資源簡介

1.7 正切函數10種常見考法歸類
課程標準 學習目標
理解正切函數的定義，能畫出它的圖象，理解正切函數在上的性質． 通過本節課的學習，要求會運用正切函數的圖象與性質解決與正切函數有關的周期、奇偶性、單調性及值域等問題.
知識點01正切函數的定義
根據函數的定義，比值是x的函數，稱為x的正切函數，記作y＝tan x，其中定義域．
【即學即練1】（2024高一課堂練習）函數的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因為的定義域為，
所以由，解得，故選C．
【即學即練2】（2024高一課堂練習）求下列函數的定義域：
（1）函數y＝＋lg(1－tanx)；
（2）函數y＝tan(sinx)．
【解析】（1）要使函數有意義，應滿足，∴，
∴，
∴kπ－≤x故函數y＝＋lg(1－tanx)的定義域為[kπ－，kπ＋)k∈Z.
（2）∵對任意x∈R，－1≤sinx≤1，
∴函數y＝tan(sinx)總有意義，
故函數y＝tan(sinx)的定義域為R．
知識點02　正切函數的誘導公式
tan (kπ＋α)＝tan α(k∈Z)
tan (－α)＝－tan α
tan (π＋α)＝tan α
tan (π－α)＝－tan α
tan ＝－
tan ＝．
注：(1)正切函數的誘導公式可以用正、余弦函數誘導公式一樣的方法記憶，即“奇變偶不變，符號看象限”．
(2)利用誘導公式求任意角的正切函數值的步驟與求任意角的正弦函數值、余弦函數值的步驟相同，都是依據“負化正，大化小，化為銳角再求值”，即由未知轉化為已知的化歸思想．
【即學即練3】（2023下·河南駐馬店·高一校聯考期中）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由正切的誘導公式計算．
【詳解】．
故選：C．
【即學即練4】（2023下·山東·高一校聯考階段練習） ．
【答案】－1
【分析】利用誘導公式化簡計算即可.
【詳解】解：原式
故答案為：.
【即學即練5】（2023下·河北衡水·高一校考開學考試） .
【答案】
【分析】運用誘導公式計算.
【詳解】
；
故答案為： .
【即學即練6】（2023上·江蘇淮安·高一校考階段練習）已知，求，的值.
【答案】，或，
【分析】根據三角函數誘導公式和同角三角函數關系直接計算即可.
【詳解】因為，
所以，
當時，，
，則；
當時，，
，則；
綜上所述，，或，
【即學即練7】（2024上·山西太原·高一統考期末）已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸非負半軸重合，其終邊經過點.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助三角函數的定義計算即可得；
（2）借助輔助角公式計算即可得.
【詳解】（1）角終邊經過點，，
；
（2）原式.
知識點03 正切函數的圖象
利用正切線作出函數的圖象（如圖）．作法如下：
(1)作直角坐標系，并在y軸左側作單位圓．
(2)把單位圓右半圓分成8等份，分別在單位圓中作出正切線．
(3)描點．（橫坐標是一個周期的8等分點，縱坐標是相應的正切線）
(4)連線．
根據正切函數的周期性，把上述圖象向左、右擴展，就可以得到正切函數，且的圖象，我們把它叫做正切曲線(如圖)．
正切曲線是被相互平行的直線所隔開的無窮多支曲線組成的．
注：如何作正切函數的圖象
(1)幾何法
就是利用單位圓中的正切線來做出正切函數的圖象，該方法作圖較為精確，但畫圖時較煩瑣．
(2)“三點兩線”法
“三點”是指，(0，0)，；“兩線”是指x＝－和x＝. 在“三點”確定的情況下，類似于“五點法”作圖，可大致畫出正切函數在上的簡圖，然后向左、右平移(每次平移π個單位長度)即可得到正切曲線．
【即學即練8】（2024高一課堂練習）在內，使成立的x的取值范圍為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】正切函數的圖象和性質，結合正切函數的圖象，可得使成立的x的取值范圍．結合，可得使成立的x的取值范圍為，故選：D．
【即學即練9】（2024高一課堂練習）設函數.
（1）求函數f(x)的最小正周期 對稱中心；
（2）作出函數f(x)在一個周期內的簡圖.
【答案】（1）最小正周期，對稱中心是；（2）答案見解析.
【分析】
（1）首先根據正切函數的周期公式即可得到函數的周期，再根據正切函數的對稱中心即可得到函數的對稱中心.
（2）根據函數的解析式得到的圖象與軸的交點坐標為，圖象上的、兩點，再找到兩側相鄰的漸近線方程，畫出函數的圖象即可.
【詳解】
（1），，
令，，解得，，
故對稱中心為.
（2）令，解得，
令，解得，
令，解得，
令，解得，
令，解得，
所以函數的圖象與軸的一個交點坐標為，圖象上的點有、兩點，
在這個周期內左右兩側相鄰的漸近線方程分別為和，從而得到函數在一個周期內的簡圖(如圖).
【點睛】
本題主要考查正切函數的周期和對稱中心，同時考查了正切函數的圖象，關鍵點是找出圖象上的點用描點法畫圖象，屬于中檔題.
【即學即練10】（2024高一課堂練習）作出函數y＝|tan x|的圖象，并根據圖象求其最小正周期和單調區間．
【解析】y＝|tanx|＝，其圖象如圖所示．
由圖象可知，函數y＝|tan x|的最小正周期T＝π，
單調增區間的(k∈Z)；單調減區間為(k∈Z)．
【名師點睛】要作出函數y＝|tan x|的圖象，可先作出y＝tan x的圖象，然后將其在x軸上方的圖象保留，而將其在x軸下方的圖象翻到上方(即作出其關于x軸對稱的圖象)，就可得到y＝|tan x|的圖象．
知識點04 正切函數的性質
1．周期性
由誘導公式可知，，因此是正切函數的一個周期.
一般地，函數的最小正周期．
2．奇偶性
正切函數的定義域為，關于原點對稱，由于
，因此正切函數是奇函數．
3．單調性和值域
單位圓中的正切線如下圖所示．
利用單位圓中的正切線研究正切函數的單調性和值域，可得下表：
角x
正切線AT
增函數 增函數
由上表可知正切函數在，上均為增函數，由周期性可知正切函數的增區間為
．此外由其變化趨勢可知正切函數的值域為或，因此正切函數沒有最值．
【即學即練11】（2024高一課堂練習）函數的周期為__________．
【答案】
【解析】由題得函數的最小正周期為π，
函數就是把函數的圖像在x軸上的保持不變，把x軸下方的圖像對稱地翻折到x軸上方，如圖，
所以函數的周期為π．故答案為：π．
【即學即練12】（2024高一課堂練習）函數y＝－tan的單調遞減區間為________________．
【答案】　(k∈Z)
【解析】　由－＋kπ<2x－<＋kπ(k∈Z)，得＋所以y＝－tan的單調遞減區間為(k∈Z)．
【即學即練13】（2024高一課堂練習）下列點不是函數的圖象的一個對稱中心的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】對于函數的圖象，令，求得
可得該函數的圖象的對稱中心為．結合所給的選項，A、C、D都滿足.
