弦圍成的圖形，如圖中陰影部分所示．若弧田所在圓的半徑為，為圓心，弦的長是3，則弧田的面積是（ ）

A． B． C． D．
二、填空題
9．（2023下·黑龍江牡丹江·高一牡丹江市第三高級中學(xué)校考期末）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的面積為，，，則 .
10．（2023下·河南洛陽·高一欒川縣第一高級中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，且面積為，若，則 ．
11．（2023下·安徽滁州·高一校考期中）的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為，b，c，已知，且，則的面積為 ．
12．（2023下·廣東東莞·高一校考期中）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為S，且a＝1，，則△ABC外接圓的半徑為 ．
三、解答題
13．（2023下·全國·高一隨堂練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且.
(1)求；
(2)若的面積為，求的周長.
14．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，向量與平行．
(1)求；
(2)若，，求的面積．
15．（2023下·新疆喀什·高一校考期末）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且．
(1)求B；
(2)若，且的面積為，求b.
16．（2023上·江西宜春·高一江西省豐城中學(xué)校考期中）在中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊長，且．
(1)求的值；
(2)若，，求的面積．
解題策略
(1)判斷三角形形狀時,應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系,利用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊角互化,要么把角轉(zhuǎn)化為邊,通過代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系,要么把邊轉(zhuǎn)化為角,通過三角變換找出角之間的關(guān)系,當(dāng)然也可以邊角同時考慮.
(2)在解題中,若出現(xiàn)關(guān)于邊的齊次式(方程),或關(guān)于角的正弦的齊次式(方程),可通過正弦定理,進(jìn)行邊角互化.
【例1】在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，則，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】運用正弦定理可得，代入已知可得，再由余弦定理可得所求角.
【詳解】解：在中，因為，
所以，由正弦定理可得，
又因為，
所以，
由余弦定理可得，
由，可得，故選：B.
一、單選題
1．（2023下·江蘇宿遷·高一校考階段練習(xí)）在中，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·四川綿陽·高一綿陽南山中學(xué)實驗學(xué)校校考期中）已知的角的對邊分別為，且滿足，若，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·遼寧葫蘆島·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對邊分別為，若，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2023下·河北石家莊·高一校考期中）記的內(nèi)角A，B，C對邊分別為a，b，c，，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·山西朔州·高一校考階段練習(xí)）在中，，的面積為2，則三角形外接圓的半徑為（ ）
A． B． C． D．
6．（2023下·河北石家莊·高一石家莊二十三中校考期中）在中，角的對邊分別為的面積為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023下·廣東東莞·高一東莞市東莞中學(xué)松山湖學(xué)校校考階段練習(xí)）在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且，若，，則△ABC的外接圓直徑為（　　）
A． B． C． D．
8．（2023下·天津·高一天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)校聯(lián)考期末）下列結(jié)論正確的個數(shù)為（ ）
①在中，若，則；
②在銳角中，不等式恒成立；
③在中，若，，則為等腰直角三角形；
④在中，若，，面積，則外接圓半徑為.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多選題
9．（2023下·江蘇連云港·高一校考階段練習(xí)）對于，下列說法錯誤的有（ ）
A．若，則為等腰三角形
B．若，則
C．若，，則符合條件的有兩個
D．若，則是鈍角三角形
10．（2023下·全國·高一隨堂練習(xí)）在中，由以下各條件分別能得出為等邊三角形的有（ ）
A．已知且 B．已知且
C．已知且 D．已知且
三、填空題
11．（2023下·安徽滁州·高一校考期中）的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為，b，c，已知，且，則的面積為 ．
12．（2023下·福建福州·高一校聯(lián)考期中）已知，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，若，，則的外接圓的半徑為 ．
13．（2023下·廣西欽州·高一統(tǒng)考期末）在中，角、、所對的邊分別為、、，且，則 .若，，則 .
14．（2023下·湖南岳陽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知中，，，的對邊分別為a，b，c，若，，給出下列條件中：①，②，③，能使有兩解的為 ．（只要寫出一個正確答案的序號即可）
15．（2023下·江西九江·高一統(tǒng)考期末）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，則的面積為 ．
四、解答題
16．（2023下·河南·高一校聯(lián)考期中）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，點是邊的中點，且.
(1)求角的大小；
(2)若，，求邊的值.
17．（2023下·全國·高一隨堂練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．
(1)求角的大小；
(2)若，，的面積為，求a，c的值．
18．（2023下·廣東湛江·高一湛江市第二中學(xué)校考期中）在中，角、、的對邊分別為，，，已知.
(1)若，求的值；
(2)若，且，求的面積.
19．（2023下·廣東珠海·高一統(tǒng)考期中）在中，內(nèi)角、、所對的邊分別是、、，且
(1)求角；
(2)若，，求的面積.

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