【即學即練14】（2024高一課堂練習）已知函數y=3tan．
（1）求函數的最小正周期；
（2）求函數的定義域；
（3）說明此函數的圖象是由y=tanx的圖象經過怎樣的變換得到的？
【答案】（1）；（2）；（3）見解析
【解析】（1）由題意得，函數的最小正周期．
（2）由，得．
所以原函數的定義域為．
（3）把函數圖象上所有的點向右平移個單位長度，得函數y=tan的圖象，
再將圖象上各點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），得函數y=tan的圖象，
最后將圖象上各點的縱坐標伸長到原來的3倍（橫坐標不變），得函數y=3tan的圖象．
【即學即練15】（2024高一課堂練習）已知函數．
（1）求的定義域；
（2）求的周期；
（3）求的單調遞增區間．
【答案】（1）；（2）；（3），（）．
【解析】（1）由，可得：xkπ，即，
∴的定義域為；
（2）周期T，∴的周期為；
（3）由，可得：，．
∴單調增區間為，（）．
題型一：求函數的定義域
例1．（2023上·湖南株洲·高一校考階段練習）函數的定義域為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據正切函數圖象與性質，列出不等式，即可求解.
【詳解】根據正切函數的性質，可得函數有意義，則滿足，
所以函數的定義域為.
故選：C.
變式1．（2023下·內蒙古包頭·高一統考期末）函數的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據正切函數的定義域，利用整體思想，建立不等式，可得答案.
【詳解】由題意可得：，解得，
函數的定義域為.
故選：A.
變式2．（2024上·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第十一中學校考期末）求函數的定義域 ．
【答案】
【分析】利用正切函數的定義，列出不等式求解即得.
【詳解】函數有意義，則，解得，
所以函數的定義域為.
故答案為：
變式3．（2022上·浙江溫州·高一統考期末）函數的定義域是（ ）
A． B．
C． D．且
【答案】A
【分析】由題可得，即得.
【詳解】由題可得，解得，
∴函數的定義域為.
故選：A.
變式4．（2022上·內蒙古赤峰·高一赤峰二中校考期末）函數的定義域為（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】利用正切函數圖像可以得到結果.
【詳解】由題意可得：，且，
即，
∴，．
故選：C．
變式5．（2019下·遼寧朝陽·高一校聯考階段練習）函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據函數的解析式可知，解即可求解.
【詳解】由題意得：，故，
故，
即，.
故選：A
變式6．（2023上·全國·高一專題練習）函數的定義域是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據對數式中真數大于零，列出不等式，從而求解.
【詳解】由題意得，
即，
所以，，
所以，，故B項正確.
故選:B.
【方法技巧與總結】
求正切函數定義域的方法
求與正切函數有關的函數的定義域時，除了求函數定義域的一般要求外，還要保證正切函數y＝tan x有意義即x≠＋kπ，k∈Z.而對于構建的三角不等式，常利用三角函數的圖象求解．
題型二：利用正切函數誘導公式求值
例2．（2022下·遼寧·高一東港市第二中學校聯考期中）的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正切函數的誘導公式即可求解.
【詳解】解：.
故選：A.
變式1．（2023·全國·高一專題練習） ．
【答案】/
【分析】由三角函數的誘導公式化簡即可得出答案.
【詳解】由三角函數的誘導公式，可得：
．
故答案為：.
變式2．（2022上·江蘇南通·高一江蘇省南通中學校考階段練習）在平面直角坐標系中，點位于第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】D
【分析】運用誘導公式計算出P點坐標的符號就可判斷出P點所在的象限.
【詳解】 ， ，
在第四象限；
故選：D.
變式3．（2022上·黑龍江雞西·高一雞西市第四中學校考期末）下列選項中錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用誘導公式， “負化正，大化小，小到銳角” 思想角度轉換，再確定對應對應三角函數值的符號即可.
【詳解】解：對于A，
，故A正確；
對于B，，故B正確；
對于C，，故C錯誤；
對于D，，故D正確.
故選：C.
【方法技巧與總結】
給角求值，關鍵是利用誘導公式將任意角的三角函數值轉化為銳角，通常是特殊角的三角函數值．
給值求值時，要注意分析已知角與未知角之間的內在關系，選擇恰當的誘導公式求值．
題型三：利用正切函數的誘導公式化簡
例3．（2023上·湖北襄陽·高一統考期末）已知，則 .
【答案】6
【分析】利用誘導公式求得的值，然后在所求分式的分子和分母中同時除以，可將所求分式轉化為只含的代數式，代值計算即可.
【詳解】由誘導公式可得，因此，.
故答案為：6.
變式1．（2023下·高一課時練習）已知，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先由的范圍及同角三角函數的平方關系和商數關系得出，再根據誘導公式得出，由兩角差的正切公式計算即可．
【詳解】因為，
所以，
所以，
所以，
又因為，
所以，
所以，
故選：A．
變式2．（2022下·上海長寧·高一華東政法大學附屬中學校考期中）化簡： ．
【答案】
【分析】結合誘導公式與同角的商數關系進行化簡整理即可.
【詳解】
故答案為：.
變式3．（2023·高一單元測試）已知為第三象限角，且．
(1)化簡并求；
(2)若，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用誘導公式化簡求得，再代入求值；
（2）先根據誘導公式求得的值，然后根據同角之間的關系求出的值，即可求解.
【詳解】（1），
（2）因為，所以，
又因為是第三象限角，所以，
所以.
變式4（2022上·廣東廣州·高一廣州市第九十七中學校考階段練習）已知．
(1)化簡,并求的值;
(2)若,且,求的值．
【答案】(1);
(2)
【分析】(1)先根據誘導公對進行化簡,再將代入進算出結果即可;
(2)將代入可求,根據的正負及,可判斷正負,從而判斷正負,對平方再開方,代入即可得所求.
【詳解】（1）解:由題知
,
;
（2）,,
,且,
,
故.
【方法技巧與總結】
用正切函數誘導公式化簡、證明的總體原則：
(1)“切化弦”，函數名稱盡可能化少．
(2)“大化小”，角盡可能化小．
題型四：正切函數的圖象及應用
例4．（2024上·寧夏銀川·高一銀川二中校考期末）函數（）的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據函數奇偶性排除不符合的兩個選項，再根據的符號，即可得符合的函數圖象.
【詳解】因為函數（）
所以，則函數為偶函數，故排除A，C選項；
又，故排除D選項，故選B符合.
故選：B.
變式1．（2023上·廣東·高一校聯考期末）若函數的圖象與直線沒有交點，則的最小值為（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】根據正切函數的性質，代入求值.
【詳解】函數的圖象與直線沒有交點．
若函數的圖象與直線沒有交點，
則，，,，
則的最小值為．
故選：C
變式2．（2023上·河北邢臺·高一邢臺市第二中學校聯考階段練習）當時，函數與函數的圖象的交點個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【分析】作出函數在上的圖象與在的圖象即可得解.
【詳解】作出函數在上的圖象與在的圖象，如圖，
觀察圖象，得函數與函數的圖象的交點個數為2.
故選：C
變式3．（2023·全國·高一隨堂練習）方程的實數根個數是 ．
【答案】無數
【分析】作出函數與的圖象，借助數形結合的方法即可得解.
【詳解】函數的定義域為，
在每個區間是都單調遞增，并且函數值集合為R，
在同一坐標系內作出函數與的圖象，如圖，

觀察圖象得，函數與的圖象有無數個交點，
方程的實數根個數是無數個.
故答案為：無數
變式4．（2023上·全國·高一專題練習）借助函數的圖象寫出下列不等式或方程的解集：
(1)，；
(2)；
(3)；
(4)；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】結合的圖象，逐個分析不等式或方程的解即可.
【詳解】（1）
由圖象可知：不等式的解集為；
（2）
由圖象可知：的解集為；
（3）
由圖象可知：的解集為；
（4）
由圖象可知：的解集為.
變式5．（2023·全國·高一隨堂練習）在同一平面直角坐標系中，畫出函數和，的圖象，依據圖象回答以下問題：
(1)寫出這兩個函數圖象的交點坐標；
(2)寫出使成立的x的取值范圍；
(3)寫出使成立的x的取值范圍；
(4)寫出使成立的x的取值范圍；
(5)寫出使這兩個函數有相同的單調性的區間．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)，.
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）在同一坐標系內作出兩個函數的圖象，再依次求出對應問題即可.
【詳解】（1）在同一坐標系內，作出函數和，的圖象，如圖，

由圖象知，兩個函數的交點坐標為.
（2）由圖象知，當或時，，
所以使成立的x的取值范圍是.
（3）由圖象知，當或或時，，
所以使成立的x的取值范圍是.
（4）由圖象知，當或時，，
所以使成立的x的取值范圍是.
（5）由圖象知，當時，兩個函數都為增函數，當時，兩個函數都為增函數，
所以使這兩個函數有相同的單調性的區間是，.
【方法技巧與總結】
解決與正切函數圖象有關的問題，必須熟練畫出正切函數y＝tan x，x∈的圖象，求自變量x的范圍時，要注意是否包含端點值，切記正切函數的最小正周期為π.
題型五：正切函數的周期性問題
例5．（2024上·北京大興·高一統考期末）函數的最小正周期等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正切函數的周期公式計算即得.
【詳解】函數的最小正周期.
故選：A
變式1．（2024上·貴州安順·高一統考期末）函數的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據正切函數的周期公式求解即可.
【詳解】函數的最小正周期為.
故選：B
變式2．（2024上·山東聊城·高一統考期末）下列函數中，既是周期函數又是偶函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由三角函數周期性，奇偶性逐一判斷每一選項即可求解.
【詳解】對于A，是奇函數不滿足題意，故A錯誤；
對于B，若，首先定義域為關于原點對稱，
且，所以是偶函數，
又，所以是周期函數，故B正確；
對于C，畫出函數的圖象如圖所示：
由此可知函數不是周期函數，故C錯誤；
對于D，若，則，所以不是偶函數，故D錯誤.
故選：B.
變式3．（2024上·河南南陽·高三方城第一高級中學校聯考期末）已知是曲線與直線相鄰的三個交點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意可得的最小正周期為1，根據的周期與的周期相等即可求解.
【詳解】作出函數的圖象如圖所示，
不妨設，
可知的最小正周期，
的周期與的周期相等，
所以，解得．
故選:A.
變式4．（2024上·新疆巴音郭楞·高一新疆兵團第二師華山中學校考期末）函數的圖象的相鄰兩支截直線所得線段長為，則的值是 ．
【答案】8
【分析】由題知該函數的最小正周期為，利用正切函數的周期公式運算得解.
【詳解】由題意知函數的最小正周期為，
∴．
故答案為：8.
變式5．（2023·廣東·東莞市東華高級中學校聯考一模）已知函數的最小正周期為，則 .
【答案】1
【分析】根據正切函數周期公式求解即可.
【詳解】依題意，
整理得，解得.
故答案為：1.
變式6．（2023·寧夏銀川·銀川一中校考模擬預測）若，（），則（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【分析】是周期為3的周期函數，計算的值，由此能求出的值．
【詳解】是周期為3的周期函數，
，，，
．
故選：B．
題型六：正切函數的奇偶性問題
例6．（2023·全國·高一隨堂練習）判斷下列函數的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)偶函數
(2)偶函數
(3)奇函數
(4)既不是奇函數，也不是偶函數
【分析】利用三角函數的性質與誘導公式，結合函數奇偶性的定義，即可得解.
【詳解】（1）因為的定義域為，
又，
所以是偶函數.
（2）因為的定義域為，
又，
所以是偶函數.
（3）因為的定義域為，
又，
所以是奇函數.
（4）因為，
而
所以既不是奇函數，也不是偶函數.
變式1．（2022上·內蒙古赤峰·高一校考期末）函數是（ ）
A．周期為的偶函數 B．周期為的奇函數
C．周期為的偶函數 D．周期為的奇函數
【答案】A
【分析】根據函數的奇偶性、周期性確定正確答案.
【詳解】由解得,
的定義域是，的定義域關于原點對稱.
，所以是偶函數，
由此排除BD選項.
，所以的一個周期為，A選項正確.
，
所以不是的周期，所以C選項錯誤.
故選：A
變式2．（2023上·河南鄭州·高一河南省實驗中學校考階段練習）已知，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】計算，，計算得到答案.
【詳解】，則
.
故.
故選：A
變式3．（2023上·陜西·高三校聯考階段練習）已知函數，且，則（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】A
【分析】根據函數解析式的特點，結合奇函數的性質進行求解即可.
【詳解】設，定義域為，關于原點對稱，
則，故是奇函數，
從而，即，
即.
故選：A
變式4．（2023·四川達州·統考一模）已知函數，則的值為 .
【答案】
【分析】根據題意，由函數解析式代入計算，即可得到結果.
【詳解】因為函數，
則
.
故答案為：
變式5．（2024·全國·模擬預測）若函數為奇函數，則（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】分0在定義域內和0不在定義域內兩種情況進行討論即可求得答案.
【詳解】若0在定義域內，由時，得，；
若0不在定義域內，由時，無意義，得．
綜上，．
故選：C．
變式6．（2021上·河南開封·高三階段練習）已知，則“函數的圖象關于軸對稱”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】求出函數的圖象關于軸對稱所滿足的條件，和進行比較
【詳解】關于軸對稱，則關于原點對稱，故，，故是可以推出，，但，推不出，故函數的圖象關于軸對稱是的必要不充分條件
故選：B
題型七：正切函數的對稱性問題
例7．（2023上·陜西西安·高一統考期末）下列是函數的對稱中心的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出函數的對稱中心，逐個檢驗即可得出答案.
【詳解】由可得，，
所以，函數的對稱中心的是，.
對于A項，由，可得，故A項錯誤；
對于B項，由，可得，故B項錯誤；
對于C項，由，可得，故C項錯誤；
對于D項，由，可得，故D項正確.
故選：D.
變式1．（2024上·貴州畢節·高一統考期末）下列函數中，以點為對稱中心的函數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角函數的對稱性可知，C正確.
【詳解】的對稱中心為，A錯誤；
的對稱中心為，B錯誤；
的對稱中心為，C正確；
令，，不恒等于，
的圖象不關于成中心對稱，D錯誤，
故選：C．
變式2．（2024上·河北保定·高一統考期末）“”是“函數的圖象關于原點中心對稱”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據正切函數的性質可判斷充分性成立，必要性不成立，即可.
【詳解】當時，，
則其圖象關于原點對稱，故充分性成立，
當函數的圖象關于原點中心對稱時，
則，不一定成立，
則必要性不成立，
則“”是“函數的圖象關于原點中心對稱”的充分不必要條件，
故選：B.
變式3．（2024·全國·模擬預測）“函數的圖象關于中心對稱”是“”的 條件．
【答案】充分必要
【分析】先由函數的圖象關于中心對稱求得的值，再解方程求得的值，進而得到二者間的邏輯關系.
【詳解】函數圖象的對稱中心為，
所以由“函數y=tanx的圖象關于(x0,0)中心對稱”等價于“”．
因為等價于，即．
所以“函數的圖象關于中心對稱”是“”的是充分必要條件．
故答案為：充分必要
變式4．（2024上·廣東茂名·高一統考期末）已知函數，其最小正周期為，則的一個對稱中心的坐標為 ．
【答案】，（答案不唯一，橫坐標只需符合）
【分析】根據的性質，求函數的對稱中心只需滿足求解即可.
【詳解】根據，得，則，
令，即，
所以．
故答案為：（答案不唯一，橫坐標只需符合）
變式5．（2024·全國·高一專題練習）已知函數圖象的一個對稱中心為，則的值為 ．
【答案】或
【分析】由正切函數圖象的對稱中心求得的表達式，再結合其范圍可得．
【詳解】由，得．又，則或．
故答案為：或．
變式6．（2023下·湖北荊州·高一校聯考期中）已知函數的圖象關于點對稱，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據函數的對稱中心，結合的范圍，可得出，.代入，根據兩角差的正切公式，即可得出答案.
【詳解】因為的圖象關于點對稱，
所以，
所以.
因為，所以，即，
則.
故選：C.
題型八：正切函數的單調性問題
求函數的單調區間
例8．（2023下·四川眉山·高一仁壽一中校考階段練習）函數的單調區間是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】單調區間滿足，解得答案.
【詳解】函數的單調區間滿足：，
解得.
故選：D
變式1．（2023下·四川涼山·高一校聯考期中）函數的單調遞增區間為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據題意，由正切函數的單調區間，列出不等式，求解即可得到結果.
【詳解】令，解得，
所以函數的單調遞增區間為.
故選：C
變式2．（2023下·高一單元測試）函數的單調區間是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用誘導公式化簡，再根據正切函數的性質計算可得.
【詳解】因為，
令，，解得，，
所以函數的單調遞減區間為.
故選：D.
變式3．（2022上·高一課時練習）已知函數，則（ ）
A．增區間為，
B．增區間為，
C．減區間為，
D．減區間為，
【答案】C
【分析】解，即可得出單調遞減區間.
【詳解】由解得
.
因此，函數的單調遞減區間為，.
故選：C.
變式4．（2021下·高一課時練習）已知函數在內是減函數，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據正切函數的圖象與性質，列出不等式組，即可求解.
【詳解】由函數在內是減函數，可得，
由，可得，
則，所以.
故選：B.
變式5．（2022·湖南長沙·長沙一中校考模擬預測）已知函數，若在區間內單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】轉化為在區間內單調遞增，根據正切函數的單調區間求出的單調遞增區間，再根據區間是的單調遞增區間的子集列式可求出結果.
【詳解】因為在區間內單調遞減，所以，在區間內單調遞增，
由，，得，，
所以的單調遞增區間為，，
依題意得，，
所以，，
所以，，
由得，由得，
所以且，
所以或，
當時，，又，所以，
當時，.
綜上所述：.
故選：C.
比較大小
例9．（2024上·湖南·高一校聯考期末）三個數，，的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分別借助三個函數、和的單調性思考問題，借助中間值判斷即可.
【詳解】函數中，所以函數在上單調遞增，
則；
函數中，所以函數在上單調遞減，
則；
函數在上單調遞增，
則；
所以.
故選：B.
變式1．（2024上·河南開封·高一統考期末）若 則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象與性質即可比較大小.
【詳解】因為，
所以，
又，，
所以.
故選：A
變式2．（2024上·內蒙古赤峰·高一統考期末）已知，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指數函數、對數函數、正切函數的單調性，結合中間值法可得出、、的大小關系.
【詳解】因為，，，故.
故選：D.
【方法技巧與總結】
求函數y＝A tan (ωx＋φ)(A，ω，φ都是常數)的單調區間的方法
①若ω>0，由于y＝tan x在每一個單調區間上都是增函數，故可用“整體代換”的思想，令kπ－<ωx＋φ②若ω<0，可利用誘導公式先把y＝A tan (ωx＋φ)轉化為y＝A tan [－(－ωx－φ)]＝－A tan (－ωx－φ)，即把x的系數化為正值，再利用“整體代換”的思想，求得x的范圍即可．
題型九：正切函數的值域（最值）問題
例10．（2024上·寧夏銀川·高一寧夏育才中學校考期末）函數在上的最小值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】利用正切函數的單調性可得在處取得最小值.
【詳解】由正切函數的單調性可知，在上為單調遞增，
所以其最小值為.
故選：D
變式1．（2023上·北京·高一北京市十一學校校考期末）函數，的值域為 .
【答案】
【分析】求出的取值范圍，再結合二次函數的基本性質可求得結果.
【詳解】令，，
因為函數在上單調遞增，當時，，即，
又因為函數在上單調遞增，
當時，，
所以，函數，的值域為.
故答案為：.
變式2．（2022下·安徽宿州·高一碭山中學校聯考期中）函數，的值域為 ．
【答案】
【分析】由的范圍求出的范圍，再根據二次函數的性質即可得出答案.
【詳解】因為，所以，
，
則當時，，
當時，，
所以函數的值域為.
故答案為：.
變式3．（2021·高一課時練習）已知在區間上的最大值為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出，再根據解方程即可.
【詳解】因為，即，
又，所以，所以，
所以，．
故選：A．
變式4．（2023·四川自貢·統考一模）函數在的最大值為7，最小值為3，則ab為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根據區間的定義以及的有界性確定的范圍，然后再利用正切函數的單調性得到的單調性，再代入相應端點值及對應的最值得到相應的方程，解出即可.
【詳解】，，，
根據函數在的最大值為7,最小值為3，
所以，即，根據正切函數在為單調增函數，
則，在上單調減函數，
，，
則，，，，
，
故選：B.
題型十：正切函數圖象與性質的綜合應用
例11．（2024上·湖北荊州·高一荊州中學校考期末）已知函數，下列結論正確的是（ ）
A．函數周期為 B．函數在上為增函數
C．函數是偶函數 D．函數關于點對稱
【答案】D
【分析】根據給定的函數，結合正切函數的圖象、性質逐項判斷即得.
【詳解】對于A，由于，，因此，A錯誤；
對于B，當時，，則函數在區間上是減函數，B錯誤；
對于C，由于，因此函數是奇函數，不是偶函數，C錯誤；
對于D，，因此函數的圖象關于對稱，D正確，
故選：D.
變式1．（2024上·甘肅·高一統考期末）已知函數，下列結論正確的是（ ）
A．函數的最小正周期為
B．函數在區間上是增函數
C．函數的圖象關于直線對稱
D．函數是奇函數
【答案】C
【分析】根據給定的函數，結合正切函數的圖象、性質逐項判斷即得.
【詳解】對于A，由于，，因此，A錯誤；
對于B，當時，，則函數在區間上是減函數，B錯誤；
對于C，，
因此函數的圖象關于直線對稱，C正確；
對于D，由于，因此函數是偶函數，不是奇函數，D錯誤.
故選：C
變式2．（2023上·江蘇淮安·高三校考階段練習）下列關于函數的說法正確的是（ ）
A．圖象關于點成中心對稱 B．圖象關于直線成軸對稱
C．在區間上單調遞增 D．在區間上單調遞增
【答案】A
【分析】根據正切函數的對稱性、定義域、單調性逐項分析即可.
【詳解】當時，，
所以是函數的對稱中心，故A正確，B錯誤；
當時，，
則當時，函數無意義故C錯誤；
當時，，
則當時，函數無意義故D錯誤，
故選：A.
變式3．（2023·四川涼山·統考一模）將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，則下列關于函數的說法正確的是（ ）
A．圖象關于直線對稱 B．在上單調遞增
C．最小正周期為 D．圖象關于點對稱
【答案】D
【分析】求出函數的解析式，再逐項判斷即可.
【詳解】依題意，，由，得，
即函數的定義域為，
對于A，，即函數是奇函數，
不是偶函數，其圖象關于直線不對稱，A錯誤；
對于B，0不在函數的定義域內，則函數在上不單調，B錯誤；
對于C，函數的最小正周期為，C錯誤；
對于D，，的圖象關于點對稱，D正確.
故選：D
【方法技巧與總結】
解答正切函數圖象與性質問題時應注意的兩點
(1)對稱性：正切函數圖象的對稱中心是(k∈Z)，不存在對稱軸．
(2)單調性：正切函數在每個(k∈Z)區間內是單調遞增的，但不能說其在定義域內是遞增的．
一、單選題
1．（2024上·四川德陽·高一統考期末），則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據分段函數解析式特點，代入解析式求解即可.
【詳解】.
故選：C
2．（2024上·福建莆田·高一莆田八中校聯考期末）對任意且，函數的圖象都過定點，且點在角的終邊上，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據指數函數的圖象特點確定的圖象所過定點坐標，結合正切函數的定義，即可求得答案.
【詳解】對于函數，令，
故的圖象過定點，
由于點在角的終邊上，則，
故選：B
3．（2024上·河南商丘·高一統考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據題意分別判斷充分性，必要性從而可求解.
【詳解】必要性：若，則，，故必要性不滿足；
充分性：若，則，故充分性滿足；
故“”是“”的充分不必要條件，故A正確.
故選：A.
4．（2024上·河南商丘·高一校考期末）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據對數函數，指數函數的單調性判斷與0，1的大小關系，利用三角函數在各象限的符號依次判斷即得.
【詳解】，
由是減函數得，即，
因為，所以，
所以．
故選:B．
5．（2024上·山東濟寧·高一統考期末）若對任意，方程有解，則實數的取值范圍是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】先求方程左側函數的值域，后解不等式求參數范圍即可.
【詳解】因為，可知，所以．
又方程有解，所以．
所以，，
故選：A．
6．（2024上·北京豐臺·高三統考期末）如圖，函數的圖象為折線，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用正切型函數的圖象與性質結合分段函數性質即可得到解集.
【詳解】設，
令，且，解得，，
令，則，則在上單調遞增，
，則，
則當時，，，則滿足，即，
當時，，且單調遞減，，且單調遞增，
則時，，即；時，，即；
綜上所述：的解集為，
故選；C.
7．（2024上·湖南衡陽·高三統考期末）下列函數的最小正周期為，且在上單調遞減的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出各函數的周期和單調區間即可得出結論.
【詳解】由題意，
A項，在中，，，最小正周期為，
當單調遞增時，，
解得：
∴在上不單調遞減，A錯誤；
B項，在中， ，最小正周期為，
當單調遞增時，，
解得：
∴在上不單調遞減，B錯誤；
C項，在中，，周期,
∴函數在即上單調遞減，
∴函數在上單調遞減，C正確；
D項，在中，，故D錯誤.
故選：C.
8．（2024上·山東菏澤·高三山東省鄄城縣第一中學校考階段練習）“函數的圖象關于對稱”是“，”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】利用正切函數的性質結合集合間的基本關系判定充分、必要條件即可.
【詳解】當函數的圖象關于對稱時，
有，，得，，
易知 ，
所以“函數的圖象關于對稱”是“，”的必要不充分條件．
故選：B．
9．（2024上·廣西河池·高一統考期末）“的最小正周期為”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據函數的最小正周期求得，再根據充分條件和必要條件的定義即可的解.
【詳解】當的最小正周期為時，有，即充分性不成立；
當時，的最小正周期為，即必要性成立；
所以“的最小正周期為”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
10．（2023下·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學校考期末）有一個函數的圖象如圖，其對應的函數解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據給定的函數圖象，由函數定義域及函數值的情況判斷作答.
【詳解】由圖象知，函數定義域為，，
對于A選項，定義域為，故A錯誤；
對于B選項，，當時，，故B錯誤；
對于C選項，，當時，無意義，故C錯誤；
對于D，的定義域為，，
且，則的圖象關于軸對稱，
所以符合題意.
故選：D.
11．（2024上·內蒙古赤峰·高一統考期末）命題“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據存在量詞命題的否定直接得出結果.
【詳解】命題“”的否定為“”.
故選：C
12．（2024上·河北滄州·高一泊頭市第一中學校考階段練習）已知定義在上的函數，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】構造，利用其奇偶性及單調性解不等式即可.
【詳解】由，得，
令，則，故為奇函數，
則等價于，
因為在上單調遞增，則在上單調遞增，
所以，解得，
故選：C．
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是構造，利用其單調性和奇偶性得到不等式組，解出即可.
二、多選題
13．（2024上·山東臨沂·高一統考期末）已知函數，則（ ）
A．的最小正周期為 B．的定義域為
C．是增函數 D．
【答案】ABD
【分析】根據正切函數的性質依次求出函數的最小正周期、定義域、單調區間即可求解．
【詳解】對A：由，函數的最小正周期為，故A正確；
對B：由，，解得，，
所以的定義域為，故B正確；
對C：，，解得，，
所以函數在，上單調遞增，故C錯誤；
對D：由C知當時，在上單調遞增，所以，故D正確；
故選：ABD.
14．（2024上·河北邯鄲·高一統考期末）已知函數（，）的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小正周期為
B．的定義域為
C．點是函數圖象的一個對稱中心
D．在上的值域為
【答案】BCD
【分析】根據題意，結合正切函數的圖象與性質，逐項判定，即可求解.
【詳解】由圖象知，所以函數的最小正周期為，故A不正確；
因為函數的最小正周期，可得，所以，則，，即，，
因為，所以當時，，則，
又因為，所以，則，所以，
由，，可得，，
所以的定義域為，所以B正確；
因為，可得點是函數圖象的一個對稱中心，所以C正確；
當時，，可得，所以D正確.
故選：BCD．
15．（2024上·全國·高一專題練習）關于函數的性質，下列敘述正確的是（ ）
A．的最小正周期為 B．是偶函數
C．的圖象關于直線對稱 D．在區間上單調遞增
【答案】BCD
【分析】根據正切函數圖象作出函數的圖象，結合圖象可得答案.
【詳解】做出函數的圖象，且函數的定義域為，
由函數的圖象可知，最小正周期為π，A錯誤；
又，所以是定義域上的偶函數，B正確；
根據函數的圖象知，的圖象關于直線對稱，C正確；
根據的圖象知，在區間上單調遞增，D正確．
故選：BCD．
16．（2024上·山西太原·高一統考期末）已知，則下列結論正確的是（ ）
A．的最小正周期
B．的定義域為
C．的值域為
D．是奇函數
【答案】BD
【分析】結合正切函數的性質逐項判斷即可得.
【詳解】對A：由，故的最小正周期，故A錯誤；
對B：由題意得：，即，
故的定義域為，故B正確；
對C：由，故的值域為，故C錯誤；
對D：的定義域為，
，
故是奇函數，故D正確.
故選：BD.
17．（2024上·湖北·高一校聯考期末）已知函數，則（ ）
A．函數的最小正周期為
B．函數的定義域為
C．函數的圖象的對稱中心為
D．函數的單調遞增區間為
【答案】ABD
【分析】利用整體代入法，由三角函數的周期公式可判斷A；由正切函數的定義域可判斷B；由正切函數的對稱中心可判斷C；由正切函數的單調區間可判斷D.
【詳解】對于A，函數的最小正周期為，A正確；
對于B，由，得,
所以函數的定義域為，B正確；
對于C，由，得,
所以函數的對稱中心為，C錯誤；
對于D，由，得，
所以函數的單調遞增區間為，D正確.
故選：ABD
三、填空題
18．（2024上·山東威海·高三統考期末）已知函數在上是增函數，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據正切函數的單調性，結合題意，列出滿足的條件，求解即可.
【詳解】根據題意，，解得，又，則；
當，，
由題可得，解得；
綜上所述，的取值范圍是.
故答案為：.
19．（2024上·廣東汕頭·高一統考期末）當時，使成立的的取值范圍為
【答案】
【分析】分類討論，根據正切函數的單調性及正切函數在各象限的符號求解.
【詳解】當時，由單調遞增且可知，，
當時，由知，滿足，
綜上，.
故答案為：
20．（2024下·上海·高一假期作業）若，且，則
【答案】
【分析】根據特殊角的三角函數值以及正切函數的周期性即可求解.
【詳解】因為,所以,
由于，所以取，得，
故答案為：
21．（2024上·湖北武漢·高三校聯考期末）若命題“，”是假命題，則實數的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】利用命題為真命題由正切函數單調性即可求得，可知為假命題時實數的取值范圍是.
【詳解】若命題“，”是真命題，可得即可；
易知在上單調遞增，
所以，可得；
又因為該命題是假命題，所以可得，
即實數的取值范圍是.
故答案為：
22．（2024上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知函數，若，則 .
【答案】
【分析】從函數解析式不難看出前兩項構成的函數為奇函數，故可將其設成，證明其奇偶性，再利用奇函數特征代入計算即得.
【詳解】令，，由,可得函數為奇函數，
則由得，故.
故答案為：.
四、解答題
23．（2024上·江蘇常州·高一統考期末）在平面直角坐標系中，點在角的終邊上.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角函數定義求得，進而求出，再由即可得出答案；
（2）由同角三角函數的基本關系求解即可.
【詳解】（1）點在角的終邊上，，
，，
所以，，
所以.
（2）.
24．（2023上·貴州六盤水·高一統考期末）已知函數.
(1)求函數的定義域；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）令，求出定義域；
（2）代入，結合誘導公式求值即可.
【詳解】（1）令 ，
解得：，
所以函數的定義域是；
（2）由題知，
所以.
25．（2024下·上海·高一假期作業）求滿足下列條件的的集合：
(1)；
(2)；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意畫出單位圓與臨界值的終邊，陰影部分即為滿足題意的角的終邊.
（2）由題意畫出單位圓與臨界值的終邊，陰影部分即為滿足題意的角的終邊.
【詳解】（1）由，所以，所以角x終邊所在區域如圖所示，
所以，
所以滿足條件的的集合為：；
（2）由，所以，
所以角x終邊所在區域如圖所示，
所以，
所以，滿足條件的的集合為：.
26．（2023上·全國·高一專題練習）已知函數.
(1)求它的最小正周期和單調遞減區間；
(2)試比較與的大小.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據正切函數解析式求解最小正周期和單調遞減區間；
（2）根據解析式求解函數值比較大小值.
【詳解】（1）因為
所以，
由，
，
因為在上單調遞增，
所以在上單調遞減．
故函數的最小正周期為，單調遞減區間為．
（2）,
，
因為，且在上單調遞增，
，
所以.
27．（2019下·廣東清遠·高一校考階段練習）已知函數，其中.
(1)當時，求函數的最大值和最小值；
(2)求θ的取值范圍，使在區間上是單調函數(在指定區間為增函數或減函數稱為該區間上的單調函數)．
【答案】(1)最小值，最大值7
(2)
【分析】（1）配方函數的解析式，根據函數圖象對稱軸可以直接得到函數的最值點，進行計算即可；
（2）根據二次函數的單調區間，列出不等式，解出即可.
【詳解】（1）當時，，
∵，
∴當時，的最小值為，
當時，的最大值為7.
（2）因為是關于x的二次函數．
它的圖象開口向上，對稱軸為，
∵在區間上是單調函數，
∴，或者，
即，或者，
又∵，
∴θ的取值范圍是.
28．（2023·四川綿陽·統考模擬預測）已知函數的最小正周期為，且．
(1)求函數的解析式；
(2)函數的圖象是由函數的圖象向左平移個單位長度得到，若，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據正切型函數的周期和定點求，即可得函數解析式；
（2）根據三角函數圖像變換可得，結合，分析可得，運算求解即可.
【詳解】（1）因為，且，解得，
又因為，則，
解得，
且，可得，
所以.
（2）由題意可知：，
因為，
由，即，
可知，解得，
且，所以的最小值為．1.7 正切函數10種常見考法歸類
課程標準 學習目標
理解正切函數的定義，能畫出它的圖象，理解正切函數在上的性質． 通過本節課的學習，要求會運用正切函數的圖象與性質解決與正切函數有關的周期、奇偶性、單調性及值域等問題.
知識點01正切函數的定義
根據函數的定義，比值是x的函數，稱為x的正切函數，記作y＝tan x，其中定義域．
【即學即練1】（2024高一課堂練習）函數的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
【即學即練2】（2024高一課堂練習）求下列函數的定義域：
（1）函數y＝＋lg(1－tanx)；
（2）函數y＝tan(sinx)．
知識點02　正切函數的誘導公式
tan (kπ＋α)＝tan α(k∈Z)
tan (－α)＝－tan α
tan (π＋α)＝tan α
tan (π－α)＝－tan α
tan ＝－
tan ＝．
注：(1)正切函數的誘導公式可以用正、余弦函數誘導公式一樣的方法記憶，即“奇變偶不變，符號看象限”．
(2)利用誘導公式求任意角的正切函數值的步驟與求任意角的正弦函數值、余弦函數值的步驟相同，都是依據“負化正，大化小，化為銳角再求值”，即由未知轉化為已知的化歸思想．
【即學即練3】（2023下·河南駐馬店·高一校聯考期中）（ ）
A． B． C． D．
【即學即練4】（2023下·山東·高一校聯考階段練習） ．
【即學即練5】（2023下·河北衡水·高一校考開學考試） .
【即學即練6】（2023上·江蘇淮安·高一校考階段練習）已知，求，的值.
【即學即練7】（2024上·山西太原·高一統考期末）已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸非負半軸重合，其終邊經過點.
(1)求的值；
(2)求的值.
知識點03 正切函數的圖象
利用正切線作出函數的圖象（如圖）．作法如下：
(1)作直角坐標系，并在y軸左側作單位圓．
(2)把單位圓右半圓分成8等份，分別在單位圓中作出正切線．
(3)描點．（橫坐標是一個周期的8等分點，縱坐標是相應的正切線）
(4)連線．
根據正切函數的周期性，把上述圖象向左、右擴展，就可以得到正切函數，且的圖象，我們把它叫做正切曲線(如圖)．
正切曲線是被相互平行的直線所隔開的無窮多支曲線組成的．
注：如何作正切函數的圖象
(1)幾何法
就是利用單位圓中的正切線來做出正切函數的圖象，該方法作圖較為精確，但畫圖時較煩瑣．
(2)“三點兩線”法
“三點”是指，(0，0)，；“兩線”是指x＝－和x＝. 在“三點”確定的情況下，類似于“五點法”作圖，可大致畫出正切函數在上的簡圖，然后向左、右平移(每次平移π個單位長度)即可得到正切曲線．
【即學即練8】（2024高一課堂練習）在內，使成立的x的取值范圍為（　　）
A． B．
C． D．
【即學即練9】（2024高一課堂練習）設函數.
（1）求函數f(x)的最小正周期 對稱中心；
（2）作出函數f(x)在一個周期內的簡圖.
【即學即練10】（2024高一課堂練習）作出函數y＝|tan x|的圖象，并根據圖象求其最小正周期和單調區間．
知識點04正切函數的性質
1．周期性
由誘導公式可知，，因此是正切函數的一個周期.
一般地，函數的最小正周期．
2．奇偶性
正切函數的定義域為，關于原點對稱，由于
，因此正切函數是奇函數．
3．單調性和值域
單位圓中的正切線如下圖所示．
利用單位圓中的正切線研究正切函數的單調性和值域，可得下表：
角x
正切線AT
增函數 增函數
由上表可知正切函數在，上均為增函數，由周期性可知正切函數的增區間為
．此外由其變化趨勢可知正切函數的值域為或，因此正切函數沒有最值．
【即學即練11】（2024高一課堂練習）函數的周期為__________．
【即學即練12】（2024高一課堂練習）函數y＝－tan的單調遞減區間為________________．
【即學即練13】（2024高一課堂練習）下列點不是函數的圖象的一個對稱中心的是（　　）
A． B． C． D．
【即學即練14】（2024高一課堂練習）已知函數y=3tan．
（1）求函數的最小正周期；
（2）求函數的定義域；
（3）說明此函數的圖象是由y=tanx的圖象經過怎樣的變換得到的？
【即學即練15】（2024高一課堂練習）已知函數．
（1）求的定義域；
（2）求的周期；
（3）求的單調遞增區間．
題型一：求函數的定義域
例1．（2023上·湖南株洲·高一校考階段練習）函數的定義域為（　　）
A． B．
C． D．
變式1．（2023下·內蒙古包頭·高一統考期末）函數的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
變式2．（2024上·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第十一中學校考期末）求函數的定義域 ．
變式3．（2022上·浙江溫州·高一統考期末）函數的定義域是（ ）
A． B．
C． D．且
變式4．（2022上·內蒙古赤峰·高一赤峰二中校考期末）函數的定義域為（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
變式5．（2019下·遼寧朝陽·高一校聯考階段練習）函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
變式6．（2023上·全國·高一專題練習）函數的定義域是(　　)
A． B．
C． D．
【方法技巧與總結】
求正切函數定義域的方法
求與正切函數有關的函數的定義域時，除了求函數定義域的一般要求外，還要保證正切函數y＝tan x有意義即x≠＋kπ，k∈Z.而對于構建的三角不等式，常利用三角函數的圖象求解．
題型二：利用正切函數誘導公式求值
例2．（2022下·遼寧·高一東港市第二中學校聯考期中）的值為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2023·全國·高一專題練習） ．
變式2．（2022上·江蘇南通·高一江蘇省南通中學校考階段練習）在平面直角坐標系中，點位于第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
變式3．（2022上·黑龍江雞西·高一雞西市第四中學校考期末）下列選項中錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧與總結】
給角求值，關鍵是利用誘導公式將任意角的三角函數值轉化為銳角，通常是特殊角的三角函數值．
給值求值時，要注意分析已知角與未知角之間的內在關系，選擇恰當的誘導公式求值．
題型三：利用正切函數的誘導公式化簡
例3．（2023上·湖北襄陽·高一統考期末）已知，則 .
變式1．（2023下·高一課時練習）已知，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2022下·上海長寧·高一華東政法大學附屬中學校考期中）化簡： ．
變式3．（2023·高一單元測試）已知為第三象限角，且．
(1)化簡并求；
(2)若，求的值．
變式4（2022上·廣東廣州·高一廣州市第九十七中學校考階段練習）已知．
(1)化簡,并求的值;
(2)若,且,求的值．
【方法技巧與總結】
用正切函數誘導公式化簡、證明的總體原則：
(1)“切化弦”，函數名稱盡可能化少．
(2)“大化小”，角盡可能化小．
題型四：正切函數的圖象及應用
例4．（2024上·寧夏銀川·高一銀川二中校考期末）函數（）的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（2023上·廣東·高一校聯考期末）若函數的圖象與直線沒有交點，則的最小值為（ ）
A．0 B． C． D．
變式2．（2023上·河北邢臺·高一邢臺市第二中學校聯考階段練習）當時，函數與函數的圖象的交點個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
變式3．（2023·全國·高一隨堂練習）方程的實數根個數是 ．
變式4．（2023上·全國·高一專題練習）借助函數的圖象寫出下列不等式或方程的解集：
(1)，；
(2)；
(3)；
(4)；
變式5．（2023·全國·高一隨堂練習）在同一平面直角坐標系中，畫出函數和，的圖象，依據圖象回答以下問題：
(1)寫出這兩個函數圖象的交點坐標；
(2)寫出使成立的x的取值范圍；
(3)寫出使成立的x的取值范圍；
(4)寫出使成立的x的取值范圍；
(5)寫出使這兩個函數有相同的單調性的區間．
【方法技巧與總結】
解決與正切函數圖象有關的問題，必須熟練畫出正切函數y＝tan x，x∈的圖象，求自變量x的范圍時，要注意是否包含端點值，切記正切函數的最小正周期為π.
題型五：正切函數的周期性問題
例5．（2024上·北京大興·高一統考期末）函數的最小正周期等于（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2024上·貴州安順·高一統考期末）函數的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2024上·山東聊城·高一統考期末）下列函數中，既是周期函數又是偶函數的是（ ）
A． B．
C． D．
變式3．（2024上·河南南陽·高三方城第一高級中學校聯考期末）已知是曲線與直線相鄰的三個交點，則（ ）
A． B． C． D．
變式4．（2024上·新疆巴音郭楞·高一新疆兵團第二師華山中學校考期末）函數的圖象的相鄰兩支截直線所得線段長為，則的值是 ．
變式5．（2023·廣東·東莞市東華高級中學校聯考一模）已知函數的最小正周期為，則 .
變式6．（2023·寧夏銀川·銀川一中校考模擬預測）若，（），則（ ）
A． B． C．0 D．
題型六：正切函數的奇偶性問題
例6．（2023·全國·高一隨堂練習）判斷下列函數的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
變式1．（2022上·內蒙古赤峰·高一校考期末）函數是（ ）
A．周期為的偶函數 B．周期為的奇函數
C．周期為的偶函數 D．周期為的奇函數
變式2．（2023上·河南鄭州·高一河南省實驗中學校考階段練習）已知，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
變式3．（2023上·陜西·高三校聯考階段練習）已知函數，且，則（ ）
A． B． C．1 D．4
變式4．（2023·四川達州·統考一模）已知函數，則的值為 .
變式5．（2024·全國·模擬預測）若函數為奇函數，則（ ）
A． B． C．D．
變式6．（2021上·河南開封·高三階段練習）已知，則“函數的圖象關于軸對稱”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
題型七：正切函數的對稱性問題
例7．（2023上·陜西西安·高一統考期末）下列是函數的對稱中心的是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2024上·貴州畢節·高一統考期末）下列函數中，以點為對稱中心的函數是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2024上·河北保定·高一統考期末）“”是“函數的圖象關于原點中心對稱”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
變式3．（2024·全國·模擬預測）“函數的圖象關于中心對稱”是“”的 條件．
變式4．（2024上·廣東茂名·高一統考期末）已知函數，其最小正周期為，則的一個對稱中心的坐標為 ．
變式5．（2024·全國·高一專題練習）已知函數圖象的一個對稱中心為，則的值為 ．
變式6．（2023下·湖北荊州·高一校聯考期中）已知函數的圖象關于點對稱，則（ ）
A． B． C． D．
題型八：正切函數的單調性問題
求函數的單調區間
例8．（2023下·四川眉山·高一仁壽一中校考階段練習）函數的單調區間是（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（2023下·四川涼山·高一校聯考期中）函數的單調遞增區間為（ ）
A． B．
C． D．
變式2．（2023下·高一單元測試）函數的單調區間是（ ）
A． B．
C． D．
變式3．（2022上·高一課時練習）已知函數，則（ ）
A．增區間為，
B．增區間為，
C．減區間為，
D．減區間為，
變式4．（2021下·高一課時練習）已知函數在內是減函數，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
變式5．（2022·湖南長沙·長沙一中校考模擬預測）已知函數，若在區間內單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
比較大小
例9．（2024上·湖南·高一校聯考期末）三個數，，的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（2024上·河南開封·高一統考期末）若 則（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2024上·內蒙古赤峰·高一統考期末）已知，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧與總結】
求函數y＝A tan (ωx＋φ)(A，ω，φ都是常數)的單調區間的方法
①若ω>0，由于y＝tan x在每一個單調區間上都是增函數，故可用“整體代換”的思想，令kπ－<ωx＋φ②若ω<0，可利用誘導公式先把y＝A tan (ωx＋φ)轉化為y＝A tan [－(－ωx－φ)]＝－A tan (－ωx－φ)，即把x的系數化為正值，再利用“整體代換”的思想，求得x的范圍即可．
題型九：正切函數的值域（最值）問題
例10．（2024上·寧夏銀川·高一寧夏育才中學校考期末）函數在上的最小值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
變式1．（2023上·北京·高一北京市十一學校校考期末）函數，的值域為 .
變式2．（2022下·安徽宿州·高一碭山中學校聯考期中）函數，的值域為 ．
變式3．（2021·高一課時練習）已知在區間上的最大值為，則（ ）
A． B． C． D．
變式4．（2023·四川自貢·統考一模）函數在的最大值為7，最小值為3，則ab為（ ）
A． B． C． D．
題型十：正切函數圖象與性質的綜合應用
例11．（2024上·湖北荊州·高一荊州中學校考期末）已知函數，下列結論正確的是（ ）
A．函數周期為 B．函數在上為增函數
C．函數是偶函數 D．函數關于點對稱
變式1．（2024上·甘肅·高一統考期末）已知函數，下列結論正確的是（ ）
A．函數的最小正周期為
B．函數在區間上是增函數
C．函數的圖象關于直線對稱
D．函數是奇函數
變式2．（2023上·江蘇淮安·高三校考階段練習）下列關于函數的說法正確的是（ ）
A．圖象關于點成中心對稱 B．圖象關于直線成軸對稱
C．在區間上單調遞增 D．在區間上單調遞增
變式3．（2023·四川涼山·統考一模）將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，則下列關于函數的說法正確的是（ ）
A．圖象關于直線對稱 B．在上單調遞增
C．最小正周期為 D．圖象關于點對稱
【方法技巧與總結】
解答正切函數圖象與性質問題時應注意的兩點
(1)對稱性：正切函數圖象的對稱中心是(k∈Z)，不存在對稱軸．
(2)單調性：正切函數在每個(k∈Z)區間內是單調遞增的，但不能說其在定義域內是遞增的．
一、單選題
1．（2024上·四川德陽·高一統考期末），則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·福建莆田·高一莆田八中校聯考期末）對任意且，函數的圖象都過定點，且點在角的終邊上，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·河南商丘·高一統考期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．（2024上·河南商丘·高一校考期末）若，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2024上·山東濟寧·高一統考期末）若對任意，方程有解，則實數的取值范圍是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2024上·北京豐臺·高三統考期末）如圖，函數的圖象為折線，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024上·湖南衡陽·高三統考期末）下列函數的最小正周期為，且在上單調遞減的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024上·山東菏澤·高三山東省鄄城縣第一中學校考階段練習）“函數的圖象關于對稱”是“，”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
9．（2024上·廣西河池·高一統考期末）“的最小正周期為”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
10．（2023下·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學校考期末）有一個函數的圖象如圖，其對應的函數解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024上·內蒙古赤峰·高一統考期末）命題“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024上·河北滄州·高一泊頭市第一中學校考階段練習）已知定義在上的函數，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
13．（2024上·山東臨沂·高一統考期末）已知函數，則（ ）
A．的最小正周期為 B．的定義域為
C．是增函數 D．
14．（2024上·河北邯鄲·高一統考期末）已知函數（，）的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小正周期為
B．的定義域為
C．點是函數圖象的一個對稱中心
D．在上的值域為
15．（2024上·全國·高一專題練習）關于函數的性質，下列敘述正確的是（ ）
A．的最小正周期為 B．是偶函數
C．的圖象關于直線對稱 D．在區間上單調遞增
16．（2024上·山西太原·高一統考期末）已知，則下列結論正確的是（ ）
A．的最小正周期
B．的定義域為
C．的值域為
D．是奇函數
17．（2024上·湖北·高一校聯考期末）已知函數，則（ ）
A．函數的最小正周期為
B．函數的定義域為
C．函數的圖象的對稱中心為
D．函數的單調遞增區間為
三、填空題
18．（2024上·山東威海·高三統考期末）已知函數在上是增函數，則的取值范圍是 .
19．（2024上·廣東汕頭·高一統考期末）當時，使成立的的取值范圍為
20．（2024下·上海·高一假期作業）若，且，則
21．（2024上·湖北武漢·高三校聯考期末）若命題“，”是假命題，則實數的取值范圍是 ．
22．（2024上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知函數，若，則 .
四、解答題
23．（2024上·江蘇常州·高一統考期末）在平面直角坐標系中，點在角的終邊上.
(1)求的值；
(2)求的值.
24．（2023上·貴州六盤水·高一統考期末）已知函數.
(1)求函數的定義域；
(2)求的值.
25．（2024下·上海·高一假期作業）求滿足下列條件的的集合：
(1)；
(2)；
26．（2023上·全國·高一專題練習）已知函數.
(1)求它的最小正周期和單調遞減區間；
(2)試比較與的大小.
27．（2019下·廣東清遠·高一校考階段練習）已知函數，其中.
(1)當時，求函數的最大值和最小值；
(2)求θ的取值范圍，使在區間上是單調函數(在指定區間為增函數或減函數稱為該區間上的單調函數)．
28．（2023·四川綿陽·統考模擬預測）已知函數的最小正周期為，且．
(1)求函數的解析式；
(2)函數的圖象是由函數的圖象向左平移個單位長度得到，若，求的最小值．

